Rm 5° 4 b

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  • 1. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria I. CONTEO DE FIGURAS PRACTICA DE CLASE I 01.Si consideramos el segmento como la unin de dos puntos, diga ud. cuntos segmentos se cuentan en total en la figura mostrada: a) 48 b) 53 c) 55 d) 45 e) 36 02.Cuntos tringulos se cuentan como mximo en la figura mostrada? a) 82 b) 84 c) 96 d) 98 e) 100 03.Cuntos tringulos hay en la figura mostrada? a) 52 b) 57 c) 60 d) 59 e) 64 04.Cuntos tringulos existen en la figura mostrada? 05.Cuntos tringulos se cuentan como mximo que por lo menos tenga un asterisco en su interior? a) 52 b) 53 c) 54 d) 56 e) 60 06.Cuntos ngulos agudos hay en la figura mostrada? a) 70 b) 71 c) 89 d) 90 e) 121 07.Cuntos tringulos se cuentan como mximo en la figura mostrada.? a) 120 b) 124 c) 136 d) 55 e) N.A 08.Dada la figura: I. Cuntos cuadrados se cuentan como mximo? II. Cuntos cuadrilteros se cuentan como mximo? III. Cuntos rectngulos hay? a) 20 60 40 b) 25 35 - 10 c) 30 40 - 10 d) 10 50 - 40 e) 10 60 - 50 09.Decir cuntos cuadrados hay en la siguiente figura: a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 19 10.En la figura mostrada: Cuntos cuadrilteros se cuentan como mximo? a) 76 b) 84 c) 96 d) 100 e) 105 11.Hallar el nmero de cuadrilteros en la siguiente figura: a) 144 b) 121 c) 136 d) 170 e) 148 12.Cuntos cuadrados hay en la figura? a) 60 b) 68 c) 72 d) 70 e) 74 13.Determinar el nmero total de pirmides de base cuadrada que se puede contar. a) 45 b) 60 c) 65 d) 70 e) 50 14.Cuntos cuadrilteros que por lo menos tengan 1 asterisco hay en la figura mostrada? a) 119 b) 121 c) 118 d) 136 e) 120 15.En la figura mostrada: S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." IV TECNICAS DE

2. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria I. Cuntos cubos se cuentan en total? II. Cuntos paraleleppedos se cuentan como mximo? a) 120 1 150 b) 110 1 260 c) 115 1 330 d) 180 1 230 e) 115 1 360 16.En la figura que se muestra, el mximo nmero de tringulos es 272. hallar "n" 1 2 3... n a) 14 b) 13 c) 17 d) 21 e) 24 17.En la figura se tiene "n" filas y "n" columnas de circunferencias. hallar el nmero total de puntos de interseccin. 1 2 3 4 (n-1) n 1 2 3 4 n a) n2 n + 1 b) n2 + 2n - 3 c) 2n2 2n d) 3n2 + n - 1 e) 2n2 2n +1 18.Hallar el nmero de puntos de interseccin de 102 circunferencias dispuestas tal como se muestra en la figura mostrada. a) 640 b) 620 c) 600 d) 612 e) 642 19.Cuntos semicrculos hay en total? a) 64 b) 60 c) 48 d) 72 e) 32 20.Cuntos cuadrilteros convexos se cuentan en la figura mostrada? 1 2 3. . . 1 2 3... n n a) (n + 1)2 b) n2 c) (n - 1)2 d) n( n + 1 ) e) 2 )1n(n + II. CONTEO DE NMEROS PRCTICA DE CLASE II 01.Cuntos nmeros de la forma : ( ) ( )81bb3aa + existen? a) 24 b) 28 c) 35 d) 30 e) 56 02.Cuntos nmeros de la forma : ( ) ( ) ( ) ( )123b2/a2b2a ++ e xisten? a) 24 b) 35 c) 60 d) 30 e) 36 03.Cuntos nmeros de cuatro cifras que empiezan y terminan en cifra impar existen en el sistema decimal? a) 250 b) 25 c) 25000 d) 120 e) 2500 04.Cuntos nmeros de cinco cifras existen en base 7 de manera que comiencen en cifra impar, terminen en 2, su cifra central no sea impar y las otras dos cifras sean significativas? a) 726 b) 864 c) 802 d) 720 e) 750 05.Cuntos nmeros de la forma : ( ) ( )142/bb2/aa existen? a) 44 b) 56 c) 42 d) 48 c) 200 06.Cuntos nmeros de tres cifras diferentes existen en el sistema senario? a) 100 b) 120 c) 140 d) 180 e) 216 07.Cuntos nmeros de la forma, ( ) 6bbaa + existen? a) 30 b) 15 c) 21 d) 42 e) 18 08.Cuntos nmeros de cuatro cifras existen tal que el producto de sus cifras sea par? a) 8375 b) 7875 c) 320 d) 9000 e) 1250 09.Cuntos numerales capica de tres cifras del sistema senario tienen como suma de cifras a un nmero par? a) 9 b) 12 c) 15 d) 20 e) 24 10.Cuntos numerales de tres cifras, del sistema decimal existen de tal manera que no utilizan ni la cifra de dos, ni la cifra 3 en su escritura? a) 800 b) 900 c) 810 d) 512 e) 448 11.Cuntos nmeros existen en el sistema decimal cuyo producto de sus cifras es 15, si estos tienen cuatro cifras? a) 24 b) 12 c) 8 d) 6 e) 32 12.Cuntos nmeros de tres cifras de la base 8 utilizan la cifra dos en su escritura? a) 162 b) 172 c) 146 d) 154 e) 108 13.Cuntos nmeros de 4 cifras comienzan o terminan en 7? a) 1900 b) 2600 c) 1800 d) 3000 e) 2400 14.Cuntos nmeros impares, capicuas de cinco cifras; tienen sus tres cifras distintas entre s? S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." 3. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria a) 244 b) 288 c) 320 d) 360 e) 324 15.Cuntos nmeros de la forma : (2x) y (x / 2) (3y) existen en base 12? a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 36 16.Cuntos nmeros de 3 cifras que tienen como cifra central un nmero impar existen en base 9? a) 405 b) 360 c) 256 d) 288 e) 547 17.Cuntos nmeros de tres cifras cuya cifra central es 5, existen en base 13 si las cifras extremas son diferentes? a) 144 b) 121 c) 132 d) 120 e) 156 18.Cuntos nmeros de 4 cifras distintas entre s existen tal que todas sus cifras pertenecen al conjunto A? A = {0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} a) 60 b) 128 c) 96 d) 144 e) 162 19.En que sistema de numeracin existen 56 nmeros capicas de 4 cifras que no usan las cifras 2 ni 5. a) Octavario b) Notario c) Decimal d) Undecimal e) Duodecimal 20.En que sistema de numeracin existen 180 nmeros capicas de 5 cifras. a) Quinario b) Hexanario c) Notario d) Octanario e) Decimal EJERCICIOS PROPUESTOS N 01 01.Cuntos nmeros tiene la siguiente sucesin : 52 ; 57 ; 62 ; 67 ; 72 ; ........ ; 382? a) 64 b) 67 c) 80 d) 45 e) 21 02.Cuntos numerales de dos cifras, todos impares que 9 existen? a) 20 b) 27 c) 32 d) 16 e) 23 03.Cuntos nmeros de tres cifras capicas existen en el sistema senario? a) 2 b) 30 c) 32 d) 18 e) 40 04.Cuntos trminos tiene la siguiente secuencia 27 ; 29 ; 30 ; 32 ; 33 ; 35 ; ............. 99? a) 65 b) 45 c) 48 d) 49 e) 76 05.En la sucesin natural : 1;2;3;4 ...........;4444. Cuntas cifras se han escrito? a) 16569 b) 16669 c) 17669 d) 16589 e) N.a. 06.Si en la serie natural de los nmeros se han empleado 1341 cifras. Hallar el ltimo nmero escrito. a) 516 b) 483 c) 515 d) 482 e) N.a. 07.Hallar la cantidad de pginas que tiene un libro, sabiendo que para enumerar sus ltimas 36 pginas se emplearon la misma cantidad de tipos que se empleo en las primeras 63 pginas. a) 1002 b) 1280 c) 1008 d) 984 e) 1204 08.Cuntos nmeros de la forma )b8(b)2a(a existen en el sistema decimal? a) 65 b) 74 c) 56 d) 87 e) 102 09.Cuntos nmeros de 4 cifras tienen una y slo una cifra significativa? a) 2187 b) 729 c) 6961 d) 6541 e) 1511 10.Cuntos nmeros del sistema decimal se representan con tres cifras, tanto en base 9 como en base 11? a) 608 b) 609 c)610 d) 728 e) 706 11. Calcular el nmero de trminos de cada una de las siguientes sucesiones de nmeros : * 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; .... ; 402 a) 20 b) 10 c) 30 d) 40 e) 80 12. Siendo k t el trmino de lugar k. Calcular en cada una de las siguientes sucesiones, el trmino que se indica. * 2; 12 ; 36 ; 80 ; 150 ; ..... 20 t = ? a) 8420 b) 7900 c) 8100 d) 8400 e) N.a. 13.Cuntos exgonos hay en total: a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 15 14.Hallar el total de ngulos en figura. a) 22 b) 16 c) 24 d) 18 e) 20 15.Hallar el total de ngulos en la figura. 1 2 53 4 1 2 53 4 6 a) 18 b) 22 c) 24 d) 25 e) 30 16.Calcular el total de segmentos E AN P R A R S OZAR a) 36 b) 32 c) 40 d) 28 e) 42 S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." 4. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria 17.Cuantos segmentos existen en total en la figura. a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 18.Calcular el total de segmentos que hay en la figura a) 40 b) 36 c) 45 d) 49 e) 52 19.Hallar el total de tringulos en la figura a) 98 b) 96 c) 102 d) 108 e) 112 20.Cuantos tringulos hay e la figura. a) 16 b) 18 c) 19 d) 20 e) 15 TAREA DOMICILIARIA 01. Hallar el total de tringulos en la figura a) 34 b) 32 c) 36 d) 40 e) 28 02.Calcular el total de tringulos en la figura a) 32 b) 36 c) 35 d) 30 e) 40 03.Hallar el total de paralelogramos a) 120 b) 110 c) 96 d) 100 e) 90 04.En la paginacin de las 38 primeras hojas de un libro se ha usado la sexta parte de la cantidad de cifras que se emplean en la paginacin total. El nmero de hojas del libro ser. a) 322 b) 135 c) 161 d) 228 e) 114 05.Cuntas pginas de un libro se podrn enumerar con el doble del nmero de cifras que se utilizan para numerar un libro de 500 pginas? a) 962 b) 972 c) 964 d) 948 e) 965 INTRODUCCIN La teora del Anlisis Combinatorio tiene una importante aplicacin en los procedimientos relacionados a los juegos de azar, a fin de determinar todas las posibilidades de ganar en las loteras, caballos, dados, etc., asimismo este tipo de problemas estn ntimamente ligados al Clculo de Probabilidades, cuyo iniciador fue FERMANT. Previamente al