Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y...

16
Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic Functions / Fungsi Kuadratik Progressions / Janjang Linear Law / Hukum Linear Vectors / Vektor Trigonometric Functions / Fungsi Trigonometri

Transcript of Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y...

Page 1: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

QuadraticEquations/PersamaanKuadratikQuadraticFunctions/FungsiKuadratik

Progressions/JanjangLinearLaw/HukumLinear

Vectors/VektorTrigonometricFunctions/FungsiTrigonometri

Page 2: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]

2

TOPIC: QUADRATIC EQUATIONS / TOPIK: PERSAMAAN KUADRATIK

1. It is given that -2 is one of the roots of quadratic equation π‘₯! βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ π‘ž = 0. Find the value of q.

Diberi bahawa -2 ialah satu daripada punca persamaan kuadratik π‘₯! βˆ’ 3π‘₯ βˆ’ π‘ž = 0. Cari nilai q.

2. The quadratic equation π‘₯! + 2π‘₯ = βˆ’ 𝑝! βˆ’ 3𝑝π‘₯, where p is a constant, has no roots.

Find the range of values of p.

Persamaan kuadratik π‘₯! + 2π‘₯ = βˆ’ 𝑝! βˆ’ 3𝑝π‘₯, dengan keadaan p ialah pemalar, tidak

mempunyai punca.

Cari julat nilai p.

3. The quadratic equation (2π‘š βˆ’ 1)π‘₯! + 2π‘₯ + 5 = 0, where m is a constant, has two different

roots. Find the range of values of m.

Persamaan kuadratik (2π‘š βˆ’ 1)π‘₯! + 2π‘₯ + 5 = 0 , dengan keadaan m ialah pemalar,

mempunyai dua punca berbeza. Cari julat nilai m.

4. The quadratic equation π‘₯! + 2 + β„Ž π‘₯ + β„Ž = βˆ’10, where h is a constant, has two equal

roots. Find the values of h.

Persamaan kuadratik π‘₯! + 2 + β„Ž π‘₯ + β„Ž = βˆ’10, dengan keadaan h ialah pemalar,

mempunyai dua punca sama. Cari nilai- nilai h.

5. It is given that quadratic equation π‘₯ 2π‘₯ βˆ’ 7 = 3π‘₯ + 2.

Diberi bahawa persamaan kuadratik π‘₯ 2π‘₯ βˆ’ 7 = 3π‘₯ + 2.

(a) Express the equation in the form π‘Žπ‘₯! + 𝑏π‘₯ + 𝑐 = 0.

Ungkapkan persamaan itu dalam bentuk π‘Žπ‘₯! + 𝑏π‘₯ + 𝑐 = 0

(b) State the sum of roots of the equation.

Nyatakan hasil tambah punca bagi persamaan itu.

(c) Determine the types of roots of the equation.

Tentukan jenis punca bagi persamaan itu.

Page 3: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

3472/2 Β© Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016

3

TOPIC: QUADRATIC FUNCTIONS / TOPIK: FUNGSI KUADRATIK

1. The diagram shows the graph of function f (x) = – ( x – p)2 – 4, where p is a constant. Find

Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik f (x) = – ( x – p)2 – 4, dengan keadaan p ialah pemalar. Cari

(a) the value of p,

nilai p,

(b) the equation of the axis of symmetry,

persamaan paksi simetri,

(c) the coordinates of the maximum point.

koordinat titik maksimum.

2. The diagram shows the graph of function f (x) = p ( x – 3)2 + q, where p and q are constants. The curve

has the minimum point (m, 5), where m is a constant. Find the value of p, q and m.

Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik f (x) = p ( x – 3)2 + q, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

Lengkung ini mempunyai titik minimum (m, 5), dengan keadaan m ialah pemalar . Cari nilai p, q dan m.

f(x)

xO

-8 (6,-8)

(m,5)

x

f(x)

O

14

Page 4: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]

4

3. The diagram shows the graph of function f (x) = 2( x + 2m)2 – 3, where m and n are constants. Find

Rajah menunjukkan graf fungsi kuadratik f (x) = 2 (x + 2m)2 – 3, dengan keadaan m dan n ialah

pemalar. Cari

(a) the value of m and n,

nilai m dan n,

(b) the equation of the axis of symmetry,

persamaan paksi simetri,

(c) the coordinates of the minimum point.

koordinat titik minimum.

