PERNYATAAN KALKULUS

PENGANTAR DASAR

MATEMATIKA

Disusun oleh :

1. Utari Septriyaningsih (4101412127)

2. Nila Kumoro Manah (4101412129)

3. Siti Azizatul Maghfiroh (4101412130)

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2012

1. P adalah bilangan prima.

2. Sembilan adalah bilangan ganjil.

3. Kucing adalah hewan yang tidak sukamakan ikan.

4. 2 lebih kecil dari 3 dan 3 adalah bilanganprima.

5. Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat.

P adalah bilangan prima.

Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat.

Kalimat “P adalah bilangan prima”dan “Jarak antara Jakarta dan

Surabaya adalah dekat”merupakan kalimat bukan

pernyataan.

Pada kalimat tersebut kita tidak dapatmenjelaskan apakah kalimat itu benar atausalah.

MENGAPA DEMIKIAN??????

Kalimat “P adalah bilangan prima” bukanmerupakan pernyataan karena bila p digantidengan 0, maka pernyataan “0 bilanganprima” bernilai salah, tetapi bila P digantidengan 3, maka pernyataan “3 adalahbilangan Prima” bernilai benar.

Kalimat “Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat” bukan merupakanpernyataan karena dekat itu relatif. Jarakantara Jakarta dan Surabaya dekat apabiladibandingkan dengan Jarak antara Jakarta dan Lost Angeles sehingga menjadipernyataan yang benar, tetapi biladibandingkan dengan jarak antara Jakarta dan Bandung maka pernyataan menjadisalah.

Suatu kalimat merupakan bukan

pernyataan jika kalimat tersebut

tidak dapat ditentukan benar atau

salahnya atau mengandung

pengertian relatif.

Dalam keseharian, kita sering menggabungkandua pernyataan dengan kata “dan”.

Dua kalimat pernyataan yang di hubungkandengan kata “dan” membentuk suatu kalimatmajemuk, disebut dengan konjungsi.

Kata hubung “dan” dalam konjungsi dapat diganti dengan kata“tetapi”, “sehingga”, “walaupun”, “maupu

n”, dan “kemudian” selama artinya tetapsama.

Dalam logika matematika, gabungan daridua pernyataan p dan q dilambangkandengan notasi ˄(ditulis “p ˄ q”, dandibaca ‘p dan q‘).

Nilai kebenaran konjungsi bergantungpada nilai kebenaran pernyataan p dan qitu sendiri.

Contoh 1:

P : Bulan April terdiri dari 30 hari.

Q : Musim hujan di Indonesia terjadi antarabulan Oktober hinga April .

p ^ q : Bulan April terdiri dari 30 hari dan musim hujan di Indonesia terjadiantara bulan Oktober hinga April.

Contoh 2:

p : persegi memiliki empat sisi.

q : 2 + 3 = 6.

p ^ q : persegi memiliki empat sisi dan 2 + 3 = 6.

Pernyataan p q˄ adalah

pernyataan yang bernilai

benar, jika kedua

pernyataan p dan q adalah

benar, selain itu salah.

Tabel kebenaran konjungsi:

Bentuk kedua dari komposisi gabungan duapernyataan adalah dengan kata hubung“atau”. Kata “atau” dalam bahasa inggrisbermakna ambigu.

Makna berbeda dari kata “atau” dapatdinyatakan dalam bentuk tabel kebenaransebagai berikut:

Komponen 1

P

Komponen 2

Q

P atau Q

inklusif eksklusif

B B B S

S B B B

B S B B

S S S S

Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu:

1. Disjungsi Inklusifadalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salahsatu bernilai salah, sebaliknya "p ∨ q" bernilaisalah (S) jika keduanya bernilai salah.

Contoh disjungsi inklusif:

p: Pak Budi orang kaya.q: Pak Budi rajin bekerja.p ∨ q: Pak Budi orang kaya atau rajin bekerja.

Di sini mempunyai dua pengertian:(1) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerjasaja tetapi tidak keduanya.(2) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerjasaja tetapi mungkin juga keduanya.

2. Disjungsi eksklusifadalah jika p dan q merupakan dua buahpernyataan maka "p ∨ q" bernilai benar (B) jika salahsatu bernilai salah (S) atau salah satubernilai benar (B), sebaliknya "p ∨ q" bernilaisalah (S) jika keduanya bernilai benar (B) ataukeduanya bernilai salah (S).

Contoh :

p : Joni naik pesawat terbang.q : Joni naik kapal laut.p ∨ q : Joni naik pesawat terbang atau kapallaut.

