ANALISIS PENDEKATAN NUMIK METODA EULER PADA SISTIM PEGAS PEREDAM KEJUT MASSA

oleh:SUKMA HAYATI AE16036 / 2010

Dosen Pembimbing:Drs. AKMAM, M.Si

JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI PADANG2012

ABSTRAKSalah satu kajian dalam metoda numeric adalah menyelesaikan system persamaan differensial dengan menggunakan metoda euler. Pada makalah ini metoda euler digunakan dalam menetukan posisi balok pada system pegas peredam kejut massa, untuk mendapatkan posisi balok tersebut di cari dengan perhitungan analitik dan perhitungan secara numeric, perhitungan secara numeric dilakukan menggunakan bantuan dari metleb. Dari hasil perhitungan secara numeric dan analitik tersebut dilakukan perbandingan antar keduanya.Kata kunci: pegas, peredam kejut, massa, gaya pegas, gaya peredam,, metoda euler

ABSTRACOnestudyin thenumericalmethodis acompletesystemof differentialequationsusingeulermethod.In this papereulermethodused in thesystemdetermines theposition ofthe beamina massspringshock absorbers,toobtainthebeampositionin thesearchwiththe analyticalcalculationsandnumericalcalculations,thenumericalcalculationsperformedusing the helpofmetleb.From the results ofnumericalandanalyticalcalculationsarecarried outcomparisonsbetweenthe two.Keywords: spring, damper, mass, spring force, damping force, method euler

BAB IPENDAHULUAN

Akhir-akhir ini peranan komputasi dalam perkembangan ilmu fisika baik terapan maupun teoritik semakin besar. Hal ini dipengaruhi oleh semakin tingginya tuntutan untuk menyelesaikan problem-problem matematis kompleks pada suatu permodelan fisika yang tidak dapat diselesaikan melalui metode analitik secara lebih presisi. Selain mempermudah dalam menyelesaikan problem matematis yang komleks, menggunakan komputasi dapat memperkecil biaya yang di keluarkan karena permodelannya tidak harus dalam dunia nyata dengan ukuran yang sebenarnya. Begitu pentingnya peran komputasi sehingga disebut-sebut sebagai pilar ketiga dalam sains selain eksperimen dan teori. Banyak sekali fenomena-fenomena fisika yang terdapat dalam kehidupan kita mulai dari fenomena yang sederhana sampai kepada fenomena yang rumit untuk dijelaskan. Salah satunya adalah posisi benda pada system pegas kejut massa dengan iterval waktu yang di tentukan. Hal ini nantinya akan menghasilkan suatu bentuk rumusan secara matematik jika dibahasakan secara kuantitatif. Pengolahan rumusan fenomena tersebut ada kalanya menemukan kesulitan jika diolah secara analitik karena berbagai keterbatasan. Untuk memudahkannya, maka rumusan tersebut diolah secara numerik dengan berbagai metoda dan pendekatan-pendekatan untuk mendapatkan hasil yang sebenarnya. Dalam pengolahan data mengunakan komputer akan tetap menemukan kesalan, walupun kesalahan tersebut sebenarnya bernilai sangat kecil. Dengan demikian, metoda numerik dapat sangat membantu dalam penyelesain masalah fenomena-fenomena yang ada di alam, khususnya fenomena fisika.Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini ialah untuk menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan posisi balok pada system pegas kejut massa dengan menggunakan metode differensial numeric yakninya metoda euler. Rumusan masalah yang di angkat dalam penulisan makalah ini ialah bagaimana menentukan posisi balok pada system pegas kejut massa.

BAB IIISIA. METODE PENELITIAN

a. PegasPegasmerupakan sebuah komponen yang ada di sistemsuspensimobil. Pegas memiliki fungsi menyerap kejut dari jalan dan getaran roda agar tidak diteruskan ke bodi kendaraan secara langsung. Selain itu, pegas juga berguna untuk menambah daya cengkerem ban terhadap permukaan jalan. Ada tiga tipe pegas yang umum digunakan kendaraan, yaitu pegas koil (coil spring) yang dibuat dari batang baja dan memiliki bentuk spiral. Bentuk kedua, pegas daun (leaf spring) dibuat dari bilah baja yang bengkok dan lentur. Tipe ketiga, disebut dengan nama pegas batang torsi (torsion bar spring). Pegas jenis ini dibentuk dari batang baja yang elastis terhadap puntiran.Pegas adalah salah satu contoh benda elastis. Oleh sifat elastisnya ini, suatu pegas yang diberi gaya tekan atau gaya regang akan kembali pada keadaan setimbangnya mula- mula apabila gaya yang bekerja padanya dihilangkan. Gaya pemulih dimiliki oleh setiap benda elastis yang terkena gaya sehingga benda elastis tersebut berubah bentuk. Gaya yang timbul pada benda elastis untuk menarik kembali benda yang melekat padanya di sebut gaya pemulih.Pada sistem massa pegas diatas berlaku hukum II Newton dan hukum Hooke. Menurut hukum Hooke :

