Sistem digital penyederhanaan fungsi boolean

Gembong Edhi [email protected]

@gembong

Penyederhanaan fungsi Boolean

TujuanPerkuliahan• Menggambar peta karnaugh berdasarkan fungsi boolean atau

tabel kebenaran yang diketahui• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan peta

karnaugh• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan

metoda tabulasi.

Karnaugh maps• Aljabar boolean membantu kita untuk

menyederhanakan persamaan dan circuit• Karnaugh Map : teknis grafis yang digunakan

untuk menyederhanakan ekspresi booleankedalam form :– minimal sum of products (MSP)– minimal product of sums(MPS)

• Tujuan dari penyederhanaan– Menghasilkan jumlah minimal dari terms product/sum– Masing-masing term akan memiliki jumlah literal

minimal

Pengaturan ulang tabel kebenaran• 2 variabel fungsi memiliki 4 kemungkinan

minterms. Kita dapat melakukan perubahanminterm sini kepeta karnaugh

• Sekarang kita dapat dengan mudah melihatminterms yang memiliki literal umum– Minterms pada bagian kiri dan kanan

mengandung y’ and y– Minterms pada bagian atas dan bawah

mengandung x’ and x

4

x y minterm0 0 x’y’0 1 x’y1 0 xy’1 1 xy

Y

0 10 x’y’ x’y

X1 xy’ xy

Y

0 10 x’y’ x’y

X1 xy’ xy

Y’ YX’ x’y’ x’yX xy’ xy

PenyederhanaanKarnaughMap• Bayangkan 2 variable sum pada minterms

x’y’ + x’y

• Setiap minterms yang terlihat pada baris atasdari K-map mengandung literal x’

• Apa yang terjadi bila kita melakukanpenyederhanaan expresi tersebut denganaljabar boolean ?

5

x’y’ + x’y = x’(y’ + y) [ Distributive ]= x’ 1 [ y + y’ = 1 ]= x’ [ x 1 = x ]

Yx’y’ x’y

X xy’ xy

Contoh 2 variabel• Contoh 2 : untuk expression x’y+ xy

– Setiap minterms yang tampak bada sisi kanan dimanay tidak dikomplemenkan

– Kita dapat menyederhanakan x’y+ xy to just y

• Bagaimana jika x’y’ + x’y + xy?– Kita memiliki x’y’ + x’y pada baris atas, yang dapat

disederhanakan menjadi x’– Ada juga x’y + xy bagian kanan yang dapat kita

sederhanakan menjad iy– Persamaan ini dapat kita sederhanakan menjadi x’ + y

6

Yx’y’ x’y

X xy’ xy

Yx’y’ x’y

X xy’ xy

7

Minterm Maxtermx y z Suku Lambang Suku Lambang00001111

00110011

01010101

x’y’z’x’y’zx‘y z’x’y zx y’z’x y’zx y z’x y z

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

x + y + z x + y + z’x + y’+zx + y’+z’x’+ y + zx’+ y + z’x’+ y’+ zx’+ y’+ z’

M0

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

Karnaugh Map 3 variabel• untuk 3 variabel dengan input x,y,z ,

susunannya adalah sebagai berikut :

• Cara lain untuk menyusun Kmap 3variabel ( pilih yang anda sukai )

8

Yx’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’

X xy’z’ xy’z xyz xyz’Z

Ym0 m1 m3 m2

X m4 m5 m7 m6Z

YZ00 01 11 10

0 x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’X1 xy’z’ xy’z xyz xyz’

YZ00 01 11 10

0 m0 m1 m3 m2X1 m4 m5 m7 m6

Why the funny ordering?

• .

