directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan...

20
Ciri-ciri Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari. 2. Cara Menyatakan Himpunan dan Keanggotaanya Seperti telah disebutkan di atas himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di antara kurung kurawal, anggota satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma. Dengan kata lain dituliskan dengan cara pendaftaran (roster method). Selain itu himpunan dapat pula dinyatakan dengan sifat keanggotaan (ruler method). A. Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method) Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya selain disebut pendaftaran juga disebut cara tabulasi.

Transcript of directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan...

Page 1: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

Ciri-ciri Himpunan

1. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang

mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota

himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang

sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi

di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena

macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

2. Cara Menyatakan Himpunan dan Keanggotaanya

Seperti telah disebutkan di atas himpunan diberi nama atau dinyatakan dengan huruf

kapital. Sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota himpunan ditulis di

antara kurung kurawal, anggota satu dengan yang lainya dipisahkan dengan tanda koma.

Dengan kata lain dituliskan dengan cara pendaftaran (roster method).

Selain itu himpunan dapat pula dinyatakan dengan sifat keanggotaan (ruler method).

A. Dengan Cara Pendaftaran (Roster Method)

Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya selain disebut

pendaftaran juga disebut cara tabulasi.

Objek yang tidak didaftar berarti objek bukan anggota himpunan tersebut. Apabila

anggota himpunan tersebut tidak banyak, semua anggotanya dapat ditulis. Namun, bila

himpunan itu mempunyai anggota yang banyak dan anggotanya memiliki keteraturan, untuk

menuliskanya dapat diwakili dengan tiga titik”...”.

Contoh 1 : Nyatakan himpunan berikut dengan Cara Pendaftaran.

A = himpunan bilangan asli

B = himpunan bilangan ganjil kurang dari 30.

C = himpunan bilangan bulat.

D = himpunan bilangan prima kuran dari 10.

Page 2: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

E = himpunan hari dalam sepekan.

Jawab:

A =

B =

C =

D =

E =

Keterangan:

1) Himpunan A, B, dan C adalah himpunan yang anggotanya banyak, dan penulisanya

dua kali tiga titik “…”.

2) Himpunan D dan E anggotanya dapat ditulis semua karena anggotanya sedikit.

Page 3: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

B. Dengan Sifat keanggotaan (Ruler Method)

Cara menyatakan himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaanya, cara ini juga

disebut pencirian. Cara ini dengan menuliskan syarat yang harus dipenuhi oleh anggota

himpunan itu. Objek atau elemen yang memenuhi syarat himpunan itu adalah anggotanya.

Dalam penulisan cara ini anggota himpunan menggunakan variabel, misalnya x dan

syarat keanggotanya misalnya P(x). P(x) berarti himpunan tersebut bersifat P. Himpunan

tersebut ditulis A= ;” ” garis tegak dibaca ”sedemikian sehingga”. Cara membaca

himpunan tersebut adalah A himpunan semua x sedekian sehingga x mempunyai sifat P. A =

selain disebut cara menyatakan himpunan dengan sifat keanggotaan juga disebut

notasi pembentuk himpunan.

Contoh 2: Nyatakan himpunan berikut dengan notasi pembentukan himpunan.

A =

B =

C =

D. =

Jawab:

A =

B =

C =

D =

3. Keanggotaan Suatu Himpunan

Page 4: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

Dalam matematika lambang anggota adalah ” ”, sedangkan bukan anggota

dilambangkan dengan ” ”. Anggota himpunan A = adalah a, i, u, e, o dan b, c,

d bukan anggota A. Dengan demikian penulisan di atas dapat dinyatakan dengan a A, e

A, i A, o A, u A.Tetapi b A, c A, dan d A.

Himpunan B = .Jadi 2 B, 5 B, 7 B. Tetapi 1

B, 9 B. Dan bila anda menemukan statu himpunan P = berarti a P dan P.

anggota P yang berbentuk himpunan.

4. Banyaknya Anggota Statu Himpunan

Banyaknya anggota suatu himpunan dinamakan juga bilangan kardinal dan diberi

lambang “n”. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari himpunan A

ditulis n(A).

Contoh 3: Berapakah bilangan kardinal dari himpunan di bawah ini?

