Statistik perwakilan data (word)-hantar

44
5.0 Menganalisis dan Menterjemah Data 5.1 Pengenalan Bab ini akan memperkenalkan bidang Statistik yang asas. Di sini, beberapa analisis data yang mudah akan dijalankan Data- data ini akan dikumpul dan diringkaskan dalam jadual dan diwakilkan dengan perwakilan- perwakilan seperti carta dan graf. Seterusnya perwakilan ini akan diterjemahkan melalui penerangan yang berkaitan seperti mengenalpasti ukuran kecenderungan memusat, serakan atau jenis taburan dan ini akan memberi makna dan gamabaran yang jelas. Kemahiran ini amat perlu diterapkan dalam pendidikan guru khususnya dan sangat berguna dalam kehidupan seharian. 5.2 Pembahagian Data Data kuantitatif boleh dibahagi kepada 4 jenis menggunakan empat jenis skala pengukuran. Skala boleh ditakrifkan sebagai angka yang digunakan untuk mengkelas atau menunjukkan tahap/nilai sesuatu ukuran. Suatu data dikelaskan dalam skala a. nominal, b. ordinal, c. sela, dan d. nisbah 5.2.1 Data Nominal Nominal ialah skala yang dianggap paling mudah dan mempunyai ketepatan yang paling rendah. Skala ini mengkategorikan pemboleh ubah berdasarkan persamaan dan seterusnya memberikan nama kepada pemboleh ubah berkenaan. Jantina, ras dan warna adalah contoh data nominal. Jantina diwakilkan dengan 1 bagi lelaki dan 2 bagi perempuan. Nilai nombor 1 bukan bermaksud lebih kecil dari 2 atau lebih baik dari 2. Nilai nombor 1 dan 2 hanyalah melambangkan atau mewakili kategori bagi lelaki dan perempuan. Begitu juga bagi ras dimana 1 mewakili kaum Melayu, 2 mewakili kaum Cina, 3 mewakili kaum India dan 4 mewakili kaum-kaum lain. Nombor hanya 1

Transcript of Statistik perwakilan data (word)-hantar

Page 1: Statistik perwakilan data (word)-hantar

5.0 Menganalisis dan Menterjemah Data 

5.1 Pengenalan

Bab ini akan memperkenalkan bidang Statistik yang asas. Di sini, beberapa analisis data yang mudah akan dijalankan Data- data ini akan dikumpul dan diringkaskan dalam jadual dan diwakilkan dengan perwakilan- perwakilan seperti carta dan graf. Seterusnya perwakilan ini akan diterjemahkan melalui penerangan yang berkaitan seperti mengenalpasti ukuran kecenderungan memusat, serakan atau jenis taburan dan ini akan memberi makna dan gamabaran yang jelas. Kemahiran ini amat perlu diterapkan dalam pendidikan guru khususnya dan sangat berguna dalam kehidupan seharian.

5.2 Pembahagian Data

Data kuantitatif boleh dibahagi kepada 4 jenis menggunakan empat jenis skala pengukuran. Skala boleh ditakrifkan sebagai angka yang digunakan untuk mengkelas atau menunjukkan tahap/nilai sesuatu ukuran. Suatu data dikelaskan dalam skala

a. nominal, b. ordinal, c. sela, dand. nisbah

5.2.1 Data Nominal

Nominal ialah skala yang dianggap paling mudah dan mempunyai ketepatan yang paling rendah. Skala ini mengkategorikan pemboleh ubah berdasarkan persamaan dan seterusnya memberikan nama kepada pemboleh ubah berkenaan. Jantina, ras dan warna adalah contoh data nominal. Jantina diwakilkan dengan 1 bagi lelaki dan 2 bagi perempuan. Nilai nombor 1 bukan bermaksud lebih kecil dari 2 atau lebih baik dari 2. Nilai nombor 1 dan 2 hanyalah melambangkan atau mewakili kategori bagi lelaki dan perempuan. Begitu juga bagi ras dimana 1 mewakili kaum Melayu, 2 mewakili kaum Cina, 3 mewakili kaum India dan 4 mewakili kaum-kaum lain. Nombor hanya perwakilan sesuatu kumpulan data. Serupa juga bagi warna dimana kita boleh menyatakan 1 sebagai Merah, 2 sebagai kuning, 3 sebagai hijau dan sebagainya.

Ciri-ciri utama skala nominal adalah:i. Setiap ahli hanya dimiliki oleh satu kategori sahaja, misalnya, individu yang

dikelaskan ke dalam kategori lelaki tidak boleh menjadi ahli kategori jantina lain.ii. Nombor yang mewakili setiap kategori tidak mempunyai nilai pemeringkatan, tetapi

dianggap sebagai nama kategori sahaja.iii. Pengkelasan data asal bagi data nominal bersifat satu kepada satu.

