Sistem Persamaan Linear Dan Matriks - ... · PDF fileSecara umum suatu sistem sebarang dari m...
Transcript of Sistem Persamaan Linear Dan Matriks - ... · PDF fileSecara umum suatu sistem sebarang dari m...
(Oleh: Winita Sulandari, M.Si)
A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear
B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan
C. Indikator : 1. Mendefinisikan persamaan linear dan sistem
persamaan linear 2. Mengenal berbagai bentuk matriks dan
operasi dalam matriks 3. Menyajikan sistem persamaan linear dalam
bentuk matriks dan menyelesaikannya dengan operasi baris elementer
4. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan
5. Menentukan invers matriks menggunakan operasi baris elemanter
6. Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode invers matriks
7. Menentukan determinan dari suatu matriks 8. Menyelesaikan sistem persamaan linear
menggunakan aturan Cramer.
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 2
BAB 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIK
A. Pengantar
Dalam bidang kimia, sistem persamaan linear dibutuhkan untuk menyelesaikan
perhitungan terkait dengan prinsip kesetimbangan kimia. Sebagai contohnya, pada proses
penyampuran toluene C7H8 dan nitric acid HNO3 yang menghasilkan trinitrotoluene
C7H5O6N3. Berdasarkan persamaan kimia
𝑥𝐶7𝐻8 + 𝑦𝐻𝑁𝑂3 ↔ 𝑧𝐶7𝐻5𝑂6𝑁3 + 𝑤𝐻2𝑂
diperoleh beberapa persamaan linear
untuk unsur C : 7𝑥 = 7𝑧
untuk unsur H : 8𝑥 + 𝑦 = 5𝑧 + 2𝑤
untuk unsur N : 𝑦 = 3𝑧 untuk unsur O : 3𝑦 = 6𝑧 + 𝑤
Keempat persamaan di atas di sebut dengan persamaan linear karena setiap variabelnya
mempunyai pangkat satu, dan bukan merupakan fungsi trigonometri, logaritma maupun
eksponensial. Himpunan dari beberapa persamaan linear yang jumlahnya berhingga disebut
dengan sistem persamaan linear.
Secara umum suatu sistem sebarang dari m persamaan linear dengan n variabel
(faktor yang tidak diketahui) dapat ditulis sebagai
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Dengan a11, a12, …, a1n, …, amn dan b1, b2, …,bn merupakan konstanta, sedangkan x1, x2, …,
xn merupakan variabel yang dicari.
Dalam bab ini, kita akan melihat bahwa untuk menyelesaikan suatu sistem
persamaan linear di atas, seluruh informasi yang dibutuhkan untuk memperoleh
penyelesaiannya terangkum dalam matriks
m
2
1
mnm2m1
2n2221
1n1211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 3
Dan penyelesaiannya dapat diperoleh dengan melakukan operasi yang sesuai terhadap
matriks ini. Metode yang digunakan adalah
1. metode matriks yang diperbesar
2. metode eliminasi Gauss
3. metode invers matriks
4. aturan Cramer
Sebelum membahas lebih lanjut mengenai metode matriks yang diperbesar, eliminasi Gauss
dan invers matriks, terlebih dahulu kita bahas mengenai matriks. Untuk metode keempat
akan dibahas pada bab berikutnya, yaitu pada pembahasan determinan.
B. Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan data yang disusun menurut baris dan kolom dan
dituliskan di dalam tanda kurung [ ]. Bilangan-bilangan dalam matriks disebut dengan
entri/unsur. Berikut adalah contoh matriks
mnm2m1
2n2221
1n1211
aaa
aaa
aaa
A
Matriks A adalah matriks berukuran m x n, m menunjukkan banyaknya baris dan n
menunjukkan banyaknya kolom. Matriks A dapat juga dinotasikan dengan [aij]mxn atau [aij].
Entri yang terletak pada baris i dan kolom j pada matriks A dinyatakan sebagai aij.
