PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DIMENSI … · Ciri umum dari dua dimensi tersebut adalah...

DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh: Titik Murwani

NIM: 063114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2011

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

FRACTAL DIMENSION OF JULIA SETS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree

In Mathematics

By : Titik Murwani

Student Number: 063114002

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA 2011


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Jika Anda menerima Tuhan, Anda harus memahami bahwa Dia ada dalam semua yang kita lakukan.

dalam semua relasi, dalam semua tantangan, dalam semua rintangan.

Kerja menjadi sebuah ibadah jika dilakukan bersamaNya di pikiran kita.

(Vijay Eswaran)

Semuanya kupersembahakan untuk Bapak dan Ibu Marto Wiyono Orang tuaku dan saudaraku

dan juga Dia


vii

ABSTRAK

Dimensi fraktal memberikan kemungkinan untuk mengukur kompleksitas suatu

fraktal. Dua metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi fraktal adalah

dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak. Ciri umum dari dua dimensi tersebut

adalah tidak harus bilangan bulat. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak dari

himpunan Julia dihitung dengan menggunakan konsep similaritas fungsi teriterasi.

Himpunan Julia dibangun dari fungsi kompleks kuadratik, yaitu 푓 :ℂ → ℂ, dengan

푓 (푧) = 푧 + 푐 dan 푐 adalah bilangan kompleks. Himpunan Julia penuh 퐾(푓 ) adalah

himpunan titik-titik di ℂ yang memiliki orbit yang terbatas terhadap 푓 . Himpunan

Julia 퐽(푓 ) adalah batas dari himpunan Julia penuh 퐾(푓 ). Beberapa sifat dari sistem

fungsi teriterasi akan digunakan untuk menunjukkan bahwa dimensi Hausdorff dan

dimensi hitung kotak dari himpunan Julia adalah sama.


viii

ABSTRACT

Fractal dimension provides the possibility to measure complexity of fractal geometry.

Two methods commonly used to calculate dimension are Hausdorff dimension and

box counting dimension. The common feature of these dimensions is that they need

not be integer. The Hausdorff and box counting dimension of Julia set is calculated

using the self-similarity concept of iterated function. The Julia sets are generated

from the quadratic complex function, i.e 푓 :ℂ → ℂ, where 푓 (푧) = 푧 + 푐 and 푐 is a

complex number. The filled Julia set 퐾(푓 ) is the collection of points in ℂ whose

orbits with respect to 푓 are bounded. The Julia set 퐽(푓 ) is the boundary of 퐾(푓 ).

Some properties of the iterated function system are used to show that Hausdorff and

box counting dimension of Julia sets are the same.


x

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kepada Tuhan yang selalu memberikan kasih dan berkat

sehingga penulis dapat meneyelesaikan skripsi ini.

Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains. Penulis menyadari bahwa skripsi tidak akan selesai tanpa dukungan

dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih

kepada:

1. Prof. Drs. Frans Susilo, S.J.,Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah

berkenan membimbing, memberikan ilmu, dan perhatiannya kepada penulis

selama penulisan skripsi.

2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Kaprodi Matematika dan

Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si.,M.Si. selaku Wakaprodi

Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2006 yang

telah berkenan untuk menguji skripsi ini dan selalu memberikan nasehat,

saran, dukungan dan ilmu yang sangat berharga kepada penulis.

4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si.,M.Si yang telah memberikan ide

dalam pemilihan topik skripsi ini, atas nasehat, saran, pengalaman,

pengetahuan serta atas pinjaman buku-bukunya dan berbagai kesempatan

diskusi yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan.

5. Bapak Zaerilus Tukija dan segenap staff sekretariat Fakultas Sains dan

Teknologi yang telah membantu dalam penulis selama menempuh studi.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan

fasilitas dan kemudahan kepada penulis selama masa studi.


xi

7. Orang tuaku, Bapak Darwinto dan Ibu Sri Darmini yang selalu memberikan

dukungan, nasehat dan doa dalam segala hal dan menyediakan apa saja yang

dibutuhkan.

8. Sahabat-sahabatku, Diyah Sayekti, S.Si., Rochi Ifahyani Siagian, S.Si.,

Laurencia Rosarianes Yogimurti, Maria Endah Savitri, Marcellina Dewi

Abu, Fery Kristianingrum, Metta Diwya Kundalini, dan Sisiria Mardiawati

yang selalu menemani dalam suka dan duka dan yang selalu memahami

penulis.

9. Teman-teman 2004-2009 yang telah menemani, mendukung dan berbagi

banyak pengalaman kepada penulis.

10. Semua pihak yang telah membantu penulis selama menempuh studi dan

penuyusunan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 24 Januari 2010

Penulis

Titik Murwani


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi

HALAMAN ABSTRAK .................................................................................... vii

HALAMAN ABSTRACT.................................................................................. viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ........................................................... ix

KATA PENGANTAR ....................................................................................... x

DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

A. Latar Belakang Masalah ..................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................... 3

C. Pembatasan Masalah ........................................................................... 3

D. Tujuan Penulisan ................................................................................ 4

E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 4


xiii

F. Metode Penulisan ................................................................................ 4

G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 4

BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL ...................................... 6

A. Ruang Metrik.................................................................................... 6

B. Ruang Fraktal ................................................................................... 26

C. Ukuran Lebesgue .............................................................................. 28

D. Fungsi Kompleks ............................................................................. 37

E. Sistem Fungsi Iterasi ........................................................................ 39

BAB III DIMENSI FRAKTAL .......................................................................... 43

A. Ukuran Hausdorff ............................................................................ 43

B. Dimensi Hausdorff ........................................................................... 51

C. Dimensi Hitung Kotak ...................................................................... 54

BAB IV DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA ........................................ 63

A. Himpunan Julia ................................................................................ 63

B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia ................................ 68

BAB V PENUTUP ............................................................................................ 73

5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 73

5.2 Saran ............................................................................................... 74

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 75


BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Fraktal adalah cabang baru dalam matematika dan seni. Orang semakin

mengenali fraktal karena gambar–gambar yang dihasilkan menarik. Sistem–sistem

fisika dan benda–benda kreatifitas manusia bukanlah bentuk–bentuk geometri

yang teratur. Hal yang membuat fraktal semakin menarik adalah kemampuannya

dalam mendeskripsikan fenomena-fenomena alam seperti garis pantai, gunung,

kehidupan organisme dalam persamaan matematika.

Fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola sehingga memi-

liki struktur yang serupa dengan bentuk semula untuk tiap bagiannya. Pengulang-

an pola–pola tersebut menyebabkan suatu fraktal dapat memiliki detil tak hingga.

Geometri fraktal mampu mendeskripsikan bentuk–bentuk yang tak hingga ba-

nyaknya.

Meskipun fraktal sangat berkaitan dengan teknologi komputer, tetapi frak-

tal ditemukan sebelum teknologi komputer berkembang. Benoit Mandelbrot ada-

lah orang yang pertama kali mengenalkan istilah fraktal pada tahun 1982 dalam

bukunya yang berjudul “ The Fractal Geometry of Nature ”. Kata fraktal berasal

dari kata fractus ( Bahasa Latin ) yang berarti patah, rusak atau tidak teratur. Se-

belum istilah fraktal digunakan, benda–benda yang tidak teratur disebut kurva

monster.

Dua sifat penting yang dimiliki fraktal adalah sifat self–similarity ( kese-

bangunan diri ) dan dimensinya yang tidak bulat. Sifat self–similarity dapat terli-

hat jelas pada pohon pakis. Setiap bagian dari pohon pakis itu memiliki bentuk

yang serupa dengan bentuk awalnya atau bentuk utuhnya.

Mandlebrot mendefinisikan fraktal sebagai himpunan yang mempunyai

dimensi tak bulat. Setiap bangun dalam geometri Euclid memiliki dimensi yang

bulat, misalnya titik berdimensi nol, garis lurus dan kurva berdimensi satu, bidang

datar dan luasan berdimensi dua, dan benda–benda ruang seperti bola, kubus ber-

dimensi tiga. Secara umum fraktal memiliki bentuk yang tidak teratur dan dimen-


2

sinya tidak bulat, sehingga konsep fraktal tidak dapat dijelaskan dengan konsep

geometri klasik (Geometri Euclid).

Bilangan yang digunakan untuk membandingkan fraktal yang satu dengan

yang lain disebut dimensi fraktal. Secara intuitif, gagasan mengenai dimensi me-

ngarah pada bilangan bulat seperti pada objek geometri pada umumnya, namun

gagasan tersebut dipatahkan oleh Hausdorff dan Besicovitch. Konsep mengenai

dimensi yang takbulat ini pertama kali dikenalkan oleh Felix Hausdorff dan Ab-

ram Samoilovitch Besicovitch pada tahun 1918, dan kemudian dimensi ini disebut

dimensi Hausdorff- Besicovitch, atau dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff dari

himpunan 퐹 sangat bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi 푠 dari himpu-

nan 퐹, yaitu 퐻 (퐹), dengan 푠 adalah bilangan real positif, yaitu

푑푖푚 (퐹) = inf{푠:퐻 (퐹) = 0} = sup{푠:퐻 (퐹) = ∞},

dengan ℋ (퐹) = lim → inf{∑ |푈 | : {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐹}.

Metode lain yang sering digunakan untuk mencari dimensi fraktal dari

suatu himpunan adalah dimensi hitung kotak atau dimensi Minkowski–Bouligand.

Untuk menghitung dimensi hitung kotak dari suatu himpunan, misal himpunan 퐹,

himpunan tersebut diselimuti oleh jaring-jaring kemudian dihitung banyaknya jaring

yang menyelimuti 퐹. Gagasan mendasar dari dimensi ini adalah menghitung berapa

banyak perubahan yang terjadi bila ukuran dari jaring tersebut diubah. Dimensi

hitung kotak bergantung pada konsep lim inf dan lim sup. Misalkan 푁(퐴, 휀) adalah

jumlah minimum dari jaring-jaring bersisi 훿 yang menyelimuti 퐹. Dimensi hitung

kotak bawah dari 퐹 dihitung dengan rumus

dim 퐹 = lim→

inflog풩 (퐹)− log 훿

dan dimensi hitung kotak atas dari 퐹

dım 퐹 = lim→

suplog풩 (퐹)− log 훿 .

Jika dim 퐹 = dım 퐹, maka nilainya disebut dimensi hitung kotak 퐹.

Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, himpu-

nan Julia, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger,

kurva Koch. Himpunan Mandelbrot dan himpunan Julia adalah dua contoh fraktal


3

yang sangat terkenal, yang tergolong ke dalam fraktal bilangan kompleks. Him-

punan Julia ditemukan lebih dulu daripada himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia

ditemukan oleh Gaston Maurice Julia, seorang matematikawan Perancis yang ber-

profesi sebagai tentara.

Himpunan Julia dibangun dari pemetaan fungsi teriterasi 푓 : ℂ → ℂ yang

didefinisikan dengan 푓 = 푧 + 푐, dengan 푐 adalah bilangan kompleks. Barisan

bilangan kompleks 푧,푓 (푧),푓 (푧), … ,푓 (푧), … yang terbentuk disebut orbit dari

titik 푧휖ℂ terhadap pemetaan fungsi kompleks 푓 . Barisan bilangan kompleks dari 푧

dikatakan terbatas jika terdapat bilangan positif 푚 sedemikian sehingga

|푓 (푧)| < 푚 untuk semua bilangan bulat positif 푛. Himpunan semua titik 푧 yang

orbitnya terhadap pemetaan 푓 yang terbatas disebut himpunan Julia penuh, dan

dinotasikan dengan 퐾(푓 ). Batas dari himpunan Julia penuh tersebut yang ke-

mudian disebut himpunan Julia dan dinotasikan dengan 퐽(푓 ).

Dimensi himpunan Julia dihitung dengan menggunakan sifat invarian ter-

hadap suatu pemetaan kontraksi 푓 :ℝ → ℝ , 푖 = 1, 2, …푚 di ruang metrik (푋,푑)

dengan 푐 adalah konstanta kontraksi untuk 푓 . Himpunan Julia bersifat invarian

terhadap 푓 sehingga dim 퐽(푓 ) = 푑푖푚 퐽(푓 ) = 푠 untuk 푐 tertentu dan dengan 푠

memenuhi ∑ 푐 = 1.

B. RUMUSAN MASALAH

1. Apa yang dimaksud dengan dimensi fraktal?

2. Bagaimana menghitung dimensi hitung kotak dan dimensi Hausdorff ?

3. Bagaimana menghitung dimensi fraktal pada himpunan Julia?

C. PEMBATASAN MASALAH

Dalam penulisan skripsi ini hanya akan dibahas dimensi fraktal. Penulis

tidak akan membahas mengenai komputasi tentang dimensi fraktal. Penulis hanya

akan menggunakan dua metode untuk menghitung dimensi fraktal, yaitu dimensi

Hausdorff dan dimensi hitung kotak.


4

D. TUJUAN PENULISAN

Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari dimensi fraktal, khu-

susnya dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.

E. MANFAAT PENULISAN

Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat

memahami dimensi fraktal dan mengetahui langkah penghitungan dimensi Haus-

dorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia.

F. METODE PENULISAN

Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan

mempelajari buku-buku dan karangan-karangan yang berkaitan dengan topik

skripsi ini, sehingga tidak ada hal-hal baru.

G. SISTEMATIKA PENULISAN

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Pembatasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II. RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL

A. Ruang Metrik

B. Ruang Fraktal

C. Ukuran Lebesgue

D. Fungsi Kompleks

E. Sistem Fungsi Iterasi


5

BAB III. DIMENSI FRAKTAL

A. Ukuran Hausdorff

B. Dimensi Hausdorff

C. Dimensi Hitung Kotak

BAB IV. DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA.

A. Himpunan Julia

B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia

BAB V. PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


BAB II

RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL

Dalam bab ini dibahas tentang pengertian-pengertian dasar yang akan diguna-

kan dalam pembahasan selanjutnya, antara lain: ruang metrik, ruang fraktal, ukuran

Lebesgue, fungsi kompleks dan sistem fungsi iterasi.

A. Ruang Metrik

Konsep jarak memiliki peran penting untuk mendefinisikan kekonvergenan, ke-

kontinuan, dan keterdiferensialan suatu fungsi. Jarak dari titik 푥 ke titik 푦, ditulis

푑(푥, 푦), adalah sebuah bilangan real positif. Ruang metrik merupakan himpunan yang

dilengkapi dengan konsep jarak antara dua titik. Konsep ruang metrik diformulasikan

oleh M. Frechet pada tahun 1906. Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep him-

punan terbuka, himpunan tertutup, kekonvergenan, kekontinuan, dan kekompakan

dalam ruang metrik.

Definisi 2.1.1

Misalkan 푋 adalah suatu himpunan takkosong. Metrik pada 푋 adalah fungsi bernilai

real 푑:푋 × 푋 → ℝ yang memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1. 푑(푥, 푦) ≥ 0,∀푥,푦휖푋.

2. 푑(푥, 푦) = 0 ↔ 푥 = 푦,∀푥, 푦휖푋.

3. 푑(푥, 푦) = 푑(푦,푥),∀푥, 푦휖푋 (Simetri).

4. 푑(푥, 푦) ≤ 푑(푥, 푧) + 푑(푧,푦),∀푥,푦, 푧 휖푋 (Ketaksamaan segitiga).

Sebuah metrik 푑 juga disebut fungsi jarak. Himpunan takkosong 푋 yang

dilengkapi dengan sebuah metrik 푑 pada 푋 disebut ruang metrik, ditulis (푋, 푑). Ang-

gota-anggota dari himpunan 푋, yang merupakan sebuah ruang metrik, disebut titik.


7

Contoh 2.1.1

Akan dibuktikan bahwa fungsi 푑: ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan sebagai berikut:

푑(푥,푦) = |푥 − 푦|

merupakan metrik pada himpunan dari semua bilangan real ℝ.

Penyelesaian:

Untuk menunjukkan bahwa 푑(푥,푦) merupakan metrik pada himpunan ℝ cukup

dibuktikan bahwa 푑(푥,푦) memenuhi sifat-sifat pada Definisi 2.1.1.

(1) Nilai mutlak suatu bilangan real selalu bernilai taknegatif, yaitu

푑(푥, 푦) = |푥 − 푦| ≥ 0,∀푥, 푦 휖 ℝ.

(2) 푑(푥, 푦) = 0,∀푥, 푦 휖 ℝ ⇔

|푥 − 푦| = 0,∀푥, 푦 휖 ℝ ⇔

푥 − 푦 = 0,∀푥,푦 휖 ℝ ⇔

푥 = 푦,∀푥, 푦 휖 ℝ

(3) 푑(푥, 푦) = |푥 − 푦|,∀푥, 푦 휖 ℝ

= |−푦 + 푥|,∀푥,푦 휖 ℝ

= |푦 − 푥|,∀푥, 푦 휖 ℝ

= 푑(푦, 푥),∀푥,푦 휖 ℝ

(4) 푑(푥,푦) = |푥 − 푦|,∀푥, 푦 휖 ℝ

= |푥 − 푧 + 푧 − 푦|,∀푥,푦, 푧 휖 ℝ

≤ |푥 − 푧| + |푧 − 푦|,∀푥,푦, 푧 휖 ℝ

≤ 푑(푥, 푧) + 푑(푧, 푦),∀푥, 푦, 푧 휖 ℝ

Dari (1), (2), (3), dan (4) disimpulkan bahwa 푑(푥,푦) merupakan metrik pada himpu-

nan ℝ, dan disebut metrik biasa pada ℝ.

Contoh 2.1.2

Misalkan 푋 = ℝ , 푥 = (푥 ,푥 ) dan 푦 = (푦 , 푦 ). Jarak Euclides 푑(푥, 푦) yang diberi-

kan oleh

푑(푥,푦) = (푥 − 푦 ) + (푥 − 푦 ) ,


8

adalah metrik dan disebut metrik biasa pada ℝ .

Definisi 2.1.2

Misal 푑 adalah metrik pada 푋, 푎 adalah titik di 푋, dan 퐴 adalah subhimpunan takko-

song dari 푋. Jarak antara titik 푎 ∈ 푋 dengan subhimpunan 퐴 didefinisikan:

푑(푎,퐴) = 푖푛푓{푑(푎,푥):푥 ∈ 퐴}.

Contoh 2.1.3

Misalkan 퐴 = {푥 ∈ ℝ: 0 < 푥 ≤ 1} dan 푑 adalah metrik biasa pada ℝ. Jarak

푑(0,퐴) = 푖푛푓{푑(0,푥): 0 < 푥 ≤ 1}

푑(0,퐴) = 푖푛푓{|0− 푥|: 0 < 푥 ≤ 1}

푑(0,퐴) = 푖푛푓{푥: 0 < 푥 ≤ 1} = 0

Definisi 2.1.3

Misal 푑 adalah metrik pada 푋, dan diberikan sebarang dua subhimpunan takkosong 퐴

dan 퐵 dari ruang metrik (푋, 푑). Jarak antara dua subhimpunan takkosong 퐴 dan 퐵

dari 푋 didefinisikan 푑(퐴,퐵) = sup{푑(푎,퐵): 푎 ∈ 퐴}.

