STATISTIKA DASAR

Oleh

Suryo Guritno

• cara penyajian data

- tabel- grafik

• menghitung harga-harga penting :

- ukuran lokasi

- ukuran sebaran/penyimpangan

• apabila data mempunyai observasinya cukup banyak perlu disusun secara sistematik

Susunan data secara sistematik disebut distribusi atau deretan (runtun)

data disusun menurut : hasilnya disebut :

a. besarnya (kuantitasnya)

b. kategorinya (kualitasnya)

c. waktu (terjadinya)

d. letak geografisnya

a. distribusi frek. kuanti.

b. distribusi frek. kualit.

c. runtun waktu (time series)

d. distribusi spasial

Penyusunan distribusi frekuensi kuantitatif

- data dibagi menjadi kelompok yang biasa disebut kelas interval

- banyaknya kelompok dipilih antara 5 dan 15

- syarat : antara satu kelompok dengan kelompok yang lain tidak saling overlap

artinya : satu observasi hanya menjadi anggota satu kelompok saja

HARGA-HARGA TENGAH

Suatu harga yang dapat menggambarkan distribusi khusunya ukuran letak (lokasi)

a) rata-rata (= mean)

b) median

c) modus

d) geometrik mean

e) Harmonic mean

UKURAN LETAK

a) Median

b) Kuartil

c) Desil

d) Persentil

e) Kuantil

979737787851

689993334259

876628675134

4761108492037

567552735937

555854634754

575972573466

645425822747

714285775655

336972526921

734962514442

266641444872

613747615652

512248354467

Distribusi Frekuensi Penghasilan 84 keluarga di ABC

Penghasilan (dalam ribuan rupiah)

Banyak keluarga

20,0 – 29,9 7

30,0 – 39,9

40,0 – 49,9

50,0 – 59,9

60,0 – 69,9

70,0 – 79,980,0 – 89,9

90,0 – 99,9

100,0 – 109,9

9

16

21

14

94

3

1

84

Distribusi Frekuensi Penghasilan 84 keluarga di ABC

Penghasilan (dalam ribuan rupiah)

Banyak keluarga

19,5 – 29,5 7

29,5 – 39,5

39,5 – 49,5

49,5 – 59,5

59,5 – 69,5

69,5 – 79,579,5 – 89,5

89,5 – 99,5

99,5 – 109,5

9

16

21

14

94

3

1

84

536...656

675...459

786...785

653...358

465...483

10

29

78

97

186

165

114

63

12

Banyaknya Mahasiswa

Nilai Ujian Statistik

SKGKGKsDBB

.........

.........

.........171531

SB...DKsKsD

DD...SGKK

Distribusi Frekuensi Kualitatif

171531

354Keseran

4057Dwico

3456Becak

161206Sepeda

873Gerobag

1585Kereta

Banyak Terjual

Jenis Plombir Kendaraan

a) Mean :

Jumlah data dibagi banyak data

n21 X,...,X,X angka,n

n

X...XXX n21 +++=

∑=

=n

1iiX

n

1

notasi untuk mean sampel

xμatau μ notasi untuk mean populasi

Contoh :

Ada 5 macam beras harganya per kilogram

Rp. 340, Rp. 525, Rp. 450, Rp. 210, Rp. 275

=> Mean harga beras per kilogram

5

275210450525340X

++++=

360=

Suatu sifat mean yang baik :

Dapat digunakan untuk menghitung mean kelompok gabungan, jika mean masing-masing kelompok diketahui.

11 X,f

66 X,f55 X,f

44 X,f

33 X,f22 X,fn

621

662211

...fff

Xf...XfXfX

+++++=

n

Xf

f

Xf6

1iii

6

1ii

6

1iii ∑

∑

∑=

=

= ==

=> n

Seharusnya mudah dimengerti, sebab

1kelompok dalam datajumlah X,f 11 =

2kelompok dalam datajumlah X,f 22 =

.

