P ELA K SA NAA N T A T A NAN K OT A SE H A T di Kelurahan ...
t
of 38
description
nice article
Transcript of t
-
Bab 7
FUNGSI TRIGONOMETRI
Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggu-naan dipanggil fungsi trigonometri. Fungsi trigonometri pada mulanya timbul dalampengajian sains pelayaran, sains pengukuran dan sains lain yang bergantung padahubungan di antara sudut dan sisi segitiga. Akan tetapi pada hari ini kebanyakanpenggunaan fungsi ini adalah dalam pengajian fenomenon gelombang seperti bunyi,haba, cahaya, keelektrikan, zik nuklear dan biologi. Fungsi ini juga digunakan apabilamengkaji fenomenon berkala iaitu keadaan dimana corak asas berulang berkali-kali.
7.1 Takrif Fungsi Trigonometri
Sebelum kita mentakrifkan fungsi trigonometri mari kita lihat tafsiran sudut atas sa-tah secara geometri. Misalkan dua garis lurus bertemu di titik O. Maka pemutaranterhadap titik O yang membawa satu garis itu kepada garis yang satu lagi dipanggilsudut. Jika pemutaran itu lawan arah jam maka sudut itu dikatakan sudut positif,manakala jika pemutaran itu ikut arah jam maka sudut itu dikatakan sudut negatif.Titik O dipanggil bucu sudut. Lihat Rajah 7.1.
0
0
Sudutpositif
Sudutnegatif
Sudut positif
Sudut negatif
0
0
Rajah 7.1: Sudut
Satu daripada cara mengukur sudut adalah dalam sebutan darjah. Satu putaranlawan arah jam yang lengkap adalah sama dengan ukuran 360 darjah (360). Denganini 180 ialah setengah putaran lawan arah jam; 120 ialah satu pertiga putaran lawan
193
-
194 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
arah jam; 270 ialah tiga perempat putaran arah jam; dan 45 bersamaan satuperlapan putaran arah jam.
Cara mengukur sudut yang lebih berguna adalah dalam sebutan panjang bertanda.Misalkan ialah sudut yang diperolehi apabila garis L1 diputarkan terhadap bucuO sehingga ia bertindih dengan garis L2 sebagaimana ditunjukkan Rajah 7.2. Binasatu bulatan berjejari 1 berpusat di O. Bulatan ini dipanggil bulatan unit. Panjangbertanda lengkok bulatan unit ini di antara L1 dan L2 adalah dipanggil ukuran radianbagi . Panjang bertanda bererti ukuran radian itu adalah positif jika lawan arahjam dan negatif jika arah jam. Lihat Rajah 7.2.
0
Bulatan unitL2
L1
|x|
L2
L1
x unitpanjang0
= x radian(x < 0)
= x radian(x > 0)
Rajah 7.2: Ukuran radian
Mengikut teori geometri satah, ukuran lilitan bulatan unit ialah 2. Jadi
360 = 2 radian180 = radian90 =
2radian
1 =
180radian
dan 1 radian =(
3602
) 57 18
Daripada hubungan ini ukuran sudut dapat ditukar daripada satu sistem unit kepadasistem unit lain. Sebagai contoh
127 = 127
180 2.217 radian
dan 37 radian =
(37180
) 77 9
Jadual berikut menunjukkan ukuran darjah dan radian sudut-sudut tertentu.
Darjah 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
Radian
6
4
3
223
34
56
32
2
Sekarang kita takrifkan fungsi trigonometri. Bagi sesiapa yang telah mempelajaritrigonometri cuba ingat kembali bahawa fungsi trigonometri boleh ditakrifkan secaraklasik, iaitu dalam sebutan nisbah sisi-sisi suatu segitiga tegak. Tetapi pendekatan ini
-
Seksyen 7.1: Fungsi Trigonometri 195
tidak mencukupi dalam kalkulus. Oleh itu kita takrifkan fungsi trigonometri dalamsebutan koordinat titik-titik atas bulatan unit seperti berikut.
Dua fungsi trigonometri yang asasi ialah sinus dan kosinus, biasanya diringkaskan sindan kos . Untuk mentakrifkan fungsi-fungsi ini kita lukiskan satu bulatan unit yangberpusat di asalan suatu sistem koordinat. Biarkan T satu titik atas bulatan unit yangjarak lengkoknya dari titik (1, 0) ialah x dengan x sebarang nombor nyata. (jika x < 0arah jam dan jika x > 0 lawan arah jam). Maka kos x ialah koordinat pertama T dansinx ialah koordinat kedua T . Sila lihat Rajah 7.3.
y
x
(x > 0)T (kos x, sin x)
x unit panjang
0
y
x
(0, 1) (0, 1)
0(1, 0)(1, 0)
|x| unit panjang
T (kos x, sin x)(x < 0)
Rajah 7.3: Takrif sin dan kos
Daripada takrif di atas, jelas fungsi sinus dan kosinus tertakrif untuk semua nombornyata. Jadi domain setiap fungsi itu ialah set nombor nyata. Oleh sebab koordinattitik atas bulatan unit adalah kurang daripada 1 atau sama dengan 1, maka julat fungsisinus dan kosinus ialah [1, 1].Oleh sebab setiap jarak lengkok atas bulatan unit berpadanan dengan suatu sudutdalam ukuran radian maka kita boleh kirkan sinx dan kos x sebagai fungsi bagi sudutx yang diukur dalam radian.
y
x
(0, 1)
(1, 0) (1, 0)
(0,1)4
2
32
(12
2, 1
2
2)
Rajah 7.4: Nilai sin dan kos sudut tertentu
Untuk nilai x tertentu, kosinus dan sinus dapat diperolehi dengan mudah. DaripadaRajah 7.4, kita dapati kos 0 = 1, sin 0 = 0; kos /4 =
2/2, sin/4 =
2/2; kos /2 =
0, sin/2 = 1; kos = 1, sin = 0; kos 3/2 = 0 dan sin 3/2 = 1.
-
196 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
Oleh sebab jarak di antara titik T (kos x, sinx) dengan asalan (0, 0) ialah 1, maka(kos x 0)2 + (sin x 0)2 = 1
Biasanya (kos x)2 ditulis kos 2x dan (sin x)2 ditulis sin 2x. Oleh itu kita mempunyaiidentiti berikut.
kos 2x + sin 2 x = 1
Empat fungsi trigonometri yang lain ditakrifkan dalam sebutan sin x dan kos x. Fungsi-fungsi itu ialah
tan x =sin xkos x
sek x =1
kos x
kot x =kos xsin x
kosek x =1
sin x
dengan tan ialah singkatan bagi tangen, kot singkatan kotangen, sek singkatansekan dan kosek singkatan kosekan.
Fungsi tangen dan sekan tidak tertakrif di semua nombor nyata x dengan kos x = 0,iaitu semua x dalam set S = {x | x = (2k + 1)/2}. Jadi domain fungsi tangendan sekan ialah semua nombor nyata kecuali nombor-nombor dalam set S. Serupanya,domain fungsi kotangen dan kosekan tidak tertakrif di semua x dengan sinx = 0, iaitusemua x dalam set K = {x | x = k}. Jadi domain dua fungsi ini ialah set semuanombor nyata yang bukan dalam set K.