1

Page 2: Statistik perwakilan data (word)-hantar

5.2.2 Data Ordinal

Ordinal ialah skala yang memberikan nilai pemeringkatan atau pangkatan. Data ordinal boleh disusun sama ada daripada yang terendah kepada nilai yang tertinggi atau daripada yang lemah kepada yang cemerlang. Nombor atau kategori yang diguna menggambarkan ukuran asal pemboleh ubah mengikut susunan daripada kecil kepada yang besar atau dari kategori yang kurang baik kepada kategori yang lebih baik. Kedudukan, gred dan jawatan adalah contoh data ordinal. Pelajar yang mendapat nombor 1 dalam kelas tentunya lebih baik dari pelajar yang mendapat nombor 2, 3 dan seterusnya. Gred A juga lebih baik dari gred B, C dan D. Sarjan lebih berpangkat berbanding koperal dan lans-koperal.

Ciri-ciri utama data ordinal adalah : i. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan data ordinal adalah saling eksklusif. ii. Ukuran yang digunakan, memperlihatkan pemeringkatan secara logik.iii. Ukuran mempunyai pemberat dimana setiap kategori mempunyai pemberat yang

kurang atau lebih berbanding kategori lain.

Markah, ketinggian, berat, gred, dan jawatan adalah contoh data ordinal. Markah 80% tentunya lebih baik dari 50%. 160 cm sudah pasti lebih tinggi dari 100 cm. Benda yang beratnya 60 kg tentunya lebih berat dari 25 kg.

5.2.3 Data Sela

Skala sela ini mempunyai ciri pemeringkatan dan juga mempunyai perbezaan bagi setiap unit sela yang sama nilai. Skala ini berupaya menunjukkan perbezaan antara beberapa kategori dan ia boleh menunjukkan kesamaan dalam unit ukuran yang digunakan. Contoh ukuran berskala sela ialah ukuran suhu. Dalam hal ini, perbezaan suhu antara 25°C dengan 35°C adalah sama dengan perbezaan suhu antara 5°C dengan 15°C, iaitu perbezaan 10 darjah. Nilai perbezaan ini sama kerana ia dikira dari titik origin iaitu 0°C. Nilai sifar (0) merupakan suatu nilai yang arbitrari, yang tidak menggambarkan nilai kuantiti kosong, iaitu skala sela tidak mempunyai nilai mutlak. Misalnya, suhu 0°C merupakan nilai permulaan sistem pengukuran suhu dalam °C. Suhu 0°C di sini bukan bermakna tidak ada kepanasan. Begitu juga dengan markah pencapaian. Katakan pelajar A mendapat markah 90 dan pelajar B mendapat markah 75. Bezanya adalah 15 markah. Jika pelajar C mendapat 60 markah dan pelajar D mendapat 45 markah, bezanya juga adalah 15 markah. Kita boleh kata perbezaan pelajar A dengan B dan perbezaan C dengan D adalah sama. Kita tidak boleh katakan kepandaian pelajar A dua kali ganda pelajar D walau pun pelajar A mendapat 90 markah dan pelajar D mendapat 45 markah. Sekiranya seorang pelajar memperolehi 0 markah, tidak bererti dia tiada kepandaian kerana nilai sifar (0) ini bukan mutlak dan hanya sebagai permulaan ukuran sahaja.

2

Page 3: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Ciri-ciri skala sela adalah : i. Kategori yang digunakan bagi mengkelaskan data sela adalah saling eksklusif. ii. Ukuran yang diguna menggambarkan susunan pemeringkatan secara logik.iii. Ukuran yang diguna mempunyai pemberat, iaitu sesuatu ukuran sama ada lebih kecil

atau lebih besar daripada yang lain.iv. Ukuran dalam skala sela bernilai arbitrari (tidak mutlak). Nilai sifar (0) juga adalah

arbitrari.v. Perbezaan satu unit ukuran mempunyai nilai yang sama bagi semua perbezaan

ukuran.

5.2.4 Data Nisbah

Skala nisbah ialah skala yang mempunyai semua ciri skala sela dan juga nilai mutlak. Dalam skala nisbah nilai sifar (0) adalah kosong dan mutlak. Jarak, berat dan wang adalah contoh data berskala nisbah. Jarak 6 km adalah dua kali jarak 3 km. Nilai wang RM10 adalah dua kali ganda nilai wang RM5. Nilai sifar (0) bagi jarak 0 km dan RM0 adalah benar-benar tiada jarak dan tiada wang.

Latihan 1 :

Apakah jenis data bagi makanan kegemaran?Apakah jenis data bagi saiz kasut?Apakah jenis data bagi kedudukan dalam kelas?

Latihan 2 :

Apakah yang dimaksudkan dengan skala Likert?Berikan contoh yang sesuai bagi data yang menggunakan skala Likert.

5.3 Mengumpul dan Mewakilkan Data

5.3.1 Mengumpul Data

Data asal atau data mentah boleh samaada digunakan terus atau dikumpulkan untuk diwakilkan dalam bentuk yang dikehendaki. Data yang digunakan terus atau tidak perlu dikumpulkan biasanya adalah dalam kuantiti yang kecil atau mempunyai julat yang kecil. Misalnya data mengenai cita-cita pelajar dalam sesuatu kelas. Perwakilan data boleh digambarkan secara terus samada melalui piktograf, carta palang atau apa saja perwakilan yang sesuai.

