UjianAkhir Semester SistemDinamikMuhamadGhozali (10610017)Persamaandibawahinidiambildaribuku Boyce diPrima halaman 478 no 14dx/dt1. MenentukanNilai Eigen|A - = 0 = 0 = 0(3) (-2) + 4 =0 = 0= 0() () = 0atau

2. MenentukanVector Eigen.Untuk|A - = 0 0

a 2b = 02a 4b =0Sehinggadiperoleh (denganmetodeeliminasi)a = 2dan b =1sehingga vector eigennyaUntuk|A - = 0

4a 2b = 02a b = 0Sehinggadiperoleh (denganmetodeeliminasi)a = 1 atau b = 2Sehingga vector eigennyaadalah3. Menentukansolusiumum

+

+ Atau bias ditulis

4. MenentukanSolusiKhususDalammenentukanSolusiKhususmakadiberikannilaiawalx(0)=1 dany(0)=2dan diselesaikandengancara elimininasi.

didapatkan sehinggadengan mensubstitusikan nilai maka didapatkan

Uji nilai wronskian:

didapatw(0)0 keduanilaieigenbebasatautidaksalingmempengaruhisatusamalain, halini men yebabkansolusi x1(t) dan x2(t) jugatidaksalingmempengaruhisatusama lain

5. Diskritisasi

Interval kontinu diubah ke dalam bentuk t diskrit yang berupa himpunan . Dengan mengambil m bilangan bulat positif yang membagi interval dalam m bagian yang sama, diperoleh interval antar titik diskrit berikut:

Secararekursif, titik-titikdiskritdalam interval [t0,tm] dapatditentukansebagaiberikut:

Asumsikanbahwamaka:

Sehingga

Sehinggadidapatkan

Diskritisasipersamaan 1

, sehingga

Karena maka

Padapersamaan2

, sehingga

Karena

Jadi model diskritdarikeduapersamaan

6. MenggambarGrafikUntuk nilaiawal=(x(0)=1),(y(0)=2)

Gambar 1.Grafik(x(0)=1),(y(0)=2)Interpretasigrafik:Dari gambar1 dapatdsimpulkansaatnilaiawalx(0)=1 dany(0)=2makagrafikturunsecaraeksponensial. Sehinggadapatditarikkesimpulanketika = 0 makasolusinyajugamendekati 0.MeskiydiuntungkanolehxtetapilajukematiannyasamabesardanakanhabisPhasepotrait

Gambar 2. Phase potrait

InterpretasiSistempersamaandiatasmempunyaititiktetap(0,0). Pergerakantrajektoripadagambr 2menujukearahtitiktetapnyayaitu (0,0). ketikanilaieigensama-sama negative makatrajektorimenujutitiktetap. Sehinggatitiktetaptersebutstabil.

Program Maple> restart:> with(plots): with(linalg):> dx:=3*x-2*y; dy:=2*x-2*y;

> fp:=solve({dx,dy},{x,y});

> A:=jacobian([dx,dy],[x,y]);

> ne:=eigenvalues(A);

> ve:=eigenvectors(A);

> eq:=diff(x(t),t)=3*x(t)-2*y(t), diff(y(t),t)=2*x(t)-2*y(t);

> sol_umum:=dsolve({eq});

> sol_khusus:=dsolve({eq,x(0)=1,y(0)=2},{x(t),y(t)});

> plot({exp(-t),2*exp(-t)},t=0..7);>

> restart:> with(DEtools):> phaseportrait([D(x)(t)=3*x(t)-2*y(t), D(y)(t)=2*x(t)-2*y(t)],[x(t),y(t)], t=-5..5, [[x(0)=1,y(0)=2]],stepsize = 0.5e-1, method = classical[foreuler], numpoints = 200, linecolor = black);

Persamaan Van Der pol

ditemukan fix poinnya (0 ,0)a. Form

Sehingga

Plot trajectori

>>>

>