Selalunya fungsi trigonometri lebih sesuai dilihat sebagai fungsi dengan domain yangterdiri daripada sudut-sudut bukan nombor. Dengan ini kita takrifkan sinus sudut xradian sebagai sinus nombor x. Takrif yang sama dibuat untuk fungsi trigonometrilain. Jadi
kos 60 = kos(3
radian)
= kos
3=
12
Jadual disebelah memberikan nilai-nilai fungsi trigonometri yang selalu digunakan.Nilai-nilai ini dikira dengan menggunakan takrif fungsi trigonometri. Cara penggiraanini dapat dilihat dalam Contoh 7.1.1 dan 7.1.2.
y
x(1, 0)(1, 0)
(0, 1)
0
34
T (22
,22)
Rajah 7.5: Nilai fungsi trigonometri bagi 3/4
CONTOH 7.1.1 Misalkan kita hendak mengira nilai fungsi-fungsi trigonometri bagix = 3/4. Titik T atas bulatan unit yang jarak lengkoknya dari titik (1, 0) ialah 3/4terletak di sukuan kedua (lihat Rajah 7.5). Koordinat bagi titik T ialah (2/2,2/2).
-
Seksyen 7.1: Fungsi Trigonometri 197
Darjah 180 90 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
x radian 2
0
6
4
3
223
34
56
32
2
sin x 0 1 0 12
2
2
3
21
3
2
2
212
0 1 0
kos x 1 0 1
32
2
212
0 12
22
32
1 0 1
tan x 0 013
1
3 3 1 13
0 0
sek x 1 1 23
22
2 2 22
23
1 1
kot x 0
3 113
0 13
1 3 0
kosek x 1 2 22
23
123
22
2 1
bererti tak tertakrif
Oleh itusin
34 =
2
2kos
34 =
2
2
tan34 =
sin 34kos 34
= 1 sek 34 =
1kos 34
= 22
CONTOH 7.1.2 Untuk mengira nilai fungsi trigonometri bagi x = /3 dan /6, kitagunakan takrif klasik bagi sinx dan kos x dan Rajah 7.6.
Segitiga dalam Rajah 7.6 ialah segitiga sisi sama, iaitu semua sisinya sama panjangdan masing-masingnya mempunyai panjang 2. Akibatnya, setiap sudut segitiga itu
2 2
1 1
6
3
3
Rajah 7.6: Nilai fungsi trigonometri bagi /3 dan /6
-
198 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
ialah 60 atau /3 radian. Dengan melukiskan satu garis pembahagi dua sama darisatu bucu kita telah membahagikan satu sudut kepada dua sudut yang sama, masing-masing /6 radian dan kita telah membahagikan satu sisi segitiga itu menjadi dua sisiyang sama panjang. Menurut teorem Pythagoras, tinggi segitiga itu ialah
3 kerana
12 + (
3)2 = 2. Oleh itu
sin
6= kos
3=
12
sin
3= kos
6=
32
tan
6= kot
3=
13
=
33
tan
3= kot
6=
3
sek
6= kosek
3=
23
=2
33
sek
3= kosek
6= 2
Biasanya untuk mencari nilai fungsi trigonometri secara langsung dengan menggu-nakan takrif dalam sebutan bulatan unit adalah tidak mudah kerana koordinat titikyang berpadanan dengan sebarang sudut amat sukar ditentukan. Jadi bagaimana kitamencari nilai fungsi trigonometri bagi sebarang sudut? Kita mempunyai beberapacara menyelesaikan masalah ini tetapi kita tidak akan mempelajarinya dalam buku ini.Kaedah menyelesaikan masalah itu akan dipelajari dalam kalkulus lanjutan. Jadualnilai fungsi trigonometri yang terdapat dalam buku jadual telah dibina dengan meng-gunakan kaedah-kaedah tersebut.
Latihan 7.1
1. Cari nilai fungsi trigonometri bagi nombor nyata berikut.
(a) 0.75 (b) /4 (c) 5/4 (d) 3/4(e) 74 (f) 5/4 (g) 3 (h) /3(i) 4/3 (j) 4/3 (k) 7/3 (l) 2/3
(m) 5/6 (n) 5/6
2. Dengan menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri, cari
(a) tan 1.04 (b) kot 52 (c) kot 1.25(d) tan 88 (e) sin 0.1833 (f) kos 71
(g) tan 0.2967 (h) sin 6 (i) kos 0.4189(j) sek 182 (k) kosek 1.2 (l) kosek 100(m) sek 0.72 (n) sek 421
3. Dengan menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri cari x dengan
(a) sin x = 0.8174 (b) kos x = 0.7214 (c) tan x = 5.1432(d) kot x = 4.3149 (e) sek x = 1.7142 (f) kosek x = 2.1317(g) sin x = 0.7112 (h) tan x = 3.2147 (i) kot x = 2.1498(j) sek x = 7.2141
-
Seksyen 7.2: Graf Fungsi Trigonometri 199
7.2 Graf Fungsi Trigonometri
Dalam seksyen ini kita akan lakarkan graf fungsi trigonometri atas satah koordinat.Kita mulai dengan fungsi sinus dan kosinus.
Perhatikan bahawa dua sudut yang ukuran radiannya berbeza sebanyak gandaan 2adalah berpadanan dengan titik yang sama atas bulatan unit kerana panjang lilitanbulatan unit ialah 2. Ini bermakna nilai fungsi sinus dan kosinus bagi kedua-duasudut itu adalah sama. Jika x ialah suatu daripada nombor itu maka bagi sebaranginteger n,
sin x = sin (x + 2n) dan kos x = kos (x + 2n)
iaitu bagi sebarang x,sin x = sin (x + 2) = sin (x + 4) = sin (x 2) = sin (x 4)
dan seterusnya. Fakta ini selalunya diperihalkan dengan menyatakan bahawa sinus dankosinus adalah fungsi berkala dengan kalaan 2.
Takrif 7.2.1
Jika p ialah suatu nombor positif terkecil sedemikian hinggaf(x + p) = f(x) bagi semua x, maka f(x) dikatakan fungsi berkaladengan kalaan p.
Kita juga dapat tunjukkan bahawa bagi sebarang integer n dan sebarang x dalamdomain fungsi yang berkaitan,
tan x = tan (x + n) kot x = kot (x + n)sek x = sek (x + 2n) kosek x = kosek (x + 2n)
Jadi tangen dan kotangen adalah fungsi berkala dengan kalaan dan sekan dan kosekanadalah fungsi berkala dengan kalaan 2.
Sebagai akibat penting daripada sifat perkalaan fungsi trigonometri ialah bagi sebarangnombor x, titik (x, sin x) dan (x+2n, sin (x+2n)) atas graf sinus terletak pada tinggiyang sama di atas (atau di bawah) paksi-x. Hal yang analog juga berlaku pada graffungsi kosinus. Untuk fungsi tangen titik (x, tan x) dan (x + n, tan (x + n)) adalahsama tinggi. Sekarang kita lakarkan graf fungsi sinus, kosinus dan tangen.
Untuk mendapatkan lakaran graf sin x dan kos x kita mesti tentukan tingkahlakunyadalam selang (0, 2). Dengan merujuk kepada bulatan unit kita dapat ketahuitingkahlaku fungsi-fungsi itu apabila x bertambah dari 0 ke 2. Tingkahlaku ini disim-pulkan dalam jadual disebelah.
Dengan menggunakan maklumat ini dan memplotkan beberapa titik yang diketahuikita boleh lakarkan graf fungsi sin x dan kos x dengan agak tepat. Sila lihat Rajah 7.7dan 7.8.