3

Page 4: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Bagi kuantiti data yang banyak atau besar julatnya, maka adalah lebih baik dikumpulkan dahulu data tersebut dalam sela mengikut saiz kelasnya. Perwakilan data boleh digambarkan melalui histogram atau apa saja perwakilan yang sesuai.

Misalnya data mengenai umur orang yang datang ke dewan orang ramai. Data ini elok dikumpulkan dahulu. Jika umur 1-5 tahun dikumpulkan, maka saiz kelasnya adalah 5. secara umum data dikumpul dalam kelas umur mengikut jadual berikut:

Umur (Tahun) Gundalan Kekerapan1 - 5 3

6 - 10 811 -15 1216 - 20 1

2

Secara lebih statistikal, bilangan kelas dan saiz kelas dapat ditentukan dengan lebih baik melalui formula berikut;

Bilangan kelas :

K = bilangan kelas yang sesuain = jumlah data

Saiz kelas :

saiz kelas = nilai terbesar−nilai terkecil

K

Latihan 3 :

3565657074

7570625062

6566787045

6260807252

6872475555

5595705568

6685686082

6066905680

6270404875

8068727575

Kirakan berapa bilangan kelas (K) dan saiz kelas yang sesuai bagi data di atas?

4

K ≈ 1 + 3.3 log(n)

Page 5: Statistik perwakilan data (word)-hantar

5.3.2 Perwakilan Data

Perwakilan data boleh dibuat dalam bentuk seperti carta dan graf. Di antaranya ialah piktograf, carta palang, histogram, graf garis, carta pai dan ogif. Kita perlu tahu membaca data, memilih dan membina perwakilan data dan boleh menterjemah data tersebut.

Lihat contoh – contoh di bawah:

Piktograf

Carta Palang Histogram

5

Page 6: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Graf Garis Poligon Kekerapan

Ogif Stem and Leaf

Boxplot Scattergram

6

Page 7: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Latihan 4 :

Anda dikehendaki mengumpul beberapa keratan perwakilan data dari mana-mana bahan bercetak seperti akhbar, majalah, bulletin dan sebagainya dan buat ulasan mengenai perwakilan tersebut.

Latihan 5 :

Anda dikehendaki mendapatkan maklumat tentang bagaimana cara mewakilkan data menggunakan stem and leaf, box-plot dan scattergram.

Contoh data tidak terkumpul

Berikut adalah data pemilikan kereta bagi 26 keluarga.

Bilangan kereta Gundal Kekerapan0 31 82 123 14 2

Pembacaan data : Data dibaca secara terus mengikut bilangan kereta dan kekerapan yang diberi. Tiga keluarga tidak memiliki kereta. Lapan keluarga memiliki sebuah kereta dan dua belas keluarga memiliki dua buah kereta. Manakala hanya satu keluarga memiliki sebuah kereta dan dua keluarga memiliki empat buah kereta.

Terjemahan data : Data diterjemah mengikut tujuan. Kebanyakan keluarga memiliki satu dan dua buah kereta. Sejumlah 12 keluarga memiliki dua buah kereta dan 8 keluarga memiliki sebuah kereta. Terdapat 3 keluarga yang kurang mampu untuk memiliki kereta manakala ada 3 keluarga lain mampu memiliki tiga dan empat buah kereta.

7

Page 8: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Data boleh diwakilkankan dalam bentuk carta palang seperti berikut :

Latihan 6 :

Penggunaan gundal sangat membantu dalam mempastikan setiap data telah diambilkira. Jelaskan bagaimana teknik analisis data yang cepat dan tepat bagi data latihan 4 di bawah dilaksanakan?

8

Keke

rapa

n (k

elua

rga)

Bilangan kereta (buah)

Carta Palang Pemilikan kereta setiap keluarga

Keke

rapa

n (k

elua

rga)

Bilangan kereta (buah)

Carta Palang Pemilikan Kereta Setiap Keluarga

Keke

rapa

n (k

elua

rga)

Bilangan kereta (buah)

Page 9: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Latihan 7 :

Bayangkan anda telah mengutip data mengenai jumlah binatang peliharaan pelajar dalam kelas anda. Data mentah dari 60 pelajar adalah seperti berikut:

0  2  1  2  0  4   1  0   2  2 

1  6  1  1  2  8  0  1 2 4

2  1  2  0  3  2  0  1  3  0 

1  4  0   3  0  2  3   6 4 3

3  3   0  1  2  0  1  1  3  0 

2  0  3  2 0 4 2 2 3 1

Pilih satu perwakilan data yang sesuai untuk menggambarkan data tersebut.

Apabila anda menterjemah data di atas, selain dari jumlah binatang peliharaan, apakah maklumat lain yang anda fikir penting?.

