1.0 PENGENALAN

Dalam matematik, segi tiga Pascal adalah suatu aturan geometri pada pekali

binomial dalam sebuah segi tiga. Ia dinamakan sempena Blaise Pascal dalam

kebanyakan dunia barat, walaupun ahli matematik lain telah mengkajinya

berabad-abad sebelum dia di India, Parsi, China, dan Itali. Barisan segi tiga

Pascal secara kebiasaannya dihitung bermula dengan barisan kosong, dan

nombor-nombor dalam barisan ganjil biasanya diatur supaya berkait dengan

nombor-nombor dalam barisan genap.

Pembinaan mudah pada segi tiga dilakukan dengan cara berikut. Di

barisan sifar, hanya tulis nombor 1. Kemudian, untuk membina unsur-unsur

barisan berikutnya, tambahkan nombor di atas dan di kiri dengan nombor

secara terus di atas dan di kanan untuk mencari nilai baru. Jikalau nombor di

kanan atau kiri tidak wujud, gantikan suatu kosong pada tempatnya.

Contohnya, nombor pertama di barisan pertama adalah 0 + 1 = 1, di mana

nombor 1 dan 3 dalam barisan ketiga ditambahkan untuk menghasilkan

nombor 4 dalam barisan keempat.

Lima barisan pertama pada segi tiga Pascal

1

2.0 SEJARAH RINGKAS

Gambaran awal tentang sebuah segi tiga pekali binomial muncul pada abad

ke-10 dengan ulasan dalam Chandas Shastra, sebuah buku India purba

dalam prosodi bahasa Sanskrit yang ditulis oleh Pingala antara abad ke-5–ke-

2 SM. Karya Pingala pula hanya muncul tentang pecahan, yang diulas oleh

Halayudha, sekitar 975, menggunakan segi tiga itu untuk menjelaskan

rujukan kabur pada Meru-prastaara, "Tangga Gunung Meru". Ia juga disedari

bahawa pepenjuru pada jumlah segi tiga itu wujud pada nombor Fibonacci.

ahli matematik India Bhattotpala (kk. 1068) kemudian memberikan barisan 0-

16 pada segi tiga tersebut.

Pada waktu yang sama, ia telah dibincangkan di Parsi (Iran) oleh ahli

matematik Al-Karaji (953–1029) dan penyajak-ahli nujum-matematik Omar

Khayyám (1048-1131); oleh itu segi tiga dirujukkan sebagai "segi tiga

Khayyam" di Iran. Beberapa teorem berkaitan dengan segi tiga untuk

diketahui, termasuk teorem binomial. Ternyata kita boleh memastikan bahawa

Khayyam menggunakan suatu cara mencari punca ke-n berasaskan

pengembangan binomial, dan juga pada pekali binomial.

2

Pada abad ke-13, Yang Hui (1238-1298) menyampaikan segi tiga

aritmetik, yang sama dengan Segi tiga Pascal. Hari ini segi tiga Pascal digelar

"segi tiga Yang Hui" di China.

Akhirnya, di Itali, ia dirujuk sebagai "segi tiga Tartaglia", dinamakan

untuk ahli algebra Itali Niccolò Fontana Tartaglia yang hidup seabad sebelum

Pascal (1500-1577); Tartaglia dikreditkan dengan rumus umum untuk

menyelesaikan polinomial kubik (yang mungkin dari Scipione del Ferro tetapi

diterbitkan oleh Gerolamo Cardano 1545).

Petrus Apianus ( 1495 -1552 ) menerbitkan Segi tiga itu pada ilustrasi

depan bukunya tentang perniagaan 1531/32 dan suatu versi asal pada 1527

yang merupakan rekod pertamanya di Eropah.

Pada 1655, Blaise Pascal menulis sebuah Traité du triangle

arithmétique (Perjanjian pada segi tiga aritmetik), iaitu dia mengumpul

beberapa penilaian kemudian diketahui mengenai segi tiga itu, dan

menggunakannya untuk menyelesaikan masalah teori kebarangkalian. Segi

tiga itu kemudian dinamakan sempena nama Pascal oleh Pierre Raymond de

Montmort (1708) dan Abraham de Moivre (1730).