desarrollo del Anlisis Combinatorios, revisaremos el concepto del Factorial y sus propiedades ms importantes, ya que esta operacin se utiliza permanente en todo en el desarrollo del presente captulo. FACTORIAL DE UN NMERO NATURAL Es un operador matemtico que se utiliza para realizar producto de todos los nmeros naturales, desde la unidad hasta el nmero indicado inclusive. Simblicamente se representa por: n !, se lee : n factorial o tambin factorial de n, donde n! = 1 x 2 x 3 x x (n - 1) x n En consecuencia, deducimos que el factorial de un nmero natural n, esta dado por el producto de los nmeros naturales consecutivos desde el 1 hasta n. Veamos los siguientes ejemplos: a) 3! = 1 x 2 x 3 = 6 b) 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 c) 27! = 1 x 2 x 3 x .. x 27 d) .posibleesno! 3 2 = e) ( 6 ) = No es posible. f) 0! = 1 y 1! = 1 Propiedades de los Factoriales Se presentan dos propiedades importantes: Propiedad N 1: El factorial de un nmero n, multiplicado por su consecutivo (n + 1), es igual al factorial de este ltimo, de este ltimo cuya forma general es : n! ( n + 1) = (n + 1)! Ejemplos: a) 2! x 3 = 3! b) 7! X 8 = 8 c) 43! X 44 = 44! d) 75! X 76 = 76! Generalizando n! (n + 1) = (n + 1)! Propiedad N 2 : EL factorial de un nmero n, multiplicado por sus consecutivos hasta k, es igual al factorial de este ltimo k! : cuya forma general es: n! (n + 1) (n + 2) (n + 3) k = k! Ejemplos: a) 2! x 3 x 4 = 4! b) 5! X 6 x 7 x 8 = 8! c) 12! x 13 x 14 x 15 x 16 = 16! d) !2x3x!4 !2x!4x5x6x7 !3x!4 !2x!7 = 70 3 5x6x7 == S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." ANALISIS 5. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria ANLISIS COMBINATORIO Es la parte del anlisis algebraico, que tiene por objeto dar regalos metdicas para formar: las variaciones, permutaciones y combinaciones con o sin repeticin de m elementos de grado n y deducir en cada caso las frmulas que dan el nmero total de las que pueden formar. Para tener una idea general, veamos el siguiente ejemplo ilustrativo. Ejemplo: Si se lanzan simultneamente, un dado con seis caras numeradas de 1 a 6 y una moneda. De cuntas maneras pueden caer? Solucin: Se presentan dos sucesos, donde el suceso A es caer el dado y el suceso B es calor de moneda Lgicamente que el suceso A puede darse de 6 maneras diferentes, que corresponden a los 6 nmeros de cada una de sus caras. Mientras que el suceso B, slo puede darse de 2 formas que corresponden a la cara (c) o sellos (s). Entonces, los dos sucesos A y B en forma simultnea se dan segn la siguiente relacin: A x B 6 x 2 = 12 formas Este hecho lo podemos representar segn el siguiente rbol de posibilidades lgicas: Punto de Partida 1 2 3 4 5 6 C S C S C S C S C S C S VARIACIONES Se le llama variaciones de n objetos tomados de k en k a los grupos que pueden formarse con los elementos del conjunto base de modo tal que un grupo es diferente de otro, en por lo menos un elemento o en orden de los mismos. Para deducir la frmula respectiva, observamos el siguiente ejemplo: Dados los elementos: a, b, c, d, e, tomndoles de 2 en 2 se pueden formar las siguientes variaciones. iacionesvar20total ed,ec,eb,ea de,dc,db,da ce,cd,cb,ca be,bd,bc,ba ae,ad,ac,ab Donde se cumple: ( ) 20 !3 !3x4x5 25 !5 V 5 2 == = Es decir, generalizado se obtiene la frmula: ( )!kn !n V n k = n > k n V se lee : Variaciones de n elementos tomados de k en k, tales que: k N. PROBLEMAS RESUELTOS 01.Cuntas variaciones se pueden obtener con los elementos : m, n, p, r tomando de 2 en 2? Solucin: Aplicando la frmula correspondiente, se obtiene: ( )!kn !n V n k = ( ) !2 !2x3x4 !24 !4 V 4 2 = = iacionesvar12V 4 2 = Esto nos indica, que con los 4 elementos dados, se pueden formar solamente 12 variaciones, de 2 en 2 y que son las siguientes: iacionesvar12 ,rp,rn,rm ,pr,pn,pm ,nr,np,nm ,mr,mp,mn 02.Cuatro alumnos llegan a matricularse a una academia que dispone de 7 aulas. De cuantas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes? Solucin: Nuestros datos son : n = 7 (nmeros de aulas) k = 4 (grupos de 4 en 4) Luego segn la frmula respectiva, obtenemos el nmero total de posibilidades o variaciones, as: ( )!kn !n V n k = ( ) !3 !3x4x5x6x7 !47 !7 V 7 4 = = Rpta. : desposibilida840V7 4 = A modo de verificacin , el siguiente diagrama te ilustrar el resultado obtenido: Aulas A1 A 2 A 3 A4 A 5 A 7A 6 4 posibilidades 5 posibilidades 6 posibilidades 7 posibilidades Total : 4 x 5 x 6 x 7 = 840 posibilidades. 