Contoh data terkumpul

Berikut adalah data umur bagi 200 orang yang berada dalam satu dewan orang ramai.

Umur Gundal Kekerapan 0-9 8 10-19 12 20-29 24 30-39 43 40-49 41 50-59 27 60-69 23 70-79 18 80-89 3 90-99 1

9

Histogram Pengunjung Dewan Orang Ramai

Page 10: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Latihan 8 :

Apakah beza antara carta palang dan histogram?Bincangkan sifat-sifat carta palang dan histogram.Berikan 2 contoh data yang sesuai dipaparkan menggunakan carta palang dan histogram.

Latihan 9 :

Satu pemerhatian di pintu pagar sekolah telah dilakukan untuk mencatat bilangan penumpang setiap kereta yang masuk ke kawasan sekolah. Berikut adalah carta palang yang dibina hasil dari pemerhatian tersebut.

Bincangkan perkara berikut:

10

Keke

rapa

n (o

rang

)

Umur (tahun)

Keke

rapa

n (b

il ke

reta

)

Bilangan penumpang (orang)

Carta palang kereta yang masuk ke sekolah

Page 11: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Berapa buah kereta yang membawa empat penumpang?Berapa jumlah kereta yang masuk ke sekolah?

Latihan 10 :

Jadual berikut menunjukkan data rancangan TV yang diminati oleh pelajar SMK Jalan Merab. Jumlah pelajar sekolah ini adalah 840 orang.

Rancangan Bilangan PelajarA 46B 32C 28D 25E 23F 21G 25

a. Berapakah saiz sampel yang digunakan?b. Dalam peratus terhampir, berapa peratuskah Rancangan A diminati oleh pelajar

sekolah ini?c. Berapa ramaikah pelajar sekolah ini berkemungkinan meminati rancangan A?d. Sekiranya Jamal kurang setuju dengan hasil dapatan ini dan dia membuat kajian

keatas 35 orang pelajar perempuan dalam kelas pendidikan jasmani beliau. Adakah sampel kajian Jamal rawak? Jelaskan.

11

Page 12: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Latihan 11` :Bincangkan apakah kesilapan atau kekeliruan yang terdapat dalam perwakilan data berikut?

12

Page 13: Statistik perwakilan data (word)-hantar

5.4 Ukuran Kecenderungan Memusat

Selain menterjemah perwakilan data, kita juga boleh mengira nilai ukuran-ukuran kecenderungan memusat iaitu nilai min, mod dan media. Sebaran data pula boleh dilihat melalui nilai julat, sisihan piawai dan varians.

Secara umumnya, min adalah purata, median adalah nilai di tengah- tengah kumpulan data yang tersusun manakala mod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi atau paling kerap berlaku.

5.4.1 Mencari nilai min, mod dan median data tidak terkumpul:

Data : 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21, 13

Min adalah purata :

= (13 + 18 + 13 + 14 + 13 + 16 + 14 + 21 + 13) ÷ 9 = 15

Median adalah nilai ditengah- tengah. Data perlu disusun dalam susunan menaik atau menurun.

13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21

Jumlah data ialah sembilan, Maka, nilai di tengah - tengah adalah nilai ke (9+1) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 (nilai kelima) :

13, 13, 13, 13, 14, 14, 16, 18, 21, maka median adalah 14.   C

Mod adalah kekerapan tertinggi dan dalam senarai ini mod adalah 13.

Nilai terbesar adalah 21 dan nilai terkecil adalah 13. Maka julat adalah beza nilai terbesar dengan nilai terkecil.

Maka julat adalah 21 – 13 = 8.

Min : 15Median : 14Mod : 13Julat : 8

13

Page 14: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Ukuran Set A : 2, 2, 3, 5, 5, 7, 8 Set B : 2, 3, 3, 4, 6, 7

MinUntuk mengira min, kita perlu jumlahkan semua data dan bahagi dengan bilangan data.

Jumlahkan:2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 8 = 32

Terdapat 7 data, maka perlu dibahagi 7:    32 ÷ 7 = 4.57...

Jadi min adalah 4.57

Jumlahkan:2 + 3 + 3 + 4 + 6 + 7 = 25

Terdapat 6 data, maka perlu dibahagi 6:    25 ÷ 6 = 4.166...

Jadi min adalah 4.17

MedianUntuk mengira median, kita perlu susunkan data secara menaik atau menurun. Nilai ditengah- tengah adalah median. Jika terdapat dua nilai ditengah, maka puratanya adalah median.

Susunkan secara menaik:2 , 2 , 3 , (5) , 5 , 7 , 8

Nombor ditengah ditandakan dalam kurungan adalah 5.

maka median adalah 5

Susunkan secara menaik:2 , 3 , (3 , 4) , 6 , 7

Nampaknya terdapat dua nilai ditengah dan puratanya adalah median.

