Pert-8 Teori Peluang (2)

23
TEORI PELUANG

description

statistik

Transcript of Pert-8 Teori Peluang (2)

  • TEORI PELUANG

  • Pengertian

    Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menyatakan mungkin. Hal ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti.

    Contoh : kemungkinan dalam ujian Statistika yadi akan mendapat nilai 75

    Apabila dalam ujian Statistika dicantumkan nilai numerik yang besarnya antara o dan 1, maka kemungkinan itu sudah menjadi peluang.

    Yang menjadi masalahnya adalah, kita harus mencari aturan bagaimana caranya mencantumkan nilai numerik terhadap kemungkinan.

    Aturan yang digunakan untuk mencantumkan bilangan terhadap kemungkinan adalah definisi peluang

  • Istilah istilah

    Untuk mendefinisikan apa yang disebut peluang kita perlu istilah- istilah sebagai berikut :Dari seorang istri yang sedang mengandung, menurut pemeriksaan bayi yang sedang dikandung tidak kembar Jika anak itu lahir, hanya ada 2 kemungkinan jenis kelamin yang bisa terjadi, yaitu Laki-laki (L) atau Perempuan (P)Himpunan S yang berisi seluruh kemungkinan jenis kelamin yang terjadi disebut Ruang Sampel yang secara matematik ditulis S=(L,P)b. Elemen yang ada dalam ruang sampel disebut titik sampelc. Pada saat si ibu melahirkan, apakah anak laki-laki/perempuan mempunyai kesempatan lahir yang sama. Hal ini disebut titik sampel yang equally likelyd. Apabila anak yang lahir itu laki-laki, maka perempuan tidak lahir. Ini berarti kelahirannya saling melenyapkan, hal ini disebut mutually eksklusif

  • 2. Jika suami-istri tersebut mempunyai anak 2 orang Ruang sampel S yang menyatakan kemungkinan susunan jenis kelamin kedua anak tesebut seluruhnya :S = (LL, PP, LP, PL)b. Titik-titik sampel LL, PP, LP, PL sifatnya equally likelyc. Titik-titik sampel LL, PP, LP, PL sifatnya mutually eksklusif

    Berdasarkan istilah istilah tersebut disusun definisi peluang, yang nantinya akan dipakai sebagai kriteria untuk mencantumkan bilangan kepada kemungkinan

  • Definisi Peluang

    Definisi Klasik Apabila dalam sebuah Ruang Sampel S berisi N titik sampel yang equally likely atau mutually eksklusif, terdapat X buah titik sampel yang menyokong A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan :

    Definisi Statistis (Empiris/Matematis)Apabila dalam N buah rentetan peristiwa terdapat X buah peristiwa yang menyokong A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai : Definisi ini adalah definisi yang dipakai untuk menghitung peluang berdasarkan pengamatan

  • Contoh :Berdasarkan pengalaman puluhan tahun di bidang kedokteran, diantara 100 orang yang terkena penyakit K, 30 orang mati. Pada suatu saat tuan B terkena penyakit K. Berapa peluangnya bahwa tuan B mati terkena penyakit K itu ? jawab :

    Definisi subjektif mengenai peluangPada suatu saat seorang peneliti tidak mempunyai pengalaman untuk dijadikan dasar perhitungan peluang. Dalam keadaan seperti ini, peluang ditentukan secara subjektif berdasarkan kepercayaan orang tersebut.

  • Hukum Peluang

    Untuk menghitung peluang, digunakan definisi-definisi peluang baik secara klasik, empirik maupun subjektif, ditambah hukum-hukum peluang.

    1.Apabila A merupakan sebuah peristiwa yang pasti bakal terjadi, maka berlaku P(A) = 1Contoh : P(manusia bakal mati) = 12.Apabila A merupakan sebuah peristiwa yang tidak mungkin terjadi, maka berlaku P(A) = 0P(A) = 0, bukan sesuatu yang absolut3.Akibat dari (1) dan (2) maka apabila A merupakan suatu peristiwa tertentu maka berlaku

  • Apabila merupakan sebuah peristiwa yang komplemen untuk peristiwa A, maka

    Sesuatu peristiwa disebut komplemen dari peristiwa A, apabila merupakan bukan A

    Contoh :Dalam arisan keluarga, ada 23 peserta. Pada saat pembukaan arisan, ada 3 yang mungkin bisa menang. Dibuat gulungan kertas 23 yang 3 diantaranya diberi tanda menang. Seorang anggota arisan mengambil sebuah gulungan kertas.a. berapa peluang bahwa dia menang ?

    b. berapa peluangnya dia tidak menang ?

  • Apabila A dan B merupakan 2 peristiwa, maka berlaku

    ini dapat dijelaskan oleh diagram yang disebut diagram Venn

  • Contoh : Sebuah RT terdiri dari 200 keluarga. 150 diantaranya berlangganan kompas, 90 diantaranya lagi berlangganan PR. Diantara yang berlangganan kompas ada 60 yang juga berlangganan PR.a. Gambarkan persoalan tersebut dalam diagram Venn

    b. Pada suatu saat, kita bertemu dengan salah seorang anggota keluarga diatas. Berapa peluangnya bahwa orang tersebut adalah anggota keluarga yang berlangganan kompas/PR/kedua-duanya

  • Berapa peluang bahwa orang yang kita jumpai itu keluarga yang tidak berlangganan Kompas juga tidak berlangganan PR ?