.

.

dst

662211 X,f...X,fX,f +++⇒= jumlah data dalam kelompok gabungan

4638,084JUMLAH

104,5104,5199,5 – 109,5

283,594,5389,5 – 99,5

338,084,5479,5 – 89,5

670,574,5969,5 – 79,5

903,564,51459,5 – 69,5

1144,554,52149,5 – 59,5

712,544,51639,5 – 49,5

310,534,5929,5 – 39,5

171,524,5719,5 – 29,5

fixi2fixixifiPenghasilan

fi = frekuensi interval ke-i

xi = titik tengah interval ke-i

84

0,4638

f

xf

X9

1ii

9

1iii

==

∑

∑

=

=

21,55=

kalau dihitung dari data asli (= raw data = data kasar)

ribu rupiah

84

5142...725267X

+++++=

21,55= ribu rupiah

b) Median :

angka yang letaknya ditengah setelah data diurutkan

contoh :

- banyaknya data ganjil :270, 210, 450, 340, 525

210, 270, 340, 450, 525

urutkan

median

- banyaknya data genap :

210, 275, 340, 450, 485, 525

median 3952

450340 =+=

Median untuk distribusi frekuensi dapat dicari dengan 2 cara

- menggunakan gambar (histogram)

- cara interpolasi

- menggunakan histogram :

a = jarak antara 49,5 ke median

76,421

100

median int. frekuensi

diarsirdaerah luas ===

=> median = 49,5 + 4,76

= 54,26

- menggunakan cara interpolasi :

rumus : .cf

F2n

LMedianmd

md

−+=

- Lmd = batas bawah interval median

- n = banyaknya data- F = nomor urut data tertinggi sebelum interval median

(= jumlah frekuensi interval – interval sebelum interval median- fmd = frekuensi interval median

- c = lebar interval median

interval median adalah interval yang memuat median

untuk contoh 1, hal 8, modul 2

interval median adalah

49,5 – 59,5

=> Lmd = 49,5

=> n = 84

=> F = 7+9+16 = 32

=> fmd = 21

=> c = 10

.1021

232

84

5,94Median −

+==>

26,5421

0015,94 =+=

c) Modus :

anggota data yang paling sering muncul (mempunyai frekuensi tertinggi

- data boleh kualitatif

contoh* 4, 8, 5, 6, 8, 7, 6, 7, 9, 7, 6, 7,5

=> modus = 7

* 63, 65, 65, 65, 70, 72, 74, 79, 79, 79, 82, 82, 85

=> modus = 65 dan 79

Untuk distribusi frekuensi

.cb

LModus mo ++=a

a

- Lmo = batas bawah interval modus

- a = beda antara interval modus dengan interval sebelumnya

- b = beda antara interval modus dengan interval sesudahnya

- c = lebar interval modul

Interval modus adalah interval dengan frekuensi tertinggi

interval modus adalah

49,5 – 59,5

=> Lmo = 49,5

a = 21 – 16 = 5

b = 21 – 14 = 7

c = 10

.1075

2355,94Modus

+−+==>

67,5212

505,94 =+=

Catatan :

interval modus dan interval median tidak harus sama

UKURAN LOKASI

Setelah data diurutkan

a) Median :

membagi data menjadi dua bagian yang sama

b) Kuartil :

membagi data menjadi empat bagian yang sama

c) Desil :

membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama

d) Persentil :

membagi data menjadi seratus bagian yang sama

e) Kuantil/N-til :

membagi data menjadi n bagian yang sama

=> Suatu data akan mempunyai

• 1 Median

• 3 Kuartil

• 9 Desil

• 99 Persentil

• (n-1) Kuantil/N-til

Menghitung Kuartil, Desil, Persentil atau Kuantil suatu distribusi frekuensi sesuai dengan cara menghitung median

.cf

FNi.n

LKuantil ki

kiike-

−+=rumus :