Dalam contoh tersebut, Joni hanya naikpesawat terbang saja atau kapal laut saja, dantidak mungkin naik pesawat terbang dansekaligus naik kapal laut.

Komponen 1

P

Komponen 2

Q

P atau Q

inklusif eksklusif

B B B S

S B B B

B S B B

S S S S

Dalam logika matematika, disjungsi digunakanuntuk menggabungkan dua pernyataandengan simbol “V”.

Untuk setiap pernyataan P dan Q, ditulis “P v Q” (dibaca : P atau Q)

Disjungsi bernilai salah (S) jikakedua komponen penyusunnya

bernilai salah (S), jika tidakdemikian maka disjungsi bernilai

benar (B).Seperti ditunjukkan pada tabel

pernyataan berikut!

Komponen 1

P

Komponen 2

Q

Disjungsi

P v Q

B B B

S B B

B S B

S S S

Gabungan “jika- maka” dalam pembicaraanbiasa seperti yang terdapat pada :

Jika Lily ada di sini, makaia tidak datang ke

seminar.

Pengandaian mempunyai dua komponen

Komponen dalam pengandaian:

1. Hipotesis

Contoh: “Lily ada disini”

2. Akibat dari pengandaian

Contoh: “ia tidak datang ke seminar”

Sekarang marikita selidiki

nilai kebenarandari

pengandaian.

Perhatikan Contoh Berikut!

Susi melihat mobil bergerak zig-zag, sampai padakesimpulan bahwa “jika perangkat kemudi tidaklonggar, maka pengemudi mabuk”.

Ditemukan kemudian bahwa kedua perangkatkemudi adalah longgar dan sopir mabuk. Namunkesimpulan Susi itu masih benar. Bahkan sampaipada kesimpulan bahwa “perangkat kemudilonggar atau pengemudi mabuk”.

Akibatnya, dalam kasus kedua “perangkatkemudi longgar dan pengemudi yang mabuk”.

Dalam logika matematika,kondisional dibentuk dengan

menyisipkan tanda panah “→”antara komponen.

Semua empat komposisi memilikiproperti:

Nilai kebenaran dari senyawa komposisiditentukan dalam semua kasus oleh nilai-nilai kebenaran komponen.

Mode komposisi dikatakan kebenaranfungsional jika komposisi tersebutmemiliki properti .

Nilai kebenaran:

1. Tautologi

Tautologi adalah proposisi komposityang selalu bernilai benar untuk setiapnilai kebenaran dari proporsi.

p q p V q p ⇒ p V q

B B B B

B S B B

S B B B

S S S B

2. Kontradiksi

Kontradiksi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai salah untuk setiap nilaikebenaran dari proposisi elementernya.

p q p V q ̴p ˄ ̴q P ˄ ( ̴p ˄ ̴q )

B B B S S

B S B S S

S B B S S

S S S B S

3. Kontingensi

Kontingensi adalah proposisi komposit yang bukan tautologi dan kontradiksi.

p q p q˄ p⇒ p q˄

B B B B

B S S S

S B S B

S S S B

Dalam logika matematika, negasi dari suatupernyataan dibentuk oleh awalan (~) yang dibaca tidak.

Negasi disebut Komposisi tunggal karenahanya mengubah pernyataan menjadipernyataan baru.

Cara mudah mengekspresikan negasi adalahmenyisipkan kata ‘tidak’ dalam kalimat ataumenambahkan kata ‘mungkin’.

Contoh 1:

p : Ruri menyuruh Andi membersihkan jendela.

~p : Ruri tidak menyuruh Andi mebersihkanjendela.

Contoh: p :Kadang-kadang di Semarang hujan.

~p :Di Semarang Tidak pernah hujan.

p : Semua kucing galak.~p : Beberapa kucing tidak galak.

p :Setiap mahasiswa mempunyai laptop.~p :Beberapa mahasiswa tidak mempunyai laptop.

p :Marcell dan Shofi adalah mahasiswa jurusanMatematika.

~p : Marcell atau Shofi bukan mahasiswa jurusanMatematika

Tabel Kebenaran Negasi

Komposisi Berulang / Biimplikasi adalah sebuah carakomposisi untuk menerapkan

kebenaran komposisi fungsionalbeberapa kali.

Komposisi berulang dalam matematikasering disebut dengan istilah Biimplikasi.

Biimplikasi adalah pernyataan majemukyang menggunakan penghubung logika " … jika dan hanya jika … " dan diberilambang " ⇔ " atau " ↔ ".

Contoh:1) p : Segitiga PQR merupakan segitiga

samakaki.q : Segitiga PQR ketiga sudutnya sama besar. p ⇔ q: Segitiga PQR merupakan segitiga

samakaki jika dan hanya jika ketigasudutnya sama besar.

