Prof. Ir. Sofia W. Alisjahbana M.Sc., Ph.D.

0

1

2

3

4

5

x m

0

1

2

3

y m

-4000

-2000

0

2000

4000

Shear qy N

0

1

2

3

4

5

x m

Respons Dinamik Perkerasan KakuAkibat Beban Kendaraan yang Bergerak

dengan KecepatanTidak Konstan

Jenis Perkerasan Kaku

1. Jointed Plain Concrete Pavements (JPCP) 2. Jointed Reinforced Concrete Pavements (JRCP)

3. Continuously Reinforced Concrete Pavements (CRCP)

AASHTO, “Integrated Material and Construction Practices for Concrete Pavement”, Design Guide, 2004

Masalah Penelitian

• Idealisasi pelat beton perkerasan kaku

• Syarat batas tepi pelat :

• Simply supported atau fixed supported

• Menjadi fleksible supported (dowel : kekakuan tahanan vertikal, kekakuan rotasi)

• Sifat bahan pelat beton : Isotropik → Orthotropik

• Model tanah di bawah pelat: Pondasi Winkler → Pasternak → Kerr

• Beban kendaraan : statik diam → harmonik bergerak

• Bidang pelat horizontal

Pembatasan Masalah Penelitian

1. Pelat beton memiliki sifat bahan linier elastis homogen orthotropik

Batas Elastis

Batas Plastis

2. Jenis Pondasi Pasternak, pegas elastis dapat menerima gaya aksial

tarik dan tekan secara menerus dengan syarat batas tahanan tepi

sembarang.X

Y

Vx+Acc.t

a

b

Pelat beton kaku

orthotropik tebal h

Dowel / ruji

Batang pengikat/ tie-bar

Tahanan rotasi

tepi pelat

Tahanan vetikal

tepi pelat

ksx1,

krx1

ksy1,

kry1

ksx2,

krx2

ksy2,

kry2

Pz(x,y,t)=Po(1+d.Cos[.t])

3. Dukungan tepi berupa dowel atau tie bar pada keempat sisi pelat

terpasang di tengah tebal pelat dan diasumsikan tidak berubah tempat.

Batasan Lain

• Teori Lendutan kecil pada pelat lentur

• Kehilangan energi hanya akibat adanya redaman

• Bentuk dinamik berupa beban roda truk berupa beban terpusatekivalen as tunggal (Equivalent Single Axle Load, ESAL)

• Beban bergerak mempunyai kecepatan dan percepatan positif di arahsumbu x dan bergerak di tengah lebar pelat.

• Gaya traksi horizontal akibat percepatan tidak diperhitungkan dalampenelitian

• Pengaruh suhu, perbedaan suhu pelat dan pengaruh suhu lingkungandiabaikan

0

1

2

3

4

50

1

2

3

-0.0001

0

0.0001

0

1

2

3

4

5

• Pelat perkerasan kaku yang ditinjau adalah di jalurtengah dari 3 jalur pelat beton

• Penyelesaian persamaan gerak pelat menggunakan

Modified Bolotin Method (MBM)

Tujuan Penelitian

• Menganalisis respons dinamik pelat beton orthotropik yang berupa perkerasan kaku jalan raya didukung oleh pondasi elastisPasternak.

1. Hubungan matematis parameter-parameter sistem yang secara langsung berinteraksi dengan pelat beton, pondasipelat dan beban dinamik yang bergerak dengan kecepatantidak konstan.

2. Studi parametrik

• Pengaruh variasi dari kekakuan pegas pondasi (k) dan koefisien geser pondasi (Gs) terhadap respons dinamikpelat.

• Analisis respons dinamik pelat akibat perubahanbermacam ukuran dowel.

Tujuan Pertama

• Hubungan Matematis Parameter Sistem

Jenis Pondasi Pendukung Pelat

p(x,y)

Pelat Lentur

Lapisan Pegas Linier

Pondasi Pasternak (Pasternak Foundation)

p(x,y)

Pelat Lentur

Lapisan Pegas Linier

Lapisan Geser

Pondasi Jenis Kerr (Kerr Foundation)

p(x,y)

Pelat Lentur

Lapisan Pegas Linier 2

Lapisan Geser

Lapisan Pegas Linier 1

Pondasi Winkler (Winkler Foundation)

Penyelesaian Persamaan Pelat

Jenis Pondasi Pasternak

Persamaan Umum Diferensial Pelat

4 4 4

x y z4 2 2 4

w w wD + 2.B. + D = p (x,y)

x x y y

Persamaan Diferensial Jenis Pondasi Winkler

p(x,y)

Pelat Lentur

Lapisan Pegas Linier

r1 = k . w

4 4 4

x y 1 z4 2 2 4

w w wD + 2.B. + D + r = p (x,y)

x x y y

Persamaan Gerak Diferensial Jenis Pondasi Pasternak

p(x,y)

