PEUBAH ACAK

TERDISTRIBUSI BERSAMA

SEBARAN PELUANG BERSAMA• X DAN Y ADALAH PEUBAH ACAK YANG MEMPUNYAI FUNGSI

SEBARAN PELUANG KUMULATIF BERSAMA

• F(a, b) = P{X≤a, Y≤b}, -∞< a,b <∞

• Sebaran Peluang Kumulatif X bisa didapatkan dari Sebaran Peluang Kumulatif bersama X dan Y, yakni

• Fx(a) = P{X ≤a} = P{X ≤a, Y< ∞}

• = P ( Limb ∞ { X ≤a, Y< b})

• = Limb ∞P{ X ≤a, Y< b}

• = Limb ∞ F(a, b)

• =F(a, ∞)

• Denagn cara yang sama Sebaran Peluang Kumulatif Y dituliskan sebagai

• F(b) = P {Y ≤b} = Lima ∞F(a,b) = F(∞,b)

• P{X>a, Y>b}= 1-P({X>a, Y>b}c)

• = 1 – P({X>a}c U {Y>b}c)

• = 1 – P({X≤a} U {Y ≤b})

• = 1- [P{X≤a} + P{Y ≤b}- P{X≤a, Y≤b}]

• = 1- Fx(a)-Fy(b) + F(a, b)

• X, Y peubah acak diskret, maka fungsi kepekatan peluang bersama adalah

p(x, y) = P{X=x, Y=y}

• Fungsi kepekatan peluang X yang didapatkan dari p(x,y) adalah

px(x) = P{X=x) =∑y;p(x,y)>0p(x,y)

• Dengan cara sama

py(y) = P{Y=y) =∑x;p(x,y)>0p(x,y)

• 3 bola diambil secara acak dari kotak yang berisi 3 bola merah, 4 bola putih dan 5 bola biru. Jika X dan Y menunjukkan masing-masing adalah bola merah dan bola putih yang terambil maka fungsi kepekatan peeluang bersama dari X dan Y, p(i,j)= P{X=i, Y=j} ditunjukkan sebagai

220

60

3

12

1

5

1

4

1

3

)1,1(

220

30

3

12

2

5

1

3

)0,1(

220

4

3

12

3

4

)3,0(

220

30

3

12

1

5

2

4

)2,0(

220

40

3

12

2

5

1

4

)1,0(

220

10

3

12

3

5

)0,0(

p

p

p

p

p

p

220

1

3

12

3

3

)0,3(

220

12

3

12

1

4

2

3

)1,2(

220

15

3

12

1

5

2

3

)0,2(

220

18

3

12

2

4

1

3

)2,1(

220

18

3

12

2

4

1

3

)2,1(

p

p

p

p

p

j

i

0 1 2 3 P{X=i}

0 10/220 40/220 30/220 4/220 84/220

1 30/220 60/220 18/220 0 108/220

2 15/220 12/220 0 0 27/220

3 1/220 0 0 0 1/220

P{Y=j} 56/220 112/220 48/220 4/220 1

• X, Y adalah peubah acak kontinyu bersama bila ada suatu fungsi f(x,y) yang didefinisikan untuk semua bilangan riel x dan y, mempunyai sifat untuk setiap himpunan C dari pasangan bilangan real tersebut (C berarti dua dimensi) berlaku

• P{(X, Y) ε C) = ∫∫(x, y) ε c f(x,y) dx dy

• f(x,y) disebut fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y.

• Jika A dan B adalah bilangan real, kemudian didefinisikan C={(x, y); x ε A, y ε B}, maka

• P{X ε A, Y ε B}=∫B∫Af (x,y) dx dy

),(),(

),(

]},(],,({),(

2

baFba

baf

maka

dxdyyxf

bYaXPbaFb a

• Peluang dengan batasan nilai X dan Y

• Dimana da dan db adalah kecil dan f(x, y) adalah kontinu pada a, b.

dbb

b

daa

a

dbdabafdxdyyxf

dbbYbdaaXaP

),(),(

},{

Jika X dan Y kontinu

bersama, maka mereka akan

kontinu pada

masing-masing dan

mempunyai kepekatan peluang sebagai berikut :

dxyxfyf

Yuntuksamacaradengan

dyyxfxf

dxxf

dxdyyxf

YAXPAXP

Y

X

A

x

A

),()(

),()(

)(

),(

)},(,{}{

Latihan

}{)};{)};1,1{)

0

0,02),(

2

aXPcYXPbYXPa

hitung

selainnya

yxeeyxf

yx

)1(2

)(2

2}1,1{)1

211

0

21

1

1

0

2

1

0

2

1

eedyee

dyee

dxdyeeYXP

y

xy

yx

0

32

0

0

2

0 0

2

),,(

2

3/13/2122

)1(22

2}{)2

dyee

dyeedxdyee

dxdyeeYXP

yy

yy

y

yx

yxyx

yx

aax

axy

edxe

dydxeeaXP

0

0 0

2

1

2}{)3

• Fungsi kepekatan peluang bersama X dan Y adalah

2/

0

)1(

0 00

)(

/

)(

/

)(

)1(

1)(

1

11

1

)1(

}{)(

0:

