Ppt persamaan kuadrat
Transcript of Ppt persamaan kuadrat
Nama:
FAJAR MFTAKHURROHMAN
3J / 13310287
1. Menyelesaikan Persamaan
kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.
ax2 + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2)
= 0.
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan
kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
c) Menggunakan rumus abc
Selain menggunakan cara pemfaktoran, untuk
menentukanakar-akarpersamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering
disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diturunkan dengan
cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
• Kedua ruas ditambah –c, maka menjadi:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐
Kedua ruas dibagi dengan a dimana a
𝑎𝑥2
𝑎+𝑏𝑥
𝑎=−𝑐
𝑎
↔ 𝑥2 +𝑏𝑥
𝑎=−𝑐
𝑎Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan
cara menambah 𝑏
2𝑎
2pada kedua ruas,
maka di peroleh :
𝑥2 +𝑏𝑥
𝑎+
𝑏
2𝑎
2
=−𝑐
𝑎+
𝑏
2𝑎
2
Nyatakan ruas kiri dalam bentuk kuadrat
sempurna yaitu :
𝑥 +𝑏
2𝑎
2
= −𝑐
𝑎+
𝑏2
4𝑎2
𝑥 +𝑏
2𝑎
2
= −4𝑎𝑐
4𝑎2+
𝑏2
4𝑎2
𝑥 +𝑏
2𝑎
2
=𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥 +𝑏
2𝑎= ±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥 +𝑏
2𝑎= ±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥 +𝑏
2𝑎= ±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 = −𝑏
2𝑎±
𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎Jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat
ax2+ bx+ c =0
𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Contoh soal:
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat
dengan cara menggunakan rumus
kuadrat 6𝑥2– 5x + 1 = 0
Jawab :
a=6 , b=-5, c=1
𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =−(−5) ± (−5)2−4.6.1
2.6
𝑥1,2 =5 ± 25 − 24
12
𝑥1,2 =5 ± 1
12
𝑥1,2 =5 ± 1
12
Jadi :
𝑥1 =5 + 1
12=
6
12=1
2
Atau 𝑥2 =5−1
12=
4
12=
1
3
Hp =1
2,1
3
Penggunaan Diskriminan
Dalam kegiatan 1 bagian b, Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar
persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 (a) dengan menggunakan rumus kuadrat atau
rumus abc, yaitu:
𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan
oleh nilai 𝑏2– 4ac.
Bentuk 𝑏2– 4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat a𝑥2+ bx
+ c= 0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = 𝑏2– 4ac.
Pemberian nama/istilah diskriminan D = 𝑏2– 4ac , dikarenakan nilai D = 𝑏2-4ac
ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan
kuadrat.Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar
persamaan kuadrat
Jenis-jenis Akar Persamaan
Kuadrat• D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga
persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
• D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua
akar real sama. .
• D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka
persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat
mempunyai akar tidak real.
• Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis
akar persamaan kuadrat x2 + 5 x + 2 = 0
Jawab :x2 + 5 x + 2 = 0
• a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar
real berlainan
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat ax2+ bx+ c = 0 mempunyai akar x1dan x2 , dari rumus
𝑥1 =−𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎dan 𝑥2 =
−𝑏− 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Dapat ditentukan :
a. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎+−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =−2𝑏
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏
𝑎
b) Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
𝑥1. 𝑥2 =−𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1. 𝑥2 =−𝑏 2 + 𝑏 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥1. 𝑥2 =𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥1. 𝑥2 =4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥1. 𝑥2 =𝑐
𝑎
CONTOH
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan
persamaan tersebut, hitunglah nilai x12 + x2
2
Jawab :
𝑥1 + 𝑥2 =−𝑏
𝑎=−(−3)
1= 3
𝑥1. 𝑥2 =𝑐
𝑎=4
1= 4
x12 + x2
2 = x12 + x2
2 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2
= (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 2(3)2– 2 . 4 =9-8= 1
Menyusun Persamaan Kuadrat
a) Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan
perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0
dapat dinyatakan sebagai (x – x1) (x – x2) = 0 sehingga
diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan
demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka
persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh
• Tentukan persamaan kuadrat yang akar-
akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan
hasil kali akar-akar
Dengan menggunakan x1 + x2 = −𝑏
𝑎dan
𝑥1. 𝑥2 =𝑐
𝑎, maka akan diperoleh persamaan:
• x2– (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh
• Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan
2x2 – 3x + 1 = 0.
Jawab:
• Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta
persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2
a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0..
Menyusun persamaan kuadrat yang akar-
akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan
kuadrat lainSeringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya
berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar
persamaan x2 – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2
= 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q
= x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
Fungsi Kuadrat
Ingat !• Fungsi atau Pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang
memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota
pada himpunan B.
• Apabila fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan
dengan lambang f: A →B (dibaca: f memetakan A ke B).