Pelat Lentur

Lapisan Pegas Linier

Lapisan Geser

r1 = k . w

4 4 4 2

x y4 2 2 4 2

2 2

s z2 2

w(x,y,t) w(x,y,t) w(x,y,t) w(x,y,t)D + 2.B. + D + ρ.h.

x x y y t

w(x,y,t) w(x,y,t) w(x,y,t)+ γ.h. + k . w(x,y,t) G . + = p (x,y,t)

t x y

Solusi total persamaan gerak diferensial (wt)

• wt = wH + wP

• wH = Solusi homogen

• wP = Solusi partikuler

• Metode Pemisahan variabel

• w(x,y,t) = W(x,y) . T(t)

Fungsi Spatial Fungsi Temporal

Solusi Fungsi Spatial

w(x,y,t) = W(x,y) . T(t)

Penyelesaian Persamaan Auxiliary Pertama

X

Y

A

B

A

B

ES

-R

ES

-R

x = 0 x = a 2 2

(x=0) x y x12 2

w w wM = D ν . = kr .

x y x

2 2

(x=a) x y x22 2

w w wM = D ν . = kr .

x y x

3 3

t

(x=0) x x13 2

x

B + 2.Dw wV = D + . = ks .w

x D x y

3 3

t

(x=a) x x23 2

x

B + 2.Dw wV = D + . = ks .w

x D x y

Kondisi Geser Vertikal

Kondisi Momen

1 2 3 4

p.π p.π π πX(x) = A .Cos .x + A .Sin .x + A .Cosh β.x + A .Sinh β.x

a a ab ab

X(x) = Fungsi posisi di arah sumbu x

Asumsi Solusi Spatial : q.π.yW(x,y) = X(x) . Sin

b

Syarat batas di arah x

Matrix Syarat Batas di arah X

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 3

41 42 43 44 4

x x x x A 0

x x x x A 0X = . =

x x x x A 0

x x x x A 0

= 0

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

x x x x

x x x xPers1 = Det = 0

x x x x

x x x x

Persamaan Transendental Pertama

Syarat batas

Penyelesaian Persamaan Auxiliary Kedua

2 2

(y=0) y x y12 2

w w wM = D ν . = kr .

y x y

2 2

(y=b) y x y22 2

w w wM = D ν . = kr .

y x y

3 3

t

(y=0) y y13 2

y

B + 2.Dw wV = D + . = ks .w

y D y x

3 3

t

(y=b) y y23 2

y

B + 2.Dw wV = D + . = ks .w

y D y x

Kondisi Geser Vertikal

Kondisi Momen

1 2 3 4

q.π q.π π πY(y) = B .Cos .y + B .Sin .y + B .Cosh θ.y + B .Sinh θ.y

b b ab ab

Y(y) = Fungsi posisi di arah sumbu y

Asumsi Solusi Spatial : p.π.xW(x,y) = Y(y) . Sin

a

X

Y

A B

A B

ES-Ry = 0

y = b

ES-R

Syarat batas di arah y

Matrix Syarat Batas di arah Y

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 3

41 42 43 44 4

y y y y B 0

y y y y B 0Y = . =

y y y y B 0

y y y y B 0

= 0

Persamaan Transendental Kedua

Syarat batas

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

y y y y

y y y yPers2 = Det =0

y y y y

y y y y

Nilai p dan q

roots p dan q

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

x x x x

x x x xPers1 = Det =0

x x x x

x x x x

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

y y y y

y y y yPers2 = Det =0

y y y y

y y y y

Persamaan Transendental 1

Persamaan Transendental 2

1311 124 1 2 3 11 1 12 2 13 3

14 14 14

xx xA = A A A = α .A + α .A + α .A

x x x

21 11 24 22 12 243 1 2 21 1 22 2

23 13 24 23 13 24

x + α .x x + α .xA = A A = α .A + α .A

x + α .x x + α .x

31 11 34 21 33 13 34

2 1

32 11 34 22 33 13 34

x + α .x + α . x + α .xA = A

x + α .x + α . x + α .x

41 11 44 21 43 13 44

1

42 11 44 22 43 13 44

x + α .x + α . x + α .x= A

x + α .x + α . x + α .x

A1 = 1

Koefisien A1, A2, A3, A4

Koefisien B1, B2, B3, B4

B1 = 1

1311 124 1 2 3 11 1 12 2 13 3

14 14 14

yy yB = B B B = γ .B + γ .B + γ .B

y y y

21 11 24 22 12 243 1 2 21 1 22 2

23 13 24 23 13 24

y + γ .y y + γ .yB = B B = γ .B + γ .B

y + γ .y y + γ .y

31 11 34 21 33 13 34

2 1

32 11 34 22 33 13 34

y + γ .y + γ . y + γ .yB = B

y + γ .y + γ . y + γ .y

41 11 44 21 43 13 44

1

42 11 44 22 43 13 44

y + γ .y + γ . y + γ .y= B

y + γ .y + γ . y + γ .y

Koefisien Ai dan Bi

W(x,y)=X(x).Y(y)