3

3.0 RUMUS SEGITIGA PASCAL

I. x dan y mewakili nombor yang tidak dapat diketahui nilainya.II. manakala, n pula mewakili nilai kuasa (^)

4.0 POLA NOMBOR SEGITIGA PASCAL

GAMBAR RAJAH 3.0 : POLA NOMBOR

4

Pola Nombor

Pepenjuru

Nombor Ganjil Dan Genap

Penambahan Mendatar

Exponents Of 11

Nombor Fibonacci

Simetri

(x+y)^n

4.0.1 PEPENJURU

Sesetengah corak amat jelas kelihatan dalam pepenjuru segi tiga

Pascal seperti pepenjuru yang menuju sepanjang sisi kiri dan kanan

hanya mempunyai satu 1. Pepenjuru bersebelahan dengan pepenjuru

sisi mengandungi nombor asli mengikut turutan.pepenjuru yang

seterusnya mempunyai nombor segi tiga mengikut turutan. Dan

selepas daripada pepenjuru nombor asli berurutan, terdapat nombor

tetrahedron.

4.0.2 NOMBOR GANJIL DAN GENAP

Di dalam segitiga pascal, ia terdapat nombor genap dan nombor ganjil.

Contoh nombor genap ialah, 2,4,6,8 dan seterusnya. Manakala

nombor ganjil ialah seperti nombor 3, 5, 9, 11 dan seterusnya. Apabila

nombor genap diwarnakan dengan warna lain dan nombor ganjil

diwarnakaan dengan warna lain, ia akan menghasilkan bentuk seperti

segitiga sirpinski.

4.0.3 PENAMBAHAN MENDATAR

Pada segitiga pascal, terdapat nombor di dalmnya mengikut ketinggian

masing-masing. Ia dimulakan dengan nombor satu (1) diatasnya dan

seterusnya dari nombor satu ia akan berkembang kepada jumlah yang

lebih besar lagi. Dalam konsep penambahan mendatar ini,

penambahan dilakukan secara mendatar dari kiri ke kanan atau dari

kanan kiri. Sebagai contoh nombor pada barisan kedua dari atas

5

mempunyai nombor “1” dan “1”. Apabila ia ditambah kita akan

mendapat hasilnya iaitu 2.

4.0.4 PENDARABAN SENDIRI (EXPONENTS OF 11)

Setiap baris pada segitiga pascal mempunyai “exponents of 11”.

Exponents of 11 adalah gandaan bagi 11 contoh 110, 111, 112, 113, 114

dan seterusnya. Pada baris yang pertama mempunyai exponents 110

dan nilainya ialah “1”. Pada baris yang kedua mempunyai exponents

111 dan nilainya ialah 11. Begitu juga pada baris yang seterusnya.

4.0.5 NOMBOR FIBONACCCI

Nombor Fibonacci adalah siri nombor:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Pada segitiga pascal terdapat nombor Fibonacci. Ia terhasil daripada

nombor-nombor didalamnya. Kita mengira nombor dengan

menggunakan pepenjuru di sebelah kanan dari atas ke bawah.

Dengan menambah nombor tersebut kita akan mendapat nombor

Fibonacci seperti yang disenaraikan di atas.

4.0.6 SIMETRI

Segitiga pascal juga adalah simetri. Ia menjadi simetri kerana di

sebelah kiri mempunyai padanan nombor pada sebelah kanan, seperti

imej cermin. Simetri yang paling mudah adalah Pantulan Simetri

(kadang-kadang dipanggil Simetri Talian atau Simetri Cermin). Ia

6

adalah mudah untuk mengiktiraf, kerana setengah mencerminkan

separuh yang lain. Talian Simetri tidak perlu atas-bawah atau kiri

kanan, ia boleh berada di mana-mana arah.

4.1 APLIKASI DALAM BIDANG MATEMATIK SERTA KEHIDUPAN

MANUSIA

4.1.1 Kepala dan Bunga

Segitiga Pascal boleh menunjukkan kepada anda berapa banyak cara

kepala dan bunga boleh bergabung. Ini kemudiannya boleh

menunjukkan kepada anda "kemungkinan" (atau kebarangkalian)

mana-mana kombinasi.

