11

PERTEMUAN XIPERTEMUAN XI Standard Unit VektorStandard Unit Vektor Kombinasi LinearKombinasi Linear MembangunMembangun Bebas LinearBebas Linear BasisBasis

22

STANDARD UNIT VEKTORSTANDARD UNIT VEKTOR

DEFINISI : DEFINISI : Standard Unit VektorStandard Unit Vektor adalah adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan, vektor yang mempunyai panjang 1 satuan, dan terletak di sepanjang sumbu dan terletak di sepanjang sumbu koordinat.koordinat.

Untuk RUntuk R22: : i i (1,0) dan (1,0) dan jj (0,1) (0,1)

Untuk RUntuk R33 : : ii (1,0,0), (1,0,0), j j (0,1,0) dan (0,1,0) dan k k (0,0,1)(0,0,1)

33

TEOREMATEOREMA

Tiap vektor dalam ruang dapat dinyatakan Tiap vektor dalam ruang dapat dinyatakan dalam standard unit vektor.dalam standard unit vektor.

Contoh : vektor Contoh : vektor v v ( ( vv11,v,v22,v,v33 ) dapat dinyatakan ) dapat dinyatakan sebagai :sebagai :

vv11(1,0,0) + v(1,0,0) + v22(0,1,0) + v(0,1,0) + v33(0,0,1)(0,0,1) i x i = j x j = k x ki x i = j x j = k x k i x j = k, j x k = i, k x i = ji x j = k, j x k = i, k x i = j j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j

44

KOMBINASI LINEARKOMBINASI LINEAR Sebuah vektor w disebut KOMBINASI Sebuah vektor w disebut KOMBINASI

LINEAR dari vektor LINEAR dari vektor vv11,v,v22, …v, …vrr, jika , jika

vektor tersebut dapat dinyatakan dalam vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :bentuk :

ww = k = k11vv11 + k + k22vv22 + … + k + … + krrvvrr,,

di mana kdi mana k11,k,k22, …k, …krr adalah skalar adalah skalar

TBE KONSISTEN

55

MEMBANGUNMEMBANGUN Jika Jika vv11,v,v22, …v, …vrr adalah vektor-vektor di adalah vektor-vektor di

dalam sebuah ruang vektor V dan jika dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dari vv11,v,v22, …v, …vrr maka dapat dikatakan maka dapat dikatakan

bahwa vektor bahwa vektor vv11,v,v22, …v, …vrr membangunmembangun

V.V.• m = n Det ≠ 0• m ≠ n TBE KONSISTEN

66

KEBEBASAN LINEARKEBEBASAN LINEAR Sebuah ruang vektor V dibangun oleh Sebuah ruang vektor V dibangun oleh

sebuah himpunan vektor S = { sebuah himpunan vektor S = { vv11,v,v22,v,v33, ,

…,v…,vrr }, maka persamaan vektor : }, maka persamaan vektor :

kk11 vv11 + k + k22 vv22 + …+ k+ …+ krr vvrr = = 00

mempunyai paling sedikit satu mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, yaitu :penyelesaian, yaitu :

kk11 = 0, k = 0, k22 =0 …. k =0 …. krr = 0 = 0

77

Jika ini adalah satu satunya Jika ini adalah satu satunya penyelesaian, maka S dinamakan penyelesaian, maka S dinamakan himpunan yang himpunan yang bebas linearbebas linear, dan jika , dan jika tidak maka S dinamakan himpunan tidak maka S dinamakan himpunan yang yang bergantung linearbergantung linear..

TRIVIAL Det ≠ 0

88

BASISBASIS Det ≠ 0 Det ≠ 0

Jika V adalah sembarang ruang vektor Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { dan S = { vv11,v,v22,…v,…vrr } adalah sebuah } adalah sebuah

himpunan berhingga dari vektor-vektor himpunan berhingga dari vektor-vektor di dalam V, maka S dinamakan sebuah di dalam V, maka S dinamakan sebuah basis untuk V jika :basis untuk V jika :

i. S bebas lineari. S bebas linear

ii. S membangun Vii. S membangun V