Menganalisis dan Menterjemah Data 

Ukuran Kecenderungan Memusat

Selain menterjemah perwakilan data, kita juga boleh mengira nilai ukuran-ukuran kecenderungan memusat iaitu nilai min, mod dan median. Sebaran data pula boleh dilihat melalui nilai julat, sisihan piawai dan varians.

Secara umumnya, min adalah purata,

median adalah nilai di tengah- tengah kumpulan data yang tersusun

mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi atau paling kerap berlaku.

Mencari nilai min, mod dan median data tidak terkumpul:

Data : 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21, 13

Min adalah purata :

= (13 + 18 + 13 + 14 + 13 + 16 + 14 + 21 + 13) ÷ 9 = 15

Median adalah nilai ditengah- tengah. Data perlu disusun dalam susunan menaik atau menurun.

13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21

Jumlah data ialah sembilan, Maka, nilai di tengah - tengah adalah nilai ke (9+1) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 (nilai kelima) :

1

13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21, maka median adalah 14.   C

Mod adalah kekerapan tertinggi dan dalam senarai ini mod adalah 13.

Nilai terbesar adalah 21 dan nilai terkecil adalah 13. Maka julat adalah beza nilai terbesar dengan nilai terkecil.

Maka julat adalah 21 – 13 = 8.

Min : 15Median : 14Mod : 13Julat : 8

Ukuran Set A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8 Set B : 2, 3, 3, 4, 6, 7

MinUntuk mengira min, kita perlu jumlahkan semua data dan bahagi dengan bilangan data.

Jumlahkan:2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 8 = 32

Terdapat 7 data, maka perlu dibahagi 7:    32 ÷ 7 = 4.57...

Jadi min adalah 4.57

Jumlahkan:2 + 3 + 3 + 4 + 6 + 7 = 25

Terdapat 6 data, maka perlu dibahagi 6:    25 ÷ 6 = 4.166...

Jadi min adalah 4.17

MedianUntuk mengira median, kita perlu susunkan data secara menaik atau menurun. Nilai di tengah- tengah adalah median. Jika terdapat

Susunkan secara menaik:2 , 2 , 3 , (5) , 5 , 7 , 8

Nombor ditengah ditandakan dalam kurungan adalah 5.

maka median adalah 5

Susunkan secara menaik:2 , 3 , (3 , 4) , 6 , 7

Nampaknya terdapat dua nilai ditengah dan puratanya adalah median.

2

dua nilai ditengah, maka puratanya adalah median.

(3 + 4) ÷ 2 = 3.5

maka median adalah 3.5

ModMod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi. Mod boleh jadi lebih dari satu nilai samada dwimod atau multimod mengikut nilai pada data.

Data :2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8

Nilai yang kerap pada data adalah 2 dan 5. Kedua-duanya adalah nilai mod.

maka mod adalah 2 dan 5

(dwimod)

Data :2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7

hanya nilai 3 sahaja yang kerap berbanding nilai lain.

Maka mod adalah 3

(unimod)

JulatUntuk mendapatkan julat, cari beza antara nilai tertinggi dengan nilai terendah

Data :2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8

Nilai terendah adalah 2 dan nilai tertinggi adalah 8. Maka julat :    8 - 2 = 6

Julat adalah 6

Data :2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7

Nilai terendah adalah 2 dan nilai tertinggi adalah 7. Maka julat :    7 - 2 = 5

Julat adalah 5

Mencari nilai min, mod dan median data terkumpul

3

Bagi data terkumpul, pengiraan ukuran kecenderungan memusat min, mod, median dapat dilakukan menggunakan formula.

MinMin adalah purata dan ia dikira menggunakan nilai titik tengah. Pengiraannya adalah menggunakan formula

MedianNilai median bagi data tidak terkumpul adalah nilai yang terletak ditengah-tengah apabila data tersebut disusun secara menaik. Bagi data yang terkumpul, pengiraan median agak rumit dan menggunakan formula berikut:

di mana

L = had bawah selang kelas mediancfp = jumlah terkumpul kekerapan sehingga kelas tersebut, tetapi tidak melibatkan kekerapan kelas median fmed = kekerapan medianW = keluasan selang kelas median (had atas kelas – had bawah kelas)N = jumlah bilangan kekerapan

ModKelas mod adalah selang kelas yang mempunyai kekerapan yang tertinggi. Nilai mod bagi data terkumpul dikira mengikut formula berikut :

dimana   

LB sempadan bawah kelas mod

ΔB beza kekerapan kelas mod dengan kelas sebelumnya

ΔA beza kekerapan kelas mod dengan kelas selepasnya

4

C saiz kelas mod.

