Q = Z-MODUL :

MODUL YANG TIDAK MEMPUNYAI BASIS

Oleh

JEROL VIDEL LIOW

(12/340197/PPA/04060)

PROGRAM STUDI PASCASARJANA MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

2013

A. PENDAHULUAN

Dalam Aljabar Linear, diketahui bahwa setiap ruang vektor pasti mempunyai basis. Hal ini

ternyata tidak berlaku pada R-Modul. Tidak semua R-Modul mempunyai basis. Salah satu yang

menjadi counter-example yaitu himpunan Bilangan Rasional Q ketika dipandang sebagai Z-

Modul (modul atas himpunan Bilangan Bulat Z). Q=Z-modul tidak mempunyai basis. Tulisan ini

akan membuktikan kebenaran hal tersebut.

B. PERMASALAHAN

Akan dibuktikan bahwa Himpunan Bilangan Rasional Q jika dipandang sebagai Z-modul,

maka Q tidak mempunyai basis.

C. BEBERAPA DEFINISI

Sebelum bukti bahwa Q=Z-Modul tidak mempunyai basis, akan diberikan beberapa definisi

sebagai berikut.

Definisi 1. Misalkan R ring dan M adalah R-modul. Himpunan S M ,

1 2{ , ,..., }nS x x x dikatakan bebas linear apabila berlaku: jika dibentuk persamaan:

1 1 2 2 ... 0n na x a x a x , dengan 1 2, ,..., na a a R , maka 1 2 ... 0na a a .

Definisi 2. Misalkan himpunan S M = R-modul. S dikatakan membangun M jika dan

hanya jika setiap x M dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota-

anggota di M, yaitu: 1 1 2 2 ... n nx a x a x a x , dengan 1 2, ,..., na a a R . S membangun M

dinotasikan dengan S M .

Definisi 3. Misalkan M=R-modul dan S M . S adalah basis dari M jika dan hanya jika

S membangun M dan S bebas linear.

Sebagai catatan, Z dipandang sebagai himpunan bilangan bulat, yaitu

{0, 1, 2, 3,...}Z serta Q sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu { , , 0}p

qQ p q Z q .

D. PEMBAHASAN

Misalkan Q = Z-modul. Membuktikan Q tidak mempunyai basis sama halnya dengan

menunjukkan bahwa setiap himpunan bagian dari Q bukan merupakan basis dari Q. Jadi, Q=Z-

modul tidak mempunyai basis ( )X M X tidak bebas linear atau X tidak membangun Q.

Misalkan X sebarang himpunan bagian dari Q. Akan ditunjukkan X bukan basis dari Q

dengan memperhatikan setiap kemungkinan kasus yang ada.

I. Misalkan X , maka X merupakan submodul terkecil yang memuat .

karena {0} Q , maka berarti X bukan basis dari Q.

II. Jika X yang merupakan singleton, maka perlu diperhatikan apakah X singleton nol

atau singleton bukan nol.

a) Misalkan X={0}. Karena terdapat 1 Z dan 1 0 0 , maka jelas X={0} tidak

bebas linear di Q. Berarti singleton nol bukan basis dari Q.

b) Misalkan X singleton yang bukan nol, katakan { }p

qX dengan 0p .

Dibentuk persamaan 0p

nq , dengan n Z . Jadi, 0

p n pn

q q

berakibat

0n p . Karena 0p dan Z merupakan daerah integral, maka diperoleh

0n . Jadi, X bebas linear di Q.

Berarti harus ditunjukkan X tidak membangun Q, yaitu terdapat s Q

sedemikian hingga p

s nq

, untuk setiap n Z .

Sebelum menunjukkannya, harus diperhatikan lagi untuk beberapa kasus,

yaitu jika p q dan p q .

i. Untuk kasus p q sama halnya dengan mengatakan {1}X .