Untuk graf fungsi tangen, perhatikan bahawa dalam Rajah 7.9, OPQ serupa denganORS dan dengan itu
RS
OS=
PQ
OQatau
RS
1=
sin xkos x
atau RS = tan x
-
200 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
Apabila x bertambah dari sin x berubah dari kos x berubah dari
0 ke
20 ke 1 1 ke 0
2ke 1 ke 0 0 ke 1
ke32
0 ke 1 1 ke 032
ke 2 1 ke 0 0 ke 1
y
x 2 3
y = sin x
02
(2,1)
(2, 1)
( 32
,1)
(6, 12) ( 5
6, 12)
1
1
Rajah 7.7: Graf fungsi sinus
x
y
2 32
2
(,1) 1
(0, 1)(3, 12)
2
32
2 3
y = kos x
(,1)
(2, 1)(2, 1)
Rajah 7.8: Graf fungsi kosinus
y
x
R
P
Q SO
1
x
tan x
sinx
kos x
Rajah 7.9: OPQ serupa ORS
-
Seksyen 7.2: Graf Fungsi Trigonometri 201
sebagaimana yang ditunjukkan dalam Rajah 7.9. Jadi apabila x menokok daripada0 ke /2, tan x adalah positif dan menokok secara tak terhingga. Oleh itu apabilax /2, tan x dan kita tahu tan 0 = 0. Sila lihat Rajah 7.10 (a).Dengan menggunakan fakta bahawa tan (x) = tan x, kita boleh dapatkan graf tan xuntuk semua x di antara /2 dan /2 (lihat Rajah 7.11). Oleh sebab kalaan tan xialah maka grafnya adalah seperti yang dilakar dalam Rajah 7.12
y
x0 2
Rajah 7.10: Sifat graf fungsi tangen
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.. ...........................................................................
y
x02
2
tan x
Rajah 7.11: Graf fungsi tangen (2 < x < 2 )
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.y
x
t = tan x
32
22
02
32 2
Rajah 7.12: Graf fungsi tangen
Fungsi kotangen, sekan dan kosekan masing-masingnya digrafkan dalam Rajah 7.13,7.14 dan 7.15.
-
202 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
...
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
...
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
...
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
...y
x
y = kot x
52
32
2
2 0 2
32
2 52
Rajah 7.13: Graf fungsi kotangen
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.y
x
1
1
y = sekx
32
2 0 2 32 22
(,1) (,1)
Rajah 7.14: Graf fungsi sekan
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
.
1
y
x
1
y = kosek x
2 2 32
2
2
32
0
( 32
, 1)
(2,1)
(2, 1)
( 32
,1)
Rajah 7.15: Graf fungsi kosekan
-
Seksyen 7.2: Graf Fungsi Trigonometri 203
CONTOH 7.2.1 Pertimbangkan fungsi f(x) = 2 sin 3x. Untuk melakar graf 2 sin 3xperhatikan bahawa sin t = 0 jika dan hanya jika t = n dengan n sebarang integer.Jadi 2 sin 3x = 0 jika dan hanya jika 3x = n iaitu jika dan hanya jika x = n/3.Oleh sebab sin t terbesar (sama dengan 1) apabila t = (/2+2n); dengan n sebaranginteger, maka 2 sin 3x terbesar (sama dengan 2) apabila 3x = (/2+2n) iaitu apabilax = (/6 + 2n/3). Jadi apabila x bertambah dari 0 ke /6, f(x) berubah dari 0 ke 2dan apabila x menokok dari /6 ke /3, f(x) menyusut dari 2 ke 0. Seterusnya apabilax bertambah dari /3 ke /2, f(x) berkurang dari 0 ke 2 dan apabila x menokokdari /2 ke 2/3, maka f(x) menokok dari 2 ke 0. Jadi f(x) adalah berkala dengankalaan 2/3. Sila lihat Rajah 7.16. Bentuk graf 2 sin 3x serupa dengan graf sin x.
y
x
f(x) = 2 sin 3xy = sin x
2
6
1
2
0
1
2
6
3
2
56
43
56
Rajah 7.16: Graf fungsi 2 sin 3x
Secara am kalaan bagi fungsi sin kx ialah 2/k kerana
sin kx = sin (kx + 2) = sin k(x +
2k
)
Dengan ini jika x bertambah sebanyak 2/k, nilai sin kx tetap sama. Begitu jugakalaan bagi fungsi kos kx ialah 2/k kerana
kos kx = kos (kx + 2) = kos k(x +
2k
)
CONTOH 7.2.2 Pertimbangkan fungsi f(x) = 3kos 2x. Menurut fakta di atas,fungsi ini mempunyai kalaan 2/2 = . Bentuk grafnya sama dengan bentuk grafkos x kecuali nilai maksimumnya ialah f(0) = 3kos 0 = 3 dan nilai minimumnya ialahf(/2) = 3kos 2(/2) = 3kos = 3. Jadi grafnya berubah dari 3 ke 3. Sila lihatRajah 7.17.
Latihan 7.2
1. Cari semua nombor x dalam [0, 2] dengan kos 3x = 0.
2. Cari semua nombor x dalam [2, 3] dengan kos (x/3) = 0.
-
204 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
y
x
f(x) = 3kos 2xy = kos x
3
2
1
1
2
3
2
4
04
2
32
22
Rajah 7.17: Graf fungsi 3 kos 2x
3. Cari semua nombor x dalam [0, 4] dengan sin (x/4) = 0.
4. Tentukan kalaan fungsi berikut.
(a) f(x) = kos 4x (b) f(x) = 2 sin 5x(c) f(x) = 3 sin (x/3) (d) f(x) = kos (2x 3)(e) f(x) = 4 sin (2x + 1) (f) f(x) = tan 2x(g) f(x) = 2kot 4x (h) f(x) = tan 3x
5. Lakarkan graf fungsi berikut.
(a) f(x) = sin x (b) f(x) = sin 2x(c) f(x) = 3 kos x (d) f(x) = 2 sin x(e) f(x) = kos (x/3) (f) f(x) = tan 4x(g) f(x) = | sin x| (h) f(x) = 1 kos x(i) f(x) = 1 + sin x (j) f(x) = sin (x/3)(k) f(x) = 3 sin (x ) (l) f(x) = 2kos (x + )(m) f(x) = 3 sin 2(x /4) + 2 (n) f(x) = (1/2) kos (x /2) + 3
7.3 Identiti Trigonometri
Dalam seksyen ini kita akan mempelajari hubungan atau identiti di antara keenam-enam fungsi trigonometri itu. Identiti yang pertama telah kita terbitkan dalamSeksyen 7.1. Identiti itu ialah
sin 2x + kos 2x = 1 (7.1)
Persamaan ini dipanggil identiti kerana ia benar untuk semua x. Perhatikan bahawasin 2x = sin x2 dan kos 2x = kos x2 Sesungguhnya hubungan (7.1) ialah suatu pernya-taan teorem pythagoras bagi segitiga tegak OPQ dalam Rajah 7.9. Bagi sebarangsegitiga itlak, hubungan yang sah diberi oleh hukum kosinus.