Ukuran Serakan

Ukuran serakan menerangkan serakan atau taburan sesuatu set data. Menggunakan ukuran serakan bersama-sama ukuran kecenderungan memusat membuatkan pemerihalan atau perwakilan data lebih lengkap lagi.

Tiga Taburan dengan Min Sampel yang sama dan Serakan Berbeza

JulatJulat adalah perbezaan di antara nilai terbesar dan nilai terkecil.

Julat = Nilai terbesar – nilai terkecil

VarianVarian ialah purata jumlah kuasadua sisihan antara min dan set nombor. Populasi varian ditandakan dengan huruf Greek, 2 dan formulanya ialah:

Menggunakan set nombor seperti berikut, kita boleh mengira variannya:

X X - ( X - )2

5

=50

5 -8 64

9 -4 16

16 +3 9

17 +4 16

18 +5 25

X = 65 (X - ) = 0 (X - )2 = 130

Varian =

Varian adalah kuasadua sisihan piawai, maka nilai varian digunakan untuk memperolehi nilai sisihan piawai.

Sisihan PiawaiSisihan piawai ialah punca kuasadua varian. Sisihan piawai populasi ditandakan sebagai , dan dikira sebagaimana berikut:

Berdasarkan kepada contoh di atas, nilai sisihan piawai ialah

Data Terkumpul

Sisihan Piawai Populasi dan Sampel

Bagi data terkumpul, ukuran serakan seperti varian dan sisihan piawai dikira menggunakan formula seperti berikut:

6

Varian bagi sampel ditandakan sebagai s2 dan sisihan piawai ialah s.

Pengiraan varian dan sisihan piawai bagi sampel berbeza sedikit daripada pengiraan varian dan sisihan piawai untuk populasi.

Tujuan utama pengiraan varian dan sisihan piawai untuk sampel adalah untuk menganggar varian dan sisihan piawai untuk populasi.

Menggunakan n – 1 sebagai pembahagi (denominator) bagi sampel berbanding N untuk populasi, menghasilkan penganggaran yang lebih baik untuk nilai populasi.

Varian untuk sampel:

Sisihan piawai untuk sampel:

Dan,

Varian untuk populasi:

Sisihan piawai untuk populasi:

di mana,

f = kekerapanM = titik tengah kelasN = f atau jumlah kekerapan populasi = min kumpulan bagi populasi.

7

a) Taburan Normal

b) Pencong Positif (positively skewed)

c) Pencong Negatif (negatively skewed)

8

b) Lengkung berikut mempunyai serakan yang sama tetapi nilai minnya berbeza.

9

lengkung 3 lengkung 4lengkung 3

Skor Z

Skor Z mewakili nilai sisihan piawai di atas atau di bawah min bagi set nombor yang mempunyai taburan normal. Menggunakan skor Z membolehkan kita menterjemahkan nilai kasar jarak daripada min kepada unit sisihan piawai.

Skor T

T=10z + 50

Perkaitan antara sisihan piawai, skor Z dan skor T dapat dilihat pada rajah berikut :

Kaji dan bincangkan situasi berikut :

10

a) Jamal mendapat markah matematik dan sains sebanyak 90 dan 80 masing- masing. Diberi min bagi matematik dan sains adalah 70, sisihan piawai matematik adalah 8 manakala sisihan piawai sains adalah 4.

Kirakan nilai skor Z dan skor T. Adakah markah matematik Jamal lebih baik dari sains?

b) Azmi mendapat markah muzik dan pendidikan jasmani sebanyak 70 dan 85 masing- masing. Diberi min bagi muzik dan pendidikan jasmani adalah 80, sisihan piawai juga sama iaitu 5.

Kirakan nilai skorZ dan skor T. Adakah markah pendidikan jasmani Azmi lebih baik dari muzik?

11

KEBARANGKALIAN

Aida melakukan ujikaji melambung sebiji dadu adil di atas meja dan dicatatkan kesudahannya.

Daripada kenyataan di atas unsur-unsur ketidakpastian berlaku dan muncul dalam kehidupan harian. Oleh itu adalah penting untuk kita memperoleh pengetahuan dan kemahiran dalam menentukan sejauh mana sesuatu kejadian itu mungkin berlaku.