Transpose dari matriks A dinyatakan dengan dengan AT didefinisikan sebagai matriks n x m
yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga
kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua
dari A, dan seterusnya, sehingga diperoleh
mn2n1n
m22212
m12111
T
aaa
aaa
aaa
A
Suatu matriks A dengan jumlah baris n dan jumlah kolom n disebut matriks
bujursangkar ordo n dan entri a11, a22, …, ann disebut sebagai diagonal utama. Jika A
adalah sebuah matriks bujursangkar maka trace dari A, yang dinyatakan sebagai tr(A),
didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A.
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 4
Terdapat beberapa operasi dalam matriks, yaitu
1. Penjumlahan
Matriks jumlahan dari dua matriks A + B (A dan B mempunyai ukuran sama) adalah
matriks dengan entri-entrinya merupakan jumlahan dari entri-entri A dengan entri-
entri yang bersesuaian pada B.
2. Pengurangan (selisih)
Selisih A – B (A dan B berukuran sama) adalah matriks yang diperoleh dengan
mengurangkan entri-entri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada B.
3. Perkalian
a. Jika A adalah matriks mx r dan B adalah matriks r x n maka hasilkali AB adalah
matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari
entri pada baris i dan kolom j dari AB, pisahkanlah baris i dari matriks A dan
kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan
kolom tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh.
Contoh 1:
A3 x 4 =
0563
1342
9211
dan B4 x 1 =
1
2
2
1
AB =
25
17
8
diperoleh dari
b. Jika A adalah matriks sebarang dan c adalah scalar sebarang, maka
hasilkalinya cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada
matriks A dengan bilangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar dari
A. Notasi : Jika A = [aij] maka (cA)ij = c(A)ij = caij.
4. Perkalian blok
Jika A dan B dipartisi menjadi sejumlah submatriks misalnya
A =
2221
1211
AA
AA dan B =
2221
1211
BB
BB
maka AB dapat dinyatakan sebagai
2.1 + 4.2 + (-3).(-2) + 0.1
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 5
AB =
2222122121221121
2212121121121111
BABABABA
BABABABA
dengan syarat ukuran-ukuran submatriks A dan B sedemikian rupa sehingga operasi-
operasi yang disebutkan dapat dilakukan.
Metode perkalian matriks yang dipartisi ini disebut sebagai perkalian blok.
C. Bentuk Matriks Dari Suatu Sistem Linear
Perkalian matriks memiliki aplikasi penting dalam sistem persamaan linear.
Perhatikan sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor yang tidak diketahui
berikut ini.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Karena dua matriks adalah setara jika dan hanya jika entri-entri yang bersesuaian adalah
setara, maka kita dapat menukar m persamaan dalam sistem ini dengan persamaan matriks
tunggal
m
2
1
mnmn2m21m1
n2n222121
n1n212111
b
b
b
xa...xaxa
xa...xaxa
xa...xaxa
Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan dapat ditulis sebagai hasilkali, sehingga kita
memperoleh
m
2
1
n
2
1
mnm2m1
2n2221
1n1211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
Jika kita menyebut matriks-matriks di atas masing-masing sebagai A, x dan b, maka sistem
asli yang terdiri dari m dari persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui telah digantikan
dengan persamaan matriks tunggal berikut ini.
Ax = b
Matriks A pada persamaan ini disebut matriks koefisien dari sistem tersebut. Matriks yang
diperbesar dari sistem tersebut diperoleh dengan menggabungkan b ke A sebagai kolom
terakhir, sehingga bentuk matriks yang diperbesar menjadi
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 6
[A|b] =
m
2
1
mnm2m1
2n2221
1n1211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
1. Metode Matriks Yang Diperbesar
Suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan linear dengan n faktor
yang tidak diketahui dapat dipersingkat dengan hanya menuliskan deretan bilangan-
bilangan dalam jajaran empat persegi panjang:
m
2
1
mnm2m1
2n2221
1n1211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
Ini disebut matriks yang diperbesar dari sistem tersebut.
Contoh 2:
Matriks yang diperbesar untuk sistem persamaan
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 - 3x3 = 1
3x1 + 6x2 - 5x3 = 0
adalah
0563
1342
9211
Ketika menyusun suatu matriks yang diperbesar, faktor-faktor yang tidak diketahui harus
ditulis dengan urutan yang sama untuk setiap persamaan dan konstanta harus berada pada
bagian paling kanan.
Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan
menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang memiliki himpunan solusi
yang sama tapi penyelesaiannya lebih mudah. Sistem baru ini biasanya diperoleh dengan
melalui beberapa langkah dengan cara menerapkan tiga jenis tipe operasi berikut untuk
mengeliminasi faktor-faktor yang tidak diketahui secara sistematis.
1. mengalikan persamaan dengan konstanta tak nol
2. menukarkan posisi dua persamaan
3. menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 7
Contoh 3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan melakukan operasi terhadap
persamaan dalam sistem.
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 - 3x3 = 1
3x1 + 6x2 - 5x3 = 0
Langkah-langkah yang diambil untuk menyelesaikan persamaan di atas adalah
1. tambahkan -2 kali persamaan petama ke persamaan kedua untuk memperoleh
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x2 - 7x3 = -17
3x1 + 6x2 - 5x3 = 0
2. tambahkan -3 kali persamaan pertama ke persamaan ketiga untuk memperoleh
x1 + x2 + 2x3 = 9
2x2 - 7x3 = -17
3x2 - 11x3 = -27
3. kalikan persamaan kedua dengan ½ untuk memperoleh
x1 + x2 + 2x3 = 9
x2 – 7/2x3 = -17/2
3x2 - 11x3 = -27
4. tambahkan -3 kali persamaan kedua ke persamaan ketiga untuk memperoleh
x1 + x2 + 2x3 = 9
x2 – 7/2x3 = -17/2
- 1/2x3 = -3/2
5. kalikan persamaan ketiga dengan -2 untuk memperoleh
x1 + x2 + 2x3 = 9
x2 – 7/2x3 = -17/2
x3 = 3
6. tambahkan -1 kali persamaan kedua ke persamaan pertama untuk memperoleh
x1 + 11/2x3 = 35/2
x2 – 7/2x3 = -17/2
x3 = 3
7. tambahkan -11/2 kali persamaan ketiga ke persamaan pertama dan 7/2 kali persamaan
ketiga ke persamaan kedua untuk memperoleh
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 8
jadi diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3.
Selanjutnya akan kita bandingkan langkah-langkah di atas dengan menggunakan
operasi baris elementer. Karena baris-baris (urutan horizontal) dari matriks yang
diperbesar bersesuaian dengan persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan,
operasi-operasi dalam persamaan di atas ini dengan operasi-operasi berikut pada
baris-baris matriks yang diperbesar.
1. mengalikan baris dengan konstanta taknol
2. menukarkan posisi dua baris
3. menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya.
Inilah yang disebut dengan operasi baris elementer.
Contoh 4. Menyelesaikan sistem yang sama dengan contoh sebelumnya dengan
melakukan operasi terhadap baris pada matriks yang diperbesar.
Sistem persamaan linear terlebih dahulu disajikan dalam matriks yang diperbesar, yaitu
0563
1342
9211
Langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem di atas adalah
1. tambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh
0563
17720
9211
2. tambahkan -3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh
271130
17720
9211
3. kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh
271130
2/172/710
9211
4. tambahkan -3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 9
2/32/100
2/172/710
9211
5. kalikan baris ketiga dengan -2 untuk memperoleh
3100
2/172/710
9211
6. tambahkan -1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh
3100
2/172/710
2/352/1101
7. tambahkan -11/2 kali baris ketiga ke baris pertama dan 7/2 kali baris ketiga ke baris
kedua untuk memperoleh
3100
2010
1001
jadi diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3.