-
Seksyen 7.3: Identiti Trigonometri 205
TEOREM 7.3.1 [Hukum Kosinus]
Dengan menggunakan tatatanda dalam Rajah 7.18, kita dapati
c2 = a2 + b2 2ab kos x (7.2)
a
bc
x radian
Rajah 7.18: Hukum kosinus
Untuk membuktikan Hukum Kosinus kita lukiskan segitiga itu dalam kedudukan ter-tentu seperti dalam Rajah 7.19.
x rad
y
A xa a
c
B
(b kos x, b sin x)
b x rad
0
y
x
bc
A0
(b kos x, b sin x)B
Rajah 7.19: Bukti hukum kosinus
Menurut formula jarak dan persamaan (7.1) kita dapati
c2 = (b kos x a)2 + (b sin x)2= b2kos 2x 2ab kos x + a2 + b2 sin 2x= b2(kos 2x + sin 2x) + a2 2ab kos x
c2 = b2 + a2 2ab kos xSekarang perhatikan keadaan dalam Rajah 7.20.
Menurut formula jarak|PQ|2 = (kos b kos a)2 + (sin a sin b)2
= kos 2b 2 kos a kos b + kos 2a + sin 2 a 2 sin a sin b + sin 2 b= 2 2(kos a kos b + sin a sin b)
-
206 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
y
xA(1, 0)
(0, 1)
Q(kos a, sin a)
P (kos b, sin b)
O
a rad
b rad
Rajah 7.20: Bukti hukum kosinus lagi
Sebaliknya dengan mengenakan hukum kosinus ke atas segitiga OPQ kita dapati
|PQ|2 = 12 + 12 2 kos (a b)= 2 2 kos (a b)
kerana (a b) ialah ukuran radian bagi sudut dibucu O. Dengan membandingkankedua-dua ungkapan di atas kita memperolehi identiti berikut.
kos (a b) = kos a kos b + sin a sin b (7.3)yang benar untuk semua nombor a dan b. Jika kita tulis (b) sebagai b maka
kos (a + b) = kos a kos (b) + sin a sin (b)tetapi ingat bahawa kos (b) = kos b dan sin (b) = sin b. Jadi kita mempunyaiidentiti
kos (a + b) = kos a kos b sin a sin b (7.4)Biarkan a = /2 dalam formula (7.3). Kita dapati
kos(2 b
)= kos
2kos b + sin
2sin b,
tetapi oleh sebab kos /2 = 0 dan sin /2 = 1, persamaan itu menjadi kos (/2 b) =sin b Seterusnya jika kita biarkan c = /2 b dalam persamaan ini, maka b = /2 cdan kita dapati sin (/2 c) = kos c. Oleh itu kita telah buktikan dua identiti berikut.
kos(2 x
)= sin x (7.5)
dan sin(2 x
)= kos x (7.6)
Formula yang serupa dengan (7.3) dan (7.4) bagi sinus hasil tambah dan beza duanombor menyusul daripada identiti-identiti di atas. Menggunakan persamaan (7.5),kita boleh tulis
sin (a + b) = kos(2 (a + b)
)= kos
([2 a
] b
)Menurut persamaan (7.3),
-
Seksyen 7.3: Identiti Trigonometri 207
sin (a + b) = kos(2 a
)kos b + sin
(2 a
)sin b
dan daripada persamaan (7.5) dan (7.6), kita dapati
sin (a + b) = sin a kos b + kos a sin b (7.7)
bagi semua nombor nyata a dan b.
Jika kita tulis a b sebagai a + (b) dan gunakan persamaan (7.2), kita dapatisin (a + (b)) = sin a kos (b) + kos a sin (b)
dan oleh sebab kos (b) = kos b dan sin (b) = sin b, maka identiti berikut menyusulsin (a b) = sin a kos b kos a sin b (7.8)
Seterusnya jika kita biarkan a = b = x dalam Formula (7.7) dan (7.8), maka kita akanmemperolehi identiti
sin 2x = 2 sin x kos x (7.9)dan kos 2x = kos 2x sin 2 x (7.10)
Oleh sebab kos 2x + sin 2 x = 1, persamaan (7.10) dapat ditulis sebagai
kos 2x = 2kos 2x 1 (7.11)atau kos 2x = 1 2 sin 2 x (7.12)
Dengan menggantikan x dengan x dalam Formula (7.11) dan (7.12) dan selepas sedikitpengolahan algebra kita perolehi dua identiti berikut.
kos 2x
2=
1 + kos x2
(7.13)
dan sin 2x
2=
1 kos x2
(7.14)
Identiti trigonogetri memang banyak bilangannya. Kebanyakan daripada identititrigonometri yang penting, kita senaraikan dalam jadual berikut. Kesemuanya adalahberguna tetapi kita tak perlu menghafal semua identiti itu. Kita cuma perlu ingatidentiti (7.1), (7.2), (7.4) dan (7.7). Identiti lain dapat kita terbitkan apabila diper-lukan.
CONTOH 7.3.1 Buktikan identiti
sin a kos b =12[sin (a + b) + sin (a b) ]
Penyelesaian Tambahkan identiti bagi sin (a+ b) dengan identiti bagi sin (a b). Kitadapati
sin (a + b) + sin (a b) = [sin a kos b + kos a sin b] + [sin a kos b kos a sin b]= 2 sin a kos b
Untuk mendapatkan identiti itu, bahagikan persamaan di atas dengan 2.
-
208 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
Identiti Trigonometri
kos 2x + sin 2 x = 1 sin (x) = sin x1 + tan 2 x = sek 2x kos (x) = kos x1 + kot 2x = kosek 2x tan(x) = tan x
sin(2 x
)= kos x sin
(2
+ x)
= kos x
kos(2 x
)= sin x kos
(2
+ x)
= sinx
tan(2 x
)= kot x tan
(2
+ x)
= kot x
sin ( x) = sin x sin ( + x) = sin xkos ( x) = kos x kos ( + x) = kos xtan ( x) = tan x tan ( + x) = tan x
tan(a + b) =tan a + tan b1 tan a tan b tan(a b) =
tan a tan b1 + tan a tan b
sin (a + b) = sin a kos b + kos a sin b
sin (a b) = sin a kos b kos a sin bkos (a + b) = kos a kos b sin a sin bkos (a b) = kos a kos b + sin a sin bsin 2x = 2 sin x kos x
kos 2x = kos 2x sin 2 x = 2kos 2x 1 = 1 2 sin 2 x
tan 2x =2 tan x
1 tan2x
sin 2x
2=
1 kos x2
atau sin 2 x =1 kos 2x
2
kos 2x
2=
1 + kos x2
atau kos 2x =1 + kos 2x
2
tanx
2=
sin x1 + kos x
=1 kos x
sin xatau tan x =
1 kos 2xsin 2x
sin a sin b =12[kos (a b) kos (a + b)]
kos a kos b =12[kos (a + b) + kos (a b)]
sin a kos b =12[sin (a + b) + sin (a b)]
-
Seksyen 7.3: Identiti Trigonometri 209
CONTOH 7.3.2 Terbitkan identiti bagi tan (a + b).
Penyelesaiantan (a + b) =
sin (a + b)kos (a + b)
=sin a kos b + kos a sin bkos a kos b sin a sin b
(bahagikan penyebut dan pembilang dengan kos a kos b)
=tan a + tan b1 tan a tan b
CONTOH 7.3.3 Cari (a) sin 15 dan (b) tan 22.5 tanpa menggunakan jadual ataumesin kira.
Penyelesaian (a) Dengan menggunakan identiti sin 2 x = (1kos 2x)/2 dan mengambilx = 15 = /12 radian, maka
sin 2
12=
1 kos 2(/12)2
=1 kos /6
2
=13/2
2
=23
4
Oleh itu sin /12 = (
23)/2 ( 0.2588).(b) Untuk mencari tan 22.5, gunakan identiti tan x = (1 kos 2x)/ sin 2x denganmengambil x = 22.5 = /8 radian. Dengan itu,
tan
8=
1 kos 2(/8)sin 2(/8)
=1 kos /4
sin /4
=1 (2)/2
(
2)/2
=22
2( 0.4142)
CONTOH 7.3.4 Jika sin x = 3/5 dan x [/2, 3/2], cari nilai lima fungsitrigonometri lain.
