PROBABILITA n (A)

• P (A) = -----------------------

• N (ruang sampel)

Contoh : pada pelemparan 2 coin

• Probabilitas peristiwa munculnya 2 muka sama adalah 2/4 = 0,5

• Probabilitas peristiwa tidak ada muka G yang muncul adalah ¼ = 0,25

Nilai Probabilitas suatu peristiwa A : 0 < P(A) < 1

Hukum Penjumlahan

• Jika A dan B merupakan peristiwa saling lepas (mutually exclusive) , maka :

P(A U B) = P(A) + P(B)

• Jika A dan B merupakan peristiwa yang tidak saling lepas (ada peristiwa bersama atau Joint Event)

• A AB B

P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

Hukum Perkalian

Probabilitas Peristiwa Bebas (Independent Probability)

• P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

• Contoh :

• Pada pelemparan 2 kali sebuah dadu :

• Berapa Probabilitas munculnya muka 6 pada lemparan I dan ke II ?

• A = peristiwa munculnya muka 6 pada lemparan I

• B = peristiwa munculnya muka 6 pada lemparan II

• P(A ∩ B) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Peristiwa Bersyarat

• Probabilitas Peristiwa Bersyarat (Conditional Probability)

P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) = P(A/B) x P(B)

• A/B = peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi lebih dulu

Contoh :

• Pada permainan kartu remi (without replacement)

• Berapa probabilita kartu As muncul pada pengambilan I dan II

• A = peristiwa munculnya kartu As pada pengambilan I

• B = peristiwa munculnya kartu As pada pengambilan II

• P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A)

• = 4/52 x 3/51 = 0,0045

Teknik Menghitung Jumlah Kemungkinan

1. Faktorial (Jumlah susunan n obyek (pada n ruang))

< n! >

contoh :

Berapa jumlah susunan yang berbeda dari 3 buah buku A, B dan C ?

n! = 3! = 6

Bukti : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

2. Permutasi ( Jumlah susunan n obyek pada r ruang )

Berapa jumlah susunan yang berbeda dari 3 buah buku A, B dan C pada 2 ruang ?

3P2 = 3! / (3-2)! = 6

Bukti : AB, AC, BA, BC, CA, CB

3. Kombinasi ( Jumlah kumpulan n obyek pada r ruang ),

Berapa jumlah kemungkinan 3 orang pelamar ABC, akan diterima 2 orang ?

3C2 = 3! / (3-2)! 2! = 3

Kombinasi

Permutasi

AB

AC

BC

AB, BA

AC, CA

BC, CB

Distribusi Probabilita

Variabel Acak

Distribusi Probabilita Diskret

Nilai Harapan (Expected Value)

Nilai harapan merupakan rata-rata semua nilai variabel yang mungkin.

μ = E (X) = ∑ x P(x)

Contoh 2 : Berapa rata-rata (nilai harapan) munculnya sisi angka dari sebuah coin yang dilempar 3 kali ?

X = banyaknya sisi Angka yang muncul

μ = E(X) = 1,5

Distribusi Probabilita Binomial

Contoh :

Sebuah dadu dilempar 2 kali à n = 2

Jika X = banyaknya mata dadu 6 yang muncul,

Sukses = mata dadu 6 yang muncul, maka p = 1/6 dan q = 5/6

R = { GG, GS, SG, SS} = {qq, qp, pq, pp} = {25/36, 5/36, 5/36, 1/36}

X = { 0, 1, 2 } à P (x) = { 25/36 10/36 1/36 }

Contoh :

Sebuah coin dilempar 3 kali à n = 3

X = banyaknya sisi angka yang muncul

Buatlah distribusi probabilita binomialnya !

HasilHasil PercobaanPercobaan

ProbabilitaProbabilita PeristiwaPeristiwa

Jumlah SisiJumlah Sisi X (sukses)X (sukses)

P (X=x)P (X=x) Probabilita b(x│3, p)Probabilita b(x│3, p)

SSSSSS

SSGSSG

SGSSGS

GSSGSS

SGGSGG

GSGGSG

GGSGGS

GGG GGG

ppp ppp

ppq ppq

pqp pqp

qpp qpp

pqq pqq

qpq qpq

qqp qqp

qqq qqq

33

22

2 22 2

22

11

1 11 1

11

0 0

pp33

3p3p22qq

3pq3pq22

qq33

1/81/8

3/83/8

3/83/8

1/8 1/8

Rumus Binomial

Bila X = banyaknya peristiwa sukses yang memilki prob. p dari percobaan binom dengan n ulangan, maka distribusi prob. Binomial X spt rumus tsb.