Frekuensi Alami Sistem

a = Panjang pelat di arah sumbu x

b = Lebar pelat di arah sumbu y

h = Ketebalan pelat

k = Kekakuan lapisan pegas

Gs = Modulus geser lapisan geser pondasi Pasternak

Dx, Dy = Kekakuan lentur pelat secara berturut-turut di arah x dan di arah y

B = Kekakuan relatif puntir pelat

ρ = Massa jenis pelat

νx = Poisson rasio bahan pelat di arah sumbu x

νy = Poisson rasio bahan pelat di arah sumbu y

p = Bilangan riil positif di arah x

q = Bilangan riil positif di arah y

2 2 4 2 2 4

2

pq s x y

1 pπ qπ pπ pπ qπ qπω = k + G + + D + 2.B . + D

ρh a b a a b b

Solusi Fungsi Temporal

w(x,y,t) = W(x,y) . T(t)

Fungsi Temporal

• Solusi Total *

pq pq pqˆT (t) = T (t) + T (t)

Solusi homogen fungsiwaktu

Solusi partikuler fungsiwaktu

pq-ζ.ω .t 2 2

pq 0[p,q] pq 0[p,q] pqT̂ (t) = e a .Cos[ω 1-ζ ].t + b .Sin[ω 1-ζ ].t

pq-ζ.ω .(t-τ)t a b

* 2zpq pq pq pq

2pq0 x=0 y=0 pq

P (x,y,t) eT (t) = X (x) dx Y (y) dy Sin 1-ζ ω (t-τ) dτ

ρ.h.Q 1-ζ ω

Solusi Homogen wH

pq-ζ.ω .t 2 2

H pq pq 0[p,q] pq 0[p,q] pq

p=1 q=1

w = X (x).Y (y) .e a .Cos[ω 1-ζ ].t + b .Sin[ω 1-ζ ].t

Solusi Partikuler wP

pq

P pq pq

p=1 q=1

-ζ.ω .(t-τ)t a b

2zpq pq pq

2pq0 x=0 y=0 pq

w = X (x).Y (y).

P (x,y,t) eX (x) dx Y (y) dy Sin 1-ζ ω (t-τ) dτ

ρ.h.Q 1-ζ ω

Fungsi Beban Dinamik

• Fungsi beban dinamik dinyatakan dalam fungsi Dirac’s Delta

2

0 0

1 1P(x,y,t) = P 1 + Cos[ωt] δ x x Vo.t + .Acc.t .δ y y

2 2

zP (x,y,t) = p[x(t),y(t),t]

= P(t).δ[x-x(t)].δ[y-y(t)]

Dengan adanya percepatan (+) di arah x, fungsi beban dinyatakan :

0

1P(t) = P 1 + Cos[ωt]

2

Respons Dinamik Sistem

2 2pq 0 pq 0

pq 0 pqi.ω 1-ζ (t-t ) -i.ω 1-ζ (t-t )-ζ.ω .(t-t ) -ζ.ω .t

pq pq 0pq 0pq

p=1 q=1

t a02

pq

pq0 x=0

w(x,y,t) = X (x).Y (y) . e a .e +b .e +e

1P 1 + Cos[ωτ]

12X (x) .δ x x Vo.τ + .Acc.τ dx

ρ.h.Q 2

pqζ.ω .τb

2

pq 0 pq2

y=0 pq

.

eY (y) . y y dy. Sin 1-ζ ω (t-τ) dτ

1-ζ ω

Solusi Totalwt = wH + wP

Respons Dinamik Pelat

pq

pq

-ζ.ω .t

pq pq

p=1 q=1

t 0 02

pq

pq0

ζ.ω .τ

2

pq2

pq

w(x,y,t) = X (x).Y (y) +e

1P 1 + Cos[ωτ] .Y(y )

12.X Vo.τ + .Acc.τ .

ρ.h.Q 2

eSin 1-ζ ω (t-τ) dτ

1-ζ ω

pq-ζ.ω .t 2

pq pq 0pq pq

p=1 q=1

pq 0pq 0pq 2

pq2

pq

w(x,y,t) = X (x).Y (y) .e w .Cos[ω . 1-ζ .t] +

ζ.ω .w + v .Sin[ω . 1-ζ .t]