D. Metode Eliminasi Gauss
Metode eliminasi Gauss adalah suatu prosedur yang didasarkan pada gagasan untuk
mereduksi matriks yang diperbesar dari suatu sistem menjadi matriks yang diperbesar lain
yang cukup sederhana sehingga penyelesaian sistem dapat diperoleh hanya dengan
melakukan inspeksi terhadap sistem tersebut. Pada contoh 4 suatu sistem linear dengan
faktor-faktor yang tidak diketahui x1, x2, dan x3 menggunakan reduksi matriks yang
diperbesar sehingga diperoleh
3100
2010
1001
Atau dengan kata lain diperoleh penyelesaian x1 = 1, x2 = 2, dan x3 = 3. Ini merupakan
contoh matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. Sifat-sifat dari matriks ini adalah
1. Jika satu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada
baris itu adalah 1. Bilangan 1 ini disebut 1 utama.
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan
dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 10
3. jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1
utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1
utama pada baris yang lebih tinggi.
4. setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat-tempat lainnya.
Matriks yang memiliki tiga sifat pertama di atas merupakan matriks dalam bentuk eselon
baris. Jadi matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi sudah pasti merupakan matriks
dalam bentuk eselon baris, tetapi tidak sebaliknya.
Contoh 5. Misalkan suatu matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linear telah
direduksi melalui operasi baris menjadi bentuk eselon baris tereduksi berikut ini. Selesaikan
sistem tersebut.
a.
23100
62010
14001
b.
1000
0210
0001
Penyelesaian.
a. sistem persamaan yang bersesuaian adalah
a + 4d = -1
b + 2d = 6
c + 3d = 2
karena a, b, c bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperbesar maka
ketiganya disebut sebagai variabel utama. Variabel-variabel yang bukan utama
(dalam hal ini d) disebut sebagai variabel bebas. Dengan menyelesaikan variabel-
variabel utama dalam bentuk variabel bebas akan diperoleh
a = -1 – 4d
b = 6 – 2d
c = 2 - 3d
dari bentuk persamaan-persamaan ini terlihat bahwa dapat kita tetapkan nilai
sebarang untuk variabel bebas d, misalnya t, yang selanjutnya akan menentukan
nilai variabel-variabel utama a, b, dan c. Jadi akan terdapat takterhingga banyaknya
penyelesaian dengan penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus
a = -1 - 4t, b = 6 – 2t, c = 2 – 3t, dan d = t.
b. persamaan terakhir dalam sistem persamaan yang bersesuaian adalah
0a + 0b + 0c = 1
Karena persamaan ini tidak dapat dipenuhi, maka sistem ini tidak memiliki solusi.
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 11
METODE ELIMINASI. Berikut adalah prosedur eliminasi tahap demi tahap yang dapat
digunakan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi. Untuk memberi
gambaran supaya mudah dipahami kita ambil sebuah contoh, yaitu
156542
281261042
1270200
Langkah 1. Perhatikan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya terdiri dari nol.
156542
281261042
1270200
Langkah 2. Jika perlu, pertukarkan baris paling atas dengan baris lain untuk menempatkan
entri taknol pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah 1.
156542
1270200
281261042
B1 B2
Langkah 3. Jika entri yang kini berada pada puncak kolom yang kita peroleh pada langkah
1 adalah a, kalikan baris pertama dengan 1/a sehingga terbentuk 1 utama.
156542
1270200
1463521
½ B1
Langkah 4. Tambahkan kelipatan yang sesuai dari baris paling atas ke baris-baris di
bawahnya sehingga semua entri di bawah 1 utama menjadi nol.
29170500
1270200
1463521
B3 – 2 B1
Langkah 5. Sekarang tutuplah baris atas dari matriks dan mulailah lagi dengan langkah 1
pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruh matriks berada dalam
bentuk eselon baris.
29170500
1270200
1463521
Tutup baris paling atas
kolom taknol paling kiri dalam submatriks
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 12
29170500
62/70100
1463521
-1/2 b1
12/10000
62/70100
1463521
b2 – 5 b1
12/10000
62/70100
1463521
baris paling atas submatriks ditutup
kolom taknol paling kiri dalam submatriks baru
210000
62/70100
1463521
2b
Keseluruhan matriks kini berada dalam bentuk eselon baris. Untuk memperoleh bentuk
eselon baris tereduksi kita membutuhkan langkah tambahan berikut.