Definisi 2.1.4

Misal 푑 adalah metrik pada 푋. Diameter dari 퐴 subhimpunan takkosong dari 푋

didefinisikan:

푑(퐴) = 푠푢푝{푑(푥, 푦): 푥, 푦 ∈ 퐴}.

Bila 푑(퐴) < ∞, maka diameter 퐴 dikatakan berhingga. Bila 푑(퐴) = ∞, maka diame-

ter 퐴 dikatakan takhingga. Selanjutnya 푑(∅) didefinisikan sama dengan −∞.

Definisi 2.1.5

Suatu metrik 푑 pada himpunan takkosong 푋 dikatakan terbatas jika terdapat bilangan

real 푘 > 0 sedemikian sehingga


9

푑(푥, 푦) ≤ 푘,∀ 푥,푦 ∈ 푋.

Ruang metrik (푋, 푑) dengan metrik terbatas disebut ruang metrik terbatas.

Definisi 2.1.6

Diketahui (푋,푑) suatu ruang metrik, 푎 ∈ 푋 dan 푟 > 0. Bola terbuka dengan pusat 푎

dan jari-jari 푟 didefinisikan

퐵 (푎) = {푥 ∈ 푋: 푑(푥, 푎) < 푟}

Himpunan

퐵 [푎] = {푥 ∈ 푋:푑(푥,푎) ≤ 푟}

disebut bola tertutup dengan pusat 푎 dan jari-jari 푟.

Berdasarkan dua defnisi di atas, jelas bahwa 퐵 (푎) ⊂ 퐵 [푎], untuk setiap 푎 ∈ 푋 dan

푟 > 0. Himpunan kosong dan 푋 dapat dipandang berturut-turut sebagai bola dengan

jari-jari 푟 = 0 dan jari-jari 푟 = ∞. Dalam ruang metrik (ℝ, 푑), bola terbuka 퐵 (푎)

merupakan selang terbuka (푎 − 푟,푎 + 푟), sedangkan bola tertutup 퐵 [푎] merupakan

selang tertutup [푎 − 푟, 푎 + 푟].

Dalam ruang diskret (푋, 푑), bola terbuka 퐵 (푎) dapat didefinisikan seperti berikut:

퐵 (푎) = {푎} jika 0 < 푟 ≤ 1푋 jika 푟 > 1.

Dan bola tertutup didefinisikan

퐵 [푎] = {푎} jika 0 < 푟 < 1푋 jik푎 푟 ≥ 1.

Definisi 2.1.7

Misalkan (푋,푑) adalah sebuah ruang metrik dan 푎 ∈ 푋. Subhimpunan 푁 dari 푋 di-

sebut kitar dari titik 푎 jika terdapat sebuah bola terbuka 퐵 (푎) yang berpusat di 푎 dan

termuat di 푁 , yaitu 퐵 (푎) ⊆ 푁 untuk suatu 푟 > 0.

Contoh 2.1.4

Setiap bola terbuka merupakan kitar dari setiap titiknya.


10

Misalkan 퐵 (푎) bola terbuka dan ambil sebarang 푥 ∈ 퐵 (푎). Jika 푥 = 푎, maka

푎 ∈ 퐵 (푎) ⊆ 퐵 (푎), yaitu 퐵 (푎) kitar dari 푥. Jika 푥 ≠ 푎, untuk menunjukkan bahwa

퐵 (푎) merupakan kitar dari 푥, harus ditunjukkan bahwa terdapat 푟 > 0 sedemikian

sehingga

퐵 (푥) ⊆ 퐵 (푎).

Diketahui bahwa 푥 ∈ 퐵 (푎), maka 푑(푥,푎) < 푟. Diambil 푟 = 푟 − 푑(푥,푎) > 0. Am-

bil sebarang ∈ 퐵 (푥) , maka 푑(푦, 푥) < 푟 , sehingga dengan menggunakan ke-taksa-

maan segitiga diperoleh

푑(푦, 푎) ≤ 푑(푦,푥) + 푑(푥, 푎) < 푟 + 푑(푥,푎) = 푟.

Diperoleh bahwa 푑(푦, 푎) < 푟, berarti 푦 ∈ 퐵 (푎). Jadi 퐵 (푥) ⊆ 퐵 (푎), yaitu 퐵 (푎)

kitar dari 푥.

Definisi 2.1.8

Diberikan (푋,푑) suatu ruang metrik dan 퐴 subhimpunan takkosong dari 푋. Titik

푥 ∈ 푋 disebut titik interior dari subhimpunan 퐴 jika terdapat 푟 > 0 sedemikian se-

hingga 퐵 (푥 ) ⊂ 퐴.

Definisi 2.1.9

Subhimpunan 퐴 di 푋 disebut himpunan terbuka jika semua titik dari 퐴 adalah titik

interior. Dengan kata lain, subhimpunan 퐴 dari suatu ruang metrik (푋, 푑) dikatakan

terbuka di 푋 terhadap metrik 푑 jika 퐴 merupakan kitar untuk setiap titiknya, yaitu un-

tuk setiap 푎 ∈ 퐴, terdapat 푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푎) ⊂ 퐴.

Teorema 2.1.1

Setiap bola terbuka 퐵 (푎) adalah himpunan terbuka.

Bukti:

Diketahui 퐵 (푎) bola terbuka yang berpusat di 푎. Ambil sebarang ∈ 퐵 (푎) , maka

푑(푥, 푎) < 푟. Misalkan 휀 = 푟 − 푑(푥, 푎) > 0 adalah jari-jari bola terbuka dengan pusat


11

푥, yaitu 퐵 (푥). Ambil sebarang 푦 ∈ 퐵 (푥), maka 푑(푦, 푥) < 휀. Dengan menggunakan

sifat ketaksamaan segitiga diperoleh

푑(푦,푎) ≤ 푑(푦, 푥) + 푑(푥, 푎) < 휀 + 푑(푥, 푎) = 푟.

Jadi 푑(푦, 푎) < 푟, yang menunjukkan bahwa 푦 ∈ 퐵 (푎). Maka 퐵 (푥) ⊆ 퐵 (푎). Ter-

bukti bahwa bola terbuka 퐵 (푎) merupakan himpunan terbuka. ∎

Teorema 2.1.2

Dalam setiap ruang metrik (푋, 푑)

(1) Gabungan dari sebarang keluarga dari himpunan-himpunan terbuka adalah ter-

buka

(2) Irisan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka.

Bukti:

(1) Diberikan 퐴 sebarang himpunan dan 퐺 dengan 훼 ∈ 퐴 adalah keluarga himpunan

terbuka. Akan dibuktikan bahwa 푆 = ⋃ 퐺 ∈ adalah terbuka. Ambil sebarang

푥 ∈ 푆, maka terdapat 훼 ∈ 퐴 sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐺 . Himpunan

퐺 merupakan himpunan terbuka, maka terdapat 푟 > 0, sedemikian sehingga

퐵 (푥) ⊆ 퐺 . Maka 퐵 (푥) ⊆ ⋃ 퐺∈ = 푆. Jadi terbukti 푆 terbuka.

(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan terbuka 퐺 ,퐺 ,퐺 , … ,퐺 . Akan dibuk-

tikan 푇 = ⋂ 퐺 terbuka. Ambil sebarang 푥 ∈ 푇, maka 푥 ∈ 퐺 , untuk setiap

푗 = 1, 2, 3, … ,푛. Diketahui 퐺 adalah himpunan yang terbuka, maka terdapat

푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ⊆ 퐺 , untuk masing-masing 푗 = 1, 2, 3, … , 푛.

Jika diambil 푟 = min {푟 , 푟 , 푟 , … , 푟 }, maka 푟 > 0 dan 퐵 (푥) ⊆ 퐵 (푥) ⊆ 퐺

untuk setiap 푗 = 1, 2, 3, … , 푛. Maka 퐵 ⊆ ⋂ 퐺 = 푇. Terbukti bahwa 푇 adalah

terbuka. ∎


12

Definisi 2.1.10

Diberikan (푋,푑) suatu ruang metrik dan 퐴 subhimpunan takkosong dari 푋. Titik

푥 ∈ 푋 disebut titik limit dari subhimpunan 퐴 jika untuk setiap 푟 > 0 berlaku

퐵 (푥 ) ∩ (퐴 − {푥 }) ≠ ∅.

Definisi 2.1.11

Himpunan 퐴 di 푋 disebut himpunan tertutup jika semua titik limitnya adalah anggota

dari 퐴.

Lema 2.1.1

Misalkan (푋,푑) ruang metrik. Himpunan kosong ∅ dan 푋 adalah himpunan terbuka.

Bukti:

Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah. Implikasi “jika 푥 ∈ ∅,

maka 푥 adalah titik interior dari ∅” adalah pernyataan yang benar untuk setiap 푥 ∈ 푋.

Jadi ∅ adalah himpunan terbuka.

Selanjutnya, ambil sebarang 푥 ∈ 푋. Dipilih 푟 = 1, maka 퐵 (푥) ⊆ 푋.

Terbukti 푋 terbuka. ∎

Teorema 2.1.3

Himpunan 퐹 dalam ruang metrik (푋,푑) adalah tertutup jika dan hanya jika 퐹 ter-

buka.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa jika 퐹 tertutup, maka 퐹 terbuka. Diberikan sebarang himpu-

nan 퐹 tertutup. Jika 퐹 = 푋 − 퐹 = ∅, maka 퐹 terbuka. Jika 퐹 ≠ ∅, diambil seba-

rang 푥 ∈ 퐹 , berarti 푥 ∉ 퐹. Diketahui bahwa 퐹 himpunan tertutup, maka 푥 bukan titik

limit 퐹, sehingga ada 푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥)∩ 퐹 = ∅. Jadi 퐵 (푥) ⊆ 퐹 .

Terbukti bahwa 퐹 terbuka.


13

Sebaliknya, diberikan himpunan 퐹 terbuka. Ambil sebarang 푥 ∈ 푋 dan 푥 titik limit

퐹. Akan dibuktikan 푥 ∈ 퐹. Andaikan 푥 ∉ 퐹, yaitu 푥 ∈ 퐹 , maka ada 푟 > 0 sedemi-

kian sehingga 퐵 (푥) ⊆ 퐹 . Maka 퐵 (푥) ∩ 퐹 = ∅. Akibatnya 푥 bukan titik limit 퐹.

Hal ini kontradiksi karena 푥 titik limit 퐹. Jadi 푥 ∈ 퐹. Terbukti 퐹 tertutup. ∎

Teorema 2.1.4

Dalam setiap ruang metrik (푋, 푑)

(1) Irisan dari sebarang keluarga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup

(2) Gabungan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup

Bukti:

(1) Misalkan ℱ = {퐹 , 푎 ∈ Λ} adalah suatu keluarga himpunan tertutup. Dengan hu-

kum De Morgan diperoleh

퐹∈

= 퐹∈

.

Menurut Teorema 2.1.3, jika 퐹 tertutup, maka 퐹 terbuka. Himpunan 퐹 ada-

lah himpunan terbuka, sehingga menurut Teorema 2.1.2, ⋃ 퐹∈ adalah ter-

buka. Jadi (⋃ 퐹∈ ) = ⋂ 퐹∈ adalah tertutup karena komplemen himpunan

terbuka adalah himpunan tertutup menurut Teorema 2.1.3.

(2) Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup 풢 = {퐺 ,퐺 , … ,퐺 }

dan misalkan 푇 = ⋃ 퐺 . Dengan hukum De Morgan diperoleh

푇 = 퐺 = 퐺 .

Himpunan 퐺 adalah himpunan tertutup untuk setiap 푗 = 1, 2, 3, … , 푛. Jadi 퐺

terbuka untuk setiap 푗 = 1, 2, 3, … ,푛. Dengan Teorema 2.1.2, maka ⋂ 퐺 ter-

buka. Jadi 푇 = ⋂ 퐺 terbuka. Karena 푇 terbuka, maka 푇 tertutup.

Terbukti bahwa 푇 = ⋃ 퐺 tertutup. ∎


14

Teorema 2.1.5

Setiap bola tertutup adalah himpunan tertutup.

Bukti:

Diberikan 퐵 [푥] sebarang bola tertutup di ruang metrik (푋, 푑). Akan dibuktikan

bahwa 퐵 [푥] terbuka. Ambil sebarang 푦 ∈ 퐵 [푥] , maka 푦 ∉ 퐵 [푥]. Hal ini berarti

푑(푥, 푦) > 푟. Misalkan 푟 = 푑(푥,푦) − 푟 > 0. Ambil sebarang 푧 ∈ 퐵 (푦), maka

푑(푧, 푦) < 푟 , sehingga

푑(푧, 푦) < 푑(푥,푦) − 푟

푟 < 푑(푥, 푦) − 푑(푧, 푦)

푟 < 푑(푥, 푧) + 푑(푧,푦) − 푑(푧,푦)

푟 < 푑(푥, 푧).

Karena 푑(푥, 푧) > 푟, maka 푧 ∉ 퐵 [푥], yaitu 푧 ∈ 퐵 [푥] . Jadi 퐵 (푦) ⊂ 퐵 [푥] . De-

ngan demikian 퐵 [푥] terbuka. ∎

Definisi 2.1.12

Misal (푋,푑) adalah ruang metrik dan 퐴 ⊆ 푋. Penutup dari 퐴, ditulis 퐴̅, adalah gabu-

ngan dari 퐴 dengan himpunan semua titik limitnya. Jadi 퐴̅ = 퐴 ∪ 퐴′, dengan 퐴′ ada-

lah himpunan semua titik limit 퐴.

Contoh 2.1.5

Misal (ℚ, 푑) ruang metrik dengan metrik biasa dan 퐸 = : 푛 ∈ ℕ ⊂ ℚ. Semua titik

anggota himpunan 퐸 bukan titik limit. Satu-satunya titik limit 퐸 adalah nol. Jadi

퐸 = 퐸 ∪ {0}.

Teorema 2.1.6

Misalkan 퐴 dan 퐵 adalah sebarang himpunan dari ruang metrik (푋,푑). Maka

(1) 퐴 tertutup.


15

(2) Jika 퐴 ⊆ 퐵, maka 퐴̅ ⊆ 퐵.

(3) 퐴 = 퐴 jika dan hanya jika 퐴 tertutup.

(4) 퐴̅ adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat 퐴.

(5) 퐴̅ adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat 퐴.

(6) 퐴 ∪ 퐵 = 퐴̅ ∪ 퐵.

(7) 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐴̅ ∩ 퐵.

Bukti:

(1) Untuk membuktikan bahwa 퐴̅ tertutup, akan dibuktikan bahwa 퐴̅ terbuka, yaitu

untuk setiap 푥 ∈ 퐴̅ ada 푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ⊆ 퐴̅ . Jika 퐴̅ = ∅,

maka 퐴̅ terbuka. Jika 퐴̅ ≠ ∅, ambil sebarang 푥 ∈ 퐴̅ , maka 푥 ∉ 퐴̅, sehingga

푥 ∉ 퐴 dan 푥 ∉ 퐴′. Maka ada 푟 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ∩ 퐴 = ∅. Ambil

sebarang 푦 ∈ 퐵 (푥), maka 푑(푥, 푦) < 푟. Misal 푟 = 푟 − 푑(푥,푦). Ambil sebarang

푧 ∈ 퐵 (푦), maka 푑(푦, 푧) < 푟 . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh

푑(푥, 푧) ≤ 푑(푥,푦) + 푑(푦, 푧) < 푟 − 푟 + 푟 = 푟

sehingga 푧 ∈ 퐵 (푥). Jadi 퐵 (푦) ⊆ 퐵 (푥). Karena 퐵 (푥) ∩ 퐴 = ∅, maka 퐵 (푦) ∩

퐴 = ∅, yang berarti 푦 ∉ 퐴 dan 푦 ∉ 퐴′, yaitu 푦 ∉ 퐴̅, sehingga 푦 ∈ 퐴̅ . Maka

퐵 (푥) ⊆ 퐴̅ Jadi 퐴̅ terbuka. Dengan Teorema 2.1.3, terbukti 퐴̅ tertutup.

(2) Ambil sebarang 푥 ∈ 퐴̅, maka 퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0. Karena 퐴 ⊆ 퐵, maka

퐵 (푥) ∩ 퐵 ≠ ∅. Jadi 푥 ∈ 퐵, sehingga terbukti 퐴̅ ⊆ 퐵.

(3) Akan dibuktikan jika 퐴 = 퐴̅, maka 퐴 tertutup. Dari (1) sudah terbukti bahwa 퐴̅

tertutup. Karena 퐴 = 퐴̅, jadi 퐴 tertutup. Berikutnya akan dibuktikan jika 퐴 tertu-

tup, maka 퐴 = 퐴̅. Untuk membuktikannya akan ditunjukkan bahwa 퐴 ⊆ 퐴̅ dan

퐴 ⊇ 퐴̅. Berdasarkan definisi penutup 퐴, yaitu 퐴̅ = 퐴 ∪ 퐴′, maka 퐴 ⊆ 퐴̅.

Kemudian diambil sebarang 푥 ∈ 퐴̅, maka 푥 ∈ 퐴 atau 푥 ∈ 퐴′. Jika 푥 ∈ 퐴, maka

퐴 ⊇ 퐴̅. Jika 푥 ∈ 퐴′, maka 푥 titik limit 퐴. Diketahui bahwa 퐴 tertutup, maka 푥 ∈

퐴. Jadi terbukti 퐴 ⊇ 퐴̅. Dengan demikian terbukti bahwa 퐴 = 퐴̅.


16

(4) Misalkan 퐹 adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat 퐴. Jadi 퐹

merupakan himpunan tertutup dan 퐴 ⊆ 퐹. Dengan menggunakan (2) dan (3)

diperoleh 퐴̅ ⊆ 퐹 = 퐹 karena 퐹 tertutup. Jadi 퐴̅ ⊆ 퐹. Selanjutnya 퐴̅ merupakan

himpunan tertutup yang memuat 퐴. Himpunan 퐹 adalah irisan dari semua himpu-

nan tertutup yang memuat 퐴. Jadi 퐹 ⊆ 퐴̅. Terbukti 퐹 = 퐴̅.

(5) Akibat dari bukti (4), maka 퐴̅ ⊆ 퐹. Penutup dari 퐴 merupakan himpunan tertutup

yang memuat 퐴. Jadi 퐴̅ merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat 퐴.