Penyelesaian Menggunakan identiti kos 2x + sin 2 x = 1,
kos 2x = 1 sin 2 x= 1
(35
)2
=1625
-
210 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
Jadi kos x = 4/5 atau 4/5. Oleh sebab x [/2, 3/2], kos x adalah negatif. Olehitu kos x = 4/5. Menurut takrif sek x dan kosek x, kita dapati
sek x =1
kos x=54
dan kosek x =1
sin x=53
.
Oleh sebab tan x = sin x/ kos x, maka
tanx =3/54/5 =
34.
Akhir sekali, kot x =1
tanx=
43.
Latihan 7.3
1. Buktikan identiti-identiti berikut.(a) kot (x) = kot x (b) tan (/2 x) = kot x(c) sek (/2 x) = kosek x (d) tan x = (1 kos 2x)/ sin 2x(e) sin 2 x = (1 kos 2x)/2(f) kos a kos b = [kos (a + b) + kos (a b)]/2(g) 1/(1 + tanx) = kot x/(1 + kot x)(h) kos 4x = 8kos 4x 8kos 2x + 1(i) (1 + sin 2x)/ kos 2x = (kos x + sin x)/(kos x sin x)(j) 2 kos 2A = (tan 3A + tanA)/(tan 3A tanA)(k) sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x(m) sin a + sin b = 2 sin ((a + b)/2) kos ((a b)/2)
2. Cari nilai fungsi berikut tanpa menggunakan jadual trigonometri atau mesin kira.(a) sin (/4) (b) kos (5/6) (c) kos (7/6) (d) sin (11/6) (e) kos (/24)(f) sin (7/4)
3. Permudahkan (a) sin (x 9/2) (b) sek (6 + x) (c) tan (x + 7/(2))(d) kos (a + /2) sin (b 3/2)
4. Buktikan hukum sinus (dengan menggunakan tatatanda dalam Rajah 7.21).sin xa
=sin y
b=
sin zc
c
b
ay
x
z
Rajah 7.21: Bukti hukum sinus
5. Cari nilai lima fungsi trigonometri yang lain jika tanx = 4/3 dan x [, 2].6. Buktikan bahawa sin 5/12 = (
6 +
2)/4 dengan mengembangkan
sin (/4 + /6).
-
Seksyen 7.4: Terbitan Fungsi Trigonometri 211
7.4 Terbitan Fungsi Trigonometri
Sebelum kita dapat menerbitkan formula bagi terbitan fungsi sinus kita perlu tahu satufakta had yang penting iaitu
hadx0
sin xx
= 1
Had ini adalah munasabah berdasarkan kepada pemerhatian secara geometri ke atasRajah 7.22. Perhatikan bahawa Q ialah titik (kos x, sin x) dan P ialah titik(kos x, sin x). Jadi panjang perentas PQ ialah 2 sin x dan lengkok PQ mempunyaipanjang 2x. Dengan ini
Panjang perentas PQPanjang lengkok PQ
=2 sin x
2x=
sin xx
y
x
P (kos x, sin x)
Q(kos x, sin x)
x
x
(1, 0)RO
x rad
-x rad
(0,1)
(0, 1)
sin x
sin x
Rajah 7.22: Fakta penting had
Secara segerak hati kita dapati apabila x 0, panjang perentas PQ akan menghampiripanjang lengkok PQ, dan dengan ini nisbah panjangnya akan mendekati 1. Oleh itukita buat kesimpulan berikut.
hadx0
sin xx
= 1
Dengan menggunakan fakta ini kita dapat menilai beberapa had yang melibatkan fungsitrigonometri.
CONTOH 7.4.1 Tunjukkan bahawa (a) hadx0
sin x = 0, (b) hadx0
kos x = 1 dan
(c) hadx0
(1 kos x)/x = 0.
Penyelesaian (a) hadx0
sin x = hadx0
sin xx
x
= hadx0
sin xx
hadx0
x
= 1 0 = 0
-
212 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
Oleh sebab sin 0 = 0, maka hadx0
sin x = sin 0. Jadi sin x selanjar di x = 0. Malahansin x selanjar di mana-mana sahaja.
(b) hadx0
kos x = hadx0
1 sin 2 x
=
hadx0
(1 sin 2 x)
=
1 0 = 1.Oleh sebab kos 0 = 1, maka had
x0kos x = kos 0. Dengan ini kos x juga selanjar di
x = 0. Sesungguhnya fungsi kos x selanjar di semua nombor nyata.
(c) hadx0
1 kos xx
= hadx0
1 kos xx
1 + kos x1 + kos x
= hadx0
1 kos 2xx(1 + kos x)
= hadx0
sin 2 xx(1 + kos x)
= hadx0
sin xsin xx
11 + kos x
= 0 1 12
= 0
Sekarang kita telah mempunyai maklumat yang cukup untuk mencari terbitan fungsi-fungsi trigonometri.
TEOREM 7.4.1 Jika f(x) = sin x maka f (x) = kos x.
Bukti Menurut takrif terbitan, jika f(x) = sin x, maka
f (x) = hadh0
f(x + h) f(x)h
= hadh0
sin (x + h) sin xh
= hadh0
sin x kos h + kos x sin h sin xh
= hadh0
( sin x + sin x kos h) + kos x sin hh
= hadh0
[ sin x(1 kos h)
h+ kos x
sin hh
]= ( sin x) 0 + (kos x) 1= kos x
Dengan menggunakan petua rantai, Teorem 7.4.1 dapat diperluaskan menjadi
Dx sin f(x) = (kos f(x))Dx f(x)
dengan f(x) suatu fungsi terbezakan.
-
Seksyen 7.4: Terbitan Fungsi Trigonometri 213
CONTOH 7.4.2 Jika g(x) = sin (4x2 3), makag(x) =
(kos (4x2 3)) (4x2 3)
= 8x kos (4x2 3)CONTOH 7.4.3 Untuk mencari Dx sin 4 x, perhatikan bahawa sin 4 x ialah kuasasin x. Jadi dengan menggunakan petua kuasa
Dx sin 4 x = (4 sin 3 x) Dx sin x= 4 sin 3 x kos x
CONTOH 7.4.4 Dengan menggunakan petua kuasa dua kali kita dapati
Dx(1 sin 2 x)1/2 = 12(1 sin2 x)1/2Dx(1 sin 2 x)
=12(1 sin 2 x)1/2(2 sin x)Dx sin x
= (1 sin 2 x)1/2 sin x kos x=
sin x kos x(1 sin 2 x)1/2
Seterusnya mari kita cari terbitan fungsi kosinus. Teorem berikut memberi jawapanyang kita kehendaki.
TEOREM 7.4.2 Jika f(x) = kos x, maka f (x) = sin x.
Bukti. Dengan menggunakan identiti
kos x = sin(2 x
)dan sin x = kos
(2 x
)kita dapati Dx kos x = Dx sin
(2 x
)= kos
(2 x
)Dx
(2 x
)= sin x (1)= sin x
Penggabungan teorem ini dengan petua rantai menghasilkan formula berikut.
Dx kos f(x) = sin f(x) Dxf(x)dengan f(x) suatu fungsi terbezakan.