ω . 1-ζ

Interval 0 < t < t0

Interval t > t0

0 t0

>t0

13

Tujuan Kedua

• Studi Parametrik

Parameter Pelat Beton

Notasi Nama Nilai Satuan

a Panjang pelat (sejajar sumbu x) 5 m

b Lebar pelat (sejajar sumbu y) 3.5 m

h Tebal pelat 0.25 m

ρ Massa jenis beton 2500 Kg/m3

γ Berat jenis beton 2450 N/m3

Ex Modulus elastisitas beton di arah sumbu x 27.0 x 109 N/m2

Ey Modulus elastisitas beton di arah sumbu y 22.5 x 109 N/m2

νx Poisson rasio beton di arah sumbu x 0.18

νy Poisson rasio beton di arah sumbu y 0.15

G Modulus geser beton 98.789 x 108 N/m2

K Modulus dukungan beton pada dowel 2.71 x 1011 N/m2

Studi Kasus Perkerasan Kaku

Case a b h k Gs Dowel kr1 ks1 P0 Acc Ket

m m m MN/m3 MN/m mm N/rad/m MN/m/m KN m/det2

Case 1 a 5 3.5 0.25 27.2 9.52 22 1 150 80 2 Soft

b 25 1 200 80 2 Soil

c 28 1 250 80 2

d 32 1 300 80 2

e 36 1 400 80 2

Case 2 a 5 3.5 0.25 54.4 19.04 22 1 150 80 2 Medium

b 25 1 200 80 2 Soil

c 28 1 250 80 2

d 32 1 300 80 2

e 36 1 400 80 2

Case 3 a 5 3.5 0.25 108.8 38.08 22 1 150 80 2 Hard

b 25 1 200 80 2 Soil

c 28 1 250 80 2

d 32 1 300 80 2

e 36 1 400 80 2

Frekuensi Alami Sistem

Frekuensi Alami Sistem Case1a

0.00

5000.00

10000.00

15000.00

20000.00

25000.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Mode ragam - n

ω (

rad

/det

)

m=1

m=2

m=3

m=4

m=5

m=6

m=7

m=8

m=9

Frekuensi alami sistem untuk Case1a. Parameter beban P0=80kN, ωbeban=100rad/det, v=90km/jam, rasio redaman ζ=5%, Acc=2m/det2

Kecepatan Kritis Case 1, Case 2, Case 3

Kecepatan Kritis Case 1Kecepatan vs Lendutan

0.00000

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

0.00025

0.00030

0.00035

0.00040

0.00045

0.00050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Kecepatan (km/jam)

Len

du

tan

Ab

solu

t (m

)[1a] D=0%

[1a] D=5%

[1a] D=10%

[1b] D=0%

[1b] D=5%

[1b] D=10%

[1c] D=0%

[1c] D=5%

[1c] D=10%

[1d] D=0%

[1d] D=5%

[1d] D=10%

[1e] D=0%

[1e] D=5%

[1e] D=10%

Kecepatan Kritis Case 2Kecepatan vs Lendutan

0.00000

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

0.00025

0.00030

0.00035

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Velocity (km/h)

Abs

olut

e D

ispl

acem

ent (

m) [2a] D=0%

[2a] D=5%

[2a] D=10%

[2b] D=0%

[2b] D=5%

[2b] D=10%

[2c] D=0%

[2c] D=5%

[2c] D=10%

[2d] D=0%

[2d] D=5%

[2d] D=10%

[2e] D=0%

[2e] D=5%

[2e] D=10%

Kecepatan Kritis Case 3Kecepatan vs Lendutan

0.00000

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

0.00025

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Kecepatan (km/jam)

Len

du

tan

Ab

solu

t (m

)

[3a] D=0%

[3a] D=5%

[3a] D=10%

[3b] D=0%

[3b] D=5%

[3b] D=10%

[3c] D=0%

[3c] D=5%

[3c] D=10%

[3d] D=0%

[3d] D=5%

[3d] D=10%

[3e] D=0%

[3e] D=5%

[3e] D=10%

Parameter:

P0 = 80kN

ωbeban = 100rad/det

Acc = 2m/det2

Respons Spektra Lendutan Pelat

0.05 0.1 0.15 0.2Time sec

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

Dynamic Deflection m

0.05 0.1 0.15 0.2Time sec

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

Dynamic Deflection m

0.05 0.1 0.15 0.2Time sec

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

Dynamic Deflection m

0.05 0.1 0.15 0.2Time sec

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-0.00005

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

Dynamic Deflection m

Parameter:

P0 = 80kN

V = 90km/jam

Acc = 2m/det2

Momen dan Gaya Geser Case 1a

Parameter :

y = b/2P0 = 80kN

V = 90km/jam

Acc = 2m/det2

T = 0.0996det

Parameter :

x = a/2P0 = 80kN

V = 90km/jam

Acc = 2m/det2

T = 0.0996det

Analisis Frekuensi Alami vs Variasi Dowel

k(v) k(r) dowel Case 1 Case 2 Case 3

(MN/m/m) (N/rad/m) (mm)

w(1,1)

(rad/det) (%)

w(1,1)

(rad/det) (%)

w(1,1)

(rad/det) (%)