(6) Karena 퐴 ⊆ 퐴 ∪ 퐵 dan 퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵, maka dengan (2) diperoleh 퐴̅ ⊆ 퐴 ∪ 퐵 dan

퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵. Jadi 퐴̅ ∪ 퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵. Kemudian, harus dibuktikan bahwa 퐴 ∪ 퐵 ⊆

퐴̅ ∪ 퐵. Diambil sebarang 푥 ∈ 퐴 ∪ 퐵. Andaikan 푥 ∉ 퐴̅ ∪ 퐵. Maka 푥 ∉ 퐴̅ dan

푥 ∉ 퐵, sehingga terdapat bola terbuka 퐵 (푥) yang tidak memuat titik di 퐴, dan

terdapat bola terbuka 퐵 (푥) yang tidak memuat titik di 퐵. Misalkan 푟 =

min {푟 , 푟 }. Bola terbuka 퐵 (푥) tidak memuat titik-titik dari 퐴 ∪ 퐵. Hal ini

kontradiksi karena 푥 ∈ 퐴 ∪ 퐵. Dengan demikian pengandaian bahwa 푥 ∉ 퐴̅ ∪ 퐵

tidak benar. Jadi 퐴 ∪ 퐵 ⊆ 퐴̅ ∪ 퐵.

(7) Karena 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐴 dan 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐵, maka dengan (2) diperoleh 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐴̅ dan

퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐵. Jadi 퐴 ∩ 퐵 ⊆ 퐴̅ ∩ 퐵. ∎

Teorema 2.1.7

Misalkan (푋,푑) ruang metrik dan 퐴 ⊂ 푋, maka

퐴̅ = {푥 ∈ 푋:퐵 (푥)∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0}

Bukti:

Ambil sebarang 푥 ∈ 퐴̅, maka 푥 ∈ 퐴 atau 푥 ∈ 퐴′. Jika 푥 ∈ 퐴, maka jelas bahwa

퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0. Jika 푥 ∈ 퐴′, maka 퐵 (푥) ∩ (퐴 − {푥}) ≠ ∅,∀ 푟 > 0, se-

hingga 퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0. Terbukti 퐴̅ ⊆ {푥 ∈ 푋:퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0}.

Selanjutnya, ambil sebarang 푥 ∈ 푋 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0.

Misalkan 푥 ∉ 퐴, maka 퐴 = 퐴 − {푥}. Diketahui bahwa 퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0, maka

퐵 (푥) ∩ (퐴 − {푥}) ≠ ∅,∀ 푟 > 0, yaitu 푥 ∈ 퐴′. Jadi 푥 ∈ 퐴 atau 푥 ∈ 퐴′, yaitu 푥 ∈ 퐴̅.


17

Terbukti 퐴̅ ⊇ {푥 ∈ 푋:퐵 (푥)∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0}.

Dengan demikian terbukti 퐴̅ = {푥 ∈ 푋:퐵 (푥) ∩ 퐴 ≠ ∅,∀ 푟 > 0}. ∎

Definisi 2.1.13

Misalkan (푋,푑) suatu ruang metrik. Barisan {푥 } di 푋 dikatakan konvergen ke suatu

titik 푥 ∈ 푋 jika untuk setiap 휀 > 0 terdapat bilangan positif 푚 sedemikian sehingga

푑(푥 ,푥) < 휀, untuk setiap 푛 ≥ 푚. Titik 푥 disebut limit barisan {푥 } dan ditulis

lim → 푥 = 푥 atau 푥 → 푥. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Dengan

perkataan lain, barisan {푥 } di 푋 dikatakan konvergen ke suatu titik 푥 ∈ 푋 jika dan

hanya jika untuk sebarang bola terbuka 퐵 (푥) yang berpusat di 푥 terdapat bilangan

positif 푚 sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐵 (푥) untuk semua 푛 ≥ 푚.

Teorema 2.1.8

Jika (푋, 푑) adalah suatu ruang metrik, maka setiap barisan di 푋 yang konvergen akan

konvergen ke satu titik.

Bukti:

Diberikan barisan {푥 } yang konvergen. Andaikan barisan {푥 } konvergen ke titik 푥

dan titik 푦 yang berbeda. Ambil sebarang 휀 > 0, maka ada 푛 ,푛 ∈ ℕ sedemikian

sehingga 푑(푥 ,푥) < untuk setiap 푛 ≥ 푛 dan 푑(푥 ,푦) < untuk setiap 푛 ≥ 푛 .

Ambil 푛 = max {푛 , 푛 }, maka untuk 푛 ≥ 푛 berlaku

푑(푥,푦) ≤ 푑(푥,푥 ) + 푑(푥 ,푦) <휀2 +

휀2 = 휀.

Jadi untuk setiap 휀 > 0 berlaku 푑(푥, 푦) < 휀. Ini berarti 푥 = 푦. Terbukti bahwa bari-

san konvergen ke satu titik. ∎

Definisi 2.1.14

Sebuah barisan {푎 } dalam ruang metrik (푋,푑) disebut barisan Cauchy jika untuk

setiap 휀 > 0 terdapat bilangan bulat positif 푛 sedemikian sehingga 푑(푥 ,푥 ) < 휀,

untuk setiap 푛,푚 > 푛 .


18

Teorema 2.1.9

Setiap barisan {푥 } yang konvergen di ruang metrik (푋, 푑) adalah barisan Cauchy.

Bukti:

Diberikan ruang metrik (푋, 푑) dan barisan {푥 } di (푋,푑) yang konvergen ke 푥. De-

ngan Definisi 2.1.13 maka untuk setiap 휀 > 0 terdapat 푛 sedemikian sehingga

푑(푥 ,푥) < untuk setiap 푛 > 푛 . Dengan ketaksamaan segitiga, untuk 푚,푛 ≥ 푛

berlaku 푑(푥 ,푥 ) ≤ 푑(푥 ,푥) + 푑(푥,푥 ) < + = 휀. Jadi {푥 } merupakan barisan

Cauchy. ∎

Contoh 2.1. 6

Diberikan barisan {푥 } = di ruang metrik (푋, 푑) dengan 푋 = (0, 1] pada garis

real dan 푑 adalah metrik biasa. Tunjukkan bahwa barisan {푥 } merupakan barisan

Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ 푋.

Penyelesaian:

Diberikan 휀 > 0, terdapat 푁 sehingga < 휀. Untuk setiap 푛 ≥ 푁 dan 푚 ≥ 푁 dan

dimisalkan 푛 ≥ 푚 berlaku

푑(푥 ,푥 ) = 푑1푛 ,

1푚 =

1푛 −

1푚 <

1푚 ≤

1푁 < 휀.

Barisan {푥 } merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 ∉ 푋 .

Definisi 2.1.15

Misalkan {푥 } adalah barisan di ruang metrik (푋, 푑). Barisan {푛 } adalah barisan bi-

langan bulat positif dengan 푛 < 푛 < 푛 < ⋯, maka barisan 푥 disebut subbari-

san dari {푥 }.


19

Korolari 2.1.1

Jika suatu barisan Cauchy dalam ruang metrik (푋, 푑) memuat subbarisan yang

konvergen, maka barisan tersebut konvergen ke limit subbarisannya.

Bukti:

Diberi {푥 } barisan Cauchy di 푋. Maka untuk setiap 휀 > 0, terdapat bilangan bulat

positif 푛 sedemikian sehingga 푑(푥 ,푥 ) < 휀 untuk setiap 푚, 푛 ≥ 푛 . Misalkan

푥 adalah subbarisan yang konvergen ke 푥. Karena {푛 } adalah barisan bilangan

positif yang bersifat naik, maka 푑 푥 , 푥 < 휀 untuk 푚, 푛 ≥ 푛 . Diperoleh

푑(푥, 푥 ) ≤ 푑 푥, 푥 + 푑 푥 ,푥 < 푑 푥,푥 + 휀.

Untuk 푚 → ∞, maka 푑 푥, 푥 → 0, sehingga 푑(푥,푥 ) < 휀. ∎

Definisi 2.1.16

Suatu ruang metrik (푋, 푑) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam 푋 kon-

vergen ke suatu titik di 푋.

Contoh 2.1.7

Ruang ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik yang lengkap.

Diberikan {푥 } barisan Cauchy di ℝ, maka untuk 휀 > 0 terdapat 푁 ∈ ℕ sedemikian

sehingga |푥 − 푥 | < 휀 untuk semua 푚,푛 ≥ 푁. Dipilih 휀 = 휀, maka terdapat 푁

sedemikian sehingga|푥 − 푥 | < , untuk semua 푚, 푛 ≥ 푁 . Misal 푦 = 푥 .

Kemudian dipilih 휀 = , maka terdapat 푁 > 푁 sedemikian sehingga |푥 − 푥 | <

, dan misalkan 푦 = 푥 . Kemudian dipilih 휀 = , maka terdapat 푁 > 푁 sedemi-

kian sehingga |푥 − 푥 | < dan misalkan 푦 = 푥 . Langkah di atas terus berlanjut

dan diperoleh barisan {푦 } sedemikian sehingga

|푦 − 푦 | = 푥 − 푥 < , untuk 푁 > 푁 .

|푦 − 푦 | = 푥 − 푥 < , untuk 푁 > 푁 .


20

|푦 − 푦 | = 푥 − 푥 < , untuk 푁 > 푁 .

⋮

|푦 − 푦 | = 푥 − 푥 < , untuk 푁 > 푁 .

Karena 푦 − 푦 = 푦 − 푦 + 푦 − 푦 + 푦 −⋯− 푦 , maka

|푦 − 푦 | = |푦 − 푦 | <휀

2 =휀2 .

Diperoleh |푦 − 푦 | < . Jadi {푦 } = 푥 konvergen ke 푦 . Dengan Korolari 2.1.1,

terbukti bahwa {푥 } barisan Cauchy yang konvergen. Maka menurut Definisi 2.1.16,

ℝ dengan metrik biasa merupakan ruang metrik lengkap.

Contoh 2.1.8

Himpunan 퐸 = {푥 ∈ ℝ|0 < 푥 ≤ 1} dengan metrik biasa merupakan ruang metrik ti-

dak lengkap. Diberikan 푥 = . Dalam Contoh 2.1.6 sudah dibuktikan bahwa {푥 }

adalah barisan Cauchy yang konvergen ke 0. Ruang metrik 퐸 tidak lengkap karena

terdapat barisan Cauchy di 퐸 yang tidak konvergen.

Definisi 2.1.17

Misal (푋,푑 ) dan (푌,푑 ) adalah ruang metrik . Fungsi 푓:푋 → 푌 dikatakan kontinu di

푎 ∈ 푋 jika untuk setiap 휀 > 0 terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga 푑 푓(푥),푓(푎) <

휀 untuk setiap 푥 yang memenuhi 푑 (푥,푎) < 훿.

Jika 푓 kontinu di setiap titik di 푋, maka 푓 dikatakan kontinu pada 푋.

Contoh 2.1.9

Jika (푋, 푑 ) dan (푌, 푑 ) ruang metrik, maka fungsi konstan 푓:푋 → 푌 kontinu.

Penyelesaian:

Diberikan 휀 > 0 dan 푎 ∈ 푋. Untuk fungsi konstan 푓(푥) = 푐, berlaku

푑 푓(푥),푓(푎) = 푑 (푐, 푐) = 0 < 휀 untuk setiap 푥 ∈ 푋.


21

Contoh 2.1.10

Diketahui ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Diberikan fungsi 푓:ℝ → ℝ dengan

definisi 푓(푥) = 푥 untuk semua 푥 ∈ ℝ. Tunjukkan bahwa 푓 kontinu.

Penyelesaian:

Diambil sebarang 푐 ∈ ℝ. Diberikan 휀 > 0, harus dicari 훿 > 0 sedemikian sehingga

untuk setiap 푥 ∈ ℝ yang memenuhi |푥 − 푐| < 훿 berlaku |푓(푥)− 푓(푐)| < 휀.

Jika 훿 = 1, maka untuk |푥 − 푐| < 1 berlaku

|푥 + 푐| = |푥 − 푐 + 2푐| ≤ |푥 − 푐| + |2푐| < 1 + |2푐|

Dengan demikian jika dipilih 훿 = min 1,| |

, maka untuk 푥 yang memenuhi

|푥 − 푐| < 훿 berlaku

|푓(푥)− 푓(푐)| = |푥 − 푐 | = |푥 − 푐||푥 + 푐| < 훿(1 + |2푐|) ≤| |

(1 + |2푐|) = 휀,

untuk = 1 ≤| |

, dan

|푓(푥)− 푓(푐)| = |푥 − 푐 | = |푥 − 푐||푥 + 푐| < 훿(훿 + |2푐|) ≤| |

(1 + |2푐|) = 휀 ,

untuk 훿 =| |

< 1.

Terbukti 푓 kontinu di 푐.

Contoh 2.1.11

Diberikan fungsi 푓:ℝ → ℝ yang didefinsikan oleh

푓(푥) = sin 푥

di ruang metrik ℝ dengan metrik biasa. Fungsi 푓 merupakan fungsi yang kontinu.

Himpunan terbuka (0, 2휋) di ℝ dipetakan ke himpunan tertutup [−1,1] di ℝ.

Teorema 2.1.10

Diketahui (푋,푑 ) dan (푌, 푑 ) ruang metrik. Fungsi 푓:푋 → 푌 kontinu jika dan hanya

jika untuk setiap himpunan terbuka 퐺 di 푌, 푓 (퐺) adalah himpunan terbuka di 푋.

Bukti:


22

Misalkan 푓 kontinu dan 퐺 adalah sebarang subhimpunan terbuka di 푌. Akan

ditunjukkan 푓 (퐺) = {푥 ∈ 푋: 푓(푥) ∈ 퐺} terbuka di 푋. Jika 푓 (퐺) = ∅, maka

푓 (퐺) terbuka. Jika 푓 (퐺) ≠ ∅, ambil sebarang 푥 ∈ 푓 (퐺), maka 푓(푥) ∈ 퐺.

Diketahui bahwa 퐺 terbuka, maka terdapat bola terbuka 퐵 푓(푥) sedemikian se-

hingga 퐵 푓(푥) ⊆ 퐺. Karena 푓 kontinu, maka terdapat bola terbuka 퐵 (푥) sedemi-

kian sehingga 푓 퐵 (푥) ⊆ 퐵 푓(푥) ⊆ 퐺. Jadi 퐵 (푥) ⊆ 푓 (퐺) sehingga 푓 (퐺)

terbuka.

Berikutnya akan dibuktikan jika 푓 (퐺) terbuka untuk setiap himpunan terbuka 퐺 di

푌, maka 푓:푋 → 푌 kontinu. Ambil sebarang 푥 ∈ 푋 dan 휀 > 0. Bola 퐵 푓(푥) adalah

himpunan terbuka di 푌, maka 푓 퐵 푓(푥) juga terbuka.

Karena 푥 ∈ 푓 퐵 푓(푥) , maka terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga 퐵 (푥) ⊆

푓 퐵 푓(푥) . Jadi 푓 퐵 (푥) ⊆ 퐵 푓(푥) . Terbukti bahwa 푓 kontinu di setiap titik

dari 푋. ∎

Teorema 2.1.11

Diketahui (푋,푑 ) dan (푌, 푑 ) ruang metrik. Fungsi 푓:푋 → 푌 kontinu jika dan hanya

jika untuk setiap subhimpunan tertutup 퐹 di 푌, 푓 (퐹) tertutup di 푋.

Bukti:

Diberikan 푓:푋 → 푌 kontinu dan 퐹 himpunan tertutup di 푌. Karena 퐹 tertutup, maka

퐹 terbuka sehingga 푓 (퐹 ) terbuka. Karena 푓 (퐹 ) = 푓 (퐹) terbuka, maka

푓 (퐹) tertutup. Jadi terbukti bahwa 푓 (퐹) tertutup di 푋.

Sebaliknya, misalkan 푓 (퐹) tertutup di 푋 untuk setiap subhimpunan tertutup 퐹 di 푌.

Maka 퐻 = 퐹 terbuka di 푌 dan 푓 (퐹) = 푓 (퐹 ) = 푓 (퐻) terbuka di 푋. De-

ngan Teorema 2.1.10 terbukti bahwa fungsi 푓 kontinu. ∎


23

Definisi 2.1.18

Misalkan (푋,푑 ) dan (푌,푑 ) adalah dua ruang metrik. Fungsi 푓:푋 → 푌 dikatakan

kontinu seragam jika untuk setiap 휀 > 0 ada 훿 > 0 sedemikian sehingga

푑 푓(푥),푓(푦) < 휀 untuk setiap 푥,푦 ∈ 푋 yang memenuhi 푑 (푥,푦) < 훿.

Contoh 2.1.12

Fungsi 푓: (0, 1) → ℝ yang didefinisikan oleh 푓(푥) = tidak kontinu seragam.

Ambil 휀 = dan sebarang 훿 > 0. Dipilih 푥 = dan 푦 = di mana < 훿.

Maka

푑(푥,푦) = |푥 − 푦| =1푛 −

1푛 + 1

=1

푛(푛 + 1) <1푛 < 훿

tetapi 푑 푓(푥),푓(푦) = |푛 − (푛 + 1)| = 1 > 휀.

Contoh 2.1.13

Fungsi 푓: [0, 1] → ℝ yang didefinisikan oleh 푓(푥) = 푥 merupakan fungsi yang kon-

tinu seragam. Diberikan 휀 > 0 dan dipilih 훿 = . Untuk sebarang 푥,푦 ∈ [0, 1] yang

memenuhi |푥 − 푦| < , berlaku

|푓(푥)− 푓(푦)| = |푥 − 푦 |

= |푥 + 푦||푥 − 푦| ≤ 2|푥 − 푦| < 휀.

Terbukti bahwa fungsi 푓 kontinu seragam pada interval [0, 1].

Definisi 2.1.19

Misal (푋,푑) adalah ruang metrik. Keluarga subhimpunan 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} di 푋 di-

sebut selimut dari subhimpunan 퐸 di 푋 jika 퐸 ⊆ ⋃ 퐺∈ .

Jika setiap 퐺 terbuka di 푋, maka 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} disebut selimut terbuka dari 퐸.


24

Jika ℋ merupakan selimut terbuka dari 퐸 dan ℋ ⊂ 풢, maka ℋ disebut subselimut

terbuka dari 퐸.

Definisi 2.1.20

Subhimpunan 퐸 dari ruang metrik (푋,푑) dikatakan kompak jika setiap selimut ter-

buka dari 퐸 memuat subselimut berhingga, yaitu untuk setiap keluarga himpunan ter-

buka 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} dengan 퐸 ⊆ ⋃ 퐺∈ , terdapat subkeluarga berhingga

퐺 ,퐺 ,퐺 , … ,퐺 sedemikian sehingga 퐸 ⊆ ⋃ 퐺 .

Contoh 2.1.14

Ruang metrik (푋, 푑) dengan 푋 himpunan berhingga adalah himpunan kompak.