CONTOH 7.4.5 Dengan menggunakan petua kuasa dan petua di atas kita dapat cariterbitan berikut dengan mudah.
(a) Dx kos x3 = sin x3Dx(x3) = 3x2 sin x3.(b) Dxkos 5x2 = 5kos 4x2 Dx(kos x2)
= 5kos 4x2 ( sinx2) Dx(x2)= 10xkos 4x2 sin x2
-
214 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
(c) Dxkos 2(ln x) = 2kos (lnx)Dx(kos (lnx))
= 2kos (lnx)( sin (ln x) Dx(lnx))=
2x
kos (lnx) sin (lnx)
Dengan menggunakan terbitan fungsi sinus dan kosinus kita dapat mencari terbitanempat fungsi trigonometri yang lain. Kita tunjukkan caranya dalam contoh berikut.
CONTOH 7.4.6 Dengan menggunakan petua hasil bahagi kita dapati
Dx(tan x) = Dx
(sin xkos x
)
=(kos x)Dx sin x (sin x)Dx kos x
kos 2x
=kos 2x + sin 2 x
kos 2x
=1
kos 2x= sek 2x
Oleh itu Dx(tan x) = sek2x
Dengan cara yang serupa kita dapat sahkan formula berikut.Dx(kot x) = kosek 2xDx(sek x) = sek x tan x
Dx(kosek x) = kosek x kot xPenggabungan formula-formula ini dengan petua rantai menghasilkan
Dx(tan f(x)) = sek 2f(x) Dxf(x)Dx(kot f(x)) = kosek 2f(x) Dxf(x)Dx(sek f(x)) = sek f(x) tan f(x) Dxf(x)
Dx(kosek f(x)) = kosek f(x) kot f(x) Dxf(x)dengan f(x) ialah fungsi terbezakan.
CONTOH 7.4.7 Terbitan-terbitan berikut dapat dicari dengan mudah menggunakanpetua rantai.
(a) Dx tan x5/2 = sek 2x5/2 Dx(x5/2)=
52x3/2sek 2x5/2
(b) Dxkot 2(x3 + x) = 2kot (x3 + x)(kosek 2(x3 + x) Dx(x3 + x)= 2 kot (x3 + x)kosek 2(x3 + x) (3x2 + 1)= 2(3x2 + 1) kot (x3 + x)kosek 2(x3 + x)
(c) Dxsek 4x = 4sek 4x Dx(sek x)= 4sek 3x tan x
(d) Dxkosek 2x3 = 2kosek x3( kosek x3 kot x3) Dx(x3)= 2kosek 2x3 kot x3 (3x2)= 6x2kosek 2x3 kot x3
-
Seksyen 7.5: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 215
CONTOH 7.4.8 Cari dy/dx jika x sin y + y sin x = 1.
Penyelesaian Bezakan persamaan itu secara tersirat terhadap x. Kita dapati
1 sin y + x kos y dydx
+dy
dxsin x + y kos x = 0
dy
dx(x kos y + sin x) = (sin y + y kos x)
dy
dx= sin y + y sin x
x kos y + sin x
Latihan 7.4
1. Cari f (x) bagi fungsi berikut.
(a) f(x) = 3 sin 5x (b) f(x) = 4 sin 2x(c) f(x) = sin (x2 + x) (d) f(x) = sin 2 (x3)(e) f(x) = kos (4x3 x2) (f) f(x) = sin (xex)(g) f(x) = (sin x)2(kos x) (h) f(x) = xsin x
(i) f(x) = kos (x2 + ex) (j) f(x) = ln | sin 4x|(k) f(x) = tan (kos x2) (l) f(x) =
sin 2 x + kos x2
2. Cari terbitan fungsi berikut.
(a) y = ln | sek x| (b) y = (sin x)/(1 kos x)(c) y = tan 3 (x/3) (d) y = ekos x
(e) y = sek 2x (f) y = ex kot x2
(g) y = (kos x)sin x (h) y = (ln sin x)ex
3. Dengan menggunakan pembezaan secara tersirat cari dy/dx
(a) kos x = sin y (b) x sin y + y sin x = 1(c) ln y = sin (x + y) (d) kos y = sin (x + y)(e) y = kos (x y) (f) y sin y = kos (x + y)
7.5 Pengkamiran Fungsi Trigonometri
Formula kamiran tak tentu bagi fungsi sinus dan kosinus menyusul secara langsungdaripada formula pembezaan yang berkaitan.
Oleh sebab Dx sin x = kos x, makakos x dx = sin x + C
Oleh sebab Dx( kos x) = sin x, makasin x dx = kos x + C
-
216 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
Dengan cara yang serupa, formula pembezaan lain dalam seksyen terdahulu dapatditulis semula sebagai formula pengkamiran berikut.
sek 2x dx = tan x + Ckosek 2x dx = kot x + C
sek x tan x dx = sek x + Ckosek x kot x dx = kosek x + C
CONTOH 7.5.1 Cari luas rantau di bawah graf kosinus dari /2 ke /2.Penyelesaian Luas yang dikehendaki sama dengan /2
/2kos x dx
Dengan menggunakan teorem asasi kalkulus, /2/2
kos x dx =[sinx
]/2/2
= sin
2 sin
(
2
)= 1 (1) = 2.
CONTOH 7.5.2 Hitung
sin 3x dx.
Penyelesaian Biarkan u = 3x, maka du = 3 dx. Jadisin 3x dx =
13sin u du
=13( kos u) + C
= 13kos 3x + C
Kamiran tak tentu fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan tidak mudah diperolehi.Formula kamiran tak tentu fungsi tangen diterbitkan seperti berikut. Oleh sebab
tan x dx =
sin xkos x
dx
kita biarkan u = kos x. Jadi du = sin x dx dan kita dapatitan x dx =
du
u
= ln |u|+ C= ln | kos x|+ C= ln | kos x|1 + C
= ln 1kos x
+ C= ln | sek x|+ C
-
Seksyen 7.5: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 217
Untuk mencari
kot x dx kita biarkan u = sin x. Jadi du = kos x dx dan kita dapatikot x dx =
kos xsin x
dx
=
du
u
= ln |u|+ C= ln | sinx|+ C
Untuk mengkamirkan
sek x dx, kita darabkan pembilang dan penyebut yang dikamirdengan ungkapan (sek x + tan x). Kita dapati
sek x dx =
sek x(sek x + tan x)sek x + tan x
dx
=
sek 2x + sek x tan xsek x + tan x
dx
Biarkan u = sek x + tan x. Maka du = (sek x tan x + sek 2x) dx. Jadisek x dx =
du
u
= ln |u|+ C= ln | sek x + tan x|+ C
Kita gunakan teknik yang sama untuk mendapatkan formula bagi
kosek x dx.Darabkan pembilang dan penyebut yang dikamir dengan ungkapan (kosek x kot x).Kita dapati
kosek x dx =
kosek x(kosek x kot x)kosek x kot x dx
=
kosek 2x kosek x kot xkosek x kot x dx
Biarkan u = kosek x kot x, makadu = { kosek x kot x (kosek 2x)} dx = (kosek 2x kosek x kot x) dx.
Jadi kosek x dx =
du
u
= ln |u|+ C= ln | kosek x kot x|+ C
Kita kumpulkan keempat-empat kamiran yang kita telah terbitkan di atas.tan x dx = ln | sek x|+ Ckot x dx = ln | sin x|+ C
sek x dx = ln | sek x + tan x|+ C
kosek x dx = ln | kosek x kot x|+ C
-
218 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
CONTOH 7.5.3 Hitung
kot 3x dx.