/

0

0,0),(

xxf

aa

ee

dyeedxdye

dxdyeaY

XPaF

ajawab

YXfkptentukan

selainnya

yxeyxf

YX

ya

y

yay

ay

yx

aYX

yx

YX

yx

N Peubah Acak

• Sebaran peluang kumulatif bersama dari n peubah

acak adalah

F(a1, a2,…,an)=P{X1≤a1, X2 ≤a2,…,Xn ≤an}

• Lebih jauh Sebaran peluang kumulatif, bila diketahui

ada fkp bersama f(x1,x2,….,xn) pada sembarang

himpunan C dalam ruang dimensi n adalah

• P{(X1,X2,…,Xn)εA}=

• Lebih khusus, untuk sembarang n himpunan bilangan

riel A1,A2,….An maka

• P{X1 εA1,X2 εA2,...,Xn εAn}=

n

Cxxx

ndxxddxxxf

n

...),...,(...2

),...,(

11

21

n nA A

nn

A

dxdxdxxxf1 1

...),...,(....211

Peubah Acak Independen

• Peubah acak X dan Y disebut sebagai independen bila untuk sembarang himpunan bilangan real A dan B berlaku

• P{XεA, Yε B}= P{XεA} P{Y εB}

• Dengan kata lain X dan Y independen, jika untuk semua A dan B; maka kejadian EA={X εA} dan EB={Y εB} juga independen

• Maka

P{X≤a, Y≤b}=P{X≤a}P{Y≤b} dan

F(a,b) =Fx(a) Fy(b) untuk semua a, b

Independen

• X dan Y peubah acak diskrete, X dan Y

independen bila

p(x,y)=px(x) py(y) untuk semua x, y

• Selanjutnya

• Untuk sembarang himpunan A dan B

P{X εA, Y ε B) =

}{}{)()(

)()(),(

AXPBYPypxp

ypxpyxp

Ax By

By AxBy Ax

Contoh

• JIka X, Y, Z adalah independen dan

sebaran seragam pada (0,1). Hitung

P{X>=YZ}.

• Jawab :

• fX,Y,Z(x,y,z)=fX(x)fY(y)fZ(z) =1, 0≤x≤1,0≤y ≤1,0 ≤z ≤1

• Maka

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

,,

4

3)

21(

)1(1

),,(}{

dzz

dydzyzdxdydz

dxdydzzyxfYZXP

yz

yzx

ZYX

Penjumlahan dari Peubah Acak Independen

• Penjumlahan dari 2 peubah acak kontinu

independen X, Y adalah X+Y, dimana

mempunyai fkp fX dan fY. Maka fungsi

sebaran peluang kumulatif dari X+Y adalah :

dyyfyaF

dyyfdxxfdxdyyfxf

dxdyyfxfaYXPaF

YX

ya

YX

ya

YX

ayx

YXYX

)()(

)()()()(

)()(}{)(

Fx+Y disebut convolution dari FX dan Fy

• Dengan turunan dari FX+Y akan didapatkan fX+Y

dari X+Y, yakni

dyyfyaf

dyyfyaFda

d

dyyfyaFda

daf

YX

YX

YXYX

)()(

)()(

)()()(

Contoh

• X dan Y peubah acak independen, yang masing-

masing mempunyai sebaran peluang seragam.

Carilah fungsi kepekatan peluang X+Y (Pending)

selainnya

aa

aa

af

maka

adyaf

makaauntuk

adyaf

makaauntuk

dyyafaf

YX

a

YX

YX

XYX

0

212

10

)(

2)(

,21

)(

,10

)()(

1

1

1

0

1

0

Preposisi 3.1

• X dan Y adalah mempunyai sebaran peluang gamma dan independen masing-masing mempunyai parameter (s,λ) dan (t, λ). Maka X+Y adalah peubah acak sebar an gamma dengan parameter (s+t, λ).

• Bukti dengan menggunakan persamaan sebelumnya

1

1

0

111

0

11

11

0

)(

;)1(

)(

)()]([)()(

1)(

tsa

tstsa

atsa

tysa

ya

YX

aCe

a

yxdgndxxxaKe

dyyyaKe

dyyeyaets

af

Dimana C adalah konstanta yang tidak tergantung a. Tetapi fkp bila

Diintegralkan akan menghasilkan 1 shg C akan didapatkan, maka :

)(

)()(

1

ts

aeaf

tsa

YX

Preposisi 3.2

• Jika Xi, i=1, 2, …, n adalah peubah acak

independen dan menyebar secara normal

dengan masing-masing mempunyai nilai

parameter μi, σi2, i=1,…,n; maka ∑i=1

n Xi

juga menyebar normal dengan parameter

∑i=1n μi dan ∑i=1

n σi2.