Langkah 6. Mulai dengan baris taknol terakhir dan bergerak ke atas, tambahkan kelipatan
yang sesuai dari tiap baris di atasnya untuk memperoleh nol di atas 1 utama.
210000
100100
1463521
B2 + 7/2 B3
210000
100100
203521
B1 - 6 B3
210000
100100
703021
B1 + 5 B2
Matriks terakhir di atas berada dalam bentuk eselon baris tereduksi.
Langkah 1 – Langkah 5 menghasilkan matriks dalam bentuk eselon baris , prosedur
ini disebut dengan ELIMINASI GAUSS. Sedangkan prosedur sampai Langkah 6 menghasilkan
bentuk eselon baris tereduksi, disebut dengan ELIMINASI GAUSS-JORDAN.
Contoh 6. Selesaikan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan
x1 + 3x2 – 3x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 – 5x3 - 2x4 + 4x5 – 3x6 = -1
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 13
5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0
Penyelesaian.
Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
61848062
515010500
1342562
0020231
61808400
515010500
1302100
0020231
-1B2
61808400
515010500
1302100
0020231
2600000
0000000
1302100
0020231
B3 B4
0000000
2600000
1302100
0020231
1/6 B3
0000000
3/1100000
1302100
0020231
B2 – 3B3
0000000
3/1100000
0002100
0020231
B1 + 2B2
0000000
3/1100000
0002100
0024031
Sistem persamaan yang bersesuaian adalah
x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 = 0
x6 = 1/3
Dengan menyelesaikan variabel utama kita peroleh
x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5
x3 = -2x4
x6 = 1/3
Jika kita menetapkan r, s, dan t masing-masing untuk variabel-variabel bebas x2, x4, dan x5
maka penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus
x1 = -3r - 4s – 2t, x2 = r, x3 = -2s, x4 = s, x5 = t, dan x6 = 1/3
SUBSTITUSI BALIK. Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear kadang-kadang
lebih dipilih penggunaan eliminasi Gauss untuk mengubah matriks yang diperbesar menjadi
bentuk eselon baris tanpa menyelesaikannya dengan tuntas hingga didapatkan bentuk
B2 - 2B1
B4 – 2B1
B3 - 5B2
B4 – 4B2
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 14
eselon baris tereduksi. Jika langkah ini dipilih, selanjutnya sistem persamaan yang
bersesuaian dapat diselesaikan dengan metode yang disebut substitusi balik.
Contoh 7. Bentuk eselon baris dari matrik yang diperbesar pada contoh 6 adalah
0000000
3/1100000
1302100
0020231
Untuk menyelesaikan sistem persamaan yang bersesuaian
x1 + 3x2 - 2x3 + 2x5 = 0
x3 + 2x4 + 3x6 = 1
x6 = 1/3
langkah-langkah yang dilakukan adalah
Langkah 1. Selesaikan persamaan-persamaan untuk variabel utama
x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5
x3 = 1 - 2x4 - 3x6
x6 = 1/3
Langkah 2. Mulai dari persamaan paling bawah dan bergerak ke atas, berturut-turut
lakukan substitusi setiap persamaan ke dalam persamaan atasnya.
Substitusi x6 = 1/3 ke persamaan kedua menghasilkan
x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5
x3 = - 2x4
x6 = 1/3
Substitusi x3 = -2x4 ke persamaan pertama menghasilkan
x1 = -3x2 - 4x4 - 2x5
x3 = - 2x4
x6 = 1/3
Langkah 3. Tetapkan nilai-nilai sebarang untuk variabel-variabel bebas jika ada.
Jika kita menetapkan r, s, dan t masing-masing untuk variabel-variabel bebas x2, x4, dan x5
maka penyelesaian umumnya dinyatakan dalam rumus-rumus
x1 = -3r - 4s – 2t, x2 = r, x3 = -2s, x4 = s, x5 = t, dan x6 = 1/3
Ini sesuai dengan penyelesaian pada contoh 6.
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 15
E. Metode Invers Matriks
Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya
sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik (mempunyai
invers) dan B disebut invers dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A
dinyatakan sebagai matriks singular.
Contoh matrik singular :
063
052
041
.