(3 + 4) ÷ 2 = 3.5

maka median adalah 3.5

ModMod adalah data yang mempunyai kekerapan tertinggi. Mod boleh jadi lebih dari satu nilai samada dwimod atau multimod mengikut nilai pada data.

Data :2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8

Nilai yang kerap pada data adalah 2 dan 5. Kedua-duanya adalah nilai mod.

maka mod adalah 2 dan 5

(dwimod)

Data :2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7

hanya nilai 3 sahaja yang kerap berbanding nilai lain.

Maka mod adalah 3

(unimod)

JulatUntuk mendapatkan julat, cari beza antara nilai tertinggi dengan nilai terendah

Data :2 , 2 , 3 , 5 , 5 , 7 , 8

Nilai terendah adalah 2 dan nilai tertinggi adalah 8. Maka julat :    8 - 2 = 6

Julat adalah 6

Data :2 , 3 , 3 , 4 , 6 , 7

Nilai terendah adalah 2 dan nilai tertinggi adalah 7. Maka julat :    7 - 2 = 5

Julat adalah 5

Latihan 12 :

14

Page 15: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Apakah yang anda faham bagi situasi berikut :a) Min bagi matapelajaran matematik kelas 5 Cempaka adalah 85 dan kelas 5 Mawar

adalah 70 pada Ujian semester satu?b) Markah matematik kelas Cempaka berjulat 40 manakala kelas Mawar berjulat 60.

5.4.2 Mencari nilai min, mod dan median data terkumpul

Bagi data terkumpul, pengiraan ukuran kecenderungan memusat min, mod, median dapat dilakukan menggunakan formula. Anda digalakkan secara berkumpulan membuat pembelajaran kendiri mengenai ukuran kecenderungan memusat bagi data terkumpul. Dilampirkan bersama sedikit panduan untuk anda.

MinMin adalah purata dan ia dikira menggunakan nilai titik tengah. Pengiraannya adalah menggunakan formula

μ=∑ f iM i

∑ f i

MedianNilai median bagi data tidak terkumpul adalah nilai yang terletak ditengah-tengah apabila data tersebut disusun secara menaik. Bagi data yang terkumpul, pengiraan median agak rumit dan menggunakan formula berikut:

Median = L +N2

- cf pf med

(W )

di mana

L = had bawah selang kelas mediancfp = jumlah terkumpul kekerapan sehingga kelas tersebut, tetapi tidak melibatkan kekerapan kelas median fmed = kekerapan medianW = keluasan selang kelas median (had atas kelas – had bawah kelas)N = jumlah bilangan kekerapan

15

Page 16: Statistik perwakilan data (word)-hantar

ModKelas mod adalah selang kelas yang mempunyai kekerapan yang tertinggi. Nilai mod bagi data terkumpul dikira mengikut formula berikut :

dimana   

LB sempadan bawah kelas mod

ΔB beza kekerapan kelas mod dengan kelas sebelumnya

ΔA beza kekerapan kelas mod dengan kelas selepasnya

C saiz kelas mod.

5.5 Ukuran Serakan

Ukuran serakan menerangkan serakan atau taburan sesuatu set data. Menggunakan ukuran serakan bersama-sama ukuran kecenderungan memusat membuatkan pemerihalan atau perwakilan data lebih lengkap lagi.

Tiga Taburan dengan Min Sampel yang sama dan Serakan Berbeza

JulatJulat adalah perbezaan di antara nilai terbesar dan nilai terkecil. Walaupun ia hanya merupakan nilai numerik tunggal yang merupakan ukuran serakan kasar dan dapat menerangkan jarak ke sempadan luar set data atau taburan sesuatu data.

Julat = Nilai terbesar – nilai terkecil

16

=50

Page 17: Statistik perwakilan data (word)-hantar

VarianVarian ialah purata jumlah kuasadua sisihan antara min dan set nombor. Populasi varian ditandakan dengan huruf Greek, 2 dan formulanya ialah:

σ 2=∑( X - μ )2

N

Menggunakan set nombor seperti berikut, kita boleh mengira variannya::

X X - ( X - )2

5 -8 64

9 -4 16

16 +3 9

17 +4 16

18 +5 25

X = 65 (X - ) = 0 (X - )2 = 130

Varian = σ 2=∑( X - μ )2

N=130

5= 26 .0

Varian adalah kuasadua sisihan piawai, maka nilai varian digunakan untuk memperolehi nilai sisihan piawai.

Sisihan PiawaiSisihan piawai ialah punca kuasadua varian. Sisihan piawai populasi ditandakan sebagai , dan dikira sebagaimana berikut:

σ=√σ2=√∑ (X - μ)2

N

Berdasarkan kepada contoh di atas, nilai sisihan piawai ialah

σ=√σ2=√26= 5 . 1

17

Page 18: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Data Terkumpul

Sisihan Piawai Populasi dan Sampel

Bagi data terkumpul, ukuran serakan seperti varian dan sisihan piawai dikira menggunakan formula seperti berikut:

Varian bagi sampel ditandakan sebagai s2 dan sisihan piawai ialah s. Pengiraan varian dan sisihan piawai bagi sampel berbeza sedikit daripada pengiraan varian dan sisihan piawai untuk populasi. Tujuan utama pengiraan varian dan sisihan piawai untuk sampel adalah untuk menganggar varian dan sisihan piawai untuk populasi. Menggunakan n – 1 sebagai pembahagi (denominator) bagi sampel berbanding N untuk populasi, menghasilkan penganggaran yang lebih baik untuk nilai populasi.

