8/17/2019 Persamaan Schrodinger Bebas Waktu

1/4

PERSAMAAN SCHRODINGER BEBAS WAKTU

Karakteristik Persamaan Schroin!er

Persamaan Schrodinger dikenalkan oleh Erwin Schrodinger pada

tahun 1926 membahas tentang deskripsi gelombang partikel pada

dimensi atomik yang memenuhi perinsip dan hukum fsika. Persamaan

Schrodinger adalah persamaan untuk partikel bebas atau partikel yang

dipengaruhi oleh potensal yang konstan,!"#$ % $ konstanta. Persamaan

gelombang partikel harus konstan dengan persamaan energi klasik yakni &

Ek ' Ep $ Etotal atau p

2

2m+V = E

Persamaan gelombang (uga harus memenuhi postulas de )roglie.maka

persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikutk 2=

2m

h2

  ( E−V  )

Pada kasus partikel bebas,bilangan gelombang * adalah konstanta karena

energi potensial konstan dan karena energi total (uga konstan.

Persamaan Schrodinger dan kasus yiga dimensi adalah sebagi berikut & +

−h

2

2m ( ∂

2

∂ x2 +  ∂

2

∂ y2+  ∂

2

∂z2

)Ψ  (r , t )+V  (r )Ψ (r , t )¿= EΨ  (r2). ...

Persaman ilai eigen Schrodinger dapat dideskripsikan dengan

menggunakan operator -amiltonian,sehingga persamaan diatas

dinyatakan sebagi berikut &  H opψ (r , t )= Eψ (r , t )

Solusi persamaan tersebut mengghasilkan nilai eigen E yang

terkuantisasi. *uantisasi tersebut hanyaa ter(adi untuk ungsi ertentu

sa(a,yang dinamakan ungsinyang dapat diterima,ungsi+ungsi yangdapat diteria harus mempunyai syarat sebagai berikut &

ψ ( x)   /ungsi gelombang harus berharga berhinggaa,berharga

tunggal,dan merupakan ungsi yang kontinu !berkesinambungan #

dψ ( x)dx   turunan pertama dari ungsi gelombang harus erharga

berhingga,berharga tunggal dan merupakan ungsi yang kontinu

8/17/2019 Persamaan Schrodinger Bebas Waktu

2/4

/ungsi ψ ( x)   yang memenuhi persyaratan tersebut dinamkan ungsi

yang berkelakuan baik ! well beha0ed unction#. Siat+siat ini ditentukan

untuk memastikan bahwa ungsi eigen secara matematika ungsi yang

cocok. ikaψ ( x )

dandψ ( x)

  memiliki nilai terbatas atau berhargatunggal maka hal yang mungkin ter(adi adalah &

ψ ( x , t )=e−iEt h ψ ( x )atauδΨ  ( x ,t )=e

−iEt h dψ ( x)/dx

Perbandingan energi total !E# dan energi potensial !# dari sebuah atom

akan ber0ariasi sesuai dengan tingkatan energi yang dimiliki.tingkatan

energi yang terkuantisasi lebih kecil dari pada E adalah energi yan tidak

terkuanntisasi.

So"#si Persamaan Schroin!er Be$as Wakt#

Persamaan Schrodinger bebas waktu yang paling sederhana adalah

pada (asu !"# $konstan atau tidak ada gaya yanng berker(a pada pertikel,

/$ + d!"# d"$3. ika ungsi potensial tidak bergantung waktu,maka

bentuk persamaan Schrodinger untuk kasus dengan potensial bebas

waktu !"# adalah sebagai berikut

−h2

2m0

∂2

∂ x

2 ψ ( x , t )+V  ( x , t ) ψ ( x .t )=i h

  ∂

∂t  ψ  ( x , t )

Solusi persamaan tersebut dapat dilakukan dengan melakukan pemisahan

separasi 0ariabel pada persamaan. Seluruh persamaan Schrodinger bebas

waktu tidsk memiliki bilangan ima(iner !i#,sehingga solusi ψ ( x )   harus

merupakan ungsi kompleks. /ungsi ψ ( x )  adalah ungsi eigen yang harus

dibedakan dengan ungsi geelombang ψ ( x , t )   yang merupakan ungsi

total dari persamaan Schrodinger. Pada kasus partikel bebas dalam ruangsatu dimensi yang tidak dipengaruhi oleh suatu potensial,operator