03.Seis personas entran en un saln de espera en la que hay 8 sillas. De cuantas maneras diferentes pueden sentarse? a) 48 b) 336 c) 1 680 d) 6 720 e) N.a. Solucin: Se trata de calcular el nmero de variaciones, porque las personas se van a ubicar en diferentes sillas, luego : ( )!68 !8 V 8 6 = S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." 6. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria !2 !2x3x4x5x6x7x8 = 16020V 8 6 = Rpta. : Alternativa E PERMUTACIONES Las permutaciones de n elementos son los diferentes grupos que pueden formarse con todos los elementos del conjunto, siendo un grupo diferente del otro en el orden de los elementos y lo designaremos por Pn. Para calcular el nmero de permutaciones (Pn) que se pueden dar en un evento, aplicamos la siguiente frmula: Pn = n ! PROBLEMAS RESUELTOS 01.Cuntas permutaciones se obtienen con los elementos 1, 2 y 3? a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) N.a. Solucin: Aplicando la frmula respectiva, e total de permutaciones es: Pn = n! Pn = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Pn = 6 permutaciones Esta 6 permutaciones son las siguientes: (123) , (213) , (312) , (132) , (231) , (321) Rpta. : B 02.Para efectos del orden de entrega de los premios de un pandero. De cuantas maneras pueden agruparse 8 socios? a) 56 b) 1 680 c) 3 360 d) 20 160 e) N.a. Solucin : Para realizar la entrega de premios de los 8 socios intervienen todos a la vez, por lo tanto se trata de permutacin, entonces aplicamos la frmula: Pn = n ! !8P8 = 2x3x4x56x7x8= 32040P8 = Rpta. : E 03.Se desea preparar un alfabeto criptolgico comercial, de la palabra ARBOL Capacidad para cuntas letras de diferentes maneras se obtendrn? a) 360 b) 120 c) 64 d) 32 e) N.a. Solucin : La palabra ARBOL puede se ordenado de otra manera, cambiando de lugar las letras tenemos : LABOR, observamos que cambia de sentido, por lo tanto es una permutacin tomados a la vez. Aplicando la frmula respectiva, se obtiene el nmero de permutaciones: Pn = n ! !5P5 = = 5 x 4 x 3 x 2 120P5 = Rpta.: B PERMUTACIONES CON REPETICIN (PR) Este tipo de permutaciones se caracterizan porque algunos de sus integrantes se repiten; para lo cual emplearemos la siguiente frmula: !Nm....!N!N!N !N PR 321 = Donde : N = objetosdetotal nmeroN....NNN m321 =++++ 1N = nmero de objetos de una clase. 2N = nmero de objetos de otra clase. 3N = nmero de objetos de todava otra clase. . . . mN = nmero de objetos de tambin otra clase. PROBLEMAS RESUELTOS 01.Cuntas palabras de 5 letras se puede formar con las letras de la palabra NONOM? a) 60 b) 45 c) 30 d) 25 e) N.a. Solucin: La palabra NONOM, se caracteriza por tener: N 5 (Total de elementos) 2N1 = (La letra N se repite dos veces) 2N2 = (La letra O se repite dos veces) Segn la frmula tenemos : !N!N !N PR 21 = !2x2 !2x3x4x5 !2!2 !5 PR 21 == PR = 30 palabras Rpta.: C 02.En cuntas formas se pueden ordenar los siguientes cubos de diversos colores de un juego de nios: 2 rojos, 3 verdes y 2 azules? a) 210 b) 90 c) 48 d) 24 e) N.a. Solucin: Nuestros datos son: rojos2N1 = verdes3N2 = azules2N3 = N = 2 + 3 + 2= 7 (total) Luego, aplicamos la frmula, para obtener el nmero total de formas de ordenar. 210 2x2x3x2 2x3x4x5x6x7 PR 2!3!2 !7 PR N!N!N !N PR 321 321 == = = PR = 210 formas de ordenar Rpta. : A S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." 7. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria COMBINACIONES Una combinacin de objetos, es aquel acto de juntarlos en donde no cuenta el orden de colocacin de los objetos se diferencian entre s por tener un elemento por lo menos diferente. Simblicamente un nmero combinatorio se denota as: C n k se lee: Combinaciones de n elementos tomados de k en k. Para calcular el nmero total de combinaciones se emplea la siguiente frmula. ( ) kn, !kn!k !n C n k = PROBLEMAS RESUELTOS 01.Cuntas combinaciones se pueden realizar con los elementos: a, b, c, d, e; tomados de 2 en 2? a) 5 b) 10 c) 12 d) 15 e) N.a. Solucin: En la combinacin no interesa el orden de colocacin porque resultan los mismos; as tenemos que ab y ba son los mismos y slo se indicar a uno de ellos es decir que las combinaciones son las siguientes: nescombinacio10 ,dc ,ae,be,ad ,ce,db,ac ,de,bc,ab Aplicando la frmula respectiva, se obtiene: ( )!kn!k !n C n k = ( ) 10 2x3x2 2x3x4x5 !25!2 !5 C 5 2 == = nescombinacio10C 5 2 = Rpta. : B 02.Cuntos comits de 3 miembros se podrn escoger en un grupo de 8 personas? a) 7 b) 8 c) 56 d) 96 e) N.a. Solucin : Para ilustrar