4. Find the range of values of x for which (x – 2)2 > 18 + x.

Cari julat nilai-nilai x untuk (x – 2)2 > 18 + x.

5. The quadratic function f (x)= -2x2 -12x + p2, where p is a constant, has a minimum value of 34. Find the

possible values of p.

Fungsi kuadratik f (x)= -2x2 -12x + p2, dengan kedaan p ialah pemalar, mempunyai nilai minimum 34.

Cari nilai-nilai yang mungkin bagi p.

f(x)

xO

(4,n)

Page 5: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

3472/2 Β© Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016

5

TOPIC: PROGRESSIONS / TOPIK: JANJANG

1. Find the sum of the first 20 terms of the sequence 3, 5, 7,….

Cari hasil tambah 20 sebutan pertama bagi jujukan 3, 5, 7,….

2. Determine the number of terms in the arithmetic progression 4, 7, 10, ..., 106.

Tentukan bilangan sebutan dalam janjang aritmetik 4, 7, 10, ..., 106.

3. It is given that 9, 3, 1, …, is a geometric progression. Find the fifth term of the progression.

Diberi bahawa 9, 3, 1, …, ialah satu janjang geometri. Cari sebutan kelima bagi janjang itu.

4. The first three positive terms of a geometric progression are 3, p and 75. Find the value of p and the

common ratio of the progression.

Tiga sebutan pertama yang positif bagi suatu janjang geometri ialah 3, p dan 75. Cari nilai p dan

nisbah sepunya bagi janjang itu.

5. Find the sum to infinity of the geometric progression βˆ’6, 3, βˆ’ !!,….

Cari hasil tambah hingga ketakterhinggaan bagi janjang geometri βˆ’6, 3, βˆ’ !!,….

Page 6: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]

6

TOPIC: LINEAR LAW / TOPIK: HUKUM LINEAR

1. The variables x and y are related by the equation 𝑦 = 𝑝π‘₯! + π‘žπ‘₯, where p and q are constants. A straight

line graph is obtained by plotting against xΒ², as shown in diagram below.

Pemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan 𝑦 = 𝑝π‘₯! + π‘žπ‘₯, di mana p dan q adalah

pemalar. Graf garis lurus diperoleh dengan memplotkan melawan xΒ², seperti yang ditunjukkan

dalam rajah di bawah.

Find the values of p and of q.

Carikan nilai p dan nilai q.

2. The variables x and y are related by the equation , where p and q are constants. A straight

line graph is obtained by plotting xy against xΒ², as shown in diagram below.

Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan , dengan p dan q ialah pemalar. Satu

graf garis lurus diperoleh dengan memplot xy melawan xΒ², seperti yang ditunjukkan dalam rajah di

bawah.

Find the values of p and q.

Cari nilai p dan nilai q.

3. Given , find the values of p and q.

Diberi , cari nilai p dan nilai q.

(2, βˆ’4)

(5, βˆ’13)

Page 7: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

3472/2 Β© Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016

7

4. Express y in terms of x.

Ungkapkan y dalam sebutan x.

5. Diagram below shows a straight line graph of lg y against x.

Rajah di bawah menunjukkan graf garis lurus lg y melawan x.

Express y in terms of x.

Ungkapkan y dalam sebutan x.

Page 8: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]

8

TOPIC: VECTORS / TOPIK: VEKTOR

1. The diagram shows the vector OP→

drawn on a Cartesian Plane.

Rajah menunjukkan vektor OP→

yang dilukis pada satu Satah Catesan.

(a) Express vector OP→

in the form of xy

βŽ›

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟.

Ungkapkan vektor OP→

dalam bentuk xy

βŽ›

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟.

(b) Find the unit vector in the direction of OP→

.

Cari vektor unit pada arah OP→

.

2. Given that m~=12 i

~+ 4 j

~and n

~= 8 i

~βˆ’ p j

~, find

Diberi m~=12 i

~+ 4 j

~dan n

~= 8 i

~βˆ’ p j

~, cari

(a) m~βˆ’ n~

in the form of x i~+ y j

~.

m~βˆ’ n~

dalam bentuk x i~+ y j

~.

