Review-3.-Ekspektasi-04.09.12

7/17/2019 Review-3.-Ekspektasi-04.09.12

http://slidepdf.com/reader/full/review-3-ekspektasi-040912 1/33

HARAPANHARAPAN M m ik M m ik

MA5182 Topik dalam Statistika I: Statistika Spasial4 September 2012

1



EkspektasiEkspektasi ua u eu a caua u eu a ca

Misalkan X peubah acak

Ekspektasi dari X

( ), jika peubah acak diskrit

[ ]

semua x

xP X x X

E X

( ) , jika peubah acak kontinu xf x dx X

dimana : x : nilai-nilai pada X

2

=x : pe uang un u se ap n a x



EkspektasiEkspektasiSuatu Fungsi dari Peubah Acak Suatu Fungsi dari Peubah Acak

Misalkan peubah acak Y = g ( X ), yangmerupakan fungsi dari peubah acak X .

Ekspektasi g(x) didefinisikan sebagai:

( ) ( ), jika peubah acak diskrit

[ ( )] semua x

g x P X x X

E g x

, a peu a aca ont nug x x x



--

Apabila a konstan, maka E[a]=a

n u peu a aca an , ma a

E(X+Y = E X + E Y

Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, maka

E(Y ) = aE(X )+b

4



Rataan

ika eubah acak diskrit xP X x X

[ ]( ) , jika peubah acak kontinu

semua x

E X xf x dx X

ar ans

2 2 2

( ) [( ) ] [ ] ( [ ]) Var X E X E X E X Fungsi Pembangkit Momen

tX

untuk suatu bilangan riil t.

'

2''(0) [ ] E X



, ,

Var (Y ) = 2Y = a2Var (X ) = a2 2X

fungsi bernilai riil, maka:

2 ika eubah acak diskrit x P X x X

Var ( g(x)) =2[( ( ) ) ] E g x

2( ( ) ) ( ) , jika peubah acak kontinu

semua x

g x f x dx X

=

6Variansi disebut juga sebagai momen ke-dua disekitar



Misalkan g ( X ) dan h( X ) masing-masing adalah

ungs ar peu a aca , ma a

E[ g ( X ) h( X )] = E[ g ( X )] E[h( X )]

Jika peubah acak X dan Y dengan fungsi peluang

gabungan f (x , y) maka,

E[ X Y ] = E[ X ] E[Y ]

2aX+bY = a2 2X + b2 2Y + 2ab X Y

Jika peubah acak X dan Y saling bebas, maka

aX+bY = a X + Y

2aX bY = a2 2X + b2 2Y



nilai curah hujan (dalam mm). Jika ditetapkanfungsi peluang sebagai berikut:

nilai curah hujan (dalam mm). Jika ditetapkanfungsi peluang sebagai berikut:

, 1 2

( ) 3

x x

f x

Tentukan:

a. Rataan dan variansi dari kesalahan en ukuran

Tentukan:

a. Rataan dan variansi dari kesalahan en ukuran

,

di atas.b. Jika dibangun Y = 4X + 3, tentukan rataan dan

di atas.b. Jika dibangun Y = 4X + 3, tentukan rataan dan

. .

8



2 2 x

25

1

24

3 4ar

13 4

14 3

x x dx

16 112 0.6375

4

9



E E 4 3Y X 2E 4 3 8Var Y X

b.

2 2

4E 3 X 2

E 4 5 X

1

2

4 33

x dx

2 22

4 53

x x dx

1

3 83 4

x

51

5

10



Soal LatihanSoal Latihan1. Jika peubah acak T mempunyai fungsi peluang1. Jika peubah acak T mempunyai fungsi peluang

se aga er u :se aga er u :

lainn auntuk0

11-untuk),1()(2

43

t

t t t f

Cari E[T 2

] , E[T-1] , E[T<0.5].Cari E[T 2

] , E[T-1] , E[T<0.5].

2. Jika2. Jika1/ 3 , 1,2,3

( )0 an lain

xP X x

x

maka nilai F (1, 99) = ......maka nilai F (1, 99) = ......