A =

B =

C =

D =

Jawab:

A = , maka kardinal A adalah n(A) = 6

B = = maka bilangan kardinal B adalah

n(B) = 7

C = , berarti juga C = , maka bilangan kardinal C adalah n(C) =

~.

Page 5: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

D = , berarti juga D = , maka bilangan kardinal D adalah

n(D) = ~.

Himpunan C dan D adalah himpunan yang tidak dapat ditentukan banyak anggotanya.

”~” melambangkan bilangan kardinal tak terhingga.

5. Macam-macam Himpunan

5.1 Himpunan Kosong

Himpunan A dikatakan himpunan kosong bila bilangan kardinal dari himpunan A = 0

atau n(A) = 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan (phi) atau . Jadi apabila A =

, maka A = atau A = dan n(A) = 0.

Perhatikan contoh di bawah ini!

1. B =

2. C =

3. D =

4. E = dan F =

Contoh 1, 2 dan 3 merupakan contoh himpunan yang tidak memiliki anggota atau

n(B) = n(C) = n(D) = 0. Tetapi contoh 4, himpunan E dan F bukan contoh himpunan kosong,

karena E memiliki anggota yaitu “0” dan F juga memiliki anggota yaitu .

5.2 Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan U (Universum) yang berarti

himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari

objek yang sedang dibicarakan. Biasanya hinpunan semesta ditetapkan sebelum kita

Page 6: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

membicarakan suatu himpunan dengan demikian seluruh himpunan lain dalam pembicaraan

tersebut merupakan bagian dari himpunan pembicaraan.

Contoh 5:

a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan

semesta adalah:

U = ,

U = ,

U = atau himpunan lain yang memuat A.

b. Apabila kita membicarakn himpunan B =

, maka yang menjadi

himpunan semestanya adalah :

U =

U =

U =

6. Himpunan Berhingga

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a,

a bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang

banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

Contoh 6:

a. A = karena n(A) = 0, 0 bilangan cacah.

b. B = n(B) = 75, 75 bilangan cacah.

c. C = n(C0 = 7, 7 bilangan cacah.

Page 7: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

7. Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat

himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses

perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya

tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

Page 8: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

Contoh 7:

Q=

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q

tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q)=~.

8. Himpunan Terbilang

Himpunan A dikatakan himpunan terbilang bila anggota himpunan A tersebut dapat

ditunjukkan atau dihitung satu persatu.

Contoh 8:

a. A =

Himpunan A di atas merupakan contoh himpunan terbilang sebab dapat dihitung satu

persatu, sekaligus contoh himpunan terhingga sebab n(A) = 3.

b. B =

Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh

himpunan tak hingga sebab n(B) = ~.

9. Himpunan Tak Terbilang

Himpunan A dikatakan tak terbilang bila anggota himpunan A tersebut tidak dapat

dihitung satu persatu.

Contoh 9:

R =

Himpunan R merupakan contoh himpunan tak terbilang, karena anggotanya tak dapat

dihitung satu persatu. Himpunan R juga merupakan himpunan tak berhingga, karena n(R) =

~.

Page 9: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

10. Himpunan Terbatas

Himpunan A dikatakan himpunan terbatas bila himpunan A mempunyai batas di

sebelah kiri saja disebut himpunan terbatas kiri. Dan jika himpunan tersebut hanya

mempunyai batas sebelah kanan disebut himpunan terbatas kanan. Batas sebelah kiri juga

disebut batas bawah sedangkan batas sebelah kanan disebut batas atas.

Contoh 10:

a. P = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 4.

b. Q = , mempunyai batas bawah 0 dan batas atas 3.

Tetapi 0 R dan 3 Q.

Khusus untuk himpunan tak terbatas yang semesta pembicaraanya bilangan real

penulisan himpunanya dapat menggunakan notasi interval.

Contoh

a. A = dapat ditulis

b. B = dapat ditulis

c. C = dapat ditulis

d. D = dapat ditulis (0,5)

11. Himpunan Tak Terbatas

Himpunan A dikatakan himpunan tak terbatas bila himpunan tersebut tidak memiliki

batas.

Contoh 12

R =

Page 10: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

12. Relasi Antar-Himpunan

Diagram Venn

Istilah diagram Venn berasal dari seorang ahli bangsa Inggris yang menjadi tokoh

logika matematika, yaitu John Venn (1834-1923). Ia menulis buku simbolik logic dalam

analisisnya menggunakan banyak diagram khususnya diagram lingkaran, diagram tersebut

kini dikenal nama diagram Venn.

