Skripsi Bab i Pendahuluan (contoh skripsi Program Studi Pendidikan Matematika)

8/14/2019 Skripsi Bab i Pendahuluan (contoh skripsi Program Studi Pendidikan Matematika)

1/8

Mulyono (NIM : 0301060025)

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam

berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,

ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil,

Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut

muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara

analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud

dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika

dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan.

Sebagai ilustrasi, diberikan beberapa contoh berikut ini :

1. Penyelesaian akar-akar persamaan polinom :

23,4x7

1,25x6

+ 120x4

+ 15x3

- 120x2

- x + 100 = 0

2. Pencarian hargax yang memenuhi persamaan:

65x17

)x2x120(cos

x

1e8,27

21x5

+=

3. Penyelesaian sistem persamaaan linear :

1,2a - 3b - 12c + 12d + 4,8e 5,5f + 100g = 18

0,9a + 3b - c + 16d + 8e - 5f - 10g = 17

4,6a + 3b - 6c - 2d + 4e + 6,5f - 13g = 19

3,7a - 3b + 8c - 7d + 14e + 8,4f + 16g = 6

1


2/8

Mulyono (NIM : 0301060025) 2

2,2a + 3b + 17c + 6d + 12e 7,5f + 18g = 9

5,9a + 3b + 11c + 9d - 5e - 25f - 10g = 0

1,6a + 3b + 1,8c + 12d -7e +2,5f + g =-5

(Susy, 2006 : 1-2)

Setelah melihat beberapa contoh ilustrasi di atas, kemungkinan besar

cara analitik tidak dapat digunakan. Untuk polinom berderajat 2, masih bisa

dicari akarnya menggunakan rumus abc yang sudah terkenal, yaitu :

a2

ac4bbx

2

2,1

=

Namun, untuk polinom yang berderajat lebih besar dari 2, tidak ada rumus

aljabar untuk menghitung akar polinom tersebut. Alternatifnya adalah dengan

memanipulasi polinom, misalnya dengan pemfaktoran atau menguraikan

polinom tersebut menjadi perkalian beberapa suku. Semakin tinggi derajat

polinom, jelas semakin sukar memfaktorkannya. Begitu juga untuk

menyelesaian sistem persamaan linear. Apabila sistem persamaannya hanya

berupa dua atau tiga garis lurus dengan dua atau tiga peubah, masih dapat

ditemukan solusinya (dalam hal ini titik potong kedua garis) dengan

menggunakan rumus titik potong dua buah garis. Titik potong tersebut juga

dapat ditemukan dengan menggambar kedua garis pada kertas grafik. Tetapi

untuk sistem dengan jumlah persamaan dan jumlah peubah lebih besar dari

tiga, tidak ada rumus yang dapat dipakai untuk memecahkannya.

Contoh-contoh ilustrasi di atas memperlihatkan bahwa ada beberapa

persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.


3/8

Mulyono (NIM : 0301060025) 3

Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki

tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari

04x4x2

=++ menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul

dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat

kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai

praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik

tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan

adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang

digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat

dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang,

kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).

Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi,

perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut

dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan

kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga

relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-linear

24x4x22x9x2x2345

=++ , jika diselesaikan menggunakan cara manual

menggunakan Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk

penyelesaian sampai tujuh angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai

puluhan kali. Ini tentu membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada

kenyataannya sering terjadi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan

demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi waktu

penyelesaian (Munif, 1995 : 3). Selain mempercepat perhitungan numerik,


4/8

Mulyono (NIM : 0301060025) 4

dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi

akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi

yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah

nilai parameter (Susy, 2006 : 9).

Persamaan linear jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa

garis lurus. Sedangkan untuk persamaan non-linear jika digambarkan pada

sumbu kartesius berupa kurva (garis lengkung). Persamaan yang termasuk

persamaan non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial,

persamaan logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7).