11



.bersamaan setiap minggunya pada musim hujan di

suatu daerah AA merupakan suatu peubah acak

.bersamaan setiap minggunya pada musim hujan di

suatu daerah AA merupakan suatu peubah acak

m sa engan s r us pe uang er u .m sa engan s r us pe uang er u .

h 0 1 2 3 4

P(H = h) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

Tentukan:a. Harapan (matematika) dan variansi banyak kejadian

hujan beserta badai setiap minggunya di wilayah

tersebut

. ungs s r us an gam ar anc. Jika banyak kejadian serupa di daerah lain, AB adalah

dua kali banyak kejadian di AA ditambah satu,

12

setiap minggunya di wilayah AB.



Suatu perusahaan properti memiliki banyak gedung/bangunan yang ditawarkan dengan- .

Misalkan diperhatikan komponen-komponen yang dimiliki suatu bangunan.

•Kekuatan bangunan

•Banyak lantai • ngg angunan

•Luas bangunan•Luas taman/daerah hijau

bangunan

•Banyak pintu/tangga darurat•Banyak ruangan

•....

•...KONTINU DISKRIT

Misal peubah acak X menyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y menyatakan tinggi

.Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan olehf ( x, y ), yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y .

x a, y erma na s r us pe uang ar e ua an angunan ern a ec ar a sa uankekuatan dan tinggi bangunan bernilai kecil dari b satuan tinggi.



Misalkan peubah acak X 1 menyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X 2 menyatakananya i t, peu a aca 3 menyata an anya ruangan.

f ( x 1 , x 2 , x 3) = P(X 1=x 1, X 2=x 2, X 3=x 3) menyatakan distribusi peluang dari kejadian bersama/serentak dari keti a eubah acak tersebut atau fun si eluan abun an dari X , X , dan

X 3.

f (10 , 15 , 50) menyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift dan 50ruangan.



1. P( X=x, Y=y) 0 untuk semua ( x, y)

D

2. ( , ) 1 x y

P X x Y y I

SK

. n u se arang aera a am aera e n s xy er a u,

[( , ) ] ( , ) A

P X Y A f x y

IT

1. f ( x, y) 0 untuk semua ( x, y)

2.1 x dxd

KO

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku, T

I

N

[( , ) ] ( , ) A

P X Y A f x y dxdy U



Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3

pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang terambil, hitung:

. ,

b. P [( X ,Y ) A] dimana A adalah daerah {( x,y)|x + y 2}

Jawab:a. Pasangan nilai (x,y ) yang mungkin dari kasus di atas adalah;

(0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1).

, artinya pe uang teram i jeru an pisang.Banyak cara yang mungkin, pengambilan 4 sampel dari 8 adalah :

8C4 = 70. ,

3C3.3C1=1.3=3. Sehingga f (3,0)=3/70.



Distribusi fun si eluan n a:

x f ( x,y ) 0 1 2 3 h( y )

y 1 2/70 18/70 18/70 2/70 40/70

2 3/70 9/70 3/70 0 15/70

[( , ) ] ( 2)P X Y A P X Y

3 2 3 4

8 4

4( , ) , 0,1, 2,3, 0,1,2

8

x y x yC C C x y x y f x y x y

C

( ) 5/70 30/70 30/70 5/70 1

b. ( 0, 1) ( 0, 2)

( 1, 0) ( 1, 1) ( 2, 0)

P X Y P X Y

P X Y P X Y P X Y

, , , , ,

2 3 3 18 9 35 170 70 70 70 70 70 2



Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk

dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih

secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkanpemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masing-masing untuk drive

in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X

dan Y . Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah

acak tersebut adalah:2

( 2 ), 0 1,0 1( , ) 3

x y x y f x y

, ,

a. Selidiki apakah f ( x , y ) adalah fungsi peluang.b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive

- .



a.

1 1 1 1122 1 1

( , ) ( 2 ) ( 4 ) (1 4 ) f x y dxdy x y dxdy x yx dy y dy

00 0 0 0

121 1

( 2 ) (1 2) 0 y y

1

x,y a a a ungs pe uang.

1/2 1/2 1/2 1/2

22 1 .

00 0 0

1/2 1/22

. , .3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 12 d

00

3 4 3 4 3 4 2 4 8



Misalkan peubah acak X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f ( x , y ).Notasikan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g ( x ) dan fungsi peluang

marjinal untuk Y adalah h( y ).

.

( ) ( , ) ( , )g x f x y P X x Y y

( ) ( , ) ( , ) x x

h y f x y P X x Y y

Untuk X dan Y kontinu.

( ) ( , )g x f x y dy

( ) ( , )h y f x y dx

dan



Perhatikan Contoh 1.