Misalkan 푋 = {푥 ,푥 ,푥 … , 푥 }, dan 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} selimut terbuka untuk 푋, yaitu

푋 ⊆ ⋃ 퐺∈ . Untuk 푥 , ada 훼 ∈ 퐴 sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐺 , untuk 푥 ada

훼 ∈ 퐴 sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐺 , dan seterusnya, untuk 푥 ada 훼 ∈ 퐴 sedemi-

kian sehingga 푥 ∈ 퐺 . Diperoleh ℋ = 퐺 ,퐺 ,퐺 , … ,퐺 adalah subkeluarga

berhingga dari 풢 yang merupakan subselimut dari 푋, maka 풢 memuat subselimut ber-

hingga ℋ. Jadi 푋 kompak.

Teorema 2.1.12

Setiap subhimpunan tertutup dari ruang metrik yang kompak merupakan himpunan

yang kompak.

Bukti:

Misalkan (푋,푑) ruang metrik yang kompak, dan 퐹 adalah sebarang subhimpunan

takkosong dan tertutup dari 푋. Akan ditunjukkan bahwa 퐹 kompak.

Misalkan 풢 = {퐺 :훼 ∈ 퐴} keluarga himpunan-himpunan terbuka di 푋 dan 퐹 ⊆

⋃ 퐺∈ . Jika 퐻 = (⋃ 퐺∈ ) ∪ 퐹 , maka 퐻 selimut terbuka dari 푋. Diketahui

bahwa 푋 kompak, maka 퐻 memiliki subselimut berhingga yang memuat 퐹. Jadi 퐹

kompak. ∎


25

Contoh 2.1.15

Ruang metrik ℝ dengan metrik biasa bukan merupakan ruang yang kompak. Selimut

terbuka – 푛, 푛 :푛 ∈ ℕ dengan ⋃ (−푛, 푛) =ℝ tidak memiliki subselimut ber-

hingga. Jadi ℝ tidak kompak.

Definisi 2.1.21

Himpunan 퐴 dikatakan terbatas jika terdapa bilangan 푀 > 0 sedemikian sehingga

untuk setiap 푥,푦 ∈ 퐴 berlaku 푑(푥,푦) < 푀.

Teorema 2.1.13

Setiap subhimpunan 퐹 yang kompak di ruang metrik (푋,푑) adalah himpunan yang

tertutup dan terbatas.

Bukti :

Diketahui 퐹 subhimpunan yang kompak. Untuk membuktikan bahwa 퐹 tertutup, akan

dibuktikan 퐹 terbuka. Diambil sebarang 푦 ∈ 퐹 dan 푥 ∈ 퐹. Misal 푟 = 푑(푥,푦) > 0

sehingga dapat dibuat bola terbuka 퐵 (푥) dan 퐵 (푦) sedemikian sehingga

퐵 (푥)(푥) ∩ 퐵 (푦) = ∅. Koleksi 풢 = 퐵 (푥):푥 ∈ 퐹 merupakan selimut terbuka

dari 퐹, yaitu 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥)∈ . Diketahui bahwa 퐹 kompak, maka ada

푥 ,푥 ,푥 , … ,푥 sedemikian sehingga 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥 ). Misal 퐴 = ⋂ 퐵 (푦).

Dengan Teorema 2.1.2 (2), yaitu irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka

adalah terbuka, maka 퐴 merupakan himpunan yang terbuka yang memuat 푦. Karena

퐵 (푥 ) ∩ 퐵 (푦) = ∅,∀ 푖 = 1,2,3, …푛, maka

퐵 (푥 ) ∩ ⋂ 퐵 (푦) = 퐵 (푥 ) ∩ 퐴 = ∅. Sehingga ⋃ 퐵 (푥 ) ∩ 퐴 = ∅.

Karena 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥 ), maka 퐹 ∩ 퐴 = ∅. Jadi 퐴 ⊆ 퐹 . Karena 퐹 =


26

⋃ 퐴∈ , maka dengan Teorema 2.1.2 (1) 퐹 terbuka. Dengan Teorema 2.1.3 ter-

bukti bahwa 퐹 tertutup.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 퐹 adalah himpunan terbatas. Misalkan {퐵 (푥 )}

adalah selimut dari 퐹, yaitu 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥 ). Karena 퐹 kompak, maka terdapat

푥 ,푥 ,푥 , … ,푥 sedemikian sehingga 퐹 ⊆ ⋃ 퐵 (푥 ). Misalkan

푀 = max 푑 푥 ,푥 , 1 ≤ 푖 < 푗 ≤ 푛 . Ambil sebarang 푥, 푦 ∈ 퐹, maka ada 푥 dan 푥

sedemikian sehingga 푥 ∈ 퐵 (푥 ) dan 푦 ∈ 퐵 푥 . Dengan ketaksamaan segitiga

diperoleh

푑(푥,푦) ≤ 푑(푥, 푥 ) + 푑 푥 , 푥 + 푑 푥 , 푦 ≤ 1 + 푀 + 1 = 2 + 푀.

Terbukti bahwa 퐹 terbatas. ∎

B. Ruang Fraktal

Diberikan (푋, 푑) adalah ruang metrik lengkap. Misalkan ℋ(푋) adalah keluarga

subhimpunan takkosong yang kompak dari 푋, yaitu

ℋ(푋) = {퐴:퐴 ⊂ 푋,퐴 ≠ ∅,퐴 kompak}.

Definisi 2.2.1

Misal (푋,푑) adalah ruang metrik lengkap. Jarak Hausdorff antara 퐴 dan 퐵 di ℋ(푋)

adalah

ℎ(퐴,퐵) = max{푑(퐴,퐵), 푑(퐵,퐴)}.

Teorema 2.2.1

ℎ adalah sebuah metrik pada ℋ(푋).

Bukti:

Untuk menunjukkan bahwa ℎ adalah metrik, maka harus dibuktikan bahwa ℎ meme-

nuhi sifat-sifat metrik.

(1) ℎ(퐴,퐵) = max {푑(퐴,퐵), 푑(퐵,퐴)}. Jika ℎ(퐴,퐵) = 푑(퐴,퐵), maka

ℎ(퐴,퐵) = 푑(퐴,퐵) = sup{푑(푎,퐵): 푎 ∈ 퐴}

= sup inf{푑(푎, 푏):푏 ∈ 퐵} : 푎 ∈ 퐴 ≥ 0,


27

karena 푑 adalah sebuah metrik, sehingga 푑(푎, 푏) ≥ 0.

Jika ℎ(퐴,퐵) = 푑(퐵,퐴), maka

ℎ(퐵,퐴) = 푑(퐵,퐴) = sup{푑(푏,퐴): 푏 ∈ 퐵}

= sup inf{푑(푏,푎): 푎 ∈ 퐴} :푏 ∈ 퐵 ≥ 0,

karena 푑 adalah sebuah metrik, sehingga 푑(푏, 푎) ≥ 0.

(2) Jika 퐴 = 퐵, maka untuk ∀푎 ∈ 퐴 memenuhi 푑(푎,퐵) = 0 dan ∀푏 ∈ 퐵 memenuhi

푑(푏,퐴) = 0. Dengan Definisi 2.2.1, maka

ℎ(퐴,퐵) = max{푑(퐴,퐵),푑(퐵,퐴)}

= max sup{푑(푎,퐵): 푎 ∈ 퐴}, sup{푑(푏,퐴): 푏 ∈ 퐵}

= 0

Selanjutnya, jika ℎ(퐴,퐵) = 0, maka max{푑(퐴,퐵),푑(퐵,퐴)} = 0 sehingga

푑(퐴,퐵) = 0 dan 푑(퐵,퐴) = 0. Karena 푑(퐴,퐵) = 0, maka sup {푑(푎,퐵):푎 ∈

퐴} = 0 sehingga ∀푎 ∈ 퐴 berlaku inf{푑(푎, 푏):푏 ∈ 퐵} = 0. Ambil sebarang 푎 ∈ 퐴,

maka inf{푑(푎, 푏):푏 ∈ 퐵} = 0. Jadi terdapat 푏 ∈ 퐵 sedemikian sehingga

푑(푎, 푏) = 0, yaitu 푎 = 푏. Jadi 푎 ∈ 퐵, maka 퐴 ⊆ 퐵.

Begitu juga untuk 푑(퐵,퐴) = 0. Karena 푑(퐵,퐴) = 0, maka sup {푑(푏,퐴):푏 ∈

퐵} = 0 sehingga ∀푏 ∈ 퐵 berlaku inf{푑(푏, 푎):푎 ∈ 퐴} = 0. Ambil sebarang 푏 ∈ 퐵,

maka inf{푑(푏, 푎):푎 ∈ 퐴} = 0. Jadi terdapat 푎 ∈ 퐴 sedemikian sehingga

푑(푏, 푎) = 0, yaitu 푏 = 푎 Jadi 푏 ∈ 퐴, maka 퐵 ⊆ 퐴. Terbukti jika ℎ(퐴,퐵) = 0,

maka 퐴 = 퐵. Dengan demikian terbukti bahwa ℎ(퐴,퐵) = 0 jika dan hanya jika

퐴 = 퐵.

(3) ℎ(퐴,퐵) = max {푑(퐴,퐵), 푑(퐵,퐴)} = max {푑(퐵,퐴), 푑(퐴,퐵) } = ℎ(퐵,퐴).

(4) ℎ(퐴,퐵) = max {푑(퐴,퐵), 푑(퐵,퐴)}

≤ max{푑(퐴,퐶) + 푑(퐶,퐵),푑(퐵,퐶) + 푑(퐶,퐴)}

≤ max{푑(퐴,퐶),푑(퐶,퐴)} + max{푑(퐶,퐵), 푑(퐵,퐶)}

≤ ℎ(퐴,퐶) + ℎ(퐵,퐶)


28

Dari (1), (2), (3) dan (4) terbukti bahwa ℎ adalah metrik pada ℋ(푋). ∎

C. Ukuran Lebesgue

Sebelum pembahasan yang lebih lanjut, berikut ini adalah kesepakatan-kesepa-

katan yang akan digunakan dalam pembahasan Teori Ukuran:

(1) Jika 푎 ∈ ℝ, maka −∞ < 푎 < ∞.

(2) Jika 푎 ∈ ℝ, maka 푎 + ∞ = ∞, 푎 − ∞ = −∞, ∞ + ∞ = ∞,−∞−∞ = −∞,∞−

∞ = tidak terdefinisi.

(3) Jika 푎 ∈ ℝ dan 푎 > 0, maka 푎 × ∞ = ∞.

(4) Jika 푎 ∈ ℝ dan 푎 < 0, maka 푎 × ∞ = −∞,푎 × (−∞) = ∞.

(5) Jika 푎 = 0 ∈ ℝ, maka 푎 × ∞ = 0.

Definisi 2.3.1

Panjang interval-interval (푎, 푏), (푎,푏], [푎,푏), [푎, 푏] adalah

ℓ(퐼) = 푏 − 푎.

Definisi 2.3.2

Misalkan 퐼 , 퐼 , 퐼 , … adalah interval-interval yang saling asing. Maka

ℓ(퐼 ∪ 퐼 ∪ 퐼 ∪ … ) = ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ⋯.

Berdasarkan definisi di atas jelas bahwa panjang dari gabungan interval-interval

yang saling asing adalah jumlah panjang interval-interval tersebut.

Definisi 2.3.3

Panjang dari himpunan terbuka 푂 = ⋃ 퐼 , dengan 퐼 adalah interval-interval ter-

buka yang saling asing, adalah

ℓ(푂 ) = ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ⋯ = ℓ(퐼 ).

Panjang dari himpunan kosong adalah


29

ℓ(∅ ) = 0.

Contoh 2.3.1

Hitunglah panjang himpunan

퐴 = 푥:1

2≤ 푥 <

12

.

Penyelesaian:

퐴 = 푥:1

2≤ 푥 <

12

퐴 =1

2,

12

= 퐼

퐼 = , 1), maka ℓ(퐼 ) = 1 − ,

퐼 = , , maka ℓ(퐼 ) = − ,

퐼 = , , maka ℓ(퐼 ) = − ,

dan seterusnya sampai ke 푛 dan diperoleh 퐼 = , yang panjangnya ℓ(퐼 ) =

− . Interval 퐼 adalah interval yang saling asing sehingga

ℓ(퐴) = ℓ 퐼

= ∑ ℓ(퐼 )

= ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) + ⋯+ ℓ(퐼 ) + ⋯

= 1 − + − + − + ⋯+ − + ⋯

= lim → 1 − = 1.

Jadi panjang himpunan 퐴 adalah 1.

Definisi 2.3.4

Himpunan 퐴 dikatakan terhitung jika 퐴 ≠ ∅ atau 퐴 berhingga atau 퐴 tak berhingga

yang ekivalen dengan himpunan semua bilangan asli.


30

Definisi 2.3.5

Koleksi 풜 yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari 푋 disebut aljabar

himpunan jika dan hanya jika memenuhi

(1) ∅,푋 ∈ 풜;

(2) Jika 퐴 ∈ 풜, maka 퐴 ∈ 풜;

(3) Jika 퐴,퐵 ∈ 풜, maka 퐴 ∪ 퐵 ∈ 풜.

Definisi 2.3.6

Koleksi 풜 yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari 푋 disebut aljabar-휎 jika

dan hanya jika memenuhi

(1) ∅,푋 ∈ 풜;

(2) Jika 퐴 ∈ 풜, maka 퐴 ∈ 풜;

(3) Jika 퐴 ,퐴 ,퐴 , … ∈ 풜, maka ⋃ 퐴 ∈ 풜.

Pasangan (푋,풜) disebut ruang terukur.

Definisi 2.3.7

Fungsi 휇:풜 → ℝ, dengan 풜 suatu aljabar-휎 disebut ukuran pada 푋 jika :

(1) 휇(퐴) ≥ 0 untuk setiap 퐴 ∈ 풜;

(2) Jika 퐴 ,퐴 ,퐴 , … ∈ 풜 dan 퐴 ∩ 퐴 = ∅ untuk 푖 ≠ 푗, maka

휇(⋃ 퐴 ) = ∑ 휇(퐴 ) (sifat aditif terhitung)

Tripel (푋,풜, 휇) disebut ruang ukuran.

Definisi 2.3.8

Ukuran luar Lebesgue dari suatu himpunan 퐴 ⊆ ℝ adalah bilangan real tak negatif

푚∗(퐴) = inf 푍

dengan 푍 = {∑ ℓ(퐼 ): 퐼 adalah barisan interval sedemikian sehingga 퐴 ⊆

⋃ 퐼 } .


31

Barisan interval {퐼 } merupakan selimut dari 퐴. Jadi, ukuran luar Lebesgue dari 퐴

adalah infimum dari semua panjang selimut yang mungkin untuk 퐴. Adanya inf 푍

dijamin oleh 푍 yang merupakan himpunan takkosong dan merupakan barisan yang

terbatas ke bawah, yaitu oleh nol.

Teorema 2.3.1

Jika 퐴 ⊆ 퐵, maka 푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐵).

Bukti:

Misalkan ⊆ 퐵 . Ambil sebarang barisan {퐼 } selimut dari 퐵. Maka 퐴 ⊆ 퐵 ⊆ ⋃ 퐼 .

Jadi, setiap selimut dari 퐵 juga merupakan selimut dari 퐴, sehingga 푍 ⊂ 푍 , maka

inf 푍 ≤ inf 푍 . Jadi 푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐵). ∎

Teorema 2.3.2

Ukuran luar 푚∗ bersifat subaditif terhitung, yaitu untuk sebarang barisan himpunan

{퐸 } berlaku

푚∗ 퐸 ≤ 푚∗(퐸 ).

Bukti:

Pertama akan dibuktikan untuk n = 1 sampai 푛 = 2, yaitu

푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) ≤ 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ).

Akan ditunjukkan

푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) ≤ 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ) + 휀.

Ambil 휀 > 0, maka terdapat barisan selimut {퐼 } dari 퐸 dan {퐼 } dari 퐸 sedemikian

sehingga

ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) +휀2

ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) +휀2.


32

Mak ∑ ℓ(퐼 ) + ∑ ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ) + 휀.

Barisan dari interval-interval {퐼 , 퐼 , 퐼 , 퐼 , 퐼 , 퐼 , … } menyelimuti 퐸 ∪ 퐸 sehingga

푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) ≤ ∑ ℓ(퐼 ) + ∑ ℓ(퐼 ) . Jadi

푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) ≤ ℓ(퐼 ) + ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ) + 휀.

Jika ∑ 푚∗(퐸 ) = ∞, maka pertidaksamaan benar. Misalkan ∑ 푚∗(퐸 ) < ∞.

Untuk setiap 휀 > 0, terdapat barisan selimut {퐼 } dari 퐸 sedemikian sehingga

ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) +휀

2 .

Kemudian diperoleh bahwa

ℓ(퐼 ) ≤ 푚∗(퐸 ) +휀

2

ℓ(퐼 ),

≤ 푚∗(퐸 ) + 휀 < ∞

Barisan interval {퐼 } menyelimuti ⋃ 퐸 sehingga

푚∗ 퐸 ≤ ℓ(퐼 ),

≤ 푚∗(퐸 ) + 휀 < ∞.

Jadi terbukti bahwa 푚∗(⋃ 퐸 ) ≤ ∑ 푚∗(퐸 ). ∎

Contoh 2.3.2

Buktikan jika 푚∗(퐴) = 0 maka untuk sebarang himpunan 퐵 berlaku 푚∗(퐴 ∪ 퐵) =

푚∗(퐵).

Penyelesaian:

Diketahui 푚∗(퐴) = 0. Ambil sebarang himpunan 퐵, maka 퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵. Dengan Teo-

rema 2.3.1

푚∗(퐵) ≤ 푚∗(퐴 ∪ 퐵).

Dengan Teorema 2.3.2


33

푚∗(퐵) ≤ 푚∗(퐴 ∪ 퐵) ≤ 푚∗(퐴) + 푚∗(퐵).

Karena 푚∗(퐴) = 0, maka

푚∗(퐵) ≤ 푚∗(퐴 ∪ 퐵) ≤ 푚∗(퐵).

Jadi 푚∗(퐴 ∪ 퐵) = 푚∗(퐵).

Contoh 2.3.3

Buktikan jika 푚∗(퐴∆퐵) = 0, maka 푚∗(퐴) = 푚∗(퐵).

Penyelesaian:

Diketahui bahwa 푚∗(퐴∆퐵) = 0. Himpunan 퐴 ∪ 퐵 = 퐵 ∪ (퐴∆퐵).

Karena 퐴 ⊆ 퐴 ∪ 퐵, maka 퐴 ⊆ 퐵 ∪ (퐴∆퐵). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema

2.3.2

푚∗(퐴) ≤ 푚∗ 퐵 ∪ (퐴∆퐵) ≤ 푚∗(퐵) + 푚∗(퐴∆퐵).

Jadi 푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐵).

Karena 퐵 ⊆ 퐴 ∪ 퐵 juga, maka 퐴 ⊆ 퐵 ∪ (퐴∆퐵). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema

2.3.2

푚∗(퐵) ≤ 푚∗ 퐴 ∪ (퐴∆퐵) ≤ 푚∗(퐴) + 푚∗(퐴∆퐵).