Varian untuk sampel:

s2=∑ (X - X )2

n - 1

Sisihan piawai untuk sampel:

s=√s2

Dan,

Varian untuk populasi:

σ 2=∑ f (M - μ )2

N

Sisihan piawai untuk populasi:

σ=√σ2

di mana,

f = kekerapanM = titik tengah kelasN = f atau jumlah kekerapan populasi = min kumpulan bagi populasi.

18

Page 19: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Latihan 13 :

Berdasarkan nilai min, mod dan median dalam taburan data berikut, bincangkan:

i) sifat-sifat data

ii) berikan contoh- contoh yang berkaitan.

a) Taburan Normal

b) Pencong Positif (positively skewed)

19

Page 20: Statistik perwakilan data (word)-hantar

c) Pencong Negatif (negatively skewed)

Latihan 14 :

Bincangkan tentang serakan data berikut :

a) Lengkung berikut mempunyai serakan yang berbeza dan min yang sama.

20

lengkung 2lengkung 1

Page 21: Statistik perwakilan data (word)-hantar

b) Lengkung berikut mempunyai serakan yang sama tetapi nilai minnya berbeza.

Latihan 15 :

a) Apakah sifat-sifat yang ada pada taburan normal?

b) Gambarkan situasi pada data yang ada pada lengkung leptokurtic, mesokurtic dan platykurtic

21

lengkung 3lengkung 4

lengkung 3

Page 22: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Skor Z

Skor Z mewakili nilai sisihan piawai di atas atau di bawah min bagi set nombor yang mempunyai taburan normal. Menggunakan skor Z membolehkan kita menterjemahkan nilai kasar jarak daripada min kepada unit sisihan piawai.

Z =X - μσ

dan untuk sampel

Z=X - Xs

Skor T

T=10z + 50

Perkaitan antara sisihan piawai, skor Z dan skor T dapat dilihat pada rajah berikut :

22

Page 23: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Kaji dan bincangkan situasi berikut :

a) Jamal mendapat markah matematik dan sains sebanyak 90 dan 80 masing- masing. Diberi min bagi matematik dan sains adalah 70, sisihan piawai matematik adalah 8 manakala sisihan piawai sains adalah 4.

Kirakan nilai skor Z dan skor T. Adakah markah matematik Jamal lebih baik dari sains?

b) Azmi mendapat markah muzik dan pendidikan jasmani sebanyak 70 dan 85 masing- masing. Diberi min bagi muzik dan pendidikan jasmani adalah 80, sisihan piawai juga sama iaitu 5.

Kirakan nilai skorZ dan skor T. Adakah markah pendidikan jasmani Azmi lebih baik dari muzik?

23

Page 24: Statistik perwakilan data (word)-hantar

5.6 KEBARANGKALIAN

Aida melakukan ujikaji melambung sebiji dadu adil di atas meja dan dicatatkan kesudahannya. Adakah nombor 0 ialah kesudahannya? Mungkin jawapannya ialah barangkali atau kurang pasti atau mustahil. Daripada kenyataan di atas unsur-unsur ketidakpastian berlaku dan muncul dalam kehidupan harian. Oleh itu adalah penting untuk kita memperoleh pengetahuan dan kemahiran dalam menentukan sejauh mana sesuatu kejadian itu mungkin berlaku.

Dalam matematik unsur ketidakpastian dikaji dalam bidang kebarangkalian. Kebarangkalian berlaku daripada permainan yang melibatkan peluang seperti perjudiaan, kajian fizik, genetik, insuran dan sebagaimya.

Beberapa terminologi yang berkaitan dengan kebarangkalian seperti ujikaji, kesudahan yang mungkin, ruang sampel dan peristiwa akan diberi tumpuan dalam modul ini.

5.6.1 Ujikaji dan Kesudahan

Ujikaji ialah satu proses atau tindakan yang dilakukan untuk melihat kepada hasilMisalnya aktiviti melambung duit syiling, kita akan memperhatikan kepada hasil yang berlaku.

Dalam ujiikaji melambung duit syiling, terdapat dua keputusan yang mungkin terjadi iaitu muka angka dan muka gambar dan setiap keputusan ini dikenali sebagai kesudahan. Dengan kata lain kesudahan bagi suatu ujikaji ialah keputusan yang mungkin terjadi dalam ujikaji.