Sifat-sifat invers:
1. Jika B dan C kedua-duanya adalah invers dari matriks A, maka B = C.
2. Matriks A =
dc
ba dapat dibalik jika ad – bc 0, dan inversnya dapat dihitung
sesuai dengan rumus
A-1 =
ac-
b-d
bc-ad
1 =
bc-ad
a
bc-ad
cbc-ad
b
bc-ad
d
3. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dengan ukuran yang sama,
maka AB dapat dibalik dan (AB)-1 = B-1A-1.
METODE MENENTUKAN A-1. Untuk mencari invers dari matriks A yang dapat dibalik, kita
harus mencari suatu urutan operasi baris elementer yang mereduksi A menjadi identitas dan
melakukan urutan operasi yang sama terhadap I untuk memperoleh A-1.
Contoh 8. Tentukan invers dari
801
352
321
Penyelesaian.
Matriks A direduksi menjadi matriks identitas melalui operasi-operasi baris dan secara
simultan melakukan operasi yang sama terhadap I untuk memperoleh A-1. Caranya adalah
matriks dengan bentuk
[A|I]
Matriks A (sisi kiri) direduksi menjadi I dengan menggunakan operasi-operasi baris sehingga
diperoleh
[I|A-1]
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 16
Penghitungan yang dilakukan adalah sebagai berikut.
100
010
001
801
352
321
101
012
001
520
310
321
B2 – 2B1 dan B3 – B1
125
012
001
100
310
321
B3 + 2B2
125
012
001
100
310
321
-B3
125
3513
3614
100
010
021
B2 + 3B3 dan B1 – 3B3
125
3513
91640
100
010
001
B1 – 2B2
Jadi
A-1 =
125
3513
91640
Suatu matriks A yang tidak dapat dibalik , tidak dapat direduksi menjadi matriks I
melalui operasi baris elementer. Dengan kata lain bentuk eselon baris tereduksi dari A
memiliki paling tidak satu baris bilangan nol. Jadi jika terdapat satu baris bilangan nol saja
pada sisi kiri maka dapat disimpulkan bahwa matriks tersebut tidak dapat dibalik dan
perhitungan dapat dihentikan
Contoh 9. Dapatkan invers matriks
A =
521
142
461
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 17
Penyelesaian.
100
010
001
521
142
461
101
012
001
980
980
461
B2 – 2B1 dan B3 + B1
111
012
001
000
980
461
B3 + B2
Karena terdapat satu baris bilangan nol pada sisi kiri maka A tidak dapat dibalik (A tidak
mempunyai invers).
Penyelesaian Sistem Linear Dengan Inversi Matriks.
Jika A adalah suatu matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks b, n x 1,
sistem persamaan Ax = b memiliki tepat satu solusi, yaitu x = A-1b.
Contoh 10. Tentukan penyelesaian sistem linear berikut dengan menggunakan A-1.
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
2x1 + 5x2 + 3x3 = 3
x1 + 8x3 = 17
Penyelesaian. Dalam bentuk matriks sistem di atas dapat ditulis sebagai Ax = b di mana
A =
801
352
321
x =
3
2
1
x
x
x
b =
17
3
5
Berdasarkan Contoh 8, invers dari matrik A adalah
A-1 =
125
3513
91640
Dengan demikian penyelesaian dari sistem ini adalah
x = A-1b =
125
3513
91640
17
3
5
=
2
1
1
atau x1 = 1, x2 = -1 dan x3 = 2.
[Sistem Persamaan Linear Dan Matriks] Semester ganjil 2011/2012
Jurusan Kimia FMIPA UNS hal 18
CATATAN : Ingat bahwa metode pada contoh di atas hanya berlaku pada sistem yang
memiliki persamaan sebanyak faktor yang tidak diketahui dan matriks koefiennya dapat
dibalik.
Referensi:
1. Anton, H. and C. Rorres, 2005, Elementary Linear Algebra, 9 th ed, John Wiley &
Sons, Inc.
2. http://en.wikibooks.org/wiki/Linear_Algebra/Solving_Linear_Sistems