Jadi 푚∗(퐵) ≤ 푚∗(퐴).

Terbukti 푚∗(퐴) = 푚∗(퐵).

Definisi 2.3.9

Himpunan 퐸 ⊆ ℝ dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap 퐴 ⊆ ℝ berlaku

푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ),

dan ditulis 퐸 ∈ ℳ, dengan ℳ adalah koleksi semua himpunan yang terukur Lebes-

gue.

Karena 퐴 = (퐴 ∩ 퐸) ∪ (퐴 ∩ 퐸 ), maka dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh

푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐴 ∩ 퐸) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ),

sehingga untuk membuktikan bahwa 퐸 terukur Lebesgue cukup ditunjukkan

푚∗(퐴) ≥ 푚∗(퐴 ∩ 퐸) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ),∀퐴 ⊆ ℝ.


34

Selanjutnya himpunan yang terukur Lebesgue disebut himpunan terukur.

Teorema 2.3.3

(1) ℝ ∈ ℳ.

(2) Jika 퐸 ∈ ℳ, maka 퐸 ∈ ℳ.

(3) Jika 퐸 ∈ ℳ, 푘 = 1, 2, 3, …, maka ⋃ 퐸 ∈ ℳ.

(4) Jika 퐸 ∈ ℳ, 푘 = 1, 2, 3, …, maka

퐸 ∈ ℳ.

Bukti:

(1) Ambil sebarang 퐴 ⊆ ℝ. Akan dibuktikan 푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ ℝ) + 푚∗(퐴 ∩ ℝ ),

∀퐴 ⊆ ℝ. 퐴 ∩ ℝ = 퐴, maka 푚∗(퐴 ∩ ℝ) = 푚∗(퐴). 퐴 ∩ ℝ = ∅, maka

푚∗(퐴 ∩ ℝ ) = 푚∗(∅) = 0. Maka

푚∗(퐴 ∩ ℝ) + 푚∗(퐴 ∩ ℝ ) = 푚∗(퐴) + 0 = 푚∗(퐴)

(2) Ambil sebarang 퐸 ∈ ℳ dan sebarang 퐴 ⊆ ℝ. Karena 퐸 ∈ ℳ, maka berlaku

푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 )

= 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸)

= 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ) ).

Terbukti 퐸 ∈ ℳ.

(3) Misalkan 퐸 ,퐸 ∈ ℳ dan 퐸 ∩ 퐸 = ∅. Karena 퐸 ∈ ℳ, maka

푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ),

dan karena 퐸 ∈ ℳ, maka

푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 )

untuk setiap 퐴 ⊆ ℝ.

Maka

푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) = 푚∗ (퐴 ∩ 퐸 ) ∩ 퐸 + 푚∗ (퐴 ∩ 퐸 ) ∩ 퐸 .

= 푚∗ 퐴 ∩ (퐸 ∩ 퐸 ) + 푚∗ 퐴 ∩ (퐸 ∩ 퐸 ) .

= 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) ).


35

Jadi

푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) ).

Dengan sifat subaditif ukuran luar, diperoleh

푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) ≥ 푚∗ 퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) ,

sehingga

푚∗(퐴) ≥ 푚∗ 퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) ).

Hasil di atas cukup untuk menunjukkan bahwa 퐸 ∪ 퐸 ∈ ℳ.

Selanjutnya

푚∗(퐸 ∪ 퐸 ) = 푚∗ (퐸 ∪ 퐸 ) ∩ 퐸 + 푚∗ (퐸 ∪ 퐸 ) ∩ 퐸 + 푚∗ (퐸 ∪ 퐸 ) ∩

(퐸 ∪ 퐸 )

= 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 ) + 푚∗(∅)

= 푚∗(퐸 ) + 푚∗(퐸 )

Terbukti untuk 푘 = 1, 2.

Sudah dibuktikan bahwa untuk 퐸 dan 퐸 yang saling asing berlaku

푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗(퐴 ∩ (퐸 ∪ 퐸 ) )

untuk setiap 퐴 ⊆ ℝ.

Secara umum, untuk 푘 = 1, 2, …푛 berlaku

푚∗(퐴) = 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 .

Dari persamaan di atas, maka ketidaksamaan berikut juga berlaku

푚∗(퐴) ≥ 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 .

Karena (⋃ 퐸 ) ⊆ (⋃ 퐸 ) maka menurut Teorema 2.3.1 berlaku

푚∗((⋃ 퐸 ) ) ≤ 푚∗((⋃ 퐸 ) ) sehingga

푚∗(퐴) ≥ 푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) + 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 .

Dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh


36

푚∗(퐴 ∩ 퐸 ) ≥ 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 ,

sehingga

푚∗(퐴) ≥ 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 + 푚∗ 퐴 ∩ 퐸 .

Terbukti bahwa ⋃ 퐸 ∈ ℳ.

(4) Diketahui 퐸 ∈ ℳ, 푘 = 1,2, …, maka menurut Teorema 2.3.3(2) 퐸 ∈ ℳ,

푘 = 1,2, … sehingga dengan Teorema 2.3.3(3) diperoleh bahwa ⋃ 퐸 ∈ ℳ.

Menurut Teorema 2.3.3(2) maka (⋃ 퐸 ) ∈ ℳ. Dengan Hukum De Morgan,

(⋃ 퐸 ) = ⋂ (퐸 ) = ⋂ 퐸 ∈ ℳ. Jadi, terbukti bahwa irisan dari

himpunan-himpunan di ℳ juga berada di ℳ. ∎

Teorema 2.3.3 menunjukkan bahwa ℳ tertutup terhadap komplemen gabungan

dan irisan koleksi terhitung himpunan.

Definisi 2.3.10

Jika 퐸 ∈ ℳ, maka 푚∗(퐸) ditulis 푚(퐸) dan disebut ukuran Lebesgue himpunan 퐸.

Teorema 2.3.4

Jika 퐴,퐵 ∈ ℳ dan 퐴 ⊂ 퐵, maka 푚(퐴) ≤ 푚(퐵).

Bukti:

Diketahui 퐴 ⊆ 퐵, maka menurut Teorema 2.3.1 푚∗(퐴) ≤ 푚∗(퐵). Karena ,퐵 ∈ ℳ,

maka 푚∗(퐴) = 푚(퐴) dan 푚∗(퐵) = 푚(퐵). Jadi 푚(퐴) ≤ 푚(퐵). ∎

Definisi 2.3.11

Misalkan (푋,푑) ruang metrik. Aljabar-휎 terkecil yang memuat semua himpunan ter-

buka dalam 푋 disebut Aljabar-휎 Borel 퐵. Anggota ℬ disebut himpunan Borel.


37

D. Fungsi Kompleks

Definisi 2.4.1

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk 푧 = 푎 + 푖푏 atau 푧 = 푎 + 푏푖 de-

ngan 푎 dan 푏 bilangan real dan 푖 = −1.

Jika 푧 = 푎 + 푖푏 menyatakan sebarang bilangan kompleks, maka 푎 adalah bagian real

dari 푧, ditulis Re(푧), sedangkan 푏 adalah bagian imajiner dari 푧, ditulis Im(푧).

Himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan ℂ.

Bilangan kompleks 푎 + 푖푏 dapat digambarkan secara geometris sebagai titik (푎,푏) di

bidang Cartesius ℝ ×ℝ.

Definisi 2.4.2

Untuk setiap bilangan kompleks 푧 = 푎 + 푖푏, bilangan kompleks 푧̅ = 푎 − 푖푏 disebut

konjugat bilangan 푧.

Definisi 2.4.3

Bilangan kompleks 푧 = 푎 + 푖푏 dan 푧 = 푐 + 푖푑 dikatakan sama jika dan hanya jika

푥 = 푥 dan 푦 = 푦 . Dengan kata lain, dua bilangan kompleks sama jika dan hanya

jika bagian realnya sama dan bagian imajinernya juga sama.

Definisi 2.4.4

Jika 푧 = 푎 + 푖푏 dan 푧 = 푐 + 푖푑 adalah dua bilangan kompleks, maka penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian didefinisikan sebagai berikut:

(1) (푎 + 푖푏 ) + (푐 + 푖푑) = (푎 + 푐) + 푖(푏 + 푑)

(2) (푎 + 푖푏 ) − (푐 + 푖푑) = (푎 − 푐) + 푖(푏 − 푑)

(3) (푎 + 푖푏 ) × (푐 + 푖푑) = (푎푐 − 푏푑) + 푖(푎푑 + 푏푐)

(4) (푎 + 푖푏 ) ÷ (푐 + 푖푑) = + 푖


38

Definisi 2.4.5

Modulus dari bilangan kompleks 푧 = 푎 + 푖푏, dinyatakan dengan |푧|, adalah bilangan

real taknegatif |푧| = √푎 + 푏 . Modulus dari 푧 juga disebut nilai mutlak dari 푧.

Definisi 2.4.6

Bilangan 푧 = 푎 + 푖푏 dapat dinyatakan dengan rumus Euler 푒 = cos휑 + 푖 sin휑,

yaitu 푧 = 푟 (cos휑 + 푖 sin휑) = 푟푒 , yang disebut bentuk kutub bilangan kompleks

z.

Definisi 2.4.7

Fungsi 푓 yang terdefinisi pada himpunan semua bilangan kompleks ℂ dikatakan kon-

tinu pada titik 푧 ∈ ℂ jika untuk setiap 휀 > 0 terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga un-

tuk 푧 ∈ ℂ yang memenuhi |푧 − 푧 | < 훿 berlaku |푓(푧)− 푓(푧 )| < 휀.

Fungsi 푓 dikatakan kontinu pada ℂ jika 푓 kontinu di setiap 푧 ∈ ℂ.

Definisi 2.4.8

Fungsi kompleks 푓 dikatakan terdiferensial di 푧 ∈ ℂ jika lim →( ) ( ) ada. Ni-

lai dari lim →( ) ( ) disebut turunan f di 푧 , dinotasikan dengan 푓 (푧 ).

Definisi 2.4.9

Diberikan (ℂ, 푑) dengan 푑 metrik biasa¸yaitu 푑(푧 , 푧 ) = |푧 − 푧 |. Fungsi 푓 dikata-

kan analitik di 푧 jika terdapat 푟 > 0 sedemikian sehingga 푓 (푧) ada untuk setiap

푧 ∈ 퐵 (푧 ).

Definisi 2.4. 10

Jika 푓:ℂ → ℂ, maka 푓 adalah komposisi sebanyak n-kali dari 푓 dengan dirinya sen-

diri, dan disebut iterasi dari 푓.


39

Definisi 2.4.11

Jika 푓:ℂ → ℂ dan 푧 ∈ ℂ, maka barisan 푧 , 푧 = 푓(푧 ), 푧 = 푓 (푧 ), … , 푧 =

푓 (푧 ), … disebut orbit 푧 terhadap 푓.

Definisi 2.4.12

Titik 푧 ∈ ℂ disebut titik tetap dari fungsi 푓:ℂ → ℂ jika 푓(푧 ) = 푧 .

Misalkan 휆 = 푓′(푧 ), maka titik tetap 푧 disebut

(1) Penarik jika |휆| < 1

(2) Superpenarik jika |휆| = 0

(3) Penolak jika |휆| > 1

(4) Netral secara rasional jika |휆| = 1 dan 휆 = 1

(5) Netral secara irasional jika |휆| = 1 tetapi 휆 ≠ 1.

Definisi 2.4.13

Titik 푧 ∈ ℂ disebut titik periodik dari fungsi 푓:ℂ → ℂ jika 푓 (푧 ) = 푧 untuk suatu

푛 ∈ ℕ. Bilangan 푛 terkecil yang memenuhi 푓 (푧 ) = 푧 disebut periode dari 푧 .

Misalkan 휆 = (푓 )′(푧 ), maka titik periodik 푧 disebut

(1) Penarik jika |휆| < 1

(2) Superpenarik jika |휆| = 0

(3) Penolak jika |휆| > 1

(4) Netral secara rasional jika |휆| = 1 dan 휆 = 1

(5) Netral secara irasional jika |휆| = 1 tetapi 휆 ≠ 1.

E. Sistem Fungsi Iterasi

Definisi 2.5.1

Diberikan (푋,푑) ruang metrik. Suatu pemetaan 푓:푋 → 푋 disebut kontraksi jika terda-

pat 푐 ∈ [0, 1) sedemikian sehingga

푑 푓(푥),푓(푦) ≤ 푐 푑(푥, 푦),∀푥,푦 ∈ 푋.


40

Bilangan 푐 disebut konstanta kontraksi.

Definisi 2.5.2

Orbit 푧 terhadap pemetaan 푓:ℂ → ℂ dikatakan terbatas jika terdapat 푚 > 0 sedemi-

kian sehingga |푓(푧)| < 푚.

Teorema 2.5.1

Diberikan (푋,푑) ruang metrik. Jika 푓:푋 → 푋 adalah pemetaan kontraksi pada ruang

metrik (푋, 푑) dengan konstanta kontraksi 푐, maka 푑 푓 (푥),푓 (푦) ≤ 푐 푑(푥,푦) un-

tuk setiap 푛 = 2,3,4, ….

Bukti:

Teorema tersebut akan dibuktikan dengan induksi matematika. Teorema benar untuk

푛 = 2, sebab

푑 푓 (푥),푓 (푦) = 푑 푓 푓(푥) ,푓 푓(푦)

≤ 푐 푑 푓(푥),푓(푦)

≤ 푐 ∙ 푐 푑(푥,푦) = 푐 푑(푥,푦)

Andaikan Teorema benar untuk 푛 = 푘, yaitu 푑 푓 (푥),푓 (푦) ≤ 푐 푑(푥, 푦).

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa Teorema juga benar untuk 푛 = 푘 + 1

푑 푓 (푥),푓 (푦) = 푑 푓 푓 (푥) ,푓 푓 (푦)

≤ 푐 푑 푓 (푥),푓 (푦)

≤ 푐 ∙ 푐 푑(푥, 푦) = 푐 푑(푥, 푦).

Terbukti bahwa 푑 푓 (푥),푓 (푦) ≤ 푐 푑(푥, 푦) untuk setiap 푛 = 2,3,4, …. ∎

Teorema 2.5.2

Diberikan (푋,푑) ruang metrik lengkap. Pemeteaan kontraksi 푓:푋 → 푋 hanya memili-

ki satu titik tetap dan setiap orbitnya konvergen ke titik tetap.


41

Bukti:

Didefinisikan barisan {푥 }, 푥 ∈ 푋 dengan 푥 = 푓(푥 ). Diketahui bahwa 푓

merupakan pemetaan kontraksi, maka terdapat 푐 ∈ [0, 1) sedemikian sehingga ber-

laku 푑(푓(푥),푓(푦)) ≤ 푐 푑(푥, 푦). Maka

푑(푥 ,푥 ) = 푑 푓(푥 ),푓(푥 ) ≤ 푐 푑(푥 , 푥 ).

푑(푥 ,푥 ) ≤ 푐 푑(푥 , 푥 )

≤ 푐 푑(푥 , 푥 )

≤ 푐 푑(푥 , 푥 )

⋮

≤ 푐 푑(푥 ,푥 )

Maka untuk 푚 > 푛

푑(푥 ,푥 ) ≤ 푑(푥 ,푥 ) + 푑(푥 , 푥 ) + ⋯+ 푑(푥 ,푥 )

≤ 푐 푑(푥 ,푥 ) + 푐 푑(푥 ,푥 ) + ⋯+ 푐 푑(푥 ,푥 )

< 푐 푑(푥 ,푥 ) + 푐 푑(푥 ,푥 ) + ⋯

= (푐 + 푐 + ⋯ )푑(푥 ,푥 )

=푐

1 − 푐 푑(푥 ,푥 )

Untuk setiap 휀 > 0 dipilih 푁 ≥ 1 sedemikian sehingga 푑(푥 ,푥 ) < 휀. Untuk

푚 > 푛 > 푁, maka 푑(푥 ,푥 ) < 푑 < 푑(푥 , 푥 ) < 휀. Jadi {푥 } merupakan

barisan Cauchy. Karena 푋 lengkap, maka barisan Cauchy {푥 } konvergen ke suatu

titik di 푋. Misalkan {푥 } konvergen ke 푥 ∈ 푋. Akan dibuktikan 푥 adalah titik tetap

dari 푓.

푓(푥) = 푓 lim→

푥 = lim→

푓(푥 ) = lim→

푥 = 푥.

Akan dibuktikan bahwa 푓 hanya memiliki satu titik tetap. Misal 푦 juga adalah titik

tetap 푓, dengan 푦 ≠ 푥. Maka 푑(푥, 푦) = 푑(푓(푥),푓(푦)) ≤ 푐 푑(푥, 푦). Jika kedua ruas

dikalikan dengan ( , )

, maka diperoleh 푐 ≥ 1. Kontradiksi karena 푐 ∈ [0, 1). Ter-

bukti bahwa 푓 hanya memiliki satu titik tetap. Dengan demikian terbukti bahwa


42

pemetaan kontraksi hanya memiliki satu titik tetap 푥 dan setiap orbit dari 푓 konver-

gen ke 푥. ∎

Definisi 2.5.3

Himpunan berhingga dari kontraksi-kontraksi 푓 , 푗 ∈ ℕ dalam ruang metrik lengkap

(푋, 푑) disebut sistem fungsi iterasi (Iterated Function System-IFS).

Definisi 2.5.4

Diberikan (푋,푑) ruang metrik. Jika 푓 :푋 → 푋 (푖 = 1, … ,푚) adalah pemetaan-peme-

taan kontraksi pada ruang metrik (푋,푑) dengan konstanta kontraksi 푐 , maka himpu-

nan 퐴 ⊂ 푋 disebut invarian dari pemetaan 푓 jika 퐴 = ⋃ 푓 (퐴).


BAB III

DIMENSI FRAKTAL

Dimensi digunakan untuk mengukur, mendeskripsikan dan membandingkan su-

atu objek. Mandelbrot mengatakan bahwa fraktal adalah himpunan yang memiliki di-

mensi tidak bulat. Gagasan mendasar dari dimensi fraktal adalah menginvestigasi

himpunan-himpunan pada ukuran yang berbeda.

Dalam bab ini akan dibahas dua metode penghitungan dimensi fraktal, yaitu

dimensi Hausdorff dan dimensi kotak. Sebelum membahas lebih dalam tentang di-

mensi Hausdorff, akan dibahas terlebih dahulu tentang ukuran Hausdorff.

3.1 Ukuran Hausdorff

Definisi 3.1.1

Misalkan (ℝ ,푑) ruang metrik dengan metrik biasa, 퐹 ⊂ ℝ , dan 훿 > 0. Jika {푈 }

adalah koleksi terhitung dari himpunan-himpunan yang menyelimuti 퐹, yaitu

퐹 ⊂ ⋃ 푈 , dan 0 < 푑(푈 ) ≤ 훿, maka {푈 } disebut selimut-훿 dari 퐹.