150 1 22 363.632 438.900 559.478

200 1 25 365.576 0.53 441.151 0.51 562.387 0.52

250 1 28 366.529 0.80 442.264 0.77 563.844 0.78

300 1 32 367.063 0.94 442.890 0.91 564.668 0.93

400 1 36 367.605 1.09 443.527 1.05 565.512 1.08

Frekuensi Alami Case2 (Tanah Sedang)diameter dowel vs

438.00

439.00

440.00

441.00

442.00

443.00

444.00

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Diameter dowel (mm)

(

rad

/det)

Case 2

Frekuensi Alami Pelat

Konstanta Pondasi vs

300.000

350.000

400.000

450.000

500.000

550.000

600.000

1 2 3

Konstanta Pondasi (k dan Gs)

1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras

(

rad

/de

t)

d=22

d=25

d=28

d=32

d=36

Keterangan : Case: 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras

Lendutan Dinamik di Pusat Pelat vs Variasi Dowel

ζ=0% Dowel (mm) 22 - 36

k & Gs

22(m)

25(m)

28(m)

32(m)

36(m) %

1 0.044693500 0.045802300 0.046556600 0.047504200 0.048427400 8.35

2 0.041914000 0.042558600 0.043791000 0.044526300 0.045394300 8.30

3 0.038855200 0.039188100 0.040557700 0.041696900 0.042523300 9.44

ζ=5% Dowel (mm) 22 - 36

k & Gs

22(m)

25(m)

28(m)

32(m)

36(m) %

1 0.000841906 0.000848098 0.000848435 0.000848452 0.000848976 0.84

2 0.000614175 0.000637335 0.000647410 0.000650208 0.000659990 7.46

3 0.000414355 0.000421717 0.000423710 0.000424787 0.000425287 2.64

ζ=10% Dowel (mm) 22 - 36

k & Gs

22(m)

25(m)

28(m)

32(m)

36(m) %

1 0.000557413 0.000572765 0.000579132 0.000582324 0.000585784 5.09

2 0.000394273 0.000405781 0.000411017 0.000414037 0.000417679 5.94

3 0.000256740 0.000263946 0.000267535 0.000270034 0.000272006 5.95

Lendutan MaksimumDowel vs Lendutan

0.03000

0.03500

0.04000

0.04500

0.05000

20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Diameter dowel (mm)

Len

du

tan

(m

)

C1 D=0%

C2 D=0%

C3 D=0%

Lendutan MaksimumDowel vs Lendutan

0.00030

0.00040

0.00050

0.00060

0.00070

0.00080

0.00090

20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

Diameter dowel (mm)

Len

du

tan

(m

)

C1 D=5%

C2 D=5%

C3 D=5%

Keterangan : k & Gs, 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras

Lendutan Dinamik di Pusat Pelat vs Variasi k & Gs

(ζ=0%)

k & Gs

D=22

(m) %

D=25

(m) %

D=28

(m) %

D=32

(m) %

D=36

(m) %

1 0.044693500 0.045802300 0.046556600 0.047504200 0.048427400

2 0.041914000 -6.22 0.042558600 -7.08 0.043791000 -5.94 0.044526300 -6.27 0.045394300 -6.26

3 0.038855200 -13.06 0.039188100 -14.44 0.040557700 -12.89 0.041696900 -12.22 0.042523300 -12.19

(ζ=5%)

k & Gs

D=22

(m) %

D=25

(m) %

D=28

(m) %

D=32

(m) %

D=36

(m) %

1 0.000841906 0.000848098 0.000848435 0.000848452 0.000848976

2 0.000614175 -27.05 0.000637335 -24.85 0.000647410 -23.69 0.000650208 -23.37 0.000659990 -22.26

3 0.000414355 -50.78 0.000421717 -50.27 0.000423710 -50.06 0.000424787 -49.93 0.000425287 -49.91

(ζ=10%)

k & Gs

D=22

(m) %

D=25

(m) %

D=28

(m) %

D=32

(m) %

D=36

(m) %

1 0.000557413 0.000572765 0.000579132 0.000582324 0.000585784

2 0.000394273 -29.27 0.000405781 -29.15 0.000411017 -29.03 0.000414037 -28.90 0.000417679 -28.70

3 0.000256740 -53.94 0.000263946 -53.92 0.000267535 -53.80 0.000270034 -53.63 0.000272006 -53.57

Lendutan Pelat Redaman 5%, Variasi k da Gs dan variasi Dowel

0.00000

0.00010

0.00020

0.00030

0.00040

0.00050

0.00060

0.00070

0.00080

0.00090

1 2 3

Konstanta Pondasi (k dan Gs)

1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras

Len

du

tan

(m

) D=22

D=25

D=28

D=32

D=36

Lendutan Pelat Redaman 0%, Variasi k da Gs dan variasi Dowel

0.00000

0.01000

0.02000

0.03000

0.04000

0.05000

0.06000

1 2 3

Konstanta Pondasi (k dan Gs)