5.6.2 Ruang Sampel

Ruang sampel ialah set semua kesudahan yang mungkin bagi suatu ujikaji. Ruang sampel diwakili oleh S atau ξ dan boleh ditulis dengan menggunakan tata tanda set. Misalnya ruang sampel bagi ujikaji melambung sekeping duit syiling mempunyai 2 titik sampel. Semua kesudahan yang mungkin ialah gambar dan angka, S = { g, a }. Begitu juga dengan ujikaji melambung sebiji dadu iaitu semua kesudahan yang mungkin 1, 2, 3. 4, 5, 6 iaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Dalam suatu ujikaji kita boleh menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin untuk mendapatkan ruang sampel secara aktiviti dan penaakulan

24

Page 25: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Contohnya

Sebuah beg mengandungi guli yang berwarna putih, biru, dan hijau. Sebiji guli dikeluarkan secara rawak daripada beg itu. .

Kita boleh menentukan semua kesudahan yang mungkin bagi ujikaji mengambil sebiji guli daripada aktiviti. Sebaliknya kita boleh juga menentukan kesudahan yang mungkin secara penaakulan iaitu kita menganalisis ujikaji atau situasi berkenaan dan mempertimbangkan secara teliti semua kesudahan yang mungkin berlaku. Setiap kali guli diambil, guli berwarna putih atau biru atau hijau mungkin dipilih. Maka semua kesudahan yang mungkin ialah { putih, biru, hijau}

Begitu juga kita boleh meramalkan keputusan perlawanan hoki secara penaakulan, Terdapat 3 keputusan yang mungkin dicapai oleh perlawanan tersebut iaitu menang atau seri atau kalah. Maka kesudahan yang mungkin ialah { menang, seri, kalah }.

Terdapat dua kaedah untuk menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin dengan menggunakan

(a) Jadual(b) Gambar rajah

(a) Jadual

2 biji dadu dilambung serentak, maka ruang sampelnya.

Dadu 2 Dadu 1 1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

25

Page 26: Statistik perwakilan data (word)-hantar

S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

(b) Gambar rajah pokok

Gambar rajah pokok biasanya digunakan untuk membantu menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji yang melibatkan pemilihan secara berturut-turut. Dalam suatu permainan tertentu, seseorang pemain perlu memilih secara rawak dua keping kad dari sebuah kotak yang mengandungi dua keping kad yang masing-masing berlabel a dan b. Kad pertama dikeluarkan dikehendaki masuk semula ke dalam kotak sebelum kad kedua dipilih.

a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.b) Tuliskan ruang sampel dengan menggunakan tatatanda set.

Pilihan 1 Pilihan 2 Kesudahan

a (a,a)

a

b (a,b)

a (b,a)

b

b (b,b)

S = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b) }

26

Page 27: Statistik perwakilan data (word)-hantar

5.6.3 Peristiwa

Dalam bahasa perkataan peristiwa bermaksud kejadian atau perkara yang Dalam bahasa perkataan peristiwa bermaksud kejadian atau perkara yang menarik perhatian. Tanggal 31 Ogos 1957, adalah suatu peristiwa dalam sejarah negara kita,

Dalam matematik, perkataan peristiwa menunjukkan kesudahan yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Peristiwa adalah suatu subset bagi ruang sampel.

Contoh

Apabila sebiji dadu dilambungS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A : Peristiwa nombor genap diperolehi

B : Peristiwa mendapat nombor perdana

C : Peristiwa mendapat nombor ganjil

A = { 2, 4, 6}

B = { 2, 3, 5 }

C = {1, 3, 5 }

Cuba selesaikan.

S E R A M

Lima keping kad seperti yang ditunjukkan di atas telah dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Sekeping kad itu adalah dipilih secara rawak daripada kotak itu. Nyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi setiap syarat berikut.:

27

Page 28: Statistik perwakilan data (word)-hantar

(a) Sekeping kad berhutruf vokal dipilih(b) Sekeping kad berhuruf konsonan dipilih

Sesuatu peristiwa A adalah mungkin bagi suatu sampel jika A c S dan A ≠ Φ. Jika A = Φ, maka peristiwa A adalah tidak mungkin berlaku.

Contoh

Satu nombor dua digit adalah dibentukkan daripada digit-digit 1, 2, 3. Tentukan sama ada setiap peristiwa yang berikut adalah mungkin bagi suatu ruang sampel atau tidak.

a) A : Peristiwa mendapat satu nombor genap, b) B : Peristiwa mendapat satu nombor di antara 10 dan 34.c) C : Peristiwa mendapat satu nombor dengan keadaan hasil tambah digit-

digitnya adalah lebih besar daripada 6.

Penyelesaian

S = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}

a) A = {12, 22, 32} c S

Maka, peristiwa A adalah mungkin.

b) B = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33} = SMaka, peristiwa B adalah mungkin.

c) C = { } = ΦMaka, peristiwa C adalah tidak mungkin.