Pengertian
Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b,
dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-
nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
• Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2
Lanjutan
• Jawab:
Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1
Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
Gambar grafik fungsi kuadrat
Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan persamaan
f(x)= ax2 +bx +c (a ≠ 0), a, b, c, R. Grafik fungsi kuadrat itu
adalah sebuah parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c.
Untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara
umum, dapat digunakan langkah-langkah sebagai berikut:
(i). titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
(ii). titik balik atau titik puncak parabola.
(iii). Persamaan sumbu simetri.
Langkah-langkah
Titik potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu y
a) Titik Potong Grafik dengan Sumbu X
• Titik potong grafik dengan sumbu X diperoleh jika y= 0, sehingga ax2+bx + c
= 0 merupakan kuadrat dalam x.
Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya
dengan sumbu x. nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2+bx+c= 0, yaitu
D = b2- 4ac menentukan banyak titik potong grafik dengan sumbu x.
1. jika D>0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang
berlainan.
2. Jika D=0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang
berimpit. Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu X.
3. Jika D<0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung
sumbu x.
Titik Potong Grafik dengan sumbu y
Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0,
sehingga
y = 𝑎(0)2+ b(0) + c = c- Jadi, titik potong grafik dengan
sumbu y adalah (0,c)
titik balik atau titik puncak dan Persamaan sumbu
simetri
cara 1 :
Mencari nilai xp menggunakan 𝑥𝑝 =−𝑏
2𝑎
Untuk mencari 𝑦𝑝, substitusikan nilai 𝑥𝑝 =−𝑏
2𝑎ke 𝑦 =
𝑓 𝑥 =𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
• Cara 2 : menggunakan rumus untuk menentukan titik
𝑥𝑝, 𝑦𝑝 =−𝑏
2𝑎,𝑏2−4𝑎𝑐
−4𝑎atau 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 =
−𝑏
2𝑎,𝐷
−4𝑎
• Cara 3 : menggunakan turunan (titik puncak = titik
stationer)
Pilih beberapa nilai x kemudian carilah nilai y nya
dengan menstubstitusikan nilai x pada fungsi f
Buat daftar nilai f dalam tabel
Gambar titik-titik pada bidang koordinat
Dengan memperhatikan nilai a dan D dari suatu fungsi
kuadrat y=f(x)= ax2+bx+c, ada 6 kemungkinan kedudukan
grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu X.
Contoh Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2+2x-1
Jawab :
• Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2+2x – 1 adalah sebuah parabola dengan
• persamaan y = x2+2x -1, berarti a= -1, b =2, dan c = -1.
(i). Titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
a). Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y = 0.
ini berarti: -x2-2x-1 = 0 (kedua ruas dikalikan -1)
⇔ x2-2x+1 = 0
(x-1)(x-1) = 0
x-1 = 0 atau x-1 = 0
x = 0+1 atau x = 0+1
x = 1 atau x = 1
Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (1,0) atau grafik menyinggung
sumbu x di titik (1,0).
b). Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x=0.
Ini berarti: y = -(0)2+2(0)-1
y = 0 + 0-1
y = -1
Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0,-1).
(ii). Koordinat titik balik.
𝑥𝑝 =−𝑏
2𝑎=
−2
2.−1= 1
Oleh Karena a = -1<0, maka p merupakan titik balik maksimum, sehingga
parabolanya terbuka ke bawah
(iii). Persamaan sumbu simetri adalahx =−𝑏
2𝑎=
−2
2.−1= 1
Jadi sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x2+2x-1adalah
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga
buah titikContoh:
• Tentukan persamaan grafik fungsi
kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 ,
8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y = a x2 +
b x + c
Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–
1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ………………. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8) ®
=a (1)2 + b (1) + c
8 = a + b + c ………………. (2)
Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6
= a (2)2 + b (2) + c
6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)
• Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat
ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara
eliminasi.
Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong
sumbu-XMisalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan
0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
0 = a(p2 – q2) + b(p – q)
b(p – q) = –a(p2 – q2)
= –a(p + q) (p – q)
b = – a(p + q)
Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0
ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0
ap2 – ap2 – pqa + c = 0
c = pqa
Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka
y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa
= a(x2 – (p + q)x + pq)
= a(x – p) (x – q)
Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0)
dan (q,0).
• Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (5,0)
dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !
• Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi
kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
= a(x + 5) (x – 1)
Grafik melalui titik (–3, –8), berarti
–8 = a(–3+5) (–3 – 1)
= –8a
a = 1
Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 +
4x – 5.
• Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu
diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q
• Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik
(0,0).
Jawab:
Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3
Grafik melalui titik (0,0) berarti:
0 = a(0 – 1) + 3
0 = a + 3
a = –3
Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh
y = –3 (x – 1)2 + 3
y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3
y = –3x2 + 6x
Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
• Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik
akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik
tertinggi atau terendah adalah (x,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
• Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui
titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
Grafik melalui titik (0,4) berarti :
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a = 1
Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.