1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras

Len

du

tan

(m

) D=22

D=25

D=28

D=32

D=36

Keterangan : k & Gs, 1=tanah lunak, 2=tanah sedang, 3=tanah keras

Momen dan Geser vs Variasi Dowel

Case1 (ζ=5%) Gaya dalam

Dowel

(mm)

mx

(Nm)

my

(Nm)

qx

(N)

qy

(N)

22 3877.22 5003.70 9581.93 999.01

25 3908.70 5235.37 10602.10 882.59

28 3925.13 5018.85 10135.10 1056.77

32 3950.76 5095.54 10687.80 1344.86

36 3967.30 5156.73 11341.00 1772.87

Momen x redaman 5%variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Ukuran dowel (mm)

mx (

Nm

) C1 mx

C2 mx

C3 mxGeser x redaman 5%

variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Ukuran dowel (mm)

qx (

N) C1 qx

C2 qx

C3 qx

Momen y redaman 5%variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Ukuran dowel (mm)

my (

Nm

) C1 my

C2 my

C3 my

Geser y redaman 5%variasi ukuran dowel dan dukungan pondasi

0

500

1000

1500

2000

2500

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Ukuran dowel (mm)

qy (

N) C1 qy

C2 qy

C3 qy

Mode Shape Pelat

Ragam getar mode (1,1) sampai (3,3) akibat beban dinamik P0 = 80kN,V = 90 km/jam, Acc = 2 m/det2, ωbeban = 100 rad/det, ζ = 5%

Animasi 3D Lendutan Pelat Akibat Beban Bergerak

Defleksi total pelat beton persegi panjang orthotropik, akibat beban P0=80.0kN, V=90km/jam, Acc=2m/det2, ωbeban =100 rad/det, ζ=5%, interval waktu 0 < t < t0

18

K e s i m p u l a n

1. Syarat batas tepi pelat yang sembarang atau memiliki kondisi jepit elastis di setiap sisi tepi

pelat, sudah mendekati keadaan sebenarnya di lapangan di mana kondisi tepi pelat yang

ditinjau tersebut memiliki ruji (dowel) sebagai alat transfer beban yang memberikan tahanan

vertikal dan tahanan rotasi pada tepi pelat.

2. Kontribusi dari masing-masing ragam (mode) terhadap defleksi dinamik maksimum berkurang

sejalan dengan meningkatnya ragam sistem. Mengikutsertakan enam buah ragam getar di

arah x dan empat buah ragam getar di arah y untuk menghitung defleksi maksimum sistem

adalah lebih dari cukup hingga diperoleh defleksi dinamik sistem yang akurat.

3. Beban roda kendaraan yang dimodelkan sebagai beban terpusat harmonik yang bergerak

dengan kecepatan tidak konstan menyebabkan fungsi beban menjadi lebih kompleks,

sehingga integrasi Duhamel dari fungsi beban yang melibatkan perkalian pangkat dua dari

fungsi waktu (t) dengan fungsi cosinus dan sinus, menyebabkan penyelesaiannya menjadi

rumit.

4. Sejalan dengan peningkatan konstanta tahanan vertikal dari 150 MN/m/m sampai 400MN/m/m (penggunaan dowel diameter 22 mm sampai dengan diameter 36 mm) pada tepipelat, terjadi peningkatan frekuensi alami sistem besarnya peningkatan mulai 1.05% sampaidengan 1.09 %. Peningkatan frekuensi alami ini terjadi akibat meningkatnya kekakuan pelat.

5. Akibat peningkatan kekakuan vertikal tepi pelat seperti Butir 4 membuat lendutan dinamikdi pusat pelat bertambah besar mulai dari 0.84% sampai 9.44%.

6. Peningkatan konstanta pondasi pendukung pelat k dan Gs sebesar 100% sampai 300% untuk3 jenis tanah pendukung mulai dari tanah lunak k=27.2 MN/m3, Gs=9.52 MN/m (soft soil),tanah sedang k=54.4 MN/m3, Gs=19.04 MN/m (medium soil) dan tanah keras k=108.8MN/m3, Gs=38.08 MN/m (hard soil) mengakibatkan meningkatnya frekuensi alami sistemsebesar 23.65% sampai 53.85%. Hal ini menunjukkan bahwa sistem yang ditinjau semakinkaku.

7. Peningkatan konstanta pondasi seperti pada Butir 6 mengakibatkan lendutan dinamik dipusat pelat menurun mulai sebesar 5.94% sampai dengan 53.94%.

8. Besarnya gaya dalam : momen x, momen y, geser x dan geser y meningkatseiring dengan meningkatnya kekakuan vertikal tepi pelat yaitu denganmemperbesar ukuran dowel dari 22 mm sampai dengan 36 mm.