- i = 1, 2, …, (N-1)

- N = banyaknya kelompok

jika akan dihitung kuartil

(Q1, Q2, Q3)dicari dulu interval yang memuat masing-masing Kuartil

untuk Q1 adalah interval yang memuat observasi bernomor 214

84

4

1.n ==

untuk Q3 adalah interval yang memuat observasi bernomor 634

84.3

4

3.n ==

=> Interval yang memuat Q1 adalah : 39,5 – 49,5 sehingga

10.16

16215,39Q1

−+=

63,4213,35,39 =+=

HARGA-HARGA DEVIASIAdalah ukuran yang menunjukkan sebaran/penyimpangan tiap observasi data terhadap suatu harga tengah

a) Rentang/Range

b) Deviasi rata-rata

c) Variansi dan Deviasi Standar

d) Deviasi kuartil

a) Rentang/Range

beda antara maksimum data dengan minimum data

R = max. – min.Contoh :

* 60, 60, 61, 63, 65, 65, 66, 67, 68, 90

=> R = 90 – 60 = 30

* 60, 65, 70, 72, 75, 78, 80, 85, 88, 90=> R = 90 – 60 = 30

b) Deviasi rata-rata :

adalah harga rata-rata sebaran tiap observasi data terhadap meannya

n21 x,...,x, x; datan

∑=

=n

1iiX

n

1X :mean

∑=

−=n

1ii XX

n

1d.r.

Contoh

340, 525, 450, 210, 275

360

)275210450525340(5

1X

=

++++=

5100

165165525

9090450

20-20340

85-85275

150-150210iX )X(Xi − XXi −

1025

510d.r ===>

1175,6284JUMLAh

49,2949,29104,5199,5 – 109,5

117,8739,2994,5389,5 – 99,5

117,1629,2984,5479,5 – 89,5

173,6119,2974,5969,5 – 79,5

130,069,2964,51459,5 – 69,5

14,910,7154,52149,5 – 59,5

171,3610,7144,51639,5 – 49,5

186,3920,7134,5929,5 – 39,5

214,9730,7124,5719,5 – 29,5

fi |Xi –X||Xi –X|XifiPenghasilan

fi = frekuensi interval ke-i

Xi = titik tengah interval ke-i

21,5584

0,4638

f

Xf

X9

1ii

9

1iii

===

∑

∑

=

=

c) Variansi dan standar Deviasi

n angka, X1, X2, … , Xn

( ) ( ) ( )1n

XX...XXXXS

2n

22

212

−−++−+−=

notasi untuk variansi sampel

( )1n

XXn

1i

2i

−

−=

∑=

( )

N

μX

σatau σ

n

1i

2xi

2x

2∑

=

−=

notasi untuk variansi populasi

Standar deviasi = akar positif variansi

Notasi : s dan σ

untuk sampel untuk populasi

Contoh :

210, 340, 525, 450, 275

360

)275210450525340(5

1X

=

++++=

654500

37225165525

810090450

400-20340

7225-85275

22500-150210iX )X(Xi − 2

i )X(X −

5,163624

65450s : Variansi 2 ===>

916,1275,16362s :standar deviasi ==

untuk distribusi frekuensi

( )∑=

−=k

1i

2ii

2 XXfn

1s

∑∑

=

= ==k

1ii

k

1iii

fn ,n

Xf

X

1)-(nn

XfXfn

s

2k

1iii

k

1i

2ii

2

−

=∑∑

==

fi = frekuensi interval ke-i

Xi = titik tengah interval ke-i

84 x 83

(4638,0) - 283441,00 x 84s

22 ==>

6041,329=

155,186041,329s ===>

d) Deviasi kuartil :

2

QQd.k. 13 −=

d.k. = deviasi kuartil

0075,122

42,62566,64d.k. =−=

karena Q1 = 42,625

Q2 = 66,64

Q1 = kuartil 1

Q3 = kuartil 3

Contoh :