(bernilai benar)

2) p : 2 bilangan primaq : 2 + 6 = 12p ⇔ q :2 bilangan prima jika dan hanya jika

2 + 6 = 12 (bernilai Salah)

3) P : 2 bukan bilangan prima.

q : 2 + 6 = 8.

p ⇔ q : 2 bukan bilangan prima jika dan

hanya jika 2 + 6 = 8

(bernilai Salah)

4) P : 3 adalah bilangan genap.

q : 3 adalah bilangan irrasional.

p ⇔ q : 3 adalah bilangan genap jika dan hanya jika

3 bilangan irrasional.

(bernilai Benar)

Biimplikasi bernilai benar jikakedua pernyataan tunggalnyamemiliki nilai kebenaran yang

sama.

Bentuk lain dari Biimplikasi

Ekuivalensi adalah duapernyataan majemuk atau lebih

yang mempunyai nilai kebenaransama.

p v p ≡ p

p ⇒ q ≡ ~q ⇒ ~p

p ⇔ q≡ q ⇔ p

p ⇔ q≡ ~ p ⇔ ~ q

p v q ≡ q v p

p ^ q ≡ q ^ p

p ^ (q ^ r) ≡ (p ^ q ) ^ r

p v (q v r) ≡ (p v q ) v r

p ^ (q v r) ≡ (p ^ q ) v (p ^ r)

p v (q ^ r) ≡ (p v q ) ^ (p v r)

~(p ^ q) ≡ ~p v ~q

~(p v q) ≡ ~p ^ ~q

p q ~p ~q ~p v q p ⇒ q

B B S S B B

B S S B S S

S B B S B B

S S B B B B

sama

Dari manakah p ⇒ q ≡ ~p ∨ q????

p ⇒ q ≡ ~p ∨ q

~p v q ≡ p v ~ q

p v ~ q ≡ ~ (~ q) v ~p

~ (~ q) v ~p ≡ ~ q ⇒ ~p

Sehingga,

p ⇒ q ≡ ~p ∨ q

Dikatakan formula pernyataan adalah“formula valid” jika itu merupakan fungsikebenaran yang konstan dengan Bsebagai nilainya.

(~X) V X

~(X Λ (~X))

(X Λ Y) → X

X →(X V Y)

((X →Y) Λ (Y →Z)) → (X →Z)

(X Λ Y) → (X → Y)

X Y XΛY (XΛY)→X

B B B B

B S S B

S B S B

S S S B

Koleksi lebih lanjut dari formula yang valid dapat diperoleh jika kita mengganti 'Eq' dengan ‘↔’ (atau ‘ →’ )di bagianterakhir, misalnya:

(X → Y) ↔ (~X) v Y

(~(~X)) → X

Negasi dari rumus valid adalahrumus yang merupakan fungsi

kebenaran konstan denganmengambil S sebagai nilainya.

Perhatikan dua kalimat berikut!

(1) Hong Kong yang padat.

(2) Hong Kong adalah bersuku dua.

Kalimat (1) berarti bahwa kota tersebutberpopulasi padat ( memiliki populasihampir empat juta), sedangkan kalimat(2) berarti bahwa nama kota tersebutmemiliki dua suku kata.

Kedua kalimat memiliki subjekberbeda, sebuah kota di kalimat (1) dan nama kota dalam kalimat (2).

Dalam kalimat (1), kita memilikipernyataan tentang kota, dan karena itusecara fisik tidak mungkin untukmenempatkan kota dalam kalimat. Jadi kitaharus menggunakan nama kota untukmewakili disana.

Istilah Implikasi juga disebut Kondisional.

Implikasi adalah operasi penggabungandua buah pernyataan yang menggunakanpenghubung logika "jika … , maka … “.

Implikasi dilambangkan dengan

Atau

→

⇒

Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis"p → q" atau "p ⇒ q" dan dibaca "jikap, maka q".

Pernyataan bersyarat p ⇒ q juga dapat dibaca" p hanya jika q " atau "p adalah syarat cukupbagi q " atau "q adalah syarat perlu bagi p ".

Pada pernyataan p ⇒ q, p disebuthipotesa, anteseden, atau sebab, q disebutkonklusi/konsekuen/akibat.

p q p ⇒ q

B B B

B S S

S B B

S S B

Implikasi p ⇒ q bernilai salah (S) jikaanteseden bernilai benar (B) dan konsekuenbernilai salah (S), jika tidak demikian makap ⇒ q bernilai benar(B).