Sebagai contoh, jika anda melambung syiling tiga kali, terdapat hanya

satu gabungan yang akan memberi anda tiga kepala (HHH), tetapi

terdapat tiga yang akan memberikan dua kepala dan satu bunga (HHT,

HTH, THH), juga tiga yang memberikan satu kepala dan dua bunga

(htt, THT, TTH) dan satu untuk semua ekor (TTT). Ini adalah corak

"1,3,3,1" di Segitiga Pascal.

7

Lambungan

Keputusan Kemungkinan (Dikategorikan)

Segitiga Pascal

1HT

1, 1

2HH

HT THTT

1, 2, 1

3

HHHHHT, HTH, THHHTT, THT, TTH

TTT

1, 3, 3, 1

4

HHHHHHHT, HHTH, HTHH, THHH

HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHHHTTT, THTT, TTHT, TTTH

TTTT

1, 4, 6, 4, 1

4.1.2 Konsep segitiga pascal pada bangunan

Konsep segitiga pascal ini terdapat pada bangunan candi prambanan.

Candi tersebut memiliki latar belakang sejarah . Candi Prambanan

adalah candi terbesar di Jawa Tengah, candi yang di temukan kembali

dalam keadaan runtuh dan hancur serta di tumbuhi semak belukar, ini

disebabkan kerana ditinggalkan manusia pendukungnya beratus-ratus

silam. Konsep seni binanya adalah simetri, bentuk bangunannya yang

indah menjulang tinggi dan struktur bangunannya yang kukuh. Bentuk

bangunannya menggunakan konsep simetri. Simetri merupakan

sebuah ciri dari bidang geometri, persamaan dan objek lainnya. Kita

dapat katakan bahawa objek yang simetri akan mematuhi operasi

simetri, ketika diperlakukan ke objek tidak akan berlakunya perubahan.

8

Bentuk bangunan itu juga mempunyai persamaan dengan segitiga

pascal. Contoh gambar adalah seperti berikut.

9

5.0 VISUAL/GAMBAR RAJAH POLA NOMBOR YANG TERHASIL

5.1 PEPENJURU ( DIAGONALS)

GAMBAR RAJAH 5.1.1

Pepenjuru yang pertama semestinya bernombor ‘1’ dan pepenjuru

yang seterusnya mempunyai turutan nombor seperti (1,2,3, dll).

Turutan nombor adalah nombor bulat tetapi ia tanpa nombor kosong

‘0’. Nombor kosong tidak dapat dikira jadi nombornya adalah 1,2,3,4,5

dan seterusnya. Pepenjuru ketiga mempunyai nombor segi tiga. Ini

adalah Urutan Nombor segi tiga:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Rentetan ini dihasilkan dari corak titik yang membentuk

segitiga.Dengan menambah satu lagi deretan titik dan mengira semua

titik kita boleh mencari nombor urutan seterusnya seperti rajah

dibawah :

10

GAMBAR RAJAH 5.1.2

Pepenjuru yang keempat adalah selepas pepenjuru yang ketiga.

Pepenjuru tersebut mempunyai nombor tetrahedron. Nombor

Tetrahedron boleh mudah difahami jika anda berfikir timbunan guli

dalam bentuk sebuah Tetrahedron.

Kita hanya perlu menghitung berapa banyak guli yang

diperlukan untuk timbunan ketinggian tertentu.Untuk ketinggian yang

pertama, anda hanya memerlukan satu guli. Untuk ketinggian yang

kedua, anda akan memerlukan 4 biji guli (1 di atas dan 3 di bawah).

Untuk ketinggian yang ketiga anda akan memerlukan 10 biji guli.

Manakala, untuk ketinggian keempat anda akan memerlukan 20 biji

guli.. Dan berapa banyak untuk ketinggian kelima (seperti ilustrasi) ?

GAMBAR RAJAH 5.1.3

11

Setiap lapisan dalam tetrahedron guli adalah sebenarnya

sebahagian Urutan Nombor segi tiga (1, 3, 6, dll). Dan kedua-dua

nombor segi tiga dan nombor tetrahedron berada di Segitiga Pascal.