Tunjukkan bahwa total jumlah kolom dan baris dari

distribusi peluang f ( x , y ) masing-masing adalah distribusi

Jawab :

2 3 5 10 0 0 0 1 0 2 0 70 70 70 14

3 18 9 30 3(1) (1,0) (1,1) (1,2)g f f f

9 18 3 30 3(2) (2,0) (2,1) (2, 2)

70 70 70 70 7g f f f

3 2 5 1(3) (3,0) (3,1) (3,2) 0

70 70 70 14

g f f f



Distribusi eluan eubah acak X adalah :

x 0 1 2 3

g ( x ) = P( X=x ) 1/14 6/14 6/14 1/14

Dengan cara yang sama diperoleh distribusi peluangpeu a aca a a a :

y 0 1 2

h( y ) = P(Y=y ) 3/14 8/14 3/14



Perhatikan Contoh 2. Tentukan,

a. fungsi peluang marjinal untuk X b. fungsi peluang marjinal untuk Y

c. peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang darisatu setengah satuan waktu pelayanan.

awa :

a. Misalkan fungsi peluang marjinal X adalah g ( x )1 1

2

00

( ) ( , ) ( 2 ) ( ) ( 1) 03 3 3g x f x y dy x y dy xy y x

( 1), 0 1

3 x x



b. Misalkan fungsi peluang marjinal Y adalah h( y )

1 1

2

00

2 2 1 2 1( ) ( , ) ( 2 ) 2 2 03 3 2 3 2

h y f x y dx x y dx x yx y

1 4, 0 1

3 3 y y

.membutuhkan waktu kurang dari satu setengahsatuan waktu ela anan adalah P X <1 5

1.5 1 12

00

2 1 2 1( 1.5) ( ) ( 1) (1 2) 0

3 3 3 3P X g x dx x dx x x

1



Misalkan X dan Y adalah eubah acak,

diskrit atau kontinu. Peluan bers arat dari eubah acak Y ika

diberikan X=x adalah:

x

,( )

y x g xg x

e uang ersyara ar peu a aca adiberikan Y=y adalah:

, )( | ) , ( ) 0

( )

f x y f x y h y

h y



Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai

ungs epa a an pe uang ga ungan x,y

dengan fungsi peluang marjinal masing-masin n a adalah x dan h . Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika,

( , ) ( ) ( ) f x y g x h y

,

definisinya.




Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika diberikan Y = 1.Hitung P( X=0|Y=1)

awa :( , ) ( ,1)

( | ) , ( ) 0 yaitu ( |1)

( ) 8 14

f x y f x f x y h y f x

h y

(0,1) 2 70 1 (1,1) 18 70 9(0 |1) , (1|1)

8 14 8 14 20 8 14 8 14 20

2 1 18 70 9 3 1 2 70 1

f f f f

,8 14 8 14 20 8 14 8 14 20 Distribusi peluang bersyarat :

x 0 1 2 3

f ( x|1) 1/20 9/20 9/20 1/20

P( X =0|Y =1)




Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? Karena,

2 1 2( ) ( ) ( 1) (1 4 ) (4 4 1)

3 3 9g x h y x y xy y x

2

( 2 ) ( , )3

x y f x y

Maka X dan Y tidak saling bebas secarastatistik.



Misalkan X dan Y adalah eubah acak den an fun si

peluang gabungan f ( x,y ) Kovariansi dari X dan Y adalah:

( , ) [( )( )] X Y Cov X Y E X Y

Cov( X , X ) = Var( X )

Cov(Y , Y ) = Var(Y )

[ ] [ ] [ ] E XY E X E Y dengan,

Variansi adalah

[ ] ( , ) E XY xyf x y dydx

kovariansi terhadapdiri sendiri

, an , x x y y x y x y x y



Misalkan X dan Y adalah eubah acak den an fun si

peluang gabungan f ( x,y ) Korelasi dari X dan Y adalah:

( , ) Corr X Y

,

( ) ( ) XY

X Y Var X Var Y



evore, . . an ec , ., a s cs – e xp ora on an

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Wal ole, Ronald E. dan M ers, Ra mond H., Ilmu

Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4,Bandung: Penerbit ITB, 1995.

Engineering, 8th Ed., 2007.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

33

Review-3.-Ekspektasi-04.09.12

Documents

Transcript of Review-3.-Ekspektasi-04.09.12