Agar lebih sederhana, untuk sebarang himpunan takkosong 푈 ⊂ ℝ , 푑(푈) ditulis |푈|.

Definisi 3.1.2

Misalkan (ℝ ,푑) ruang metrik dengan 푑 metrik biasa. Untuk 퐴 ⊂ ℝ dan 푠 >

0,훿 > 0, didefinisikan ℋ (퐴) = inf{∑ |푈 | : {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐴}.

Lema 3.1.1

Misalkan 퐸 ⊂ ℝ , 푠 > 0, dan 훿 > 0. Jika 훿 < 훿, maka

ℋ (퐸) ≥ ℋ (퐸).

Bukti:

Misalkan {푈′ } adalah selimut− 훿′ dari 퐸 dan {푈 } adalah selimut−훿′ dari 퐸.


44

Karena 훿 < 훿, maka |푈′ | ≤ 훿 < 훿. Jadi setiap selimut-훿′ dari 퐸 adalah selimut-훿

dari 퐸. Maka

|푈′ | : |푈 | < 훿′ ⊂ |푈 | : |푈 | < 훿

inf |푈′ | : |푈 | < 훿′ ≥ inf |푈 | : |푈 | < 훿

ℋ (퐸) ≥ ℋ (퐸). ∎

Definisi 3.1.3

Untuk himpunan 퐸 ⊂ ℝ dan 푠 > 0 didefinisikan

ℋ (퐸) = lim→ℋ (퐸)

yang disebut ukuran Hausdorff dimensi-푠 dari 퐸.

Teorema 3.1.1

a) Jika 퐸 ⊂ 퐸 , maka ℋ (퐸 ) ≤ ℋ (퐸 ) (kemonotonan).

b) Untuk sebarang keluarga terhitung 퐸 dari himpunan-himpunan di ℝ , ber-

laku

ℋ 퐸 ≤ ℋ 퐸 .

c) Jika 퐸 = 퐸 ∪ 퐸 , dan 퐸 ∩ 퐸 = ∅ maka

ℋ (퐸 ∪ 퐸 ) = ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ).

d) Jika 퐸 = ⋃ 퐸 , 퐸 saling asing, maka ℋ (퐸) = ∑ ℋ 퐸 .

Bukti:

a) Ambil sebarang selimut-훿 {푈 } dari 퐸 . Setiap selimut-훿 dari 퐸 merupakan

selimut-훿 untuk 퐸 karena 퐸 ⊂ 퐸 ⊂ ⋃ 푈 . Maka

|푈 | :퐸 ⊂ 푈 ⊂ |푈 | :퐸 ⊂ 푈


45

inf |푈 | :퐸 ⊂ 푈 ≤ inf |푈 | :퐸 ⊂ 푈

ℋ (퐸 ) ≤ ℋ (퐸 )

lim→ℋ (퐸 ) ≤ lim

→ℋ (퐸 )

Dengan Definisi 3.1.3 maka ℋ (퐸 ) ≤ ℋ (퐸 ).

b) Diberi 훿 > 0. Untuk setiap 푗 dipilih selimut-훿 푈 dari 퐸 sedemikian se-

hingga untuk 휀 > 0 berlaku

푈 ≤ ℋ 퐸 +휀

2 .

Maka


2


2,

푈 ≤ ℋ 퐸 + 휀,

Barisan selimut-훿 푈 adalah selimut-훿 dari 퐸 = ⋃ 퐸 , maka

inf 푈,

≤ 푈 ≤ ℋ 퐸 + 휀,

ℋ (퐸) ≤ ℋ 퐸 + 휀

lim→ℋ (퐸) ≤ lim

→ℋ 퐸 + 휀

ℋ (퐸) ≤ ℋ 퐸

untuk 휀 → 0. Jadi terbukti ℋ ⋃ 퐸 ≤ ∑ ℋ 퐸 .


46

c) Dengan Teorema 3.1.1(b), maka ℋ (퐸 ∪ 퐸 ) ≤ ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ).

Misal {푈 } adalah selimut-훿 untuk 퐸 ∪ 퐸 sedangkan {푈 } dan {푈 } secara ber-

turut-turut adalah selimut-훿 untuk 퐸 dan 퐸 . Karena setiap selimut-훿 untuk

퐸 ∪ 퐸 juga merupakan selimut-훿 untuk 퐸 dan 퐸 , maka

|푈 | ⊂ 푈푖′ + 푈푖′′

푖푛푓 푈푖′ + 푈푖′′ ≤ 푖푛푓 |푈 |

푖푛푓 푈푖′ + 푖푛푓 푈푖′′ ≤ 푖푛푓 |푈 |

ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ) ≤ ℋ (퐸)

Ambil 훿 → 0 dan diperoleh ℋ (퐸) > ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ).

Dengan demikian terbukti ℋ (퐸 ∪ 퐸 ) = ℋ (퐸 ) + ℋ (퐸 ).

d) Akan dibuktikan dengan induksi matematis.

Untuk 푘 = 2 telah dibuktikan dalam (푐). Dimisalkan bahwa berlaku

ℋ ⋃ 퐸 = ∑ ℋ 퐸 . Akan dibuktikan bahwa sifat tersebut juga berla-

ku untuk 푘 + 1.

ℋ 퐸 = ℋ 퐸 ∪ 퐸

= ℋ 퐸 + ℋ (퐸 )

= ℋ 퐸 + ℋ (퐸 )

= ℋ 퐸

Terbukti ℋ ⋃ 퐸 = ∑ ℋ 퐸 . ∎


47

Teorema 3.1.2

Jika 퐸 ⊂ ℝ dan 휆 > 0, maka ℋ (휆퐸) = 휆 ℋ (퐸), di mana 휆퐸 = {휆푥:푥 ∈ 퐸}, yai-

tu himpunan 퐸 diskala oleh faktor 휆.

Bukti:

Misalkan {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐸, maka {휆푈 } adalah selimut-휆훿 dari 휆퐸, se-

hingga

ℋ (휆퐸) = 푖푛푓 |휆푈 |

= 푖푛푓 휆 |푈 |

= 푖푛푓 휆 |푈 |

= 휆 푖푛푓 |푈 |

= 휆 ℋ (퐹)

Untuk 훿 → 0, maka ℋ (휆퐸) = 휆 ℋ (퐸). ∎

Lema 3.1.2

Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ dan setiap 푠, 푡 ∈ ℝ dengan 푡 > 푠 > 0 berlaku

ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸).

Bukti:

Misalkan {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐸. Untuk setiap 푖 berlaku 0 < | | ≤ 1, sehingga

|푈 |훿

≥|푈 |훿

|푈 |훿

≥|푈 |훿

|푈 | ≥|푈 |훿

훿


48

|푈 | ≥ 훿 |푈 |

Dengan mengambil infimumnya diperoleh ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸). ∎

Teorema 3.1.3

Untuk sebarang 푠, 푡 ∈ ℝ dengan 푡 > 푠, jika ℋ (퐸) < ∞, maka ℋ (퐸) = 0. Jika

ℋ (퐸) > 0, maka ℋ (퐸) = ∞.

Bukti:

Dengan Lema 3.1.2, maka

ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸)

훿 ℋ (퐸) ≥ ℋ (퐸)

lim→훿 ℋ (퐸) ≥ lim

→ℋ (퐸)

0 ≥ ℋ (퐸).

Maka ℋ (퐸) = 0.

Selanjutnya,

ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸)

lim→ℋ (퐸) ≥ lim

→훿 ℋ (퐸) = ∞

ℋ (퐹) = ∞.

Dengan demikian terbukti ℋ (퐸) = 0 jika ℋ (퐸) < ∞, dan ℋ (퐸) = ∞ jika

ℋ (퐸) > 0. ∎

Lema 3.1.3

Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ dan untuk setiap 푠 > 푛, maka 퐻 (퐸) = 0.

Bukti:

Dengan Lema 3.1.2, untuk 푠 > 푛 berlaku

ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸)

ℋ (퐸) ≤ 훿 ℋ (퐸)


49

ℋ (퐸) = lim→ℋ (퐸) ≤ lim

→훿 ℋ (퐸) = 0.

Terbukti 퐻 (퐸) = 0 untuk setiap 푠 > 푛. ∎

Teorema 3.1.4

Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ , terdapat bilangan tunggal 푠 ∈ [0,∞) sedemikian sehingga

ℋ (퐸) = +∞ jika 푡 < 푠 0 jika 푡 > 푠.

Bukti:

Dengan Lema 3.1.3, himpunan 퐴 = {푠 > 0:퐻 (퐸) < +∞} merupakan himpunan tak

kosong dan terbatas ke bawah sehingga himpunan tersebut memiliki infimum. Misal-

kan infimum dari 퐴 adalah 푠 . Selanjutnya dengan Lema 3.1.2 , untuk 푡 > 푠 berlaku

ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸),

sehingga

ℋ (퐸) = lim→ℋ (퐸) ≤ lim

→훿 ℋ (퐸) = 0.

Dan untuk 푡 < 푠 berlaku

ℋ (퐸) ≥ 훿 ℋ (퐸),

sehingga

ℋ (퐸) = lim→ℋ (퐸) ≥ lim

→훿 ℋ (퐸) = lim

→

1훿 ℋ (퐸) = +∞.

Dengan demikian terbukti bahwa terdapat bilangan tunggal 푠, yaitu 푠 = inf(퐴) se-

demikian sehingga ℋ (퐸) = 0 untuk 푡 > 푠 dan ℋ (퐸) = +∞ untuk 푡 < 푠. ∎

Teorema 3.1.5

Jika 퐸 adalah himpunan terhitung, maka ℋ (퐸) = 0.

Bukti:

Diberi 푠 > 0 dan 훿 > 0. Misalkan 퐸 = {푎 : 푖 = 1,2, … , 푛} adalah himpunan terhi-

tung. Diberikan selimut-훿 dari 퐸 yaitu 푈 = 푎 − , 푎 + sehingga


50

|푈 | = 푠푢푝 푎 +휀

2− 푎 +

휀

2

= 푠푢푝2휀

2=

휀

2.

Maka

ℋ (퐸) ≤ |푈 | =휀

2≤ 휀

12

= 휀 .

Dengan mengambil limit untuk 휀 → 0 diperoleh

ℋ (퐸) ≤ lim→휀 = 0.

Kemudian, dengan mengambil limit ℋ (퐸) untuk 훿 → 0 diperoleh

lim→ℋ (퐸) ≤ 0

ℋ (퐸) ≤ 0.

Jadi ℋ (퐸) = 0. ∎

Teorema 3.1.6

Jika 푓:ℝ → ℝ merupakan suatu kontraksi, maka untuk 퐸 ⊂ ℝ , ℋ 푓(퐸) ≤푐 ℋ (퐸) .

Bukti:

Ambil 훿 > 0, misalkan {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐸 dan {푉 } adalah selimut-훿 dari 푓(퐸).

|푉 | = 푠푢푝{푑(푥 , 푦′):푥 ,푦′ ∈ 푓(퐸)}

= 푠푢푝 푑 푓(푥),푓(푦) : 푥,푦 ∈ 퐸

≤ 푠푢푝{푐 푑(푥, 푦):푥, 푦 ∈ 퐸}

= 푐 푠푢푝{푑(푥, 푦):푥, 푦 ∈ 퐸}

= 푐 |푈 |

Diperoleh bahwa |푉 | ≤ 푐 |푈 |, maka


51

|푉 | ≤ 푐 |푈 |

푖푛푓 |푉 | ≤ 푐 푖푛푓 |푈 |

ℋ 푓(퐸) ≤ 푐 ℋ (퐸).

Dengan mengambil 훿 → 0, maka ℋ 푓(퐸) ≤ 푐 ℋ (퐸). ∎

3.2 Dimensi Hausdorff

Berikut akan didefinisikan dimensi Hausdorff dengan berdasarkan Teorema 3.1.4.

Definisi 3.2.1

Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ , dimensi Hausdorff (dimensi Hausdorff-Besicovitch) dari 퐸,

yaitu dim (퐸), adalah bilangan tunggal 푠 ≥ 0 sedemikian sehingga

퐻 (퐸) = +∞ jika 푡 < 푠 0 jika 푡 > 푠.

Teorema 3.2.1

Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ , dim (퐸) = inf{푠:퐻 (퐸) = 0}.

Bukti:

Jika dim (퐸) = 푠 , maka dengan Definisi 3.2.1, 퐻 (퐸) = 0 untuk 푠 > 푠 dan

퐻 (퐸) = +∞ untuk 푠 < 푠 . Maka inf = {푠:퐻 (퐸) = 0} = inf{푠: 푠 > 푠 } = 푠 .

Dengan demikian terbukti bahwa 푠 = dim (퐸) = inf{푠:퐻 (퐸) = 0}. ∎


52

Teorema 3.2.2

a) Jika 퐸 ⊂ 퐹, maka dim (퐸) ≤ dim (퐹).

b) Jika 퐸 = ⋃ 퐸 , maka dim (퐸) = sup dim (퐸 ).

Bukti:

a) Karena 퐸 ⊂ 퐹, maka dengan Teorema 3.1.1(푎) berlaku ℋ (퐸) ≤ ℋ (퐹). Jadi

sup{푠:ℋ (퐸) = ∞} ≤ sup{푠:ℋ (퐹) = ∞}

dim (퐸) ≤ dim (퐹).

b) Misalkan 퐸 = ⋃ 퐸 , maka 퐸 ⊂ 퐸 untuk setiap 푖 = 1, 2 …. Dengan (푎), maka

dim (퐸 ) ≤ dim (퐸), sehingga sup dim (퐸 ) ≤ dim (퐸) untuk setiap

푖 = 1,2, …

Untuk ketidaksamaan yang sebaliknya, misalkan terdapat 푠 ∈ ℝ sedemikian se-

hingga 푠 > sup dim (퐸 ). Dengan Lema 3.1.3, maka 퐻 (퐸 ) = 0. Dengan Teo-

rema 3.1.2, maka ℋ (퐸) ≤ ∑ ℋ (퐸 ) = 0. Jadi ℋ (퐸) ≤ 0. Jadi ℋ (퐸) = 0.

Dengan Teorema 3.2.1 maka dim (퐸) = inf {푠:ℋ (퐸) = 0} ≤ sup dim (퐸 ).

Jadi dim (퐸) ≤ sup dim (퐸 ). Dengan demikian terbukti dim (퐸) =

sup dim (퐸 ) . ∎

Contoh 3.2.1

dim (ℝ ) = 푛.

Penyelesaian:

Untuk 0 < 푠 < 푛 berlaku

ℋ (ℝ ) ≥ 훿 ℋ (ℝ )

lim→ℋ (ℝ ) ≥ lim

→훿 ℋ (ℝ ) = ∞.

Sedangkan untuk 0 < 푛 < 푠 berlaku

ℋ (ℝ ) ≥ 훿 ℋ (ℝ )

ℋ (ℝ ) ≤ 훿 ℋ (ℝ )

lim→ℋ (ℝ ) ≤ lim

→훿 ℋ (ℝ ) = 0.

Diperoleh bahwa


53

ℋ (ℝ ) = ∞ untuk 푠 < 푛0 untuk 푠 > 푛.

Jadi dim (ℝ ) = 푛.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa 푑푖푚 (ℝ) = 1, 푑푖푚 (ℝ ) = 2,

푑푖푚 (ℝ ) = 3, dan seterusnya.

Contoh 3.2.2

Hitung dimensi Hausdorff untuk himpunan Cantor 퐶.

Penyelesaian:

Himpunan Cantor 퐶 merupakan himpunan dalam selang terutup [0, 1] dengan

퐶 = ⋂ 퐶 .

0 1 퐶 = [0,1]

0 1 퐶 = 0, ∪ , 1

0 1 퐶 = 0, ∪ , ∪

, ∪ , 1

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Pada langkah ke-푛 diperoleh himpunan 퐶 yang terdiri dari 2 interval tertutup dan

saling asing dengan panjang interval . Misal {푈 } adalah selimut-훿 dari 퐶 dengan

훿 = dan 푈 merupakan interval –interval tertutup. 퐻 (퐶) = inf ∑ |푈 | ≤

∑ |푈 | = 2 . Agar 퐻 (퐶) ≤ 1, maka 2 ≤ 1. Diperoleh 푠 ≥ . Jadi

untuk 푠 ≥ dan 훿 → 0, maka 퐻 (퐶) ≤ 1.


54

Akan dibuktikan bahwa 푠 = adalah dim (퐶). Untuk membuktikan bahwa

푠 = dim (퐶), akan ditunjukkan bahwa ≤ 퐻 (퐶) ≤ 1. Sudah dibuktikan bahwa

퐻 (퐶) ≤ 1 jika 푠 ≥ . Selanjutnya, akan ditunjukkan ditunjukkan 퐻 (퐶) ≥ . Ka-

rena 퐶 kompak, maka terdapat subselimut berhingga yang menyelimuti 퐶. Misal {푈 }

adalah selimut berhingga dari 퐶. Untuk setiap 푈 berlaku ≤ |푈 | ≤ sehingga

selimut 푈 dapat beririsan dengan paling banyak satu interval tertutup penyusun 퐶 .

Jika 푗 ≥ 푛, maka banyak interval penyusun 퐶 yang beririsan dengan 푈 paling ba-

nyak 2 . Karena 푠 = , maka 2 = 2 3 = 2 3 = 1, sehingga

2 = 3 . Selanjutnya,

2 = 2 2 = 2 3 = 2 3 3 ( ) ≤ 2 3 |푈 | .

Karena 푈 beririsan dengan semua 2 interval penyusun 퐶, maka

2 ≤ 2 3 |푈 |

|푈 | ≥ 3 = 3 =12.

Dengan demikian terbukti bahwa s = dim (퐶) = .

3.3 Dimensi Kotak

Dimensi dimensi kotak adalah salah satu metode penghitungan dimensi yang sering

digunakan karena relatif lebih mudah dalam penghitungan. Metode ini dinilai lebih

mudah diterapkan daripada dimensi Hausdorff. Gagasan mendasar penghitungan di-

mensi kotak adalah pengukuran pada skala 훿. Objek yang akan dihitung dimensinya

ditempatkan pada jaring-jaring persegi berukuran 훿, kemudian dihitung banyaknya

kotak yang memuat objek tersebut. Banyaknya kotak yang memuat objek tersebut,

misalnya disimbolkan dengan 풩, yang tergantung pada skala 훿.


55

Definisi 3.3.1

Dalam ruang metrik lengkap ℝ dengan metrik biasa, misalkan 퐹 adalah subhimpu-

nan takkosong dan 풩 (퐹) adalah jumlah minimum himpunan-himpunan dengan di-

ameter tidak lebih dari 훿 yang dapat menyelimuti 퐹.