28

Page 29: Statistik perwakilan data (word)-hantar

5.6.4 Kebarangkalian

Kebarangkalian bagi peristiwa A berlaku ialah nisbah bilangan unsur dalam peristiwa A kepada bilangan unsur dalam ruang sampel, S

P( A ) = n (A )n (S )

n ( A ) = bilangan unsur dalam peristiwa A atau bilangan kesudahan bagi peristiwa A n ( S ) = bilangan unsur dalam ruang sampel atau bilangan cubaan Kebarangkalian mempunyai nilai dari 0 hingga 1 iaitu

0 ≤ P(A) ≤ 1

P (A) = 0 bermakna peristiwa A tidak akan berlaku atau mustahil berlaku

P (A) = 1 bermakna peristiwa A pasti atau tentu berlaku

Contoh

Sebiji dadu adil dilambung. A ialah peristiwa mendapat nombor perdana. Cari kebarangkalian A.

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

n( S ) = 6

A = { 2, 3, 5 }

n( A ) = 3

P( A ) = n (A )n (S )

= 36

= 12

29

Page 30: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Kebarangkalian tidak dapat meramalkan peristiwa secara pasti atau mutlak.Pada amnya, bilangan kesudahan yang dijangkakan bagi peristiwa A = (Bilangan cubaan) × P(A)

Contoh

Dua keping duit syiling dilambung sebanyak 200 kali. Tentukan bilangan kali untuk mendapat dua gambar.

Bilangan kali untuk mendapat dua gambar = 14

x 200

= 50

5.6.5 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap

Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam suatu ruang sampel S terdiri daripada semua kesudahan S yang bukan kesudahan A. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A biasanya ditandakan sebagai A’.

Jika A ialah sebarang peristiwa bagi ruang sampel S dan A’ ialah peristiwa pelengkapnya, iaitu kebarangkalian bagi peristiwa A tidak akan berlaku

P( A’) = 1 – P ( A )

Contoh

Satu huruf dipilih secara rawak daripada perkataan “NKRA”. Jika V mewakili peristiwa mendapatkan vokal, nyatakan pelengkap V’

S = { N, K, R, A }

V = { A }

V’ = { N, K, R }

30

Page 31: Statistik perwakilan data (word)-hantar

5.6.6 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan dua peristiwa atau lebih.

Peristiwa bergabung “A atau B” dan “A dan B” masing-masing dihasilkan daripada kesatuan dan persilangan dua peristiwa itu. Oleh itu, kita boleh menyenaraikan semua kesudahan bagi

a) Peristiwa “A atau B” sebagai unsur set A υ B

b) Peristiwa “A dan B” sebagai unsur set A ∩ B.Contoh

Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak dua kali. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi peristiwa

a) Mendapat angka pada lambungan pertama atau kedua

b) Mendapat angka pada lambungan pertama dan kedua.

S = { (a,a), (a,g), (g,a), (g,g)

A : Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertamaA = { (a,a), (a,g) }

B : Peristiwa mendapat angka pada lambungan keduaB = { (a,a), (g,a) }

Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama atau kedua ialah peristiwa “A atau B”.

Peristiwa “A atau B” = A υ B

= {(a, a) , (a, g) , (g, a)}

31

Page 32: Statistik perwakilan data (word)-hantar

a) Peristiwa mendapat angka pada lambungan pertama dan kedua ialah peristiwa “A dan B”.

Peristiwa “A dan B” = A ∩ B = {(a, a)}

Jika kita dapat menyenaraikan set kesudahan bagi peristiwa bergabung “A atau B” dan “A dan B”, maka kita boleh mengira kebarangkalian dengan rumus

P(A atau B) = P(A υ B) = n (A∪B )n (S )

dan P(A dan B) = P(A ∩ B) = n (A∩B )n (S )

32

Page 33: Statistik perwakilan data (word)-hantar

Rujukan :

Chua Yan Piaw (2006). Kaedah Dan Statistik Penyelidikan. The McGraw-Hill companies, Malalaysia.

Hopkins, K.D. (1998). Educational and Psycological Measurement and Evaluation. (8 th. Ed). Boston: Allyn and Bacon.

Jerry Howett (2000). Number power ( a real world approach toMaths). Contemporary Books. USA

Mohd Majid Konting (2000). Kaedah Penyelidikan Pendidikan. Kuala Lumpur,

Noll, V.H. & Scannel, D.P. (1992). Introductions to Educational Measurement. Boston: Houghton Mifflin Company.

Popham, W.J. (2000). Modern Educational Measurement, Practical Guidelines for Educational Leaders. (3rd. Ed). Boston: Allyn and Bacon.

Siti Rahayah Ariffin (2003). Teori, Konsep dan Amalan Dalam Pengukuran dan Penilaian. Penerbitan Pusat Pembangunan Akademik, Bangi, Universiti Kebangsaan Malaysia.

Yap Yee Khiong, Wan Chwee Seng, Ismail Abu Bakar (1985). Pengukuran Dan Penilaian dalam Pendidikan. Kuala Lumpur, Heinemann Asia. Percetakan Dewan Bahasa Dan Pusaka.

33