9. Lendutan dinamik maksimum yang terjadi di pusat pelat untuk parameterbeban yang dipilih yaitu : P0=80kN, ωbeban=100 rad/det, Acc=2 m/det2 terjadipada saat kecepatan beban berada di antara 140 km/jam sampai dengan160 km/jam. Kecepatan ini merupakan kecepatan kritis untuk sistem yangditinjau. Namun demikian kecepatan kritis ini sukar dicapai oleh sebuah trukyang bergerak di jalan raya.

10. Kecepatan beban yang bergerak di antara 80 km/jam sampai dengan 100 km/jamsesuai dengan grafik-grafik pada butir no. 9 akan diperoleh lendutan dinamik pelatminimum untuk parameter beban seperti pada butir no. 9. Kecepatan ini adalahkecepatan aman dan sesuai dengan kecepatan ijin maksimum yang diperbolehkanoleh PT. Jasa Marga pada jalan bebas hambatan.

100

80

Partisipasi Ragam Getar dan Frekuensi Alamim n p q ω Lendutan Lendutan absolut Mode Participation Total

rad/det m m % %

1 1 0.993124237892174 0.987588125424007 363.6320 2.35774E-05 0.000023577400000 64.6679

2 0.977445054980775 1.832805186441810 747.8850 2.33431E-06 0.000002334310000 6.4025

3 0.961678832559288 2.609078347947640 1341.9400 1.77312E-07 0.000000177312000 0.4863

4 0.948905064558359 3.535725899046670 2339.8400 1.13433E-09 0.000000001134330 0.0031

5 0.939021782940294 4.517007199813200 3732.1100 1.41406E-15 0.000000000000001 0.0000

6 0.928668070973378 5.510125872372250 5489.4600 -3.41364E-21 0.000000000000000 0.0000

7 0.964282352491649 6.507574146726710 7614.5700 -4.11584E-31 0.000000000000000 0.0000

8 0.971757964116181 7.505694428920750 10088.7000 -1.30202E-33 0.000000000000000 0.0000

9 0.978099143396060 8.504469784602050 12917.2000 2.24784E-44 0.000000000000000 0.0000

71.5599

2 1 1.926481680924760 0.970473012625088 588.7150 3.4587E-06 0.000003458700000 9.4865

2 1.908302629449990 1.827545721639390 991.4920 2.81363E-06 0.000002813630000 7.7172

3 1.923287135808500 2.677976961922620 1666.1300 1.90114E-07 0.000000190114000 0.5214

4 1.937011438252960 3.601821052164530 2692.4700 2.82448E-09 0.000000002824480 0.0077

5 1.943665707384260 4.564936443407250 4083.3000 8.37831E-17 0.000000000000000 0.0000

6 1.945864867673220 5.544790260768830 5834.4100 3.37909E-20 0.000000000000000 0.0000

7 1.974617196229730 6.533592846151350 7956.2000 1.23551E-28 0.000000000000000 0.0000

8 1.986438971890140 7.525856985552600 10427.1000 -4.6075E-33 0.000000000000000 0.0000

9 1.989387065456070 8.520369741832050 13249.8000 3.7368E-43 0.000000000000000 0.0000

89.2928

3 1 2.759039613554540 0.956870942284890 939.5990 1.15961E-06 0.000001159610000 3.1806

2 2.812946550174770 1.856801504215910 1408.9400 3.01162E-07 0.000000301162000 0.8260

3 2.873035672325930 2.754601685609480 2168.7200 1.9657E-09 0.000000001965700 0.0054

4 2.908971479717480 3.678571324573730 3236.6900 3.60145E-13 0.000000000000360 0.0000

5 2.928147122886150 4.627361561333910 4639.1500 1.63407E-20 0.000000000000000 0.0000

6 2.937316037490850 5.593435632390870 6389.2600 -5.83911E-25 0.000000000000000 0.0000

7 2.973333480544710 6.571994379211580 8513.9300 -3.1159E-33 0.000000000000000 0.0000

8 2.991281721338680 7.556552128351290 10983.5000 -1.02623E-34 0.000000000000000 0.0000

9 2.993120339630810 8.545101999149650 13799.0000 -1.01322E-44 0.000000000000000 0.0000

93.3048

4 1 3.622991592556220 0.950363712515848 1452.3900 8.003E-07 0.000000800300000 2.1951

2 3.731145378967500 1.889513732388480 1996.1200 1.58315E-06 0.000001583150000 4.3423

3 3.818845320516280 2.815752985789950 2827.0700 9.61211E-09 0.000000009612110 0.0264

4 3.872593200767250 3.746536116288470 3944.7100 4.88811E-13 0.000000000000489 0.0000

5 3.903764072955750 4.690062876133430 5374.2400 1.61111E-20 0.000000000000000 0.0000

6 3.930163020578590 5.672051760427780 7192.4900 -8.76328E-25 0.000000000000000 0.0000

7 3.965932881185520 6.616952982288850 9272.2100 -1.03481E-32 0.000000000000000 0.0000