Dimensi kotak bawah dari 퐹 adalah

dim 퐹 = lim→

inflog풩 (퐹)− log훿

dan dimensi kotak atas dari 퐹 adalah

dım 퐹 = lim→

suplog풩 (퐹)− log 훿 .

Jika dim 퐹 = dım 퐹, maka nilai yang sama itu disebut dimensi kotak dari 퐹

dim 퐹 = lim→

log풩 (퐹)− log훿 .

Contoh 3.3.1

Himpunan Cantor 퐶 adalah irisan dari keluarga himpunan {퐶 :푛 ∈ ℕ} dalam selang

tertutup [0,1] dengan 퐶 = [0,1], 퐶 = 0, ∪ , 1 dan seterusnya. Hitung dimensi

kotak dari himpunan Cantor 퐶.

Penyelesaian:

Himpunan Cantor 퐶 merupakan himpunan dalam selang terutup [0, 1].

0 1 퐶 = [0,1]

0 1 퐶 = 0, ∪ , 1

0 1 퐶 = 0, ∪ , ∪

, ∪ , 1

Pada langkah ke-푛 diperoleh himpunan 퐶 yang terdiri dari 2 interval tertutup yang

saling asing dan panjang masing-masing interval adalah . Barisan {퐶 } adalah seli-


56

mut dari 퐶. Jadi 푁 (퐶) = 2 dan = . Jika < 훿 ≤ , maka 푁 (퐶) ≤ 2 , se-

hingga

dim (퐶) = lim→

suplog풩 (퐶)− log훿

≤ lim→

log 2

− log 13

= lim→

푛 log 2(푛 − 1) log 3

=log 2log 3 lim

→

1(푛 − 1)

푛

=log 2log 3

Jadi dim (퐶) ≤ .

Selanjutnya, jika < 훿 ≤ , maka 푁 (퐶) ≥ 2 , sehingga

dim (퐶) = lim→

inflog풩 (퐶)− log훿

≥ lim→

log 2

− log 13

= lim→

푛 log 2(푛 + 1) log 3

=log 2log 3 lim

→

1(푛 + 1)

푛

=log 2log 3

Jadi dim (퐶) ≥ .

Karena lim → inf 풩 ( ) < lim → sup 풩 ( ), maka


57

log 2log 3 ≤ dim (퐶) ≤ dim (퐶) ≤

log 2log 3

Dengan demikian dimensi kotak dari himpunan Cantor adalah dim (퐶) = .

Contoh 3.3.2

Hitung dimensi kotak dari persegi satuan.

Penyelesaian:

Misal diberikan 퐴 persegi satuan. Persegi 퐴 akan diselimuti dengan persegi-persegi

kecil dengan sisi 휀. Jadi dibutuhkan sebanyak untuk bisa menyelimuti 퐴.

Jadi

dim (퐴) = lim→

log푁 (퐴)− log 휀

= lim→

log 1휀

− log 휀

= lim→

log 휀− log 휀

= lim→

−2log 휀− log 휀

= 2

Jadi dimensi kotak dari persegi satuan adalah 2.

Teorema 3.3.1

a) Jika 퐸 ⊂ 퐹, maka dim 퐸 ≤ dim 퐹 dan dım 퐸 ≤ dım 퐹 (monoton).

b) Jika 푄 adalah kubus takkosong di ℝ , maka dim 푄 = 푛.

c) Jika 퐸 ⊂ ℝ adalah himpunan terbatas, maka dım 퐸 ≤ 푛.

d) Jika 퐸 ⊂ ℝ adalah himpunan yang terbuka, maka dim 퐸 = 푛.

e) dım (퐸 ∪ 퐹) = max dım 퐸 ,dım 퐹 (kestabilan).


58

Bukti:

a) Misalkan 풩 (퐸) adalah jumlah minimum dari himpunan-himpunan berdiame-

ter 훿 yang menyelimuti 퐸, dan 풩 (퐹) adalah jumlah minimum dari himpu-

nan-himpunan berdiameter 훿 yang menyelimuti 퐹. Karena 퐸 ⊂ 퐹, maka

풩 (퐸) ≤ 풩 (퐹), sehingga

log풩 (퐸) ≤ log풩 (퐹)

log풩 (퐸)− log훿 ≤

log풩 (퐹)− log 훿

lim→

inflog풩 (퐸)− log훿 ≤ lim

→inf

log풩 (퐹)− log훿

dim 퐸 ≤ dim 퐹

Demikian pula,

lim→

suplog풩 (퐸)− log훿 ≥ lim

→sup


dım 퐸 ≥ dım 퐹

b) Misalkan 푄 memiliki panjang sisi 푠, dan 훿 = . Jelas bahwa 풩 (푄) =

(2 ) , sehingga

dim 푄 = lim→

log풩 (푄)log훿 = lim

→

log(2 )

log 푠2

= lim→

log풩 (푄)log훿 = lim

→

푛푘 log 2log 푠 − 푘 log 2

= lim→

1log 푠

푛푘 log 2 −푘 log 2푛푘 log 2

=1

lim→

log 푠푛푘 log 2 − lim

→

푘 log 2푛푘 log 2

=11푛

= 푛


59

c) Diketahui himpunan terbatas 퐸 ⊂ ℝ . Ambil kubus 푄 di ℝ sedemikian se-

hingga 퐸 ⊂ 푄. Dengan (푎) diperoleh dim 퐸 ≤ dim 푄. Karena 푄 adalah

kubus di ℝ , maka dim 푄 = 푛 menurut (푏). Jadi dim 퐸 ≤ 푛.

d) Diketahui himpunan terbuka 퐸 ⊂ ℝ . Ambil sebarang kubus 푄 di ℝ sedemi-

kian sehingga 퐸 ⊂ 푄. Dengan (푎) diperoleh dim 퐸 ≥ dim 푄 dan dım 퐸 ≥

dım 푄. Karena 푄 adalah kubus di ℝ , maka dim 푄 = 푛 menurut (푏).

di dim 퐸 ≤ 푛 dan dım 퐸 ≥ 푛, sehingga dim 퐸 = 푛.

e) Akan dibuktikan bahwa dım (퐸 ∪ 퐹)≤ max dım 퐸 ,dım 퐹 dan

dım (퐸 ∪ 퐹) ≥ max dım 퐸 , dım 퐹 .

Karena 퐸 ⊂ (퐸 ∪ 퐹) dan 퐹 ⊂ (퐸 ∪ 퐹), maka dım 퐸 ≤ dım (퐸 ∪ 퐹) dan

dım 퐹 ≤ dım (퐸 ∪ 퐹), sehingga dım (퐸 ∪ 퐹) ≥ max dım 퐸 ,dım 퐹 .

Selanjutnya, untuk membuktikan dım (퐸 ∪ 퐹)≤ max dım 퐸 , dım 퐹 ,

dimisalkan 풩 (퐸),풩 (퐹) dan 풩 (퐸 ∪ 퐹) berturut-turut adalah jumlah mini-

mum jaring-jaring yang beririsan dengan 퐸,퐹 dan 퐸 ∪ 퐹, yang diameternya

kurang dari 훿. Maka

풩 (퐸 ∪ 퐹) ≤ 풩 (퐸) + 풩 (퐹) ≤ 2 max{풩 (퐸),풩 (퐹)}

log풩 (퐸 ∪ 퐹) ≤ log 2 max{풩 (퐸),풩 (퐹)}

log풩 (퐸 ∪ 퐹) ≤ log 2 +max{log풩 (퐸), log풩 (퐹)}

log풩 (퐸 ∪ 퐹)− log 훿 ≤

log 2 +max{log풩 (퐸), log풩 (퐹)}

− log훿

lim휹→ퟎ

log풩 (퐸 ∪ 퐹)− log훿 ≤ lim

휹→ퟎ

log 2 +max{log풩 (퐸), log풩 (퐹)}

− log훿

lim휹→ퟎ


휹→ퟎ

max{log풩 (퐸), log풩 (퐹)}

− log훿

lim휹→ퟎ


휹→ퟎmax

log풩 (퐸)− log훿 ,


Jika diambil lim sup untuk 훿 → 0, maka


60

lim→

suplog풩 (퐸 ∪ 퐹)

− log훿 ≤ lim→

sup maxlog풩 (퐸)− log훿 ,


lim→

suplog풩 (퐸 ∪ 퐹)

− log훿 ≤ max lim→

suplog풩 (퐸)− log훿 , lim

→sup


dım (퐸 ∪ 퐹) ≤ max dım 퐸 , dım 퐹 .

Jadi, terbukti bahwa dım (퐸 ∪ 퐹) = max dım 퐸 , dım 퐹 . ∎

Teorema 3.3.2

Untuk setiap 퐸 ⊂ ℝ , berlaku dim 퐸 ≤ dim 퐸.

Bukti:

Jika dim 퐸 = 0, maka jelas bahwa dim 퐸 ≤ dim 퐸. Akan ditunjukkan, jika

푠 < dim 퐸, maka 푠 < dim 퐸. Karena 푠 < dim 퐸 berakibat lim → ℋ (퐸) =

ℋ (퐸) = ∞. Untuk nilai 훿 > 0 yang cukup kecil, maka ℋ (퐸) > 1. Ambil 훿 > 1.

Himpunan 퐸 dapat diselimuti oleh 풩 (퐸), yaitu jumlah minimum dari himpunan-

himpunan yang diameternya kurang dari 훿. Maka,

1 < ℋ (퐸) < 풩 (퐸)훿

log 1 < logℋ (퐸) < log풩 (퐸)훿

0 < logℋ (퐸) < log풩 (퐸)+log훿

0 < log풩 (퐸) + 푠 log훿

−푠 log 훿 < log풩 (퐸)

푠 >log풩 (퐸)−log훿

s < lim→

inflog풩 (퐸)−log훿 = dim 퐸.

Dengan demikian terbukti bahwa dim 퐸 ≤ dim 퐸. ∎

Teorema 3.3.2 menunjukkan adanya hubungan antara dimensi Hausdorff dan dimensi

hitung kotak.


61

Teorema 3.3.3

Misal 푓 :ℝ → ℝ (푖 = 1, . . ,푚) adalah pemetaan kontraksi dengan konstanta kon-

traksi 푐 . Jika 퐹 adalah invarian dari pemetan 푓 , maka dim (퐹) = dim (퐹) = 푠

dengan 푠 memenuhi ∑ 푐 = 1.

Bukti:

Ambil 휀 > 0 sedemikian sehingga 푓 (퐹) + 휀 , 푓 (퐹) + 휀 , 푓 (퐹) + 휀 , …, 푓 (퐹) +

휀 saling asing. Jika 푁(퐹, 휀) adalah jumlah minimum jaring-jaring yang memuat 퐹,

maka 푁(퐹, 휀) = 푁(푓 (퐹), 휀) + 푁(푓 (퐹), 휀) + 푁(푓 (퐹),휀) + ⋯+ 푁(푓 (퐹),휀). Ka-

rena 푓 merupakan pemetaan kontraksi maka dengan konstanta kontraksi 푐 , maka

푁(퐹, 휀) = 푁 푓 (퐹),1푐 휀 + 푁 푓 (퐹),

1푐 휀 + 푁 푓 (퐹),

1푐 휀 + ⋯

+ 푁 푓 (퐹),1푐 휀

푐휀 = 푐푟 휀 + 푐푟 휀 + 푐푟 휀 + ⋯+ 푐푟 휀

푐휀 = (푟 + 푟 + 푟 + ⋯+ 푟 )푐휀

Dari persamaan di atas, maka dim (퐹) = 푠 dan 푠 memenuhi ∑ 푐 = 1.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa dimensi Hausdorff dari 퐹 juga 푠.

Misalkan 푈 adalah selimut-훿 dari 퐹 dan 푉 adalah selimut-훿 dari 푓 (퐹). Dengan Teo-

rema 3.1.6, ℋ 푓 (퐹) = 푐 ℋ (퐹), maka

ℋ 푓 (퐹) = 푐 ℋ (퐹).

Karena ∑ 푐 = 1, maka

ℋ 푓 (퐹) = ℋ (퐹).

Barisan {푉 } merupakan selimut-훿 dari 푓 (퐹), maka

|푉 | ≤ 훿

|푉 | ≤ 훿


62

|푉 | ≤ 훿 .

Infimum dari ℋ 푓 (퐹) tidak akan melebihi anggota-anggotanya, maka

ℋ 푓 (퐹) ≤ |푉 | ≤ 훿 .

Dengan mengambil limit untuk 훿 menuju nol diperoleh

lim→ℋ 푓 (퐹) ≤ lim

→푚훿 = 0.

Sehingga

ℋ (퐹) = ℋ 푓 (퐹) ≤ 0.

Jadi dim (퐹) = 푠. Dengan demikian terbukti dim (퐹) = dim = 푠. ∎


BAB IV

DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA

A. Himpunan Julia

Himpunan Julia, yang pertama kali diselidiki oleh matematikawan Perancis,

Gaston Julia, merupakan salah satu contoh fraktal yang didefinsikan pada bilangan

kompleks. Himpunan Julia dibangun dari iterasi-iterasi fungsi kompleks dengan di-

rinya sendiri. Banyak fraktal dari himpunan titik-titik di bidang kompleks didefinisi-

kan dengan fungsi yang sederhana. Salah satu fungsi yang membangun himpunan

Julia adalah 푧 = 푧 + 푐, dengan 푐 adalah bilangan kompleks. Fungsi tersebut ser-

ing disebut pemetaan kuadratik. Dalam matematika, khususnya Dinamika Kompleks,

himpunan Julia sangat erat kaitannya dengan himpunan Mandelbrot yang ditemukan

oleh Benoit Mandelbrot.

Definisi 4.1.1

Diberikan 푓 :ℂ → ℂ dengan 푓 (푧) = 푧 + 푐, 푐 ∈ ℂ. Himpunan semua titik di ℂ yang

mempunyai orbit yang terbatas terhadap 푓 , yaitu {푧 ∈ ℂ: {푓 (푧)} terbatas}, disebut

himpunan Julia penuh, dan dinotasikan dengan 퐾(푓 ).

Definisi 4.1.2

Misalkan (푋,푑) ruang metrik dan 퐴 ⊂ 푋. Titik 푎 ∈ 퐴 disebut titik batas dari himpu-

nan 퐴 jika untuk setiap 푟 > 0, bola terbuka 퐵 (푎) memuat titik anggota 퐴 dan titik

anggota 퐴 . Himpunan semua titik batas dari himpunan 퐴 disebut batas himpunan 퐴,

dan dinotasikan dengan 휕퐴.

Lema 4.1.1

Misalkan (푋,푑) ruang metrik dan 퐴 ⊂ 푋. Batas himpunan 퐴, yaitu ∂퐴 adalah himpu-

nan tertutup.


64

Bukti:

Ambil sebarang 푎 ∈ ∂퐴, maka untuk setiap 푟 > 0 berlaku 퐵 (푎) ∩ (휕퐴 − {푎}) ≠ ∅.

Jadi sebarang 푎 ∈ ∂퐴, 푎 merupakan titik limit. Jadi ∂퐴 tertutup. ∎

Definisi 4.1.3

Diberikan 푓 :ℂ → ℂ dengan 푓 (푧) = 푧 + 푐. Batas dari himpunan Julia penuh disebut

himpunan Julia, dan dinotasikan dengan 퐽(푓 ).

Definisi 4.1.4

Komplemen dari himpunan Julia, yaitu 퐹(푓 ) = ℂ\퐽(푓 ) disebut himpunan Fatou.

Contoh 4.1.1

Diberikan fungsi 푓 (푧) = 푧 + 푐. Untuk 푧 = 푟푒 dan 푐 = 0, maka

푓 (푧 ) = 푟푒

푓 (푧 ) = 푟 푒 ( )

푓 (푧 ) = 푟 푒

⋮

푓 (푧 ) = 푟 푒 ( )

Orbit 푧 terhadap 푓 adalah 푟푒 , 푟 푒 ( ) , 푟 푒 , …, 푟 푒 ( ), …. Jika 푟 < 1,

maka untuk 푛 → ∞, nilai 푟 → 0. Jadi orbit dari 푧 akan menuju ke 0. Jika 푟 > 1,

maka untuk 푛 → ∞, nilai 푟 → ∞. Jadi orbit dari 푧 akan menuju ∞. Jika 푟 = 1,

maka untuk 푛 → ∞, nilai 푟 → 1. Jadi orbit dari 푧 lingkaran satuan. Dengan melihat

sifat orbit dari 푧 tersebut dapat diketahui bahwa himpunan Julia dari 푓 (푧) = 푧 ada-

lah berbentuk lingkaran.

Teorema 4.1.1

Diberikan 푓 :ℂ → ℂ dengan 푓 (푧) = 푧 + 푐, 푧 ∈ ℂ. Jika |푐| > 2, maka untuk setiap

|푧| ≥ |푐| berlaku lim → 푓 (푧) = ∞.


65

Bukti:

Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh |푓 (푧)| = |푧 + 푐| ≥ |푧 | − |푐|. Diketahui

|푧| ≥ |푐| > 2, maka

|푓 (푧)| = |푧 + 푐| ≥ |푧 |− |푐| ≥ |푧 | − |푧| = |푧|(|푧|− 1).

Karena |푧| > 2, maka terdapat 휆 > 0 sedemikian sehingga |푧| − 1 = 1 + 휆, sehingga

|푓 (푧)| ≥ (1 + 휆)|푧|.

Untuk 푛 = 2, maka

|푓 (푧)| = 푓 푓 (푧) ≥ (1 + 휆)|푓 (푧)|

≥ (1 + 휆)(1 + 휆)|푧|

= (1 + 휆) |푧|.

Dengan perulangan iterasi, diperoleh |푓 (푧)| ≥ (1 + 휆) |푧|, sehingga

lim → |푓 (푧)| ≥ lim → (1 + 휆) |푧| = ∞. ∎

Korolari 4.1.1

Jika |푧| > max{|푐|, 2}, maka |푓 (푧)| ≥ (1 + 휆) |푧| dan lim → 푓 (푧) = ∞.

Bukti :

Jika |푐| > 2, maka |푧| > max {|푐|, 2} = |푐|, sehingga dengan Teorema 4.1.1 dipero-

leh lim → 푓 (푧) = ∞. ∎

Korolari 4.1.2

Jika untuk suatu bilangan 푘 ∈ ℕ, |푓 (푧)| > max {|푐|, 2}, maka lim → 푓 (푧) = ∞.

Bukti:

Karena |푓 (푧)| > max {|푐|, 2}, maka dengan Korolari 4.1.1 diperoleh

lim→

푓 푓 (푧) = ∞

lim→

푓 (푧) = ∞

lim→

푓 (푧) = ∞ ∎


66

Korolari 4.1.3

Jika |푐| > 2, maka lim → 푓 (0) = ∞.

