SEBARAN PELUANG

BERSAMA

Peubah Acak Yang Menyebar

Bersama

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret,

maka sebaran peluang bersama untuk X dan Y

adalah

p(x,y) = P(X=x, Y=y)

Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x

dan y. Fungsi dari p(x,y) dinamakan fungsi

peluang bersama.

Sifat fungsi peluang bersama

p(x,y)

1. p(x,y) ≥ 0

2. ),(

1),(yx

yxp

Contoh 1

Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah

kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5

biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang

terambil dan Y adalah banyaknya bola putih

yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama

dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin

adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0),

(2,1), dan (3,0)

f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah

dan 0 bola putih

Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah

=220

Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari

4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10

f(0,0) adalah 10/220

3

12

3

5

0

4

0

3

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1

Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh inidapat dinyatakan dalam rumus berikut

Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3

p(x,y)x

Total Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220 112/220

2 30/220 18/220 48/220

3 4/220 4/220

Total Kolom 84/220 108/220 27/220 1/220 1

3 4 5

3( , )

12

3

x x x yp x y

Definisi

Untuk dua peubah acak X dan Y, fungsi sebaran

peluang kumulatif bersama dari X dan Y adalah

F(a,b) = P{X a,Y b}

Untuk dua peubah acak diskret X dan Y, F(a,b)

memiliki bentuk

F(a,b) = a

x

b

yyxp ),(

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi sebaran bersama F(a,b). Jika terdapat fungsi nonnegatif f(x,y) sedemikianhingga

untuk semua bilangan nyata a dan b, maka X danY dikatakan peubah acak kontinu yang menyebarbersama.

Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepekatanpeluang bersama.

a b

dxdyyxfbaF ),(),(

Contoh

Fungsi kepekatan bersama X dan Y adalah

22 0 ,0( , )

0

x ye e x yf x y

selainnya

Hitunga. P(X>1,Y<1)

b. P(X<Y)

c. P(X<a)

Jawab.

a. P(X>1,Y<1) =

= =

b. P(X<Y) = =

= =

= 1-2/3 = 1/3

1

2

0 1

2 x ye e dxdy dyee xy

1

01

22

1

0

21 2 dyee y 21 1 ee

yxyx

yx dxdyee);,(

220 0

22

y

yx dxdyee

0

2 )1(2 dyee yy dyedye yy

0 0

32 22

c. P(X<a) = = = 1-e-aa

xy dydxee0 0

22 dxe

a

x

0

Sifat dari Fungsi Sebaran

Bersama F(a,b)

F(- , - ) = F(- , y) = F(x, - ) = 0

F( , ) = 1

Jika a2 ≥ a1 dan b2 ≥ b1, maka

F(a2,b2)+F(a1,b1)-F(a1,b2)-F(a2,b1) ≥ 0

Sifat dari fungsi kepekatan

bersama

1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua x, y

2. 1),( dxdyyxf

Contoh

Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu

layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada

suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah

proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani

pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi

waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan

yang memanfaatkan layanan drive thru. Bila fungsi

kepekatan bersama dari (X,Y) adalah

selainnya

yxyxyxf

0

10,10)(5

6

),(2

1. Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi

kepekatan peluang yang sah

2. Berapa peluang bahwa kedua layanan

digunakan tidak lebih dari seperempat waktu

layanan restoran ?

Jawab

a.

=

=

1

0

1

0

2

5

6),( dxdyyxdxdyyxf

1

0

1

0

21

0

1

0 5

6

5

6dxdyyxdxdy

115

6

10

6

5

6

5

6 1

0

21

0

dyyxdx

Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak

lebih dari seperempat waktu layanan restoran

adalah

=

=

dxdyyxYXP4/1

0

4/1

0

2

5

6

4

10,

4

10

dxdyyxdxdy4/1

0

4/1

0

24/1

0

4/1

0 5

6

5

6

640

7

320

6

220

64/1

0

34/1

0

y

y

x

x

yx

Sebaran Peluang Marginal dan

Sebaran Peluang Bersyarat

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret

yang menyebar bersama dengan fungsi peluang

p(x,y), maka fungsi peluang marginal dari X dan

Y adalah

dany

x yxpxp ),()(x

y yxpyp ),()(

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu

yang menyebar bersama dengan fungsi

kepekatan peluang bersama f(x,y), maka

fungsi kepekatan marginal dari X dan Y adalah

dandyyxfxf x ),()( dxyxfyf y ),()(

Contoh

Misalkan

Carilah fungsi kepekatan marginal X dan Y.