(b) the values of p if m~βˆ’ n~= 5 .

nilai-nilai p jika m~βˆ’ n~= 5 .

y

xO

P(6,8)

Page 9: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

3472/2 Β© Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016

9

3. The diagram shows the vectors OP→

and OQ→

.

Rajah menunjukkan vektor-vektor OP→

dan OQ→

.

(a) Express the vectors OP→

and OQ→

in the form of xy

βŽ›

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟.

Ungkapkan vektor-vektor OP→

dan OQ→

dalam bentuk xy

βŽ›

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟.

(b) Express the vector PQ→

in the form of x i~+ y j

~. Hence, find the unit vector in the direction of PQ

β†’

.

Ungkapkan vektorPQ→

dalam bentuk x i~+ y j

~. Seterusnya, cari vektor unit pada arah PQ

β†’

.

4. Given that P (-2, 5), Q (4, 3), R (m, n), where m and n are constants. Find the value of m and n such that

2PQ→

+QR→

= 2 i~βˆ’10 j

~.

Diberi P (-2, 5), Q (4, 3), R (m, n), dengan m dan n ialah pemalar. Cari nilai bagi m dan n supaya

2PQ→

+QR→

= 2 i~βˆ’10 j

~.

P(4,2)

y

xO

Q(-7,5)

Page 10: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]

10

5. The diagram shows a parallelogram ABCD. BED is a straight line.

Rajah menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD. BED ialah satu garis lurus.

Given that AB→

=10 x~, AD

β†’

= 6 y~

and DE→

= 2EB→

. Express in terms of x~

and y~

,

Diberi AB→

=10 x~, AD

β†’

= 6 y~

dan DE→

= 2EB→

. Ungkapkan dalam sebutan x~

dan y~

,

(a) EB→

,

(b) CE→

.

D

A

C

B

E

Page 11: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

3472/2 Β© Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016

11

TOPIC: TRIGONOMETRIC FUNCTIONS / TOPIK: FUNGSI TRIGONOMETRIK

1. Solve the equation 4 cos π‘₯ sin π‘₯ βˆ’ sin π‘₯ = 0 for 0Β° ≀ π‘₯ ≀ 360Β°.

Selesaikan persamaan 4 cos π‘₯ sin π‘₯ βˆ’ sin π‘₯ = 0 untuk 0Β° ≀ x ≀ 360Β°.

2. Solve the equation 2 π‘‘π‘Žπ‘›! π‘₯ βˆ’ 1 = tan π‘₯ for 0Β° ≀ π‘₯ ≀ 360Β°.

Selesaikan persamaan 2 π‘‘π‘Žπ‘›! π‘₯ βˆ’ 1 = tan π‘₯ untuk 0Β° ≀ x ≀ 360Β°.

3. Given that cos πœƒ = 𝑝 such that πœƒ is an acute angle, express in terms of 𝑝,

Diberi kos πœƒ = 𝑝 dengan keadaan πœƒ ialah sudut tirus, nyatakan dalam sebutan 𝑝,

(i) sec ΞΈ, sek πœƒ,

(ii) sin 2πœƒ. sin 2πœƒ.

4. (a) Prove the identity !"# !!!!!"# !

= 1 – cos x.

Buktikan identiti !"# !!!!!"# !

= 1 – cos x. (b) Solve the equation 𝑠𝑒𝑐 !π‘₯ βˆ’ 4 tan π‘₯ + 2 = 0 for 0Β° ≀ π‘₯ ≀ 360Β°. Selesaikan persamaan 𝑠𝑒𝑐 !π‘₯ βˆ’ 4 tan π‘₯ + 2 = 0 untuk 0Β° ≀ π‘₯ ≀ 360Β°. 5. Given that sin𝐴 = βˆ’ !

! and cos𝐡 = !

!" such that A and B are in the same quadrant. Find

the value of

Diberi sin𝐴 = βˆ’ !!

dan cos𝐡 = !!"

dengan keadaan A dan B berada pada sukuan yang sama. Tentukan nilai bagi

(i) sin (A + B)

(ii) tan (A – B)

Page 12: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]

12

SOLUTION / JALAN PENYELESAIAN

TOPIC: QUADRATIC EQUATIONS / TOPIK: PERSAMAAN QUADRATIK

1. q = 10

2. βˆ’2 < 𝑝 < βˆ’ !!

3. π‘š < !!