9

x’y’z + x’yz= x’z(y’ + y)= x’z 1= x’z

x’y’z’ + xy’z’ + x’yz’ + xyz’= z’(x’y’ + xy’ + x’y + xy)= z’(y’(x’ + x) + y(x’ + x))= z’(y’+y)= z’





K-mapsdari sebuah tabelkebenaran• Kita dapat mengisi K-map langsung dari

sebuah tabel kebenaran– Output dari barisipada tabel dimasukkan pada

kotak mi pada K-map– Ingat bahwa bagian kanan kolom darik-map

“ditukar”

10

Ym0 m1 m3 m2

X m4 m5 m7 m6Z

x y z f(x,y,z)0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 0

1 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

Y0 1 0 0

X 0 1 1 1Z

Membaca MSP dariK-map• Kita dapat menemukan expression SoP minimal

– Setiap kotak sesuai dengan 1 term of product– Produk ditentukan dengan mencari literal umum

padakotak

11



Y0 1 0 0

X 0 1 1 1Z

xyy’z

F(x,y,z)= y’z + xy

Mengelompokkanminterms• Pengelompokanpadak-map

– Buat persegi panjangan yang mengelilingi group dari1,2,4, atau 8 dari nilai 1

– Semua nilai 1 pada map harus dimasukkan palingtidak pada 1 persegipanjang.

– Jangan memasukkan nilai 0– Setiap kelompok terdiri dari satu term of product

12

Y0 1 0 0

X 0 1 1 1Z

PIs AND EPIs (1/3)• Untuk menemukan expresi SOP yang paling sederhana kita

harus mendapatkan :– jumlah minimum literals per product term

– Jumlah minimum product terms• Bisa kita dapatkan melalui K-Map menggunakan

– Group terbesar dari sebuah minterms ( prime implicants ) bilamungkin

– Tidakada redundant grouping ( essential prime implicants )

• Implicant : product term yang dapat digunakan untukmengkover minterms dari sebuah fungsi

CS2100 Karnaugh Maps 13

PIs AND EPIs (2/3)• Prime implicant (PI): product term yang didapatkan dari

menggabungkan jumlah minterms yang memungkinkan darikotak yang terdapat pada map. ( kemungkinanpengelompokan terbesar )

• Selalu cari prime implicants pada sebuah K-map


11 1

111

O

11 1

111 P

PIs AND EPIs (3/3)• Tidak ada redundant groups:


1

1

1

11

1

P1

1

1

1

1

11

1

O1

1

Essential prime implicant (EPI): prime implicant yang terdirisetidaknya satu minterm yang tidak dikover prime implicantyang lain.

Essential prime implicants

K-map Simplificationof SoPExpressions

• Mari kita sederhanakan persamaan berikut f(x,y,z) =xy + y’z + xz

• Kita harus mengkonversi persamaan tersebut keminterms form– Hal yang paling mudah adalah dengan membuat tabel

kebenaran dari fungsi dan kemudian kita temukanmintermsnya

– Anda dapat menuliskan literals nya atau dengan minterm• Berikut adalah tabel kebenaran dan mintermdari

fungsi diatas :

16

x y z f ( x ,y ,z )0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1

f(x,y,z) = x’y’z + xy’z + xyz’ +xyz

= m1 + m5 + m6 +m7

UnsimplifyingExpressions• Kita juga dapat mengkonversi fungsi diatas dengan

menggunakan aljabar boolean– Terapkan hukum distribusi untuk menambahkan variabel yang

hilang

• Dalam contoh diatas, kita sama sekali tidak“menyederhanakan”

– Hasil dari expres idiatas lebih luas dari pada fungsi aslinya– Tetapi dengan menemukan minterms akan memudahkan kita

untuk menggabungkan terms tersebut pada sebuah k-map

17

xy + y’z + xz = (xy 1) + (y’z 1) + (xz 1)= (xy (z’ + z)) + (y’z (x’ + x)) + (xz (y’ + y))= (xyz’ + xyz) + (x’y’z + xy’z) + (xy’z + xyz)= xyz’ + xyz + x’y’z + xy’z

= m1+m5+m6+m7

ExampleK-map• Pada contoh kita , kita bisa menuliskan

f(x,y,z) dengan cara sbb:

• Hasil dari tabel kebenaran ditunjukkanpada k-map dibawah ini

18



f(x,y,z) = x’y’z + xy’z + xyz’ + xyz

Ym0 m1 m3 m2

X m4 m5 m7 m6Z

f(x,y,z) = m1 + m5 + m6 + m7

Y0 1 0 0

X 0 1 1 1Z

FIGURE 4-11Karnaugh maps and truth tables for (a) two, (b) three, and (c) four variables.

Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory MossDigital Systems: Principles andApplications, 9e

Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458

All rights reserved.

FIGURE 4-12 Examples of looping pairs of adjacent 1s.




FIGURE 4-14 Examples of looping groups of eight 1s (octets).




Latihansoal• Simplify the sum of minterms m1+ m3 + m5 + m6

22

Y

XZ

Ym0 m1 m3 m2

X m4 m5 m7 m6Z

Solusi– Hijau dan merah muda overlap– Minterm m6 ditulis lengkap

• Hasil minimal sum of product adalahsbb :x’z+ y’z+xyz’

23

Y0 1 1 0

X 0 1 0 1Z

K-maps can be tricky!

24

Y0 1 0 1

X 0 1 1 1Z

y’z + yz’ + xy y’z + yz’ + xz

Y0 1 0 1

X 0 1 1 1Z

Y0 1 0 1

X 0 1 1 1Z

4 variable K-maps – f(W,X,Y,Z)– Minterms pada kolom ketiga dan keempat, dan

juga baris ke 3 dan bariske 4 dibalik

• Pengelompokan mirip dengan 3 variable, tetapi :– Kita bisa mengelompokkan persegipanjang 1,2 ,4

,8,16 minterms25

4 variable K-maps

26

Ym0 m1 m3 m2m4 m5 m7 m6m12 m13 m15 m14

XW

m8 m9 m11 m10Z

Yw’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’

XW

wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’Z

Contoh : Simplifym0+m2+m5+m8+m10+m13• The expression is already a sum of minterms, so here’s the

K-map:

• MSP = MSP x’z’ + xy’z

27

Y1 0 0 10 1 0 00 1 0 0

XW

1 0 0 1Z

Ym0 m1 m3 m2m4 m5 m7 m6m12 m13 m15 m14

XW

m8 m9 m11 m10Z

Y1 0 0 10 1 0 00 1 0 0

XW

1 0 0 1Z

Yw ’x ’y ’z ’ w ’x ’y ’z w ’x ’yz w ’x ’yz ’w ’x y ’z ’ w ’x y ’z w ’x yz w ’x yz ’w xy ’z ’ w xy ’z w xyz wxyz ’

XW

wx ’y ’z ’ w x ’y ’z w x ’yz wx ’yz ’Z

Contoh : Simplifym0+m2+m5+m8+m10+m13• The expression is already a sum of minterms, so here’s the

K-map:

• MSP = MSP x’z’ + xy’z

28

Y1 0 0 10 1 0 00 1 0 0

XW

1 0 0 1Z

Ym0 m1 m3 m2m4 m5 m7 m6m12 m13 m15 m14

XW

m8 m9 m11 m10Z

Y1 0 0 10 1 0 00 1 0 0

XW

1 0 0 1Z

Yw ’x ’y ’z ’ w ’x ’y ’z w ’x ’yz w ’x ’yz ’w ’x y ’z ’ w ’x y ’z w ’x yz w ’x yz ’w xy ’z ’ w xy ’z w xyz wxyz ’

XW

wx ’y ’z ’ w x ’y ’z w x ’yz wx ’yz ’Z

FIGURE 4-18 “Don’t-care” conditions should be changed to 0 or 1 to produce K-map looping that yields the simplestexpression.




ContohKasus




Mari kita merancang sirkuit logika yang mengendalikan pintu lift di sebuahbangunan tiga lantai. sirkuit ini memiliki empat masukan. M adalah sebuahsinyal logika yang menunjukkan saat lift bergerak (M = 1) atau berhenti (M =0). F1, F2, dan F3 adalah indikator sinyal lantai yangnormally LOW ,danF1,F2,F3menjadi HIGHhanya ketika lift diposisikan pada tingkat darilantai tertentu. Sebagai contoh, ketika elevator sedangberadadilantai dua,F2 = 1 dan F1 = = F3 0. Output sirkuit merupakan sinyalOpen, yangnormallyLOWdan akanmenjadi High ketika pintu lift akan dibuka.

Sistem digital penyederhanaan fungsi boolean

Education

Transcript of Sistem digital penyederhanaan fungsi boolean