el problema vamos a suponer que : Hugo, Alex y Gerson forman un comit, luego si cambiamos el orden. Por lo tanto se trata de una combinacin. Aplicando la frmula respectiva, se tiene: ( )!kn!k !n C n k = ( ) 56 !5x2x3 !5x6x7x8 !5!3 !8 !38!3 !8 C 8 3 == = = comits56C 8 3 = Rpta.: C 02.Se tiene una urna con 7 bolas numeradas y se quiere saber de cuantas maneras, podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 2. a) 420 b) 210 c) 120 d) 96 e) N.a. Solucin: En este caso no interesa el orden en que son extradas las bolas, por lo que corresponden a combinaciones del siguiente modo: Las 2 primeras bolas se pueden extraer de C 7 2 maneras : Despus de este suceso quedan 5 bolas, por lo que las 3 bolas siguientes pueden extraerse de C 5 3 maneras y finalmente quedan 2 bolas que pueden ser extradas de C 2 2 maneras. De acuerdo a este orden, el total de maneras en que se pueden extraer tales bolas ser: CCC 2 2 5 3 7 2 xxN = ( ) ( ) ( )!22!2 !2 x 35!3 !5 x 27!2 !7 N = 1x2 2 x 2x!3 !3x4x5 x !5x2 !5x6x7 N = N = 21 x 10 x 1 = 210 N = 210 maneras Rpta.: B 03.Un total de 120 estrechadas de mano efectuaron al final de una fiesta, suponiendo que cada uno de los participantes es corts con cada uno de los dems. Cul es el nmero de personas que asistieron a dicha fiesta? a) 12 b) 16 c) 20 d) 30 e) N.a. Solucin: Las npersonas que asistieron se saludaron en grupos de 2 en 2 (K = 2), sin importar el orden por lo que corresponde a combinaciones. Segn la frmula: ( )!kn!k !n C n k = ( )!2n!2 !n C n 2 = Pero, el total de saludos es 120C n 2 = y n! = (n 2)! (n 1) n; entonces resulta: ( ) ( ) ( )!2n2 n1n!2n 120 = ( ) 2 n1n 120 = 240 = (n 1) n, de donde 0240nn 2 = Factorizando: (n 16) (n + 15) = 0 n = 16 y n = 15 Tomamos : n = 16 Rpta. : B PROPIEDADES A continuacin planteamos algunas propiedades de las combinaciones que permiten simplificar. 1. + = ZC n k 2. 1C n 0 = , es decir 1C 4 0 = S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." 8. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria 1C 18 0 = 3. nC n 1 = , as: ( ) 5 !4x1 !4x5 !15!1 !5 C 5 1 == = 21C 21 1 = 4. 1C n n = , as ( ) 1 1 1 !0!3 !3 !33!3 !3 C 3 3 === = 1C 12 12 = 5. CC n kn n k = , as 28 2x1 7x8 CCC 8 2 8 68 8 6 ==== == CC 20 1820 20 18 190 2x1 19x20 C 20 2 == PRCTICA DE CLASE 01.Simplificar la expresin: !33!23 !24!32 E = a) 24 b) 33 c) 8/ 11 d) 11/8 e) N.a. 02.Se tiene 5 objetos de diferente color cada uno. Cul es el nmero de permutaciones que se pueden realizar? a) 20 b) 25 c) 100 d) 120 e) N.a. 03.Cuntos nmeros de 6 cifras, no repetidas pueden formarse con las cifras : 1, 2, 3, 4, 5, 6? a) 720 b) 360 c) 180 d) 90 e) N.a. 04.Cuntos nmeros enteros y desiguales, mayores que 10 y menores que 100, se pueden formar con las 8 primeras cifras, no repitindose ninguna de ellas? (las cifras se deben considerar a partir de 1) a) 100 b) 86 c) 64 d) 56 e) N.a. 05.Cuatro personas entran en un microbs, en el cual hay 6 asientos. De cuantas maneras diferentes pueden sentarse? a) 36 b) 48 c) 96 d) 180 e) N.a. 06.Cuntos nmeros distintos de 3 cifras se pueden formar con los nmeros : 4, 5, 6, 7, 8 y 9? a) 100 b) 120 c) 140 d) 180 e) N.a. 07.Cuatas seales distintas pueden hacerse con 9 banderas, izando 3 de cada vez? a) 604 b) 504 c) 485 d) 336 e) N.a. 08.Hallar el nmero de permutaciones distintas que se pueden formar con las letras de la palabra LGEBRA. a) 2 520 b) 2 630 c) 1 960 d) 1 080 e) N.a. 09.Julio tiene 5 texto de Razonamiento Matemtico. Manuel 4 textos de lgebra y Giovanni 2 textos de Geometra. De cuantas maneras pueden prestarse un texto? a) 10 b) 18 c) 36 d) 40 e) N.a. 10.Simplificar: ( ) VCC 5 2 16 2 10 3 :+ a) 120 b) 60 c) 24 d) 12 e) N.a. 11.Cuntos comits distintos de 5 personas se pueden formar con 7 personas? a) 12 b) 14 c) 15 d) 21 e) N.a. 12.De cuantos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en un banco? a) 720 b) 540 c) 360 d) 160 e) N.a. 13.Dado la expresin: CC m b n a = se cumple: a) mn b) a + b = n + m c) n = m d) n m = a b e) N.a. 14.Tres viajeros llegan a una ciudad en la que hay 6 hoteles. De cuantas maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en un hotel diferente? a) 240 b) 120 c) 64 d) 18 e) N.a. 15.Un comensal se sirve en cada comida 4 platos de los 9 que son de su agrado. Cuntas comidas diferentes puede servirse esa persona? a) 7 b) 9c) 61 d) 126 e) N.a. 16.De entre 8 candidatos, Cuntas ternas se pueden escoger? a) 24 b) 48 c) 56 d) 120 e) N.a. 17.Calcular l nmero de tringulos que se pueden trazar por n puntos no colineales. a) ( ) ( ) 6 2n1nn b) ( ) ( ) 6 1n21nn + c) ( ) ( ) 6 2n1nn ++ d) ( ) 2 1nn + e) N.a. 18.Dado un grupo de 9 personas 5 varones y 4 mujeres Cuntos comits de 4 personas se podrn formar tal que siempre en cada comit haya 2 varones? a) 20 b) 30 c) 60 d) 90 e) N.a. 19.Con 5 jugadores. De cuntos modos se puede disponer un equipo de bsket de 5 integrantes? a) 25 b) 120 c) 180 d) 240 e) N.a. 20.Con seis pesas diferentes de , 2, 5, 10, 20 y 50 kg. Cuntas pesas diferentes pueden obtenerse, aquellas de 3 en 3? a) 18 b) 24 c) 30 d) 36 e) N.a. S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." 9. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria EJERCICIOS PROPUESTOS N 02 01.Con los elementos A, B, C, D. Cuntas combinaciones se pueden realizar tomando todos a la vez y tomando de 3 en 3? a) 1 y 4 b) 24 y 24 c) 24 y 4 d) 1 y 24 e) 1 y 20 02.Con los elementos A, B, C y D el nmero de permutaciones que se pueden formar, tomando todos a la vez y tomando de 3 en 3, es: a) 1 y 4 b) 24 y 24 c) 24 y 4 d) 1 y 24 e) N.A. 03.Determinar, Cuntas de las permutaciones de los dgitos 1,2,3,4,5 son tales que, los impares estn antes que los pares? a) 18 b) 12 c) 24 d) 36 e) 120 04.En un juego de cuyes intervienen 2 cuyes, y hay 4 cajones con 2 orificios cada uno, para que entre los cuyes. De cuantas maneras diferentes pueden entrar cuyes si a cada orificio slo puede entrar un cuy? a) 18 b) 24 c) 60 d) 56 e) 72 05.Alicia tiene 5 amigos y siempre va al cine acompaada por lo menos con uno de ellos. Cuntas alternativas de compaa tiene Alicia para ir al cine? a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 06.Jessica tiene 6 libros grandes y 5 pequeos. De cuantas maneras diferentes podr colocarlas en un estante en grupos de 5, de los cuales 3 sean grandes y 2 pequeos? a) 12000 b) 24000 c) 200 d) 3360 e) 336 07.Se tiene 8 corredores. De cuantas maneras diferentes, se puede premiar a los cuatro primeros lugares? a) 3600 b) 600 c) 1600 d) 1500e) 1680 08.Se tiene 6 nmeros positivos y 8 negativos si se eligen 4 nmeros arbitrariamente sin sustitucin y se multiplican. De cuntas formas el producto es un nmero positivo? a) 273 b) 240 c) 435 d) 505 e) N.A. 09.Cuntos nmeros diferentes formados por 3 fichas de los que se muestran, se pueden formar:? 1 2 3 4 5 6 7 a) 36 b) 18 c) 56 d) 20 e) N.A. 10.Se tiene 10 sillas de lo cuales 6 son defectuosas. De cuntas maneras podemos escoge 3 sillas de tal manera que entre estos hay al menos 2 defectuosas? a) 70 b) 80 c) 60 d) 90 e) 50 11.Cuntos nmeros diferentes de cinco cifras, sin que ninguna se repita se pueden formar con las cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 de tal manera que todos empiezan con 2 y terminen en 1 ? a) 60 b) 55 c) 50 d) 52 e) 40 12.Cuntas palabras aunque carezcan de sentido se pueden formar ROCACORO? a) 5040 b) 1680 c) 2100 d) 1860 e) 1668 13.Nancy va a vestirse y para ello cuenta con 6 pantalones, 6 camisas, 4 faldas, 3 pares de medias, 5 pares de zapatos. De cuantas maneras podr vestirse Nancy, si todas las prendas son diferentes? a) 200 b) 2160 c) 6120 d) 900 e) 3410 14.En un tienda de juguetes slo tenan 35 peluches (todos iguales), 20 pelotas (todas iguales) y 10 juegos de mesa (todos iguales). Si a la tienda entran Juan, Jaime, Mara, Ana y Carlos y cada uno compra un juguete. De cuantas maneras diferentes podrn escoger dichos juguetes? a) 65 b) 81 c) 210 d) 55 e) 30 15.Jessica se va a preparar un jugo, mezclando 5 frutas diferentes para ello cuenta con las siguientes frutas: pltano, papaya, pia, maracuya, manzana, naranja, mandarina, durazno. Cuntos jugos diferentes podr preparar, tal que contengan pia pero no manzana? a) 63 b) 15 c) 30 d) 25 e) 31 16.5 nios de un colegio se van de campamento y deciden realizar una fogata en la noche. De cuantas maneras diferentes se podrn colocar alrededor de la fogata si cada nio va con su padre y su madre; adems cada nio se sienta entre su padre y su madre a la hora de la fogata? a) 768 b) 455 c) 367 d) 218 e) 478 17.En un concurso de Peridico Mural organizado por una institucin, hay 5 finalistas. De cuantas maneras diferentes pueden obtener los premios estos 5 finalistas, sabiendo que hay premios para los 5 puestos? a) 24 b) 60 c) 72 d) 120 e) 240 18.El equipo de fulbito de un saln de clase debe escoger 2 madrinas, una para el equipo y otra para las camisetas; si en total hay 6 candidatas. De cuantas maneras se puede escoger las 2 madrinas? a) 10 b) 