Bukti:

Untuk 푧 = 0, maka |푓 (0)| = |푐| dan |푓 (0)| = |푐 + 푐| > |푐 | − |푐| =

|푐|(|푐|− 1) > 2(|푐|− 1) > |푐| + |푐|− 2 > |푐| + 2− 2 = |푐| = max {|푐|, 2}.

Maka dengan Korolari 4.1.2 diperoleh lim → 푓 (0) = ∞. ∎

Teorema 4.1.2

Diberikan fungsi 푓 (푧) = 푧 + 푐, 푧, 푐 ∈ ℂ. Himpunan Julia penuh 퐾(푓 ) adalah

himpunan tertutup.

Bukti:

Untuk membuktikan 퐾(푓 ) tertutup, akan dibuktikan komplemennya, yaitu 퐾 (푓 ),

terbuka. Ambil sebarang 푧 ∈ 퐾 (푓 ), maka |푓 (푧 )| → ∞. Dengan demikian terda-

pat 푘 ∈ ℕ sedemikian sehingga |푓 (푧 )| > max{|푐|, 2}. Fungsi 푓 merupakan fungsi

kontinu, maka dapat dicari 훿 > 0 sedemikian sehingga untuk |푧 − 푧 | < 훿 berlaku

0 < |푓(푧)− 푓(푧 )| < 휀. Dengan ketaksamaan segitiga

|푓 (푧 )| − |푓 (푧)| ≤ |푓 (푧 ) − 푓 (푧)|

|푓 (푧 )| − |푓 (푧)| ≤ |푓 (푧 ) − 푓 (푧)|

|푓 (푧)| ≥ |푓 (푧 )|− |푓 (푧 ) − 푓 (푧)| > max{|푐|, 2}

Dengan Korolari 4.1.2, maka |푓 (푧)| → ∞. Jadi 푧 ∈ 퐾 (푓 ). Dengan demikian terda-

pat 퐵 (푧 ) ⊂ 퐾 (푓 ). Jadi 퐾 (푓 ) terbuka. Karena 퐾 (푓 ) terbuka, maka 퐾(푓 ) tertu-

tup. ∎

Korolari 4.1.4

Himpunan Julia 퐽(푓 ) tertutup dan 퐽(푓 ) ⊂ 퐾(푓 ).

Bukti:

Karena 퐽(푓 ) = 휕퐾(푓 ), maka dengan Lema 3.1.1 퐽(푓 ) tertutup. Selanjutnya, karena

퐾(푓 ) bersifat tertutup, maka semua titik limit 퐾(푓 ) berada di 퐾(푓 ). Akan dibukti-


67

kan bahwa untuk sebarang 푧 ∈ 휕퐾(푓 ), 푧 titik limit 퐾(푓 ). Ambil sebarang 푧 ∈

휕퐾(푓 ), maka untuk setiap 푟 > 0, 퐵 (푧) ∩ (퐾 − {푧}) ≠ ∅. Jadi untuk sebarang

푧 ∈ 휕퐾(푓 ), 푧 juga merupakan titik limit 퐾(푓 ). Karena 퐾(푓 ) tertutup, maka semua

titik limitnya berada di 퐾(푓 ). Jadi 푧 ∈ 퐾(푓 ) untuk sebarang 푧 ∈ 휕퐾(푓 ). Dengan

demikian terbukti bahwa himpunan Julia 퐽(푓 ) tertutup dan 퐽(푓 ) ⊂ 퐾(푓 ). ∎

Teorema 4.1.3

Himpunan Julia 퐽(푓 ) bersifat kompak.

Bukti:

Ambil sebarang 푧 ∈ 퐽(푓 ), maka 푧 ∈ 퐾(푓 ) sehingga lim → 푓 ≠ ∞. Dipilih

푟 = max{|푐|, 2} sehingga dengan Korolari 4.1.1 berlaku jika lim → 푓 ≠ ∞, maka

|푧| ≤ 푟. Jadi untuk sebarang 푧 ∈ 퐽(푓 ), 푧 ∈ 퐵 (0). Jadi 퐽(푓 ) ⊂ 퐵 (0). Terbukti

bahwa 퐽(푓 ) terbatas. Selanjutnya dengan Korolari 4.1.4, 퐽(푓 ) tertutup. Dengan

demikian 퐽(푓 ) kompak. ∎

Teorema 4.1.4

Diberikan 퐷 = {푧||푧| < |푐|}. Jika (푓 ) (퐷) = {푧|푓 (푧) ∈ 퐷}, yaitu prapeta dari 퐷

oleh pemetaan 푓 , maka 퐾(푓 ) = ⋂ (푓 ) (퐷).

Bukti:

Jika 푧 ∉ ⋂ (푓 ) (퐷)∈ℕ , maka 푓 (푧) ∉ 퐷 untuk suatu 푘 ∈ ℕ, yaitu |푓 (푧)| ≥ |푐|.

Dengan Korolari 4.1.2 maka orbit dari 푧 tidak terbatas. Jadi 푧 ∉ 퐾(푓 ).

Sebaliknya, jika 푧 ∈ ⋂ (푓 ) (퐷)∈ℕ , maka 푓 (푧) ∈ 퐷 untuk setiap 푛 ∈ ℕ. Jadi

푓 (푧) terbatas, sehingga 푧 ∈ 퐾(푓 ).

Dengan demikian terbukti 퐾(푓 ) = ⋂ 푓 (퐷) . ∎

Definisi 4.1.5

Himpunan 퐺 dikatakan invarian maju terhadap pemetaan 푓 bila 푓(퐺) ⊆ 퐺.

Himpunan 퐺 dikatakan invarian mundur terhadap pemetaan 푓 bila 푓 (퐺) ⊆ 퐺.


68

Himpunan 퐺 dikatakan invarian lengkap terhadap pemetaan 푓 bila 푓(퐺) ⊆ 퐺 dan

푓 (퐺) ⊆ 퐺.

Teorema 4.1.5

Himpunan Julia 퐽(푓 ) bersifat invarian lengkap terhadap 푓 .

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa 푓 퐽(푓 ) ⊆ 퐽(푓 ) dan 푓 퐽(푓 ) ⊆ 퐽(푓 ).

Ambil sebarang 푧 ∈ 퐽(푓 ), maka 푧 ∈ 퐾(푓 ). Maka lim → 푓 (푧) < ∞. Karena 푧

merupakan titik batas 퐾 maka ada 푤 ∈ 퐵 (푧)sedemikian sehingga lim → 푤 = 푧

dan lim → 푓 (푤 ) = ∞. Karena 푓 kontinu, maka dapat dicari 훿 sedemikian se-

hingga untuk |푤 − 푧| < 훿 berlaku |푓 (푤 )− 푓 (푧)| < 휀 untuk setiap 휀 > 0 yang

diberi. Jadi 푓 (푧) ∈ 퐽(푓 ) untuk semua 푧 ∈ 퐽(푓 ). Dengan demikian terbukti bahwa

푓 퐽(푓 ) ⊆ 퐽(푓 ).

Selanjutnya, ambil sebarang 푧 ∈ 퐽(푓 ) dan 푤 seperti di atas. Ambil sebarang

푧 ∈ 퐵 (푧) sehingga 푓(푧 ) = 푧. Untuk 푧 ∈ 퐵 (푧) dapat dicari 푣 ∈ 퐵 (푧) sedemi-

kian sehingga lim → 푣 = 푧 dan 푓 (푣 ) = 푤 . Maka 푓 (푣 ) = 푓 푓 (푣 ) =

푓 (푤 ) dan lim → 푓 (푤 ) = ∞. Karena 푓 (푧 ) = 푧 ∈ 퐽(푓 ), maka 푓 (푧 ) =

푓 푓 (푧 ) = 푓 (푧) dan lim → 푓 (푧) ≠ ∞. Maka 푧 ∈ 퐽(푓 ). Jadi untuk

푓(푧 ) = 푧 ∈ 퐽(푓 ) diperoleh bahwa 푧 ∈ 퐽(푓 ). Terbukti bahwa 푓 퐽(푓 ) ⊆ 퐽(푓 ).

Dengan demikian terbukti bahwa 퐽(푓 ) bersifat invarian lengkap. ∎

B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia

Himpunan Julia yang akan dihitung dimensinya adalah himpunan Julia untuk para-

meter 푐 yang besar.

Misal 퐶 adalah lingkaran dengan pusat 0 dan berjari-jari |푐| dan 퐷 adalah interior dari

퐶, yaitu 퐷 = {푧: |푧| < |푐|}. Invers dari 푓 (푧) = 푧 + 푐 adalah 푓 (푧) = √푧 − 푐, se-

hingga gambar dari 푓 (퐶) berbentuk angka delapan yang berpotongan di titik asal.


69

Misalkan 푆 , 푆 :퐷 → 퐷, karena 푓 memetakan 푓 (퐷) ke 퐶, maka 푆 dan 푆 adalah

subhimpunan dari 푓 (퐶) yang memetakan 퐷 ke interior dari masing-masing lingka-

ran 푓 (퐶). Misal 푉 adalah lingkaran di dalam lingkaran 퐶 yang berpusat di titik 0

dan memiliki jari-jari minimum sedemikian sehingga memuat 푓 (퐶). Dipilih

푟 = |2푐| . Karena 푉 ⊂ 퐷, maka 푆 (푉) dan 푆 (푉) termuat di masing-masing lingka-

ran 푓 (퐶).

|푆 (푧 )− 푆 (푧 )| = (푧 − 푐) − (푧 − 푐)

=(푧 − 푐) − (푧 − 푐) (푧 − 푐) + (푧 − 푐)

(푧 − 푐) + (푧 − 푐)

=|푧 − 푐 − 푧 + 푐|

(푧 − 푐) + (푧 − 푐)

=|푧 − 푧 |

(푧 − 푐) + (푧 − 푐)

Pandang (푧 − 푐) + (푧 − 푐) . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh

|푐|− |2푐| ≤ |푧|− |푐| ≤ |푧 − 푐| ≤ |푧| + |푐| ≤ |푐| + |2푐|

|푐|− |2푐| ≤ |푧 − 푐| ≤ |푐| + |2푐| .

Jadi untuk (푧 − 푐) + (푧 − 푐) berlaku

|푐|− |2푐| + |푐|− |2푐| < (푧 − 푐) + (푧 − 푐) < |푐| + |2푐| + |푐| + |2푐|

2 |푐|− |2푐| < (푧 − 푐) + (푧 − 푐) < 2 |푐| + |2푐|

1

2 |푐| + |2푐|

<1

(푧 − 푐) + (푧 − 푐)<

1

2 |푐|− |2푐|


70

1

2 |푐| + |2푐|

<|푆 (푧 ) − 푆 (푧 )|

|푧 − 푧 | <1

2 |푐|− |2푐|

|푧 − 푧 |

2 |푐| + |2푐|

< |푆 (푧 ) − 푆 (푧 )| <|푧 − 푧 |

2 |푐|− |2푐|

12

|푐| + |2푐| |푧 − 푧 | < |푆 (푧 ) − 푆 (푧 )| <12

|푐|− |2푐| |푧 − 푧 |

Pemetaan 푆 dan 푆 merupakan kontraksi jika |푐|− |2푐| < 1, maka

12

|푐|− |2푐| < 1

2 |푐|− |2푐| > 1

|푐|− |2푐| >12

|푐|− |2푐| >14

|푐|− |2푐| −14 > 0.

Misal |푐| = 푥, maka pertidaksamaan di atas menjadi 푥 − √2푥 − >

0. Penyelesaian pertidaksamaan adalah 푥 > √ √ atau 푥 < √ √ . Maka |푐| >

√ √ , sehingga |푐| > √ √ = √ = √ = 2.47 atau |푐| < √ √ se-

hingga |푐| < √ √ = √ = √ = 0.25.

Jadi 푆 (푉) dan 푆 (푉) merupakan kontraksi jika |푐| > 2.47 atau 0 ≤ |푐| < 0.25.

Himpunan Julia yang akan dihitung adalah himpunan Julia dengan |푐| > 2.47 atau 0 ≤ |푐| < 0.25.


71

Karena 푐 dan 푐 merupakan konstanta kontraksi, maka 푠 adalah dimensi dari himpu-nan Julia jika memenuhi ∑ 푐 = 1.

Maka

푐 =12

|푐| + |2푐|

1 = 212

|푐| + |2푐|

12 =

12

|푐| + |2푐|

log12 = log

12

|푐| + |2푐|

log12 = log

12 + log |푐| + |2푐|

log12 = 푠 log

12 −

푠2 log |푐| + |2푐|

log12 = 푠 log

12 −

12 log |푐| + |2푐|

푠 =log 1

2

log 12 − 1

2 log |푐| + |2푐|

푠 =− log 2

−log 2− 12 log |푐| + |2푐|

푠 =4 log 2

4log 2+2 log |푐| + |2푐|

푠 =2 log 2

2log 2+ log |푐| + |2푐|

푠 =2 log 2

log 4 |푐| + |2푐|


BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dimensi fraktal adalah ukuran sebuah himpunan yang digunakan untuk meng-

gambarkan struktur suatu fraktal serta untuk membandingkan kompleksitas fraktal

yang satu dengan yang lain. Dimensi dari suatu fraktal didekati dengan menggunakan

himpunan-himpunan yang mempunyai ukuran yang berbeda-beda. Dimensi

Hausdorff dan dimensi kotak sering digunakan untuk mengukur suatu fraktal.

Dimensi Hausdorff bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi �, yaitu ��. Bilangan � adalah dimensi Hausdorff dari suatu himpunan bila � adalah �� dengan �� adalah infimum atas semua jumlahan selimut-� yang menyelimuti himpunan tersebut� Dimensi kotak didasarkan pada pengukuran

skala �. Penghitungan dimensi ini dilakukan dengan menghitung banyaknya

perubahan yang terjadi bila skala dari himpunan yang menyelimutinya diubah.

Salah satu contoh fraktal yang terkenal adalah himpunan Julia yang dibangun

oleh �� . Jika himpunan Julia �� sifat invarian terhadap pemetaan

kontraksi �� , maka �!"�� !#�� , dengan � memenuhi

$ ��%�&' ( dimana �� adalah konstanta kontraksi dari ��. Untuk � yang memenuhi

)�) * +�,- atau . )�) / �+0, �!"�� !#�� 123�123456)�)7)��)89:;

.


74

B. Saran

Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas dimensi fraktal yang mengarah

pada dimensi takbulat dan digunakan untuk menghitung dimensi himpunan Julia yang

dibangun dari fungsi �� , untuk )�) * +�,- atau . )�) / �+0. Skripsi ini masih bisa dikembangkan dengan membahas dimensi himpunan Julia dengan fungsi

pembentuknya berderajat < * +. Selain dimensi Hausdorff dan dimensi kotak, masih

terdapat dimensi lain yang digunakan untuk menghitung dimensi fraktal, misalnya

dimensi Minkowski, dimensi kompas, dimensi Lyapunov, dimensi Renyi dan lain-

lain.


DAFTAR PUSTAKA

Arora, Savita dan Malik, S.C. (1992). Mathematical Analysis: (Second Edition). New Delhi: New Age International(P) Limited Publisher.

Barnsley, M. (1988). Fractals Everywhere. Boston: Academic Press, Inc.

Devaney, Robert L. (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical System. (Second Editon). New York: Addison – Wesley.

________________. (1990). Chaos, Fractals, and Dynamics, Computer Experiments in Mathematics. New York: Addison – Wesley.

________________.The Complex Dynamics of Quadratic Polynomials. http://www.math.uic.edu/~demarco/math546/Devaney_quadratic.pdf. Diakses tanggal 7 Juni 2010.

________________. (1992). A First Course in Chaotic Dynamical System: Theory and Experiment. New York: Addison – Wesley.

Edgar, Gerald. (2008). Measure, Topology, and Fractal Geometry. (Second Edition). New York: Springer.

Falconer, K. (1990). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. New York: John Wiley&Sons.

_________.(2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications Second Edition. New York: John Wiley&Sons.

Fraser, Jonathan. An Introduction to Julia Sets. http://www.neiu.edu/~mgidea/Jul-ia.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.

Gamelin, Theodore W. (2000). Complex Analysis. New York: Springer.

Helmberg, Gilbert. (2007).Getting Acquainted with Fractals. Berlin: Walter de Gruy-ter.

Jaya, Andi Kresna. Analisis Orbit Fraktal Pada Himpunan Julia. http://akademik.un- has.ac.id/proxylib/public_html/files/akresna/Analisis%20orbit%20fractal_Kresna.pdf. Diakses tanggal 15 Mei 2010.

Knap, Anthony W. (2005). Basic Real Analysis. Boston: Birkhauser.

Kitchen, Sarah. A Comparison of Three Fractal Dimensions. http://www-us-ers.math.umd.edu/ ~lidador/fractal.pdf. Diakses tanggal 8 September 2009.


76

Lee, Seong In. Nonstandard Approach to Hausdorff Measure. www.math.uiuc.edu/~ mim2/zzzthesis.pdf. Diakses tanggal 8 Spetember 2009.

Lev, Nir. Hausdorff Dimension. http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~levnir/files/ Hausdorff.pdf. Diakses tanggal 9 Desember 2009.

Munkres, James R. (1978). Topology A First Course. New Delhi: Prentice Hall of India.

Muscat, J. Metric Spaces.http://staff.um.edu.mt/jmus1/metrics.pdf. Diakses tanggal 10 Juni 2009.

Nielsen,Ole A. (1996). An Introduction to Integration and Measure Theory. New York: John Willey&Sons.

Petersent, Bent. Contraction Mappings. http://people.oregonstate.edu/~peterseb/ Mth614/docs/80-iter-func-systems.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2009.

Schleicher, Dierk. Hausdorff Dimension, Its Properties and Its Surprise. http://org.uib.no/hcaa/HausdorffMonthly.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.

Searcoid, Michael O. (2007). Metric Spaces. London:Springer.

Solomyak, B. Additional Facts About Julia Set. http://www.itl.nist.gov/div898/ software/dataplot/refman2/ch6/julia.pdf. Diakses tanggal 28 Oktober 2010.

Susilo, Dr. F. (1996). “Himpunan Julia dan Klasifikasinya dalam Himpunan Mandel-brot”. Dalam Dr.F.Susilo, SJ dan Drs. St. Susento. [ed]. Sebuah Bunga Ram-pai.Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma.

Soemantri, R. (1998). “Dimensi Tak Utuh: Pendekatan Praktis dan Teoritis”. Dalam: Frans Susilo S.J, dkk[penyunting]. Tantangan dan Harapan. Yogyakarta: Penerbit Universitas Sanata Dharma.

Worth, David. Construction of Geometric Outer-Measure and Dimension Theory. http://www.math.unm.edu/~loring/research/DaveWorthThesis.pdf. Diakses tang-gal 26 Sepetember 2009.


PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DIMENSI … · Ciri umum dari dua dimensi tersebut adalah...

Documents

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DIMENSI … · Ciri umum dari dua dimensi tersebut adalah...