Karena terdapat 1

2Q sehingga:

11

2n , untuk setiap n Z (

1 1 11,

2 2 2Z ) maka {1}X tidak membangun Q. Jadi, {1}X

bukan basis dari Q.

ii. Untuk kasus p q , maka perlu ditunjukkan lagi untuk p q , p q

dan p q .

Untuk p q sama halnya dengan mengatakan { 1}X .

Karena terdapat 1

2Q sehingga:

11

2n , untuk setiap n Z (

1 1 1( ) ( 1),

2 2 2Z ) maka { 1}X tidak membangun Q. Jadi,

{ 1}X bukan basis dari Q.

Untuk p q . Jika 1q , maka jelas { }X p tidak membangun Q.

Jika 1q , maka { }p

qX juga tidak membangun Q sebab dapat

dipilih 2

ps

q , sehingga

2,

p ps n n Z

q q ( karena

2

1p ps

q q q

dan 1q maka 1

Qq . Jadi, { }

p

qX bukan merupakan basis dari Q.

Untuk p q (berarti 1q ), maka { }p

qX juga tidak membangun Q

sebab dapat dipilih 2

ps

q , sehingga

2,

p ps n n Z

q q ( karena

2

1p ps

q q q dan 1q maka

1Q

q . Jadi, { }

p

qX bukan merupakan

basis dari Q.

III. Jika X merupakan himpunan dengan dua elemen, katakan 1 2

1 2

,p p

Xq q

, maka

diperoleh hasil sebagai berikut.

a) Jika {0,0}X maka jelas X tidak bebas linear (lihat bagian II a.)

b) Jika 0,p

Xq

, maka X tidak bebas linear karena terdapat 1 Z yang

memenuhi 1 0 0 0p

q .

c) Jika 1 2

1 2

,p p

Xq q

, dengan 1 2, 0p p , maka akan ditunjukkan bahwa

terdapat 1 2 1 2, , , 0n n Z n n yang memenuhi 1 21 2

1 2

0p p

n nq q .

Berlaku: 1 2 1 2 1 2 11 2 1 2

1 2 1 2 2 1 1

( )0

p p p p n p qn n n n

q q q q n q p

.

Dari sini diperoleh 1 2 1( )n p q dan

2 1 2n p q . Karena 1 2, 0p p , maka

1 20, 0n n . Berarti X tidak bebas linear.

IV. Jika X merupakan himpunan dengan n elemen, katakan 1 2

1 2

, ,..., n

n

pp pX

q q q

, maka

diperoleh hasil sebagai berikut.

a) Jika terdapat {1,2,..., }i n sedemikian sehingga 0ip , maka dengan alasan

seperti di bagian III a), dapat ditunjukkan bahwa X tidak bebas linear.

b) Jika 0ip untuk setiap {1,2,..., }i n , maka dapat dipilih 3 4 ... 0nk k k

dan 1 2 1( )k p q dan 2 1 2k p q yang memenuhi persamaan :

1 21 2

1 2

... 0nn

n

pp pk k k

q q q (lihat bagian III c), sehingga X tidak bebas

linear.

Jadi, disimpulkan bahwa X bukan merupakan basis dari Q

V. Jika X merupakan himpunan dengan n elemen, katakan 1 2

1 2

, ,...p p

Xq q

, maka

berdasarkan hasil dari bagian III, dapat disimpulkan X bukan merupakan basis dari Q.

Dari hasil yang ditunjukkan melalui I s.d. V, maka terbukti bahwa tidak ada himpunan bagian

dari Q yang merupakan basis, yaitu saat Q dipandang sebagai Q = Z-modul.

A. KESIMPULAN

Konsep dalam ruang vektor ada yang ternyata tidak berlaku pada modul. Kalau setiap ruang

vektor mempunyai basis, tidak demikian halnya dengan modul. Tidak semua R-modul

mempunyai basis. Salah satu contohnya yaitu himpunan bilangan rasional Q ketika dipandang

sebagai Z-modul.