Contoh :Sebuah coin dilempar 3 kali à n = 3X = banyaknya sisi angka yang muncul à p = 0,5Buatlah distribusi probabilita binomialnya !

Jawab :

Untuk x = 0 P(x=0) = 3C0 (0,5)0 (0,5)3 = 0,125

Untuk x = 1 P(x=1) = 3C1 (0,5)1 (0,5)2 = 0,375

Untuk x = 2 P(x=2) = 3C2 (0,5)2 (0,5)1 = 0,375

Untuk x = 3 P(x=3) = 3C3 (0,5)3 (0,5)0 = 0,125

Nilai Harapan distribusi Binomial

μ = E (X) = ∑ x P(x) = n p

Varians dan Deviasi standar :

Varians : σ2 = n p q

Deviasi std : σ = √ n p q

Distribusi Poisson & Distribusi Normal

Untuk x=1, 2, 3, …

Distribusi Poisson merupakan distribusi variabel acak yang hasil percobaannya terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu.

Distribusi ini secara luas banyak dipakai terutama dalam proses simulasi, seperti proses kedatangan, proses antrian dll.

Dimana m adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dan e = 2,71828

Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri sbb :

Banyaknya hasil percobaan yg terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak bergantung pd selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

Probabilita terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sebanding dengan panjang selang waktu tsb.

Probabilita bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau daerah yang kecil dapat diabaikan.

Contoh Soal 1

Seorang sekretaris rata-rata melakukan kesalahan ketik 2 huruf setiap halaman yang diketik. Berapa probabilita bahwa pada halaman berikutnya ia membuat kesalahan :

a. Defenisikan variabel acak X ?

b. Tepat 3 huruf,

c. Kurang dari 3 huruf

d. Lebih dari 2 huruf

a. X = banyaknya kesalahan ketik

P(X=3) = 0,180

c. P(X<3) = 0,135 + 0,27 + 0,27 = 0,675

d. P(x>2) = 1 – 0,675 = 0,325

Distribusi Normal Distribusi Normal merupakan distribusi probabilita kontinu yang

paling populer. Ciri-ciri distribusi Normal :

1. Kurvanya mempunyai puncak tunggal.

2. Kurvanya berbentuk seperti lonceng.

3. Nilai rata-rata, median dan modus terletak berhimpit dan terletak tepat dibawah puncak kurva.

4. Kurvanya simetris.

5. Kedua ekor kurva memanjang tak terbatas dan tidak pernah memotong sumbu horizontal.

6. Luas daerah yang terletak di bawah kurva dan di atas garis sumbu datar sama dengan 1

Fungsi Normal

Untuk -∞ < X < ∞

Distribusi Normal Standar

Distribusi Normal Standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata μ=0 dan deviasi standar σ=1.

Untuk mencari probabilita suatu interval dari variabel acak normal dapat dipermudah dengan transformasi ke distribusi normal standar.

Distribusi Sampling

Distribusi Sampling adalah : distribusi probabilita dengan statistik sampel sebagai variabel acaknya.

Statisik sampel antara lain :

: (rata-rata sampel),

: (proporsi sampel),

: (Beda 2 rata-rata),

: (Beda 2 proporsi),

Populasi

Populasi adalah keseluruhan unsur yang menjadi obyek pengamatan.