SEBARAN PELUANG BERSYARAT (diskret)

Dua kejadian E dan F, peluang bersyarat kejadian E setelah F diketahui (given F), dengan syarat P(F)>0, adalah

P(E|F) = P(EF)/P(F)

Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka peluang bersyarat X setelah diketahui Y=y, adalah :

0)(;)(

),(

}{

},{

}|{)|(|

ypyp

yxp

yYP

yYxXP

yYxXPyxp

Y

Y

YX

• Dengan cara yang sama, fungsi sebaran peluang bersyarat dari X dimana diketahui Y=y, untuk semua y sedemikian sehingga pY(y)>0

xaYX

YX

yap

yYxXPyxF

)|(

}|{)|(

|

|

Jika diketahui p(x,y) adalah fungsi kepekatan peluang X dan Y

yang diberikan sebagai berikut ;

p(0,0)=0.4, p(0,1)= 0.2, p(1,0)=0.1, dan p(1,1)=0.3

Tentukan peluang bersyarat X dimana diketahui Y=1

Jawab :pY(1)=∑Xp(x,1)=p(0,1)+p(1,1)= 0.2+0.3=0.5

Dengan demikian

pX|Y(0|1)=p(0,1)/pY(1) = 2/5

pX|Y(1|1)=p(1,1)/pY(1) = 3/5

SEBARAN PELUANG BERSYARAT (Kontinyu)

• Jika X dan Y mempunyai fkp bersama

f(x,y), maka fungsi kepekatan peluang

bersyarat dari X dimana diketahui Y=y

yang didefisinikan untuk semua y

sehingga fY(y)>0 adalah

• fX|Y(x,y)=f(x,y)/fY(y)

Contoh• Fungsi kepekatan peluang bersama X

dan Y adalah

selainnya

yxyxxyxf

0

10,10)2(12

1

),(

Hitung fungsi kepekatan bersyarat peluang X dimana

diketahui Y=y, 0<y<1

y

yxx

y

yxx

dxyxx

yxx

dxyxf

yxf

yf

yxfyxf

yxUntuk

Y

YX

34

)2(6

2/3/2

)2(

)2(

)2(

),(

),(

)(

),()|(

10,10

1

0

|

Fungsi Distribusi Peluang Bersama

dari Beberapa Peubah Acak

• Katakan X1dan X2 adalah peubah acak

kontinyu yang mempunyai fungsi

kepekatan peluang bersama fX1,X2.

Kadang-kadang kita memerlukan fungsi

kepekatan peluang bersama dari Y1 dan

Y2 dimana merupakan fungsi dari X1 dan

X2. Katakan Y1=g1(X1, X2), dan

Y2=g2(X1,X2) untuk beberapa fungsi g1 dan

g2

Asumsi bahwa g1dan g2 adalah

1) Persamaan y1=g1(x1,x2) dan y2=g2(x1,x2) akan mendapatkan penyelesaian yang khas (unik) untuk x1 dan x2 dalam y1 dan y2 katakan solusinya adalah

x1=h1(y1,y2) dan x2=h2(y1, y2).

2) Fungsi g1dan g2 adalah kontinyu dan dapat diturunkan pada setiap titik (x1,x2) dan mengikuti determinan dari 2 x 2

),(

0),(

21

1

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

1

21

xxtitiksemuauntuk

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

x

g

xxJ

Dengan dua kondisi diatas, maka dapat dibuktikan bahwa peubah acak

Y1 dan Y2 adalah kontinyu bersama dengan fungsi kepekatan bersama

),(),,(

dim

|),(|),(),(

21222111

1

2121,21, 2121

yyhxyyhx

ana

xxJxxfyyfXXYY

CONTOH

• Katakan X1 dan X2 peubah acak kontinyu dengan fungsi kepakatan peluang bersama fX1,X2. Katakan Y1=X1+X2,

Y2=X1-X2. Tentukan fungsi kepekatan peluang bersama Y1 dan Y2 ?

Jawab : Katakan g1(x1,x2)=x1+x2 dan g2(x1,x2)=x1-x2. Maka

211

11),(

21

xxJ

Juga dari y1=x1+x2 dan y2=x1-x2 kita akan mendapatkan solusi

x1=(y1+y2)/2, dan x2=(y1-y2)/2. Dengan demikian fungsi kepekatan

Peluangnya adalah

fY1,Y2(y1,y2) = ½ fX1,x2((y1+y2)/2, (y1-y2)/2)

• Jika X1 dan X2 adalah independen, dengan sebaran peluang seragam, maka

selainnya

yyyyyyf

YY0

20,202/1),(

2121

21, 21

selainnya

yyyyyyyy

yyfYY

0

0,022

exp2),( 2121

21

2

21

1

21

21, 21

• Jika X1 dan X2 adalah independen, dengan sebaran peluang eksponensial dengan parameter λ1 λ2, maka