Jika gaya yang bekerja pada sebuah pegas dihilangkan, pegas tersebut akan kembali pada keadaan semula. Robert Hooke, ilmuwan berkebangsaan Inggris menyimpulkan bahwa sifat elastis pegas tersebut ada batasnya dan besar gaya pegas sebanding dengan pertambahan panjang pegas. Dari penelitian yang dilakukan, didapatkan bahwa besar gaya pegas pemulih sebanding dengan pertambahan panjang pegas. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai:F, dengan k = tetapan pegas (N / m)

Tanda (-) diberikan karena arah gaya pemulih pada pegas berlawanan dengan arah gerak pegas tersebut. Sedangkan menurut hukum II Newton :

Hukum II Newton yang bekerja akan menimbulkan keseimbangan pada masing-masing benda. Sehingga

b. Gerak Benda di Bawah Pengaruh Gaya Pegas Bila suatu benda yang digantungkan pada pegas ditarik sejauh x meter dan kemudian dilepas, maka benda akan bergetar. Benda bergetar atau bersosilasi adalah benda yang bergerak di sekitar suatu tempat. Gerak osilasi secara umum merupakan gerakan objek di sekitar titik keseimbangannya. Osilasi yang beraturan disebut dengan osilasi harmonis, contohnya adalah osilasi pada massa pegas.

Pada dasarnya osilasi alias getaran dari pegas yang digantungkan secara vertikal sama dengan getaran pegas yang diletakan horisontal. Bedanya, pegas yang digantungkan secara vertikal lebih panjang karena pengaruh gravitasi yang bekerja pada benda (gravitasi hanya bekerja pada arah vertikal, tidak pada arah horisontal). getaran pada pegas yang digantungkan secara vertical

Pada pegas yang kita letakan horisontal (mendatar), posisi benda disesuaikan dengan panjang pegas alami. Pegas akan meregang atau mengerut jika diberikan gaya luar (ditarik atau ditekan). Nah, pada pegas yang digantungkan vertikal, gravitasi bekerja pada benda bermassa yang dikaitkan pada ujung pegas. Akibatnya, walaupun tidak ditarik ke bawah, pegas dengan sendirinya meregang sejauh x0. Pada keadaan ini benda yang digantungkan pada pegas berada pada posisi setimbang. Berdasarkan hukum II Newton, benda berada dalam keadaan setimbang jika gaya total = 0. Gaya yang bekerja pada benda yang digantung adalah gaya pegas (F0 = -kx0) yang arahnya ke atas dan gaya berat (w = mg) yang arahnya ke bawah. Total kedua gaya ini sama dengan nol.

Kita akan tetap menggunakan lambang x agar anda bisa membandingkan dengan pegas yang diletakan horisontal. Kita dapat menggantikan x dengan y. Resultan gaya yang bekerja pada titik kesetimbangan = 0. Hal ini berarti benda diam alias tidak bergerak.

Jika kita meregangkan pegas (menarik pegas ke bawah) sejauh x, maka pada keadaan ini bekerja gaya pegas yang nilainya lebih besar dari pada gaya berat, sehingga benda tidak lagi berada pada keadaan setimbang.

Pada titik setimbang, besar gaya total = 0, tetapi laju gerak benda bernilai maksimum (v maks). Pada posisi ini, EK bernilai maksimum, sedangkan EP = 0. EK maksimum karena v maks, sedangkan EP = 0, karena benda berada pada titik setimbang (x = 0). Karena pada posisi setimbang kecepatan gerak benda maksimum, maka benda bergerak terus ke atas sejauh -x. Laju gerak benda perlahan-lahan menurun, sedangkan besar gaya pemulih meningkat dan mencapai nilai maksimum pada jarak -x. Ketika benda berada pada simpangan sejauh -x, EP bernilai maksimum sedangkan EK = 0.

