Powerpoint koordinat kutub

13

Click here to load reader

description

semoga data dapat berguna

Transcript of Powerpoint koordinat kutub

Page 1: Powerpoint koordinat kutub

PresentasiKelompok 9

Koordinat Kutub

Jurusan MatematikaFakultas MIPA

Universitas Negeri Manado

Page 2: Powerpoint koordinat kutub

A. System koordinat kutub

Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telah memperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan system koordinat Cartesius atau siku- siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus sesamanya

Page 3: Powerpoint koordinat kutub

Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika r adalah jari- jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik P

B. Koordinat Kutub

Page 4: Powerpoint koordinat kutub

C. Persamaan Kutub

Contoh persamaan kutub adalah:

Grafik persamaan kutub adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat kutub yang memenuhi persamaan yang bersangkutan.

Page 5: Powerpoint koordinat kutub

Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius. Maka koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan :

D. Hubungan dengan Koordinat Cartesius

Page 6: Powerpoint koordinat kutub

E. Persamaan Kutub untuk Garis, Lingkaran dan KonikGARIS : Apabila P (r, θ) sebuah titik pada garis,

maka ; , atau cos (θ - θ0) =

LINGKARAN : Apabila pusatnya di (r 0, θ0), persamaannya agak

rumit, kecuali kalau kita pilih r0 = a (Gambar 7.10). Maka menurut

hukum kosinus, a2 = r2 + a2 – 2ra cos (θ - θ0) yang dapat

disederhanakan menjadi : Lingkaran : r = 2a cos (θ - θ0)

KONIK : definisi konik, yaitu PF =e PL kita akan memperoleh

Atau secara setara : konik :

Page 7: Powerpoint koordinat kutub

GAMBAR

Page 8: Powerpoint koordinat kutub

F. Grafik Persamaan Kutub KardiotLimasonMawarSpiral

Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik.1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis θ = π/2) apabila θ diganti dengan π-θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.14). 2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan perpanjangannya ke kiri) apabila θ diganti dengan –θ menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.13). 3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti –r menghasilkan persamaan yang sama (Gambar 7.15).

Page 9: Powerpoint koordinat kutub

Untuk dapat memperoleh semua perpotongan dua kurva dengan koordinat kutub, selesaikanlah persamaan-persamaan bersama-sama; kemudian gambarlah grafiknya secara seksama untuk memperoleh titik potong lain yang masih mungkin.

G. Perpotongan Kurva-kurva Dengan Koordinat Kutub

Page 10: Powerpoint koordinat kutub

H. Kalkulus Dengan Koordinat KutubDengan koordinat Cartesius, unsure luas dasar adalah luas persegi

panjang. Dengan koordinat kutub unsure luas dasar ini adalah luas suatu juring (sektor) lingkaran (Gambar 7.23). Oleh karena luas lingkaran dengan jari-jari r adalah πr2 , kita dapat menarik kesimpulan bahwa luas sektor lingkaran dengan sudut pusat θ radian adalah (θ/2π)πr2 . Sehingga :

Page 11: Powerpoint koordinat kutub

Andaikan r = f(θ) menentukan sebuah kurva pada bidang dengan f kontinu dan tak negatif untuk α ≤ θ ≤ β dan β-α ≤ 2π. Maka kurva r = f(θ), θ = α’ dan θ = β membatasi sebuah daerah R (Gambar 7.24 kiri); kita hendak menentukan luas A(R). Kita bagi selang [α, β] menjadi n bagian selang oleh bilangan-bilangan θi, I = 0, 1, 2, …n dengan α = θ0 < θ1 < θ2 < …< θn = β dengan demikian daerah R

terbagi menjadi daerah yang lebih kecil, yaitu R1, R2,…, Rn (Gambar 7.24

kanan). Maka A(R) = A(R1) + A(R2) + … + A(Rn).

Kita aproksimasi luas A(Ri) dengan dua jalan. Pada selang ke-I,[θi-1 , θi ],

f mencapai nilai minimum di ui dan mencapai nilai maksimumnya di vi (Gambar

4.25). Jadi, apabila Δθi = θi - θi-1, kita peroleh

I. Luas dalam Koordinat Kutub

Page 12: Powerpoint koordinat kutub

Dengan koordinat Cartesius, kemiringan (slope) m dari garis singgung pada sebuah kurva adalah m = dy/dx. Dengan koordinat kutub kemiringan ini bukanlah dr/dθ. Apabila r = f(θ) menentukan persamaan kurva, kita tulis

J. Garis Singgung dalam Koordinat Kutub

Rumus di atas menjadi sederhana apabila grafik r = f(θ) melalui kutub. Andaikan, sebagai contoh, untuk suatu sudut α, r = f(α) = 0 dan f’(α) ≠ 0. Maka di kutub tersebut kita peroleh

Oleh karena garis θ = α memiliki kemiringan tan α juga, maka kita dapat mengatakan bahwa garis tersebut menyinggung kurva di kutub.Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa garis singgung kurva di kutub dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan f(θ) = 0.

Page 13: Powerpoint koordinat kutub

Nama-Nama KelompokROY S. MAHAJANI (13 531 115)KEVIN TOLOLIU (13 531 049)