20 c) 15 d) 30 e) 40 19.Cuando Jhony quiso ir a Expociencia, 5 amigas le quisieron acompaar, sin embargo l quera ir solamente con 2 amigas. De cuantas maneras diferentes pudo haber ido acompaado por 2 amigas? a) 6 b) 10 c) 20 d) 24 e) 40 20.En el campeonato de ajedrez por el Aniversario de la Academia habrn premios diferentes para el 1ero , el 2do y el 3er puesto. Si participan 5 semifinalistas de cuantas maneras diferentes pueden ganar los premios a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 TAREA DOMICILIARIA 01.Hay 6 mnibus diferentes que viajan entre Lima y Huancayo. De cuantas maneras puede viajar una persona a Huancayo y regresar en un mnibus diferente? 02.Simplificar: ( ) 1n !1n!n M + + = 03.Con 7 peruanos y 4 chilenos debe conformarse un comit de 6 personas. De cuantas maneras puede organizarse este comit siempre y cuando tenga en l 2 chilenos? 04.Una orquesta debe interpretar tres piezas musicales, dentro de un total de 7. Cuntas de estas pueden ejecutarse? 05.Un estudiante tiene un libro de cada uno de los siguientes : Aritmtica, lgebra, Geometra, Fsica y Qumica. De cuantos modos pueden disponerse en un estante, si el de Geometra siempre est en el medio? S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." PROBABILI 10. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria Antes de dar la nocin de probabilidad hagamos una breve referencia sucesos que por su simplicidad se prestan a ser experimentados. Ejemplo 1: Supongamos que en una urna colocamos una bolita blanca y una bolita negra. Vamos, ahora, a extraer al azar una bolita y ver de qu color es. En la extracin de una bolita de la urna se presentan dos casos a. Sale bolita blanca : casos favorables : 1 b. Sale bolita negra : casos favorables : 1Casos posibles : 2 Es evidente que la bola extrada es blanca o es negra; es decir; tenemos dos posibilidades, cada una de las cuales puede ocurrir por igual. As, hay un caso favorable de entre dos posibles de que la bola extrada sea blanca (diremos que la relacin es de 1 a 2 1/2). En forma anloga establecemos la relacin para el caso de la extraccin de una bola negra: 1/2 (Otra vez: 1 caso favorable de entre dos casos posibles de que la bola extrada sea negra). A dicha relacin vamos a llamarla, en estos momentos, probabilidad; pero an no daremos ms detalles de lo que esto significa,. Teniendo en cuenta lo anterior: la suma de las probabilidades de que sea negra es : 1 2 1 2 1 =+ , siendo 1 la certeza. Ejemplo 2: Consideremos otra vez el modelo de la urna y pongamos en ellas tres bolitas: dos blancas y una negra. Al ser el nmero de blancas el doble del nmero de negras, podramos pensar que es ms probable la extraccin de una bola blanca. En la extracin de una : a. Bolita blanca : casos favorables : 1 b. Bolita negra : casos favorables : 2 Casos posibles : 3 Luego, la probabilidad de extraer una bola blanca es 3 2 (2 casos favorables de un total de 3 casos posibles) y la probabilidad de extraer una bola negra es 3 1 (1 caso a favor de posible); tambin aqu ocurre : 1 3 1 3 2 =+ Decir que la probabilidad de extraer una bola negra es 1/3 y de extraer una blanca, 2/3 equivale tericamente a afirmar que, repitiendo la prueba tres veces, debera aparecer una vez la negra y dos veces la blanca; repitindola seis veces, debera presentarse dos veces la negra y cuatro veces la blanca, y as sucesivamente. Pero si se lleva a la prctica la experiencia, no podemos excluir que se obtengan resultados absolutamente contrapuestos a lo que se ha dicho antes, en el sentido de que en el caso, por ejemplo, de las tres pruebas puede presentarse dos veces la blanca o bien tres veces la negra o la blanca. EVENTOS EQUIPROBABLES Hay muchos experimentos aleatorios en los cuales no existen razones para suponer que unos eventos se presentarn ms frecuentemente que otros; por ejemplo, en el lanzamiento de un dado: si el dado tiene una forma cbica perfecta (lo cual nunca es rigurosamente exacto) y si, adems, es completamente homogneo, es de esperar que la probabilidad de que salga una cara determinada del dado comn es 1/6; ya que todas las caras tienen igual probabilidad de salir; es decir son equiprobables. Dado normal Dado trucado Sin embargo, si el dado tiene una forma irregular las probabilidades correspondientes a cada cara son distintas entre s. Para dar un valor a estas probabilidades se procede as: realizamos sucesivamente la experiencia de lanzar el dado trucado y anotamos los resultados; con