    Masalah diatas dapat dapat digambarkan melalui tabel kontingensi 2 x 2

    KBukan KTotalPR6090BukanPRTotal150200

  • Catatan : Sebuah tabel yang menggambarkan hubungan antara 2 variabel atau lebih disebut Tabel Kontingensi.Apabila tabel kontingensi itu mempunyai 2 baris dan 2 kolom, maka tabel itu disebut tabel kontingensi 2 x 2

    Apabila A dan B merupakan 2 buah peristiwa yang mutually eksklusif, maka berlaku

    Diagram Venn untuk 2 peristiwa mutually eksklusif

  • Contoh : Seorang suami istri mempunyai anak 3 orang

    Gambarkan ruang sampel S yang menyatakan susunan jenis kelamin dari anak tersebut !Untuk memudahkan penggambaran ruang sampel, digunakan diagram pohon (tree diagram)

  • Berapa peluangnya bahwa susuna jenis kelamin anak tersebut terdiri dari 2 anak laki-laki?

    Berapa peluangnya bahwa susunan jenis kelamin anak tersebut sekurang-kurangnya 2 laki-laki ?

    Berapa peluangnya bahwa yang sulung laki-laki, no 2 laki-laki dan yang bungsu perempuan atau yang sulung perempuan, no 2 perempuan dan yang bungsu laki-laki?

  • 7. Untuk 2 buah peristiwa A dan B, berlaku hukum

    disebut distribusi peluang bersyarat dimana peristiwa B terjadi dengan syarat A telah terjadi

    Contoh : dalam sebuah kotak terdapat 27 buah kelereng yang bentuk dan warnanya sama. 18 diantaranya warna merah yang lainnya warna hitam. Dari dalam kotak diambil 2 buah kelereng berurut-turut

    a. Berapa peluannya bahwa kelereng yang pertama terambil berwarna merah dan yang kedua terambil berwarna hitam ?

  • b. Berapa peluannya bahwa kelereng yang pertama terambil berwarna merah dan yang kedua terambil berwarna merah ?

    8. Apabila A dan B merupakan 2 buah peristiwa yang saling independen (bebas) maka berlaku :

    Contoh : Keluarga dengan 2 orang anak a. P(2 anak laki-laki) =

    b. P(kelahiran I laki-laki) =

  • Kaedah BayesDefinisi : suatu sekatan dari suatu kelompok A ialah suatu kelompok (A1,A2, , An) yang memiliki ciri-ciri :

  • Teorema :Bila (A1,A2, , An) merupakan suatu sekatan dalam ruang sampel S dan bila setiap peristiwa A1,A2, , An memiliki peluang , maka :

    Contoh :30% anggota kesebelasan sepakbola Universitas terdiri dari mahasiswa FE, 25% dari mahasiswa FH, 25% dari mahasiswa FISIP dan 20% dari mahasiswa FT.50% dari mahasiswa FE, 30% FH, 10% FISIP dan 10% FT adalah mahawarman Bila secara random dipilih satu anggota kesebelasan di atas, berapa peluang yang terpilih itu mahawarman ?

  • Jawab :misalkan A = peristiwa anggota yang terpilih adalah mahawarman

    P(FE) = 0,3 = P(A1)P(FH) = 0,25 = P(A2)P(FISIP)=0,25=P(A3)P(FT)=0,2=P(A4)

    P(A|A1) = 0,5P(A|A2) = 0,3P(A|A3) = 0,1P(A|A4) = 0,1

  • Teorema :Bila (A1,A2, , An) merupakan suatu sekatan dalam ruang sampel S dan bila setiap peristiwa A1,A2, , An memiliki peluang , dan bila setiap sembarang peristiwa A memang memiliki peluang , maka bagi tiap bilangan bulat k dimana , kaedah bayes dirumuskan sebagai berikut :

  • Contoh :Lembaga penerbit UI memiliki3 mesin stensill A, B dan CA menstensil 30% B menstensil 25% dari seluruh produksiC menstensil 45%

    Diketahui bahwa 1% dari hasil ppenstensilan A rusak1,2% dari hasil ppenstensilan B rusak2% dari hasil ppenstensilan C rusak

    setiap hari ketiga mesin menstensil 10.000 lembarbila diambil 1 helai secara random, ternyata rusak, berapa peluang helai yang rusak itu diproduksi A

  • Jawab : misal :A = peristiwa rusak hasil penstensilanA1 = helai stensil AA2 = helai stensil BA3 = helai stensil C

    P(A1) = 0,3P(A2) = 0,25P(A3) = 0,45P(A|A1) = 0,01P(A|A2) = 0,012P(A|A3) = 0,02

  • Ekspektasi ( Harapan Matematis)Misalkan kita mempunyai sebuah eksperimen yang menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi.Peluang terjadinya tiap peristiwa masing-masing p1, p2, . . . , pk dan untuk tiap peristiwa tersebut terdapat satuan d1, d2, . . . , dkMaka ekspektasi eksperimen itu didefinisikan :