Sebagai contoh misalnya terdapat persamaan : 0x4x2

= dengan daerah asal

{x | -2 x 6, x R}. Persamaan tersebut jika digambarkan pada sumbu

kartesius :

Gambar 1. Gambar grafik 0x4x2

=

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12


5/8

Mulyono (NIM : 0301060025) 5

Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa persamaan 0x4x2

= jika

digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva. Jika dicari nilai x yang

memenuhi persamaan biasanya digunakan rumus abc, maka diperoleh x1 = 0

dan x2 = 4. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini pada gambar terlihat

jelas yaitu titik potong garis dengan sumbu x.

Akan tetapi jika diilustrasikan untuk persamaan non-linear :

23,4x7

1,25x6

+ 120x4

+ 15x3

- 120x2

- x + 100 = 0 maka rumus abc sudah

tidak berlaku lagi, karena persamaan tersebut mempunyai pangkat yang lebih

besar dari 2. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu memakan

banyak waktu, tenaga dan pikiran. Jalan yang paling efektif dan efisien adalah

dengan mengggunakan metode Numerik, karena hanya dengan beberapa

langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan.

Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah

penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error

).

Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil

mungkin. Langkah pertama yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan

non-linear dengan menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi

adalah menetapkan nilai sebarang a sebagai batas atas dan nilai sebarang b

sebagai batas bawah kemudian ditentukan nilai fungsi f(x) untuk x = a dan

x = b. Selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a).f(b) < 0, apabila terpenuhi

syarat tersebut berarti akar fungsi terdapat di antara a dan b. Jika tidak

terpenuhi maka kembali harus menetapkan nilai sebarang a dan b sedemikian

rupa sehingga ketentuan perkalian terpenuhi (Wibowo, 2007 : 1). Jika


6/8

Mulyono (NIM : 0301060025) 6

ketentuan perkalian terpenuhi maka selanjutnya adalah menentukan titik c

(titik di antara a dan b). Untuk metode Biseksi menggunakan rumus

( )

2

bac

+= sedangkan untuk metode Regula Falsi menggunakan rumus

)ab()a(f)b(f

)b(fbc

= . Langkah selanjutnya adalah mencari nilai c yang

lain sehingga didapat erroryang kecil atau sama dengan nol.

Selain sederhana, metode Biseksi dan metode Regula Falsi

mempunyai beberapa kelebihan yaitu proses iterasi lebih cepat, mudah untuk

dibuat program dan tingkat kesalahan kecil. Untuk metode yang menghasilkan

errorkecil maka metode tersebut lebih teliti dibanding dengan metode lain.

Dalam metode Numerik ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan persamaan non-linear, diantaranya metode Tabulasi, metode

Biseksi, metode Regula Falsi, metode Iterasi bentuk x = g(x), metode Newton

Rapson, metode Faktorisasi (P3, P4, P5), metode Bairstow dan metode

Quotient-Difference (Q-D) (Munif, 1995 : 8).

Berdasarkan uraian di atas, tujuan utama penelitian ini adalah

mempelajari penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi

dan metode Regula Falsi Menggunakan Cara Komputasi serta mengetahui

perbedaan kecepatannya dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau

dari banyaknya iterasi.


7/8

Mulyono (NIM : 0301060025) 7

B. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan

dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode

Biseksi dengan program komputer.

2. Bagaimana penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode

Regula Falsi dengan program komputer

3. Bagaimana perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode

Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari

banyaknya iterasi.

C. Pembatasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah persamaan non-linear

dalam bentuk polinomial satu variabel.

D. Tujuan Penelitian

Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari

penelitian ini adalah :

1. Membuat program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear

menggunakan metode Biseksi.

2. Membuat program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear

menggunakan metode Regula Falsi.


8/8

Mulyono (NIM : 0301060025) 8

3. Mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode


banyaknya iterasi.

E. Manfaat Penelitian

Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari penelitian ini,

diantaranya adalah :

1. Mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode


banyaknya iterasi.

2. Memberi masukkan bagi peneliti yang ingin mempelajari lebih jauh

tentang metode Numerik.

Skripsi Bab i Pendahuluan (contoh skripsi Program Studi Pendidikan Matematika)

Documents

Transcript of Skripsi Bab i Pendahuluan (contoh skripsi Program Studi Pendidikan Matematika)