8 3.993743496721250 7.594161282904860 11748.6000 -1.02122E-34 0.000000000000000 0.0000

9 3.995015492531130 8.576385615391110 14558.1000 -8.65114E-46 0.000000000000000 0.0000

99.8684

5 1 4.564485607152160 0.947864394593201 2178.2000 3.28356E-09 0.000000003283560 0.0090

2 4.671539769517830 1.912645405019040 2758.5200 7.05228E-09 0.000000007052280 0.0193

3 4.767168447893750 2.858551143424510 3640.9000 6.64016E-15 0.000000000000007 0.0000

4 4.832683251023160 3.799697978318070 4807.7300 3.47969E-17 0.000000000000000 0.0000

5 4.874512242189510 4.745061459973930 6274.0400 1.2357E-26 0.000000000000000 0.0000

6 4.951344080897720 5.701285823285880 8111.6100 4.69016E-28 0.000000000000000 0.0000

7 4.965989948980200 6.663678771993960 10229.4000 4.45366E-36 0.000000000000000 0.0000

8 4.995245673951160 7.634885706926680 12712.5000 7.90247E-39 0.000000000000000 0.0000

9 4.996172797547500 8.611860789426550 15520.1000 -8.79541E-48 0.000000000000000 0.0000

99.8968

6 1 5.539796366047500 0.946065798372545 3110.0300 3.56518E-08 0.000000035651800 0.0978

2 5.629687531739060 1.927157547075820 3703.1100 1.98368E-09 0.000000001983680 0.0054

3 5.721655311120240 2.887357652104440 4619.0000 3.23289E-15 0.000000000000003 0.0000

4 5.792810565026470 3.839097381391990 5828.3000 1.62279E-17 0.000000000000000 0.0000

5 5.839229970884960 4.789743013101090 7329.7300 1.21063E-22 0.000000000000000 0.0000

6 5.938401955747980 5.747121213952870 9224.1500 1.17012E-26 0.000000000000000 0.0000

7 5.937904061714210 6.706676195033000 11336.6000 1.77251E-37 0.000000000000000 0.0000

8 5.996257903043170 7.675064723041820 13865.4000 -2.33342E-40 0.000000000000000 0.0000

9 5.996957007654070 8.651260585385120 16684.4000 4.31751E-48 0.000000000000000 0.0000

100.0000

Daftar Pustaka

Alisjahbana, S.W. and Wangsadinata, W. (2008), “Dynamic response of rigid concrete pavements under

dynamic traffic loads”, proceeding of the EASEC-11, Taipei, November.

Alisjahbana, S.W. and Wangsadinata, W. (2012), “Dynamic analysis of rigid roadway pavement under

moving traffic loads with variable velocity”, Interaction and Multiscale Mechanics, Vol. 5, No.2 (2012),

105-114.

Are E. B., Idowu A. S., Gbadeyan J. A. (2013), “Vibration of damped simply supported rectangular plates

resting on elastic Winkler foundation, subjected to moving loads”, Advances in Applied Science

Research, 2013, 4(5), 387-393.

Gbadeyan, J.A. and Oni, S.T. (1992), “Dynamic response to moving concentrated masses of elastic plates

on a non-Winkler elastic foundation”, J. Sound Vib., 154(2), 343-358.

Mingliang Li, Tao Qian, Yang Zhong, Hua Zhong (2014), “Dynamic response of the rectangular

plate subjected to moving loads with variable velocity”, J. of Eng. Mech., 140(4), 1-7.

Mohamed Gibigaye, Crespin Prudence Yabi, I. Ezechiel Alloba (2016), “Dynamic response of a

rigid pavement plate based on an inertial soil”, International Scholarly Research Notices Volume

2016, Article ID 4975345, 9 pages.

Paliwal, D. N., Siddharth K. Ghosh (2000), “Stability of orthotropic plates on a Kerr foundation”,

AIAA J., 38(10), 1994-1997.

Pevzner, P. (2000), “Further modification of Bolotin method in vibration analysis of rectangular

plates”, AIAA J., 38(9), 1725-1729.

Syed Oliur Rahman, Iftekhar Anam. (2005), “Dynamic analysis of concrete pavement under moving

loads”, UAP Journal of Civil and Environmental Engineering., Vol 1, No 1, 1-6.

Nama Parameter Notasi Nama Satuan Dimensi Satuan

Gaya N Newton (N) [kgm-m/det2]

Tegangan P Pascal (Pa) [N/m2]

Lendutan w Meter (m) [m]

Kecepatan v [m/det]

Massa Jenis ρ [kgm-N/m3]

Berat Jenis γ [N/m3]

Kekakuan translasi/meter ks N/m/m

Kekakuan rotasi/m kr N-m/rad/m

Frekuensi sudut ω rad/det

Konstanta pegas Winkler k N/m3

Konstanta geser Pasternak Gs N/m