Ada cara lain untuk membuktikan validitassuatu pernyataan yaitu dengan menggunakanaturan-aturan penarikan kesimpulan.

Dengan aturan ini kita tidak saja menarikkesimpulan dari premis-premisnya secaralangsung, tetapi juga mampu membentukargument-argumen yang diperoleh darirangkaian langkah pembuktian yang relatifsederhana.

Aturan-aturan yang digunakan dalam aturan penarikan kesimpulan

1. Modus Ponen (MP)

Penarikan kesimpulan dengan modus ponendilakukan berdasarkan premis-premisnyayang berbentuk p ⇒ q yang menghasilkankonklusi p.

p ⇒ q

p

∴q

Contoh 1:

Premis 1: Jika x bilagan real, maka IxI ≥ 0.

Premis 2: x bilangan real

Konklusi: IxI ≥ 0

Contoh 2:

Premis 1: Jika Cherry rajin belajar, maka dia akan

Lulus ujian.

Premis 2: Cherry rajin belajar.

Konklusi:Cherry akan lulus ujian.

Modus Ponen juga dapat dinyatakandengan bentuk implikasi, yaitu:

[(p⇒ q) ^ p] ⇒ q]

Tabel Kebenaran

p q p⇒ q (p⇒ q) ^ p (p⇒ q) ^ p] ⇒ q

B B B B B

B S S B B

S B B S B

S S B S B

2. Modus Tollen (MT)

• Penarikan kesimpulan modus tollen dilakukanberdasarkan premis-premisnya.

• Bentuk premis

p⇒ q dan ~q yang menghasilkan konklusi ~p.

Premis 1: p → q

premis 2: ~q

Konklusi : ~p

Modus Tollen dapat dinyatakan dalam bentuk

implikasi yaitu :

[(p → q) Λ ˜q] → ~p

Tabel Kebenaran

p q p → q S ~q (p → q) Λ ~ q [(p → q) Λ ~ q ] → ~p

B B B S S S B

B S S S B S B

S B B B S S B

S S B B B B B

3. Silogisme

Penarikan kesimpulan dengan silogismedilakukan berdasarkan premis-premisnya.

Bentuk premisnya adalah:

p → q dan q → r yang menghasilkankesimpulan p → r

Bentuk umum

Premis 1 : p → q

Premis 2 : q → r

Konklusi : p → r

Silogisme dapat dinyatakan dalam bentuk

Implikasi, yaitu:

[(p → q) Λ (q → r ) ] → (p → r)

Tabel Kebenaran

p q r p → q q → r p → r (p → q)Λ q → r [(p → q) Λ (q → r ) ]→ (p → r)

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B B S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B

• Kuantor yaitu suatu ucapan yang jikadibubuhkan pada sebuah kalimat terbukadengan variable dapat mengubahnya menjaditertutup.

• Kalimat terbuka adalah kalimat yang masihmengandung variabel, sehingga belum dapatditentukan nilai kebenarannya (benar atausalah).

Ada 2 macam kuantor yaitu :

1) Kuantor Umum ( Universal Quantifeer )

Dilambangkan “ ∀“.

Lambang “∀(x)” di baca : untuk setiap x atauuntuk semua x.

Misal p(x) suatu kalimat terbuka .

p(x) : x +1 > 0 dan x = Himpunan semua

bilangan real positif,

maka p(x) dapat diubah menjadi kalimat

tertutup yaitu:

“∀(x ).p(x) ” atau “∀(x )(x +1 > 0)”

dibaca untuk semua x bilangan real positif berlaku x +1 > 0 .

2) Kuantor Khusus ( Existensial Quantifeer )

Dilambangkan “ ∃ “.

Lambang “ ∃(y)” di baca : ada y yang berartipaling sedikit ada satu y.

Misal p(y) suatu kalimat terbuka dan

p(y) = (y +1 > 0).

Jika y = Himpunan semua bilangan real,

maka kalimat tertutup:

“∀(y).p(y). ”atau “∀ (y)(y +1 > 0)”

mempunyai nilai kebenaran yang salah.

Sedangkan

∃(y)(y +1 > 0)

dibaca ada y bilangan real sedemikian

hingga berlaku y+ 1 > 0.

Pernyataan tersebut bernilai Benar.

Negasi dari ∀(x) adalah ∃(x) begitu

juga sebaliknya.

Contoh negasi dari kalimat berkuantor:

1. ∀ : Semua karyawan rajin bekerja.

∃ : Ada karyawan yang malas bekerja.

2. ∃ : Ada siswa yang mengerjakan tugas.

∀ : Semua siswa tidak mengerjakan tugas.