Dalam matematik unsur ketidakpastian dikaji dalam bidang KEBARANGKALIAN. Kebarangkalian berlaku daripada permainan yang melibatkan peluang seperti perjudian, kajian fizik, genetik, insuran dan sebagaimya.

Ujikaji dan Kesudahan

Ujikaji ialah satu proses atau tindakan yang dilakukan untuk melihat kepada hasilMisalnya aktiviti melambung duit syiling, kita akan memperhatikan kepada hasil yang berlaku.

Dalam ujiikaji melambung duit syiling, terdapat dua keputusan yang mungkin terjadi iaitu muka angka dan muka gambar dan setiap keputusan ini dikenali sebagai KESUDAHAN. Dengan kata lain kesudahan bagi suatu ujikaji ialah keputusan yang mungkin terjadi dalam ujikaji.

Ruang Sampel

Ruang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu ujikaji. Ruang sampel diwakili oleh S atau ξ dan boleh ditulis dengan menggunakan tata tanda set. Misalnya ruang sampel bagi ujikaji melambung sekeping duit syiling mempunyai 2 titik sampel. Semua kesudahan yang mungkin ialah gambar dan angka, S = { g, a }. Begitu juga dengan ujikaji melambung sebiji dadu iaitu semua kesudahan yang mungkin 1, 2, 3. 4, 5, 6 iaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Dalam suatu ujikaji kita boleh menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin untuk mendapatkan ruang sampel secara aktiviti dan penaakulan

12

Contohnya

Sebuah beg mengandungi guli yang berwarna putih, biru, dan hijau. Sebiji guli dikeluarkan secara rawak daripada beg itu. .

Kita boleh menentukan semua kesudahan yang mungkin bagi ujikaji mengambil sebiji guli daripada aktiviti. Sebaliknya kita boleh juga menentukan kesudahan yang mungkin secara penaakulan iaitu kita menganalisis ujikaji atau situasi berkenaan dan mempertimbangkan secara teliti semua kesudahan yang mungkin berlaku.

Setiap kali guli diambil, guli berwarna putih atau biru atau hijau mungkin dipilih. Maka semua kesudahan yang mungkin ialah { putih, biru, hijau}

Begitu juga kita boleh meramalkan keputusan perlawanan hoki secara penaakulan, Terdapat 3 keputusan yang mungkin dicapai oleh perlawanan tersebut iaitu menang atau seri atau kalah. Maka kesudahan yang mungkin ialah { menang, seri, kalah }.

Terdapat dua kaedah untuk menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin dengan menggunakan

(a) Jadual(b) Gambar rajah

(a) Jadual

2 biji dadu dilambung serentak, maka ruang sampelnya.

Dadu 2 Dadu 1 1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

13

S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

(b) Gambar rajah pokok

Gambar rajah pokok biasanya digunakan untuk membantu menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji yang melibatkan pemilihan secara berturut-turut.

Dalam suatu permainan tertentu, seseorang pemain perlu memilih secara rawak dua keping kad dari sebuah kotak yang mengandungi dua keping kad yang masing-masing berlabel a dan b. Kad pertama dikeluarkan dikehendaki masuk semula ke dalam kotak sebelum kad kedua dipilih.

a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.b) Tuliskan ruang sampel dengan menggunakan tatatanda set.

Pilihan 1 Pilihan 2 Kesudahan

a (a,a)

a

b (a,b)

a (b,a)

b

b (b,b)

S = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b) }

14

Peristiwa

Dalam bahasa, perkataan peristiwa bermaksud kejadian atau perkara yang menarik perhatian. Tanggal 31 Ogos 1957, adalah suatu peristiwa dalam sejarah negara kita,

Dalam matematik, perkataan peristiwa menunjukkan kesudahan yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Peristiwa adalah suatu subset bagi ruang sampel.

Contoh

Apabila sebiji dadu dilambungS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A : Peristiwa nombor genap diperolehi

B : Peristiwa mendapat nombor perdana

C : Peristiwa mendapat nombor ganjil

A = { 2, 4, 6}

B = { 2, 3, 5 }

C = {1, 3, 5 }

Cuba selesaikan.