Jawab

Fungsi kepekatan marginal X adalah

= 2x(1) – 2x(0) = 2x, 0 x 1

2 , 0 1,0 1( , )

0,

x x yf x y

selainnya

11

0

0

( ) ( , ) 2 2Xf x f x y dy xdy xy

Sedangkan fungsi kepekatan marginal Y adalah11

2

0 0

( ) ( , ) 2 1Yf y f x y dx xdx x

Fungsi peluang diskret bersyarat X

jika diketahui Y

P(x|y)=P(X=x|Y=y)=

dengan syarat py(y)>0)(

),(

)(

),(

yp

yxp

yYP

yYxXP

y

Contoh

Dari Sebaran bersama berikut

a. P(X=0|Y=1)

b. P(X=1|Y=1)

c. P(X≥2|Y=1)

p(x,y)x Total

Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220 112/220

2 30/220 18/220 48/220

3 4/220 4/220

Total Kolom 84/220 108/220 27/220 1/220 1

Jawab

a. P(X=0|Y=1) =

P(Y=1) = pY(1) =

= p(0,1) + p(1,1) + p(2,1) + p(3,1)

=

Sehingga

P(X=0|Y=1) =

( 0, 1)

( 1)

P X Y

P Y

3

0

( ,1)x

p x

40 60 12 112

220 220 220 220

( 0, 1) 40 / 220 40

( 1) 112 / 220 112

P X Y

P Y

b. P(X=1|Y=1) =

c. P(X≥2|Y=1) =

=

( 1, 1) 60 / 220

( 1) 112 / 220

P X Y

P Y

( 2, 1) ( 2, 1) ( 3, 1)

( 1) ( 1)

P X Y P X Y P X Y

P Y P Y

12 / 220 0 12

112 / 220 112

Definisi

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu

yang menyebar bersama dengan fungsi

kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi

kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka fungsi

kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah

selainnya

yfyf

yxf

yxfy

y

,0

0)(,)(

),(

)|(

Dan fungsi kepekatan bersyarat Y jika

diketahui X=x adalah

selainnya

xfxf

yxf

xyf xx

,0

0)(,)(

),(

)|(

Contoh

Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakanbanyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu haridan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selamahari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut

a. Tentukan fungsi kepekatan bersyarat X jika diketahuiY=y

b. Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurangdari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awalhari

1/ 2, 0 ,0 2( , )

0,

x y yf x y

selainnya

Jawab

a.

00

1 1( ) ( , ) 1/ 2

2 2

yy

Yf y f x y dx dx x y

1, 2

( ) 2

0,Y

y x yf y

selainnya

( , ) 1/ 2( | ) 1/

( ) (1/ 2)Y

f x yf x y y

f y y

1/ , 0 2( | )

0,

y x yf x y

selainnya

b. P(X 1/2|Y=1) = 1/2 1/2

1/2

0

0 0

1( | ) 1/ 2

1f x y dx dx x

Peubah Acak yang Bebas

(Independent)

Definisi

Misalkan X mempunyai fungsi sebaran Fx(x), Y mempunyai fungsi sebaran

Fy(y), dan X dan Ymemiliki fungsi sebaran bersama F(x,y), maka X dan Y

dikatakan bebas jika dan hanya jika

F(x,y) = Fx(x) . Fy(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang

marginal px(x) dan py(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika

p(x,y) = px(x)py(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan

kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka hubungan di atas benar jika dan

hanya jika

f(x,y) = fx(x)fy(y)

untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)

Contoh

p(x,y)x

Total Baris0 1 2 3

y

0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220

1 40/220 60/220 12/220 112/220

2 30/220 18/220 48/220

3 4/220 4/220

Total Kolom 84/220108/22

027/220 1/220 1

Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:

Apakah X dan Y bebas?

Jawab.

Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan pX(0)

= 84/220 dan pY(0) = 56/220 sehingga

p(0,0) pX(0).pY(0) X dan Y tidak bebas

Contoh

Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran

bersama berikut?

Jawab.

Kita dapatkan sehingga dapat diambil

kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas

1/ 2, 0 ,0 2( , )

0,

x y yf x y

selainnya

1, 0 2

( ) 2

0,Y

y yf y

selainnya

22

00

1 1( ) ( , ) 1

2 2Xf x f x y dy dy y

( , ) ( ) ( )X Yf x y f x f y

Theorema

Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama

f(x,y), yang positif jika dan hanya jika a x b,

c y d, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) =

0 selainnya, maka X dan Y adalah peubah acak

yang bebas jika dan hanya jika

f(x,y) = g(x) h(y)

dimana g(x) adalah fungsi nonnegatif dari x dan

h(y) adalah fungsi nonnegatif dari y

Contoh

a. Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatanbersama

Apakah X dan Y bebas

Jawab

f(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1

Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas

2 , 0 1,0 1( , )

0,

x x yf x y

selainnya

Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama

Apakah X dan Y bebas

Jawab

fungsi kepekatan bersama positif jika dan hanyajika , tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif padaselang a x b, c y d

5 , 0 1( , )

0,

x y xf x y

selainnya

Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan.

Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah

acak yang tidak bebas karena fungsi kepekatan

bersamanya tidak sama dengan perkalian fungsi

marginal X dan fungsi kepekatan marginal Y.