Penyelesaian Biarkan u = 3x. Jadi du = 3 dx dankot 3x dx =
13
kot u du
=13ln | sin u|+ C
=13ln | sin 3x|+ C
CONTOH 7.5.4 Cari(1/ kos 2x) dx.
Penyelesaian Biarkan u = 2x. Jadi du = 2 dx dan1
kos 2xdx =
sek 2x dx
=12
sek u du
=12ln | sek u + tan u|+ C
=12ln | sek 2x + tan 2x|+ C
CONTOH 7.5.5 Hitung
x2kosek 2x3 dx.
Penyelesaian Biarkan u = x3. Maka du = 3x2 dx atau x2 dx = du/3. Jadix2kosek 2x3 dx =
13
kosek 2u du
=13( kot u) + C
= 13kot x3 + C
CONTOH 7.5.6 Kamirkan
kos 5x sin x dx.
Penyelesaian Biarkan u = kos x. Maka du = sin x dx dankos 5x sin x dx =
u5 du
= u6
6+ C
= 16kos 6 + C
CONTOH 7.5.7 Kira (a)
kos 3x dx dan (b)
sin 3 x dx.
Penyesaian (a) Kita tulis kos 3x = kos 2xkos x = (1sin 2 x) kos x. Biarkan u = sin x,maka du = kos x dx dan
-
Seksyen 7.5: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 219
kos 3x dx =
(1 sin 2 x) kos x dx
=
(1 u2) du
= u u3
3+ C
= sin x sin3x
3+ C
(b) Kita tulis sin 3 x = sin 2 x sin x = (1 kos 2x) sin x dan kita biarkan u = kos x.Maka du = sin x dx dan
sin 3 dx =
(1 kos 2x) sin x dx
=
(1 u2) (du)
= u + u3
3+ C
= kos x + kos3x
3+ C
CONTOH 7.5.8 Hitung (a)
kos 4x dx dan (b)
sin 2 x dx.
Penyelesaian (a) Kita gunakan identiti kos 2x = (1 + kos 2x)/2. Jadi
kos 4x dx =
(1 + kos 2x
2
)2dx
= (
14
+12kos 2x +
14kos 22x
)dx
=14x +
12sin 2x
2+
14
(1 + kos 4x
2
)dx
=14x +
14sin 2x +
18x +
18sin 4x
4+ C
=38x +
14sin 2x +
132
sin 4x + C
(b) Kita gunakan identiti sin 2x = (1 kos 2x)/2. Jadisin 2 x dx =
(1 kos 2x
2
)dx
=
12
dx
kos 2x2
dx
=12x 1
4sin 2x + C
Untuk mencari kamiran tak tentu trigonometri yang lebih rumit kita perlu gunakanteknik pengkamiran seperti penggantian dan pengkamiran bahagian demi bahagian.Teknik ini akan dipelajari dalam bab kelapan.
-
220 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
Latihan 7.5
1. Nilaikan kamiran berikut.
(a)
(2 kos x 3 sin x) dx (b)
(2 kos 5x + 2 sin 3x) dx
(c)
kos (4x 2) dx (d)
tan 2x dx
(e)
sin x kot x dx (f)
kosek (2 3x) dx
(g)
sin (x/2 + 1) dx (h)
sek 2x tan 2x dx
2. Hitung kamiran berikut.
(a)
sin x/(1 kos x) dx (b)
x sin x2 dx (c)
x kos (3x2 1) dx
(d)
x2 kosek (2x3) dx (e)
x sek x2 tan x2 dx (f)
(sin (lnx))/x dx
3. Cari
(a)
sin 4 x dx (b)
kos 2x dx (c)
sin 5 x dx
(d)
kos 5x dx (e)
sin x kos x dx (f)
sin 5 x kos x dx
(g)
kos 3x sin 2 x; dx (h)
tan 2 x dx (i)
sek 3x tan x dx
(j)
sin 2 x kos 4x dx (k)
sin 3 x kos 4x dx (l)
sin 3x kos 2x dx
4. Cari luas rantau yang dibatasi oleh satu lengkok daripada y = 2kos 3x denganpaksi-x.
5. Cari isipadu pepejal yang terjana jika rantau yang terbatas oleh satu lengkoky = sin x dengan paksi-x dikisarkan mengelilingi paksi-x.
7.6 Fungsi Trigonometri Songsang
Kali pertama konsep fungsi songsang dibincangkan ialah dalam bab pertama. Bukansemua fungsi mempunyai fungsi songsang. Cuma fungsi satu-ke-satu sahaja yang mem-punyai fungsi songsang. Sebagai contoh fungsi y = lnx dan y = ex mempunyaifungsi songsang dan mereka adalah songsang satu daripada yang lain (lihat Seksyen6.3). Fungsi y = x2 tidak mempunyai songsang kerana ia bukan fungsi satu-ke-satu.Akan tetapi jika domainnya dibataskan kepada [0,), maka y = x ialah fungsisongsangnya.
-
Seksyen 7.6: Fungsi Trigonometri Songsang 221
Sekarang sila rujuk kepada graf fungsi sinus dalam Rajah 7.7. Kita dapati sinus bukanfungsi satu-ke-satu. Dengan ini fungsi sinus tidak mempunyai songsang. Akan tetapijika domainnya dibataskan kepada [/2, /2], maka ia menjadi fungsi satu-ke-satu(lihat Rajah 7.23). Jadi fungsi sinus dengan domain yang terbatas ini mempunyaifungsi songsang. Songsangnya dipanggil fungsi sinus songsang dan dilambangkandengan simbol sin1.
.......................
...
...
...
...
...
...
...
..y
x
1
0
1
2
2
Rajah 7.23: Fungsi sinus dalam domain [/2, /2]
Takrif 7.6.1
Fungsi sinus songsang yang ditulis y = sin1x ditakrifkan sepertiberikut.
y = sin1x jika dan hanya jika x = sin y dan 2 y
2
Kadang-kadang fungsi y = sin1 x dipanggil fungsi lengkok sinus dan ditulis y =lengsin x. Perhatikan di sini bahawa sin1 x = (sin x)1 walaupun tatatanda sin 2 xbererti (sin x)2. Domain sin1 x ialah selang tertutup [1, 1] dan julatnya selang ter-tutup [/2, /2]. Untuk mendapatkan graf y = sin1 x, mula-mula kita lukis grafy = sin x untuk x [/2, /2] dan kemudian lukiskan imejnya terhadap garis y = x.Lihat Rajah 7.24.
Satu cara mencari nilai fungsi sinus songsang sin1a ialah dengan mencari nomboryang sinusnya sama dengan a. Sebagai contoh sin1 1/2 = /6 kerana sin /6 = 1/2dan sin1 (3/2) = /3 kerana sin (/3) = 3/2. Ingat bahawa sin1 x mestiberada dalam selang [/2, /2]. Jadi walaupun sin 5/6 = 1/2, sin1 1/2 = 5/6kerana 5/6 [/2, /2].Yang berikut menyusul daripada takrif di atas.
sin (sin1 x) = x bagi x [1, 1]dan sin1 (sin y) = y bagi y [/2, /2]
Fungsi sinus songsang yang dibincangkan setakat ini adalah diperolehi dengan memba-taskan domain fungsi sinus kepada selang [/2, /2]. Akan tetapi fungsi sinus adalah
-
222 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
......................................................................................................................y = x
y = sin1 x
y = sin x
y
x
2
1
1
2
(1, 2)
(2, 1)
(1,2)
(2,1)
12
1 2
0
Rajah 7.24: Graf fungsi sinus songsang
fungsi satu-ke-satu juga dalam selang-selang lain, misalnya [3/2,/2], [/2, 3/2]dan [3/2, 5/2]. Jadi dalam setiap selang ini fungsi sinus juga mempunyai songsang.Selang [/2, /2] dipilih kerana ia mengandungi nombor 0 dan grafnya menokokdalam selang itu.