Jadual ini menunjukkan nilai-nilai bagi beberapa lapisan pertama:

n Triangular Number Tetrahedral Number

(Height) (Marbles in Layer) (Total Marbles)

1 1 1

2 3 4

3 6 10

4 10 20

5 15 35

6 21 56

JADUAL 5.1.4

Jika anda melihat pada nombor dia atas anda boleh melihat

sesuatu yang menarik: jika anda mengambil mana-mana nombor dan

menambah bilangan di bawah dan ke kiri, anda akan mendapat

nombor seterusnya dalam urutan. (Contoh Untuk 6 +4 = 10).

12

5.2 NOMBOR GANJIL DAN NOMBOR GENAP

GAMBAR RAJAH 5.2.1

Jika anda mewarnakan nombor ganjil dan nombor genap, ia berakhir

dengan pola yang sama seperti Segitiga Sierpinski. Dibawah adalah

contoh bagi segitiga sirpinski.

GAMBAR RAJAH 5.2.2

Cara untuk membuat segitiga sirpinski adalah seperti berikut :

1.Mulakan dengan segi tiga.

2. Kecutkan segitiga kepada separuh, dan letakkan satu salinan dalam setiap tiga penjuru

3. Ulangi langkah 2 untuk segi tiga yang lebih kecil, lagi dan lagi, selama-lamanya!

13

GAMBAR RAJAH 5.2.3

5..3 PENAMBAHAN MENDATAR (HORIZONTAL SUMS)

GAMBAR RAJAH 5.3.1

Apa yang anda perasan tentang penambahan mendatar (horizontal

sums) ? Terdapat pola didalamnya dan ia menakjubkan kerana

nombor berganda setiap masa dengan kuasa 2. Nombor yang terhasil

dari penambahan mendatar di atas ialah 2,4,8,16,32,64 dan 128. Dari

nombor yang terhasil, kita dapat melihat bahawa terdapat gandaan

disitu dengan menggunakan kuasa 2.

5.4 EXPONENTS OF 11

14

GAMBAR RAJAH 5.4.1

Setiap baris mempunyai kuasa (exponents) 11:

110 = 1 (baris pertama adalah hanya "1")

111 = 11 (barisan kedua ialah "1" dan "1")

112 = 121 (barisan ketiga adalah "1", "2", "1")

113 = 1331 (barisan keempat adalah “1”, “3”, “3”, “1”)

114 = 14641 (barisan kelima adalah “1”, “4”, “6”, “4”, “1”)

Pada nombor 115 ia berlainan pula dengan yang atas. Digitnya

bertindih seperti ini :

Perkara yang sama akan berlaku pada 116.

5.5 NOMBOR FIBONACCI

15

GAMBAR RAJAH 5.5.1

Cuba ini: Buat pola dengan menaik dan kemudian bersama-sama,

kemudian tambah nilai (seperti yang digambarkan) ... anda akan

mendapat nombor Fibonacci.

(Turutan Fibonacci bermula "1, 1" dan kemudian terus dengan

menambah dua nombor sebelumnya, sebagai contoh 3 contoh 5 = 8,

maka 5 +8 = 13, dan sebagainya)

Nombor Fibonacci adalah siri nombor:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Nombor yang berikutnya terhasil dengan menambah dua nombor

sebelum ia.Nombor 2, didapati dengan menambah dua nombor

sebelum nya iaitu (1 +1).Begitu juga, nombor 3 didapati dengan

menambah dua nombor sebelumnya (1 +2), dan 5 (2 +3), dan

seterusnya.

5.6 SIMETRI

16

GAMBAR RAJAH 5.6.1

Segitiga juga adalah simetri. Nombor di sebelah kiri mempunyai sama

padanan nombor pada sebelah kanan, seperti imej cermin. Simetri

yang paling mudah adalah Pantulan Simetri (kadang-kadang dipanggil

Simetri Talian atau Simetri Cermin). Ia adalah mudah untuk

mengiktiraf, kerana setengah mencerminkan separuh yang lain. Talian

Simetri tidak perlu atas-bawah atau kiri kanan, ia boleh berada di

mana-mana arah.

17