Biasanya himpunan semesta digambarkan sebagai daerah persegi panjang dan suatu

himpunan bagian dari himpunan semesta ditunjukkan dengan daerah kurva tertutup

sederhana. Anggota-anggota suatu himpunan ditunjukkan dengan noktah-noktah sedangkan

anggotanya cukup banyak maka noktah sebagai wakil-wakil anggota himpunan tidak perlu

ditulis.

Contoh 1

a. Apabila U = dan A = , maka diagram Vennnya

ádalah

U

A

.6 .3

.4

Page 11: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

Apabila U = , A =

B = , maka anggota U tidak perlu dituliskan.

Page 12: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

Diagram vennnya adalah

U

A B

.1

.3

.2

.4 .6

.5

Page 13: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

Menyelesaikan Operasi Himpunan

A. Irisan Dua Himpunan

Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9}

B = {2, 3, 5, 7}

Anggota impunan A dan B adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota

himpunan B= {3, 5, 7}.

Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota

persekutuan dari A dan B. Anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan dua

himpunan, dinotasikan dengan ( dibaca : irisan atau interseksi). Jadi, A ∩ B = {3, 5,

7}.

Atau dapat dikatakan :

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan

anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.

Menentukan irisan dua himpunan

a. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain.

Misalkan A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Irisan dari himpunan A dan B adalah A B = {1, 3, 5} = A.

Jika A B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota

persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A.

Jika A B maka A B = A.

b. Kedua himpunan sama.

Dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A jyga menjadi

anggota B begitupun sebaliknya. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B

adalah semua anggota A atau anggota B.

Jika A = B maka A ∩ B = A atau A B = B.

c. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan).

Page 14: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B

mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dad ada

anggota B yang bukan anggota A.

B. Gabungan Dua Himpunan

Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunan A dan B adalah

himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B.

Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan B dituliskan sebagai berikut:

A B = { .

(A B dibaca A gabungan B atau A union B.)

Menentukan gabungan dua himpunan

a. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang lain.

Misalkan A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Perhatikan bahwa A = {3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehingga A B = {1, 2, 3,

4, 5} = B.

Jika A B maka A B = B.

b. Kedua himpunan sama.

Misalkan P = {2, 3, 4, 5, 11} dan Q = bilangan prima kurang dari 12}.

Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh

P = {2, 3,5, 7, 11}

Q = {2, 3, 5, 7, 11}

P Q = {2, 3, 5, 7, 11} = P = Q.

Jika A = B maka A B = A = B.

c. Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)

Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka A B = {1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8, 9}.

Menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan.

Banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskan sebagai beikut.

Page 15: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

.

Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan banyak anggota dari gabungan

dua himpenan. Perhatikan contoh berikut.

Diketahui : K = {faktor dari 6} dan L = {bilangan cacah kurang dari 6}.

Dengan memdaftar anggotanya, tentukan:

a. Anggota K L

b. Anggota K L

c. n(K L)

Penyelesaian :

K = {faktor dari 6} = {1, 2, 3, 6}, n(K) =4.

L = {bilangan cacah kurang dari 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6

a. K L = {1, 2, 3}

b. K L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

c. n(K L) = 7. Atau dapat diperoleh dengan menggunakan rumus brikut.

n(K L) = n(K) + n(L) – n(K L) = 4 + 6 – 3 = 7.

C. Selisih (Difference) Dua Himpunan

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua

anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A B (dibaca: selisih A dan

B).

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

A – B = {

B – A = {

Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.

Page 16: directory.umm.ac.iddirectory.umm.ac.id/Labkom_ICT/math/sem_3/KApita SMA... · Web viewB = Himpunan B di atas merupakan contoh himpunan terbilang, tetapi juga merupakan contoh himpunan

Selisih A dan B adalah A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, sedangkan selisih B

dan A adalah B – A = {a, c, f,g} – {a, b, c, d} = {f, g}.

D. Komplemen Suatu Himpunan

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya

merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

AC =

Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semesta dan A = {3, 4, 5}.

Komplemen himpunan A adalah AC = {1, 2, 6, 7}.

Komplemen A dinotasikan dengan AC atau A’ (AC atau A’ dibaca : komplemen A).