Fungsi kosinus juga tidak mempunyai fungsi songsang atas alasan yang sama den-gan fungsi sinus. Akan tetapi jika kita bataskan domainnya kepada selang tertentumaka fungsi kosinus menjadi satu-ke-satu (lihat grafnya dalam Rajah 7.8) dan oleh itumempunyai fungsi songsang. Untuk fungsi kosinus kita pilih selang [0, ]. Rajah 7.25menunjukkkn graf fungsi kosinus dengan domain terbatas [0, ]. Julatnya ialah [1, 1].Oleh sebab fungsi ini satu-ke-satu maka ianya mempunyai fungsi songsang yang di-panggil fungsi kosinus songsang dan diberi lambang kos1.
y
x
1
0
1
2
Rajah 7.25: Graf fungsi kosinus dalam [0, ]
-
Seksyen 7.6: Fungsi Trigonometri Songsang 223
Takrif 7.6.2
Fungsi kosinus songsang yang ditulis y = kos1x ditakrifkan sepertiberikut.
y = kos1x jika dan hanya jika x = kos y dan 0 y
Domain fungsi y = kos1x ialah selang tertutup [1, 1] dan julatnya ialah selangtertutup [0, ]. Grafnya ialah imej graf y = kos x bagi x [0, ] terhadap garis y = x.Sila lihat Rajah 7.26
............................................................................................
y
x
(1, )
(,1)
2
2
1
11
1
y = x
0
y = kos1 x
y = kos x
Rajah 7.26: Graf fungsi kosinus songsang
Fungsi kosinus songsang y = kos1x juga dipanggil fungsi lengkok kosinus dan ditulisy = lengkos x. Untuk mencari nilai kos1a kita cari nombor b dengan kos b = a.Sebagai contoh, kos11/2 = /3 kerana kos /3 = 1/2 dan kos1(1) = keranakos = 1. Akan tetapi kos1(1) = 2 walaupun kos 2 = 1 kerana 2 / [0, ].Ingat kos1x mesti berada dalam selang [0, ].
Menurut takrif kos1 kita dapati
kos (kos1x) = x bagi x [1, 1]dan kos1(kos y) = y bagi y [0, ]
CONTOH 7.6.1 Cari (a) sin11.3, (b) kos1(kos /2), (c) sin (sin1 1/2), dan(d) kos (sin1 x) bagi x [1, 1] dalam sebutan x.
Penyelesaian (a) sin1 1.3 tak wujud kerana 1.3 / [1, 1].(b) kos1(kos ) = kos1(1) = .(c) sin (sin1 1/2) = sin /6 = 1/2.
-
224 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
(d) Untuk mencari kos (sin1x) bagi x [1, 1], mula-mula kita tulis y = sin1 x.Maka x = sin y dan y [/2, /2]. Jadi kos (sin1 x) = kos y =
1 sin 2 y =
1 x2. Oleh sebab y [/2, /2], maka kos y 0. Oleh itu kos (sin1 x) =+
1 x2.
CONTOH 7.6.2 Nilaikan sin (kos1x) bagi x [1, 1] dalam sebutan x.
Penyelesaian Biarkan y = kos1x bagi x [1, 1]. Maka x = kos y dan y [0, ].Oleh itu sin (kos1x) = sin y =
1 kos 2y = 1 x2. Tetapi sin y 0 kerana
y [0, ]. Jadi sin (kos 1x) = +1 x2.Seperti fungsi sinus dan kosinus, fungsi tangen juga mempunyai fungsi songsang jikakita bataskan domainnya. Jika kita bataskan fungsi tangen kepada selang terbuka(/2, /2), maka fungsi tangen adalah satu-ke-satu (lihat Rajah 7.27). Dengan iniia mempunyai fungsi songsang yang kita panggil fungsi tangen songsang dan diberilambang tan1.
.................................................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.....................................................................................
.....................................................................................
y
x
y = tan1 x
y = tan x
2
2
2
2
0
y = x
Rajah 7.27: Graf fungsi tangen songsang
Takrif 7.6.3
Fungsi tangen songsang yang ditulis y = tan1 x ditakrifkan sepertiberikut.
y = tan1 x jika dan hanya jika x = tan y dan 2
< y 0
1a2 + x2
dx =1a
tan1x
a+ C
CONTOH 7.6.7 Nilaikan
(a)
11 + 9x2
dx (b) 1
1 4x2 dx (c)
1x2 + 4x + 8
dx
Penyelesaian (a) Biarkan u = 3x, maka du = 3 dx. Jadi1
1 + 9x2dx =
13
1
1 + u2du
=13tan1 u + C
=13tan13x + C
(b) Oleh sebab
1 4x2 = 4(1/4 x2)2 = 21/4 x2 maka 11 4x2 dx =
12
11/4 x2 dx
=12kos1
(x
1/2
)+ C
=12kos12x + C
(c) Lengkapkan kuasa dua ungkapan x2 + 4x + 8.
x2 + 4x + 8 = (x2 + 4x + 4) + 4 = (x + 2)2 + 4 = u2 + 4
dengan u = x + 2. Jadi 1
x2 + 4x + 8dx =
1
4 + u2du
=12tan1
u
2+ C
=12tan1
x + 22
+ C
-
230 Bab 7. FUNGSI TRIGONOMETRI
Latihan 7.6
1. Nilaikan nombor berikut.(a) sin1 (1) (b) kos1(1/2) (c) tan1 (1)(d) kot 1 (1) (e) sek1(2/
3) (f) kosek1 (2/
3)
(g) sin1 (1/2) (h) kos1(1/2) (i) sin1 (
3/2)
2. Cari nilai nombor berikut.(a) kos (sin1 (
3/2)) (b) sin (tan1(1/
2))
(c) kot (sek1(1)) (d) tan (2 kosek 1 (5/4))(e) kos (2 tan 1(5/12)) (f) kos (tan1 (0))(g) sek (sin1 (4/5)) (h) sin(4kos 1(3/5))(i) tan (sin1 (1/2)) (j) kot (2 sin1(
3/2))
3. Adakah kot1x = 1/(tan1 x)?
4. Lakarkan graf fungsi berikut.(a) y = sin1 (x/3) (b) y = sin1 (3x) (c) y = 2 tan1 x(d) y = kos12x
5. Cari terbitan fungsi berikut.(a) f(x) = 3 sin1 2x (b) g(x) = sin1 (x/3)(c) f(t) = kos1(4t) (d) f(x) = x2kos1(2x)(e) F (x) = tan1(2/x) (f) f(t) = 3t tan1 (2t2 + t)(g) f(y) = y sin1 (3y) (h) g(x) = kos1(sin x)(i) F (s) = sin1 (tan s) (j) f9x) = ln(tan1(2x)
6. Cari dy/dx jika(a) kos1(x y) = sin1(xy) (b) x sin y + x2 = tan1 y
7. Nilaikan kamiran berