PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI

CIREBON

2011

FERRY FERDIANTO S.T., M.Pd.

Himpunan: Kumpulan objek (konkrit atau abstrak) yang

mempunyai syarat tertentu dan jelas, biasanya dinyatakan

dengan huruf besar.

Contoh: A = himpunan binatang pemakan tumbuhan

Obyek dalam sebuah himpunan disebut anggota atau unsur

a∈A “a anggota dari A”

a∉A “a bukan anggota dari A”

A = {a1, a2, …, an} “A memuat…”

Penulisan himpunan

Listing Method

Rule Method

Description Method

Listhing Method

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Rule Method (syarat keanggotaan)

A = {lima bilangan asli pertama}

Description Method

A = {x | 1 x 6 ; x ∈ bilangan bulat}

Format: “sedemikian hingga”

{[struktur keanggotaan] | [syarat perlu untuk menjadi

anggota]}

Contoh:

Q = {m/n : m,n ∈ Z, n≠0}

– Q adalah himpunan bilangan rasional

– Elemen-elemennya berstruktur m/n; harus memenuhi sifat

setelah tanda “:” untuk menjadi anggota.

{x ∈ R | x2 = 1} = {-1,1}

S = {bilangan asli ganjil}

S = {bilangan ganjil kurang dari 10

S = {x | x < 6, x ∈ Z}

1. Himpunan yang Sama

2. Himpunan Bagian

3. Himpunan yang kosong

4. Himpunan berpotongan

5. Himpunan Kuasa

6. Himpunan yang Ekuivalen

Himp. A and B dikatakan sama jika keduanya memuat

anggota-anggota yang tepat sama.

A = B ⇔ { x | x ∈A ↔ x ∈B} atau A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

Contoh:

• A = {9, 2, 7, -3}, B = {7, 9, -3, 2} : A = B

• A = {dog, cat, horse},

B = {cat, horse, squirrel, dog} : A ≠ B

• A = {dog, cat, horse},

B = {cat, horse, dog, dog} : A = B

A ⊆ B jika setiap anggota A juga merupakan anggota B.

A ⊆ B ⇔∀x (x∈A → x∈B)

A ⊆ B “A adalah himpunan bagian dari B”

Contoh:

A = {3, 9}, B = {5, 9, 1, 3}, A ⊆ B ?

A = {3, 3, 3, 9}, B = {5, 9, 1, 3}, A ⊆ B ?

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, A ⊆ B ? benar

Sifat:

• A = B ⇔(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

• (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C (Lihat Venn Diagram)

Useful rules:

• ∅ ⊆ A for any set A

• A ⊆ A for any set A

Proper subsets (Himpunan Bagian Sejati):

A ⊂ B “A is a proper subset of B”

A ⊂ B ⇔∀x (x∈A → x∈B) ∧ ∃x (x∈B ∧ x∉A)

or

A ⊂ B ⇔∀x (x∈A → x∈B) ∧ ∀x (x∈B → x∈A)

Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak mengandung anggota dinamakan

himpunan kosong ; atau { }.

adalah ⊆ ∀ himpunan

Himpunan Berpotongan

Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan, ditulis A)(B,

jika ada anggota A yang menjadi anggota B.

A)(B ⇔ ∃x (x ∈A ∧ x ∈ B)

1. Buktikan jika M ⊂ ∅, maka M =∅.

2. A = {1,2,3,4}; B = himpunan bilangan ganjil. Buktikan A ⊄ B.

3. Buktikan A ⊂ B, B ⊂ C → A ⊂ C.

4. Buktikan K ⊂ L, L ⊂ M, M ⊂ K →K = M.

Diagram Venn

Sebuah diagram yang disajikan secara persegi panjang dan

terdapat bundaran-bundaran.

Contoh : A = {1, 3, 5}

B = {3, 5, 7}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Diagram Garis

Jika A ⊂ B ⊂ C, maka diagram Garisnya

Dik: A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 3, 4, 5, 7, 11}

C = {3, 5}

D = {7, 11}

[a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

(a,b) = {x ∈ R | a < x < b}

[a,b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

(a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

How many elements in [0,1]?

In (0,1)?

In {0,1}