Lagi-lagi alasannya klasik Setelah mencapai jarak -x, gaya pemulih pegas menggerakan benda kembali lagi ke posisi setimbang (lihat gambar di bawah). Demikian seterusnya. Benda akan bergerak ke bawah dan ke atas secara periodik. Selama benda bergerak, selalu terjadi perubahan energi antara EP dan EK. Energi Mekanik bernilai tetap. Pada benda berada pada titik kesetimbangan (x = 0), EM = EK. Ketika benda berada pada simpangan sejauh -x atau +x, EM = EP.

c. System pegas peredam kejut massaSistem pegas-peredam kejut-massa dapat digambarkan sebagaimana gambar 1 berikut.

Pada sistem sebagaimana gambar 1 di atas, untuk setiap saat, gaya bersih yang bekerja pada massa m adalah gaya pegas, Fs (springforce) dan gaya peredam, Fd (damping force). Gaya pegas besarnya sebanding dengan konstanta pegas (k) serta jarak perpin-dahan (vertikal) dari posisi keseimbangan (y), dan dirumuskan sebagai berikut:

Fs = - ky

Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya yang terjadi akan mengembalikan massa m ke posisi keseimbangan. Gaya peredam dari peredam kejut dinyatakan sebagai berikut:

Fd = - c dy/dt

Di mana c adalah koefisien peredaman (damping coefficient) dan dy/dt adalah kecepatan massa m pada arah vertikal. Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya peredam bekerja pada arah yang berlawanan dengan arah kecepatan massa m.

Hukum Newton kedua untuk sistem pegasperedam kejut-massa dinyatakan dalam persamaan berikut

m d2 y/dt2 = -c dy/dt ky

atau

m d2 y/dt2 + c dy/dt + ky = 0

Persamaan ini merupakan persamaan deferensial linier orde kedua.

Untuk menyelesaikan masalah diatas dapat digunakan analisis numeric dengan metoda euler.

d. Metoda euler

Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut:

Pada kenyataannya, melalui pendekatan numerik, kita tidak akan memperoleh solusi fungsi yang kontinyu; yang mungkin kita dapat adalah solusi diskrit dalam bentuk mesh points didalam interval [a,b]. Setelah diperoleh solusi numerik pada suatu point, maka point-point yang lainpun bisa dicari dengan cara interpolasi. Tahap awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak yang sama di dalam interval [a,b], yaitu dengan menerapkanti = a + ih, i = 0, 1, 2, ...,N (2)

Jarak antar point dirumuskan sebagai

ini disebut step size.

Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan dalam interval [a,b]. Maka dalam deret Taylor

yt+1=y(ti)+ (ti+1 ti)y(ti)+y()

Karena h = (ti+1 ti), maka

y(ti+1) = y(ti) + hy0(ti) + y()

Figure 1: Metode Euler dan, karena y(t) memenuhi persamaan diferensial

y(ti+1) = y(ti) + hf(ti, y(ti)) + y()

Metode Euler dibangun dengan pendekatan wi y(ti) untuk i = 1, 2, 3, ...,N, dengan mengabaikan suku terakhir yang terdapat pada persamaan (6). Jadi metode Euler dinyatakan sebagai berikutZ0 = Zi+1 = Zi + hf(ti,Zi)

B.Hasil Dan Pembahasan

Sebuah balok dihubungkan dengan pegas dalam system pegas peredam kejut masa dalam keadaan diam, kemudian dilepaskan, sehingga sistem bergetar memenuhi persamaan differensial:M y+ MC+ ky = 0Dengan y(0)=1 dan y=0 M=2 kg C=0,5 kg dan k=200kg/dt2Tentukan posisi balok y(t) untuk 0 < t < 10 dengan menggunakan metoda euler dimana h= 2 dt.Penyelesaian secara analitik.Untuk menyelesaikan mencari posisi balok pada saat t dapat tentukan dengan menggunakan metoda euler

Misal nya :

Sehingga : Untuk n = 0, t = 0

Untuk n = 1, t = 2

Untuk n = 2, t = 4

Untuk n = 3, t = 6

Untuk n = 4, t = 8

Untuk n = 5, t = 10

Algoritma menyelesaikan masalh numeric di atas dengan etoda euler. adalah : 1. Masukkan nilai awal posisi balok z(i) pada saat t(0) dan y(i);2. Tentukan batas atas dan batas bawah untuk parameter t pada selang a