esto confeccionamos una tabla donde se expresa el nmero de veces que ha salido cada cara (frecuencia absoluta). Ahora, los cocientes entre la frecuencia absoluta y el nmero de veces que se ha realizado la experiencia reciben el nombre de frecuencias relativas. Por ejemplo, si lanzamos el dado irregular 50 veces y la cara correspondiente al 2 ha salido 17 de las 50 veces que hemos lanzamos el dado, diremos que la frecuencia absoluta del 2 es 17 y que la frecuencia relativa es 50 17 . Los valores de estos cocientes son los que tomaremos como probabilidad asociada a cada cara. En nuestro ejemplo; bajo las consideraciones hechas; la cara 2 tiene una probabilidad de 50 17 . Puesto que lneas atrs hemos utilizado la palabra equiprobable, conviene ahora definir que significa equiprobable (igualmente probable). Qu es el principio de razn insuficiente? Usualmente se acostumbra decir que no puede apreciarse probabilidad alguna donde falta un conocimiento relevante o apropiado y esto estara en aparente contradiccin con lo dicho en la definicin dada, pues all se dice que dos proposiciones, o dos acontecimientos, pueden ser igualmente probables, aun si carecemos de conocimiento alguno, cualquiera que sea. Pero ah esta la clave ! Un poco de conocimiento es peligroso, mientras que carecer de l por completo es mucho ms satisfactorio. As para nuestros fines podemos invocar el principio de razn insuficiente, de acuerdo al cual, a falta de un conocimiento sobre dos acontecimientos, los consideramos igualmente probables. No debes olvidar que nuestra definicin es slo aproximada. Y tambin que es posible saber que dos cantidades son iguales sin saber que son. As, alguien que tenga un conocimiento general sobre los juegos puede saber que en el ajedrez ambas partes comienzan con fuerzas iguales, si saber cules son stas, o cualquier otra cosa acerca del juego. Si suponemos, entonces, que una moneda es simtrica, es equiprobable que caer cara o sello, ya que no hay razn alguna para anticipar un resultado u otro. A los experimentos aleatorios dotados de eventos equiprobables tambin se les denomina experimentos aleatorios simtricos (expeimentos aleatorios dotados de simetra). Esto constituye un caso particular, muy importante, de los experimentos aleatorios. PRIMERA DEFINICIN DE PROBABILIDAD (definicin clsica) Cuando un experimento aleatorio es simtrico, es decir, en un nmero muy grande de pruebas los distintos sucesos ocurren con igual frecuencia o todos los eventos son equiprobables, la S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin.... S5RM34B El nuevo smbolo de una buena educacin...." Dos acontecimientos contingentes sern considerados equiprobables si, ya sea por falta de evidencia o despus de considerar todas las circunstancias que hagan al caso, o es de esperar que se d un acontecimiento con preferencia al otro PROBABILI 11. 33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Ao Secundaria RAZONAMIENTO MATEMTICO 5to Ao Secundaria probabilidad de un suceso se obtiene dividiendo el nmero de casos favorables al suceso entre el nmero de casos posibles del experimento Luego : Si A es un evento de un espacio muestral , entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y est dado por: ( ) ( ) ( ) ( ) = = n An enposiblesresultados posiblescasosdetotalNmero Aeventoal favorablescasosdeNmeros AP Esta definicin, debida a Laplace, slo es aplicable a los experimentos aleatorios dotados de simetra y, por lo tanto, tiene un alcance de aplicacin muy restringido. Ejemplo 1 Se lanza un dado acompaado de una moneda. Calcule la probabilidad de obtener: a. Puntaje par acompaado de sello en la moneda. b. Puntaje no menor de 3 y acompaado de cara en la moneda. Resolucin: Experimento aleatorio Total de casos posibles (espacio muestral ) : 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 : S S S S S S C C C C C C n ( ) = 12 Luego : a. El nmero de casos favorables al evento : sale punto par y sello , es: n (A) = 3 ( ) 4 1 12 3 AP == b. El nmero de casos favorables al evento: sale puntaje no menor de 3 y acompaado de cara en la moneda, es: n (A) = 4 ( ) 3 1 12 4 AP == Ejemplo 2: Determine la probabilidad de que, al lanzar un dado, el resultado sea un nmero impar. Resolucin: Experimento aleatorio () : Lanzamiento de un dado normal Espacio muestral () : = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n () = 6 Evento (A): El resultado es impar: A = {1; 3; 5} n (A) = 3 ( ) ( ) ( ) 2 1 6 3 n An AP >