Populasi finite : populasi yang jumlah unsurnya (N) terbatas, misalnya : 5, 10, 1000

Populasi Infinite : popiulasi yang jumlah unsurnya tidak terbatas

Metode Sampling

Cara memperoleh sampel :

1.Simple Random Sample

2.Stratified Random Sample

3.Cluster Random Sample

4.Systematic Random Sample

5.Non Random Sample

Dalil Limit Pusat (The Central Limit Theorem) :

1. = m

2. à populasi terbatas

Sehingga :

Distribusi Sampling Rata-rata

Membuat distribusi Sampling rata-rata sampel dengan sampel berukuran n = 2 dari

suatu populasi berukuran N = 4 yaitu ( 3, 4, 6, 7)

Rata-rata dan deviasi standar populasi :

Dengan sampling without replacement, maka banyaknya kemungkinan sampel yang terjadi adalah sebanyak :

Distribusi t Student

Dalam Dalil Limit Pusat dinyatakan bahwa rata-rata sampel acak akan mendekati dist normal dengan deviasi standar:

Untuk n ≥ 30, nilai-nilai : masih akan mendekati dist normal standar (z)

Untuk n < 30, nilai-nilai akan

mendekati dist student (t) dengan

derajat bebas db = n -1 sehingga :

Distribusi Sampling Proporsi

Bila , dimana k menyatakan banyaknya peristiwa sukses dari sampel yang berukuran n yang besar, maka p akan menyebar normal dengan :

Dan

maka:

Distribusi Sampling Beda 2 Rata-rata

Bila sampel-sampel bebas berukuran n1 dan n2 diambil dari dua populasi yang besar dengan nilai tengah μ1 dan μ2 dan dev. standar σ1 dan σ2, maka :

Beda rata-rata sampel akan menyebar mendekati distribusi normal dengan :

Distribusi Sampling Beda 2 Proporsi

Bila menyatakan beda dua proporsi peristiwa sukses yang diperoleh dari dua sampel acak yang diambil dari dua populasi yang mempunyai dist. Binom dengan prob sukses masing-masing, p1 dan p2 , dan prob gagal q1 dan q2, maka akan menyebar normal dengan :

Pendugaan Parameter Populasi

Penduga Interval

• Penduga interval menunjukkan jajaran nilai (θ1 dan θ2 ) yang diantaranya terdapat parameter yang akan diduga.

• Prob ( Stat-Zα/2σs < Par < Stat+Zα/2σs ) = C

• Berarti θ1 = Stat - Zα/2σs dan θ2 = Stat + Zα/2σs

• Keterangan :

• Par = Parameter yang tidak diketahui

• Stat = Statistik yang merupakan penduga bagi P

• σstat = deviasi standar distribusi sampling statistik

• C = tingkat keyakinan (1 = C + α )

• α = tingkat kesalahan

C = tingkat keyakinan

• Misal untuk pendugaan interval rata-rata dengan

Tingkat keyakinan 90% ;Maka:

Prob ( X - Zα/2σx < μ < X+Zα/2σx ) = 90 %

Pendugaan Interval Rata-rata Populasi

• Prob ( X - Zα/2σx < μ < X + Zα/2σx ) = C atau

•

• n > 30 atau

• σ diketahui Zα/2 -----à σ diketahui maka :

σ/√n

• n < 30 dan

• σ tdk diketahui maka tα/2,n-1 -à σ tidak

diketahui sehingga : s/√n

Menentukan Ukuran Sampel : n

• Ukuran sampel utk menduga rata-rata populasi m

• Ukuran sampel utk menduga proporsi populasi P:

P ditentukan terlebih dahulu (berdasarkan pengalaman masa lalu atau perkiraan yg mendekati), jika P tidak ada informasi maka P didekati dg 0,5

PENGUJIAN HYPOTESIS

Tahapan Pengujian

1. Menentukan Design Hypotesis

2. Menentukan Batas Kritis

3. Menghitung nilai Statistik Uji ( Z hitung)

4. Tentukan letak Z hitung pada batas kritis

5. Ambil keputusan

Pengujian Hypotesis:

◦ Proporsi

◦ Beda dua rata-rata

◦ Beda dua proporsi

Tahapan Pengujian:

1. Menentukan Design Hypotesis

2. Menentukan Batas Kritis

3. Menghitung Statistik Uji ( Z hitung)

4. Tentukan letak Z hitung pada batas kritis

5. Ambil keputusan

Ilustrasi pada kasus Beda 2 rata-rata

dua arah

Design Hipotesis:

1. Menentukan Design Hypotesis

2. Menentukan Batas Kritis

3. Menghitung Statistik Uji ( Z hitung)

4. Tentukan letak Z hitung pada batas kritis

5. Ambil keputusan

Design Hypotesis :