S E R A M

Lima keping kad seperti yang ditunjukkan di atas telah dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Sekeping kad itu adalah dipilih secara rawak daripada kotak itu. Nyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi setiap syarat berikut.:

15

(a) Sekeping kad berhuruf vokal dipilih(b) Sekeping kad berhuruf konsonan dipilih

Sesuatu peristiwa A adalah mungkin bagi suatu sampel jika A c S dan A ≠ Φ. Jika A = Φ, maka peristiwa A adalah tidak mungkin berlaku.

Contoh

Satu nombor dua digit adalah dibentukkan daripada digit-digit 1, 2, 3. Tentukan sama ada setiap peristiwa yang berikut adalah mungkin bagi suatu ruang sampel atau tidak.

a) A : Peristiwa mendapat satu nombor genap, b) B : Peristiwa mendapat satu nombor di antara 10 dan 34.c) C : Peristiwa mendapat satu nombor dengan keadaan hasil tambah digit-

digitnya adalah lebih besar daripada 6.

Penyelesaian

S = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}

a) A = {12, 22, 32} c S

Maka, peristiwa A adalah mungkin.

b) B = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} = SMaka, peristiwa B adalah mungkin.

c) C = { } = ΦMaka, peristiwa C adalah tidak mungkin.

16

Kebarangkalian

Kebarangkalian bagi peristiwa A berlaku ialah nisbah bilangan unsur dalam peristiwa A kepada bilangan unsur dalam ruang sampel, S

P( A ) =

n ( A ) = bilangan unsur dalam peristiwa A atau bilangan kesudahan bagi peristiwa A n ( S ) = bilangan unsur dalam ruang sampel atau bilangan cubaan Kebarangkalian mempunyai nilai dari 0 hingga 1 iaitu

0 ≤ P(A) ≤ 1

P (A) = 0 bermakna peristiwa A tidak akan berlaku atau mustahil berlaku

P (A) = 1 bermakna peristiwa A pasti atau tentu berlaku

Contoh

Sebiji dadu adil dilambung. A ialah peristiwa mendapat nombor perdana. Cari kebarangkalian A.

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

n( S ) = 6

A = { 2, 3, 5 }

n( A ) = 3

P( A ) =

17

=

=

Kebarangkalian tidak dapat meramalkan peristiwa secara pasti atau mutlak.Pada amnya, bilangan kesudahan yang dijangkakan bagi peristiwa A = (Bilangan cubaan) × P(A)

Contoh

Dua keping duit syiling dilambung sebanyak 200 kali. Tentukan bilangan kali untuk mendapat dua gambar.

Bilangan kali untuk mendapat dua gambar = x 200

= 50

Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap

Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam suatu ruang sampel S terdiri daripada semua kesudahan S yang bukan kesudahan A. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A biasanya ditandakan sebagai A’.

Jika A ialah sebarang peristiwa bagi ruang sampel S dan A’ ialah peristiwa pelengkapnya, iaitu kebarangkalian bagi peristiwa A tidak akan berlaku

P( A’) = 1 – P ( A )

Contoh

Satu huruf dipilih secara rawak daripada perkataan “NKRA”. Jika V mewakili peristiwa mendapatkan vokal, nyatakan pelengkap V’

S = { N, K, R, A }

18

V = { A }

V’ = { N, K, R }

Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan dua peristiwa atau lebih.

Peristiwa bergabung “A atau B” dan “A dan B” masing-masing dihasilkan daripada kesatuan dan persilangan dua peristiwa itu. Oleh itu, kita boleh menyenaraikan semua kesudahan bagi

a) Peristiwa “A atau B” sebagai unsur set A υ B

b) Peristiwa “A dan B” sebagai unsur set A ∩ B.Contoh

Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak dua kali. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi peristiwa

a) Mendapat angka pada lambungan pertama atau kedua

b) Mendapat angka pada lambungan pertama dan kedua.

S = { (a,a), (a,g), (g,a), (g,g)

A : Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertamaA = { (a,a), (a,g) }

B : Peristiwa mendapat angka pada lambungan keduaB = { (a,a), (g,a) }

Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama atau kedua ialah peristiwa “A atau B”.

Peristiwa “A atau B” = A υ B

19

= {(a, a) , (a, g) , (g, a)}

a) Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama dan kedua ialah peristiwa “A dan B”.

Peristiwa “A dan B” = A ∩ B = {(a, a)}

Jika kita dapat menyenaraikan set kesudahan bagi peristiwa bergabung “A atau B” dan “A dan B”, maka kita boleh mengira kebarangkalian dengan rumus

P(A atau B) = P(A υ B) =

dan P(A dan B) = P(A B) =

20