4. h = 6 or h = βˆ’ 6

5. (a) x2 – 5x – 1 = 0

(b) Sum of roots = 5

(c) 29 > 0, two different roots

TOPIC: QUADRATIC FUNCTIONS / TOPIK: FUNGSI KUADRATIK

1. (a) p = 6

(b) x = 3

(c) (3, βˆ’4)

2. p = 1, q = 5, m = 3

3. (a) m = –2 and n = – 3

(b) x = 4

(c) (4, –3)

4. x < –2, x > 7

5. p = –4 or p = 4

Page 13: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

3472/2 Β© Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016

13

TOPIC: PROGRESSIONS / TOPIK: JANJANG

1. π‘Ž = 3,𝑑 = 2, 𝑛 = 20

𝑆! =!!2π‘Ž + 𝑛 βˆ’ 1 𝑑

𝑆!" =!"!2 3 + 19 2

= 440

2. a = 4

d = 7 – 4 = 3

Tn = a + (n – 1)d = 106

4 + 3(n – 1) = 106

3(n – 1) = 102

n – 1 = 34

n = 35

There are 35 terms in the progression.

3. π‘Ž = 9

π‘Ÿ =39=13, 𝑛 = 5

𝑇! = π‘Žπ‘Ÿ!!!

𝑇! = 913

!=19

π‘Ÿ = !!!!= !!

!!

π‘Ÿ =𝑝3=75𝑝

𝑝! = 3 75

= 225

𝑝 = 15 (𝑝 𝑖𝑠 π‘π‘œπ‘ π‘–π‘‘π‘–π‘£π‘’)

π‘Ÿ =153= 5

5. π‘Ž = βˆ’6, π‘Ÿ = !!!= βˆ’ !

!

𝑆! =π‘Ž

1 βˆ’ π‘Ÿ

𝑆! =βˆ’6

1 βˆ’ βˆ’ 12= βˆ’4

4.

Page 14: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]

14

TOPIC : LINEAR LAW / TOPIK: HUKUM LINEAR

1.

2.

Γ—x, xy = p + qx2

xy = qx2 + p

q = Gradient of the graph

At point (2, βˆ’4), x2 = 2 and xy = βˆ’4

3.

Γ—π‘₯,

Page 15: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

3472/2 Β© Hak cipta JPN Pulau Pinang 2016

15

4.

5. Gradient of the straight line = = 2

Y-intercept = 1

The equation of the straight line is

Y = mX + c

lg y = 2x + 1

Thus, y = 102x + 1

TOPIC: VECTORS / TOPIK: VEKTOR

1. (a) OP→

= 68

βŽ›

⎝⎜

⎞

⎠⎟

(b) unit vector in direction of OP→

=35i~+45j~

or OP→

=15

68

βŽ›

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

2. (a) m~βˆ’ n~= 4 i

~+ (p+ 4) j

~

(b) p = βˆ’1, p = βˆ’7

3. (a) OP→

= 42

βŽ›

⎝⎜

⎞

⎠⎟, OQ

β†’

= βˆ’75

βŽ›

⎝⎜

⎞

⎠⎟.

(b) PQ→

= βˆ’113

βŽ›

⎝⎜

⎞

⎠⎟ and unit vector in direction ofPQ

β†’

=βˆ’11130

i~+

3130

j~.

4. m = βˆ’6, m = βˆ’3

5. (a) EB→

=103x~βˆ’ 2 y

~

(b) CE→

= βˆ’103x~βˆ’ 4 y

~

Page 16: Quadratic Equations / Persamaan Kuadratik Quadratic ... · PDF filePemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan !=!!!+!", di mana p dan q adalah pemalar. Graf garis lurus

MODUL M.A.S MATEMATIK TAMBAHAN SPM [MODUL 1]

16

TOPIC: TRIGONOMETRIC FUNCTIONS / TOPIK: FUNGSI TRIGONOMETRIK

1. π‘₯ = 0Β°, 75.52Β°, 90Β°, 180Β°, 284.48Β°, 360Β°

2. π‘₯ = 45Β°, 153.43Β°, 225Β°, 333.43Β°

3. (i) 1p

(ii) 2𝑝 1 βˆ’ 𝑝!

5. (b) π‘₯ = 45Β°, 71.57Β°, 225Β°, 251.57Β°

6. (i) βˆ’ 5665

(ii) 1663