-amiltonian yang bersesuaian. Persamaan Schrodinger yang tidak

bergantung waktu adalah sebagi berikut &

−h2

2m

d2ψ ( x)

dx2  = Eψ ( x)  sedangkan ungsi gelombang totalnya adalah &

8/17/2019 Persamaan Schrodinger Bebas Waktu

3/4

  ψ ( x , t )= A e+i (kx− Et h)+Be

−i(kx+ Et h)

  solusi dari persamaan ini terdiri dari dua

bagian,bagian oertama dengan ungsi e+ikx

 merupakn gelombang yang

merambat ke arah sumbu '" dan bagian kedua e−ikx

merupakan

gelombang yang merambat ke arah sumbu 4"

So"#si Persamaan Schroin!er Unt#k Partike" Be$as

 Partikel bebas bergerak dalm runag (ika tidak ada potensial yang

mempengaruhinya . persamaan untuk kasus gerak partikel dalam satu

dimensi adalah &

 H op=

−ℏ2

2mo

∂2

∂x2

Solusi lain darai persamaan Schrodinger bebas waktu untuk kasus partikel

adalah &   Ψ  ( x , t )=exp  (−ikx) yang (uga berkaitan dengan nilai eigen

 E=ℏ

2k 

2

2m0 .

ilai ini sesuai un tuk partikel yang merambat ke arah sumbu " negati. adi bentuk solusi umum untuk gerak patikel dalam ruang bebas medan

potensial adalah &

Ψ  ( x , t )= A i exp [ i (kx−ωt ) ]+ A iexp [−i (kx+ωt ) ]

ektor gelombang ntuk kasus tersebut adalah k =√ 2m0 E   (ika energi

partikel adalah E. ika diambil 52$ 3 diperoleh gelombang yna merambat

kekanan, dan (ika diambil 51$ 3 diperoleh gelombang yang merambat

kekiri . 5nalisi yang mendalam tergan(al pada nilai rapat probsbilitas untuldaerah yang tak terhingga,akan diperoleh rapat probabilitas

∫−∞

+∞

Ψ  ( x , t )Ψ  ( x , t )dx= A1 A

1∫−∞

+∞

dx  

ilai rapat probabilitas akan berharga tak berhingga (ika 51  berharga

terhingga (ika diambil 51$3 maka ungsi gelombang tidak ada sehingga

hal ini tidak merupakan solusi.

Ra%at Ar#s

8/17/2019 Persamaan Schrodinger Bebas Waktu

4/4

)entuk yan lebih umu dari solusi persamaan Schrodinger untuk

partikel bebas dapat diperoleh dengan memperkenalkan sebuah kuantitas

yang disebut rapat arus atau rapat uks !uks density#.7apat arus alam

arah sumbu " dideenisikan sebagi berikut &

ψ ∗ p x ψ +ψ p x∗ψ ∗¿

J  x=  1

2m¿ # iai

± k ℏ

m   kecepatan klasik dari partikel sehingga

rapt uks adlah kecepatan dikendalikan dengan kemungkinan bahwa

partikel berada dalam keaadan tertentu. Parameter ini sangat diperlukan

dalam menentukan koefsien trensmisi dan koefsien reeksi pada partikel

yang menumpai potensial tertentu.

Teorema Ehren&erst

Paul Ehrenest pada tahun 1928 memberikan teorema,konsep ini

setara dengan konsep klasik yakni &d

dt  p (t )=

−∂

∂ x V  ( x , t )=  ( x , t )

-ubungan tersebut dapat dibuktikan sebagi berikut &

ψ ∗ xψd! ¿

d

dx ⟨ x ⟩= d

dtʺ
¿∫ ψ ∗∂ψ ∂  ∂ ! +∫ ∂ψ ∂ t   xψd! 

Perhatikan bahwa hargaa ekspektasi omentum terkait dengan operator

momentum yang mengandung dierensi dalam 0ariabel ". leh sebab

itu,persamaan diatas perlu ditin(au berdasarkan persamaan Schrodinger

yang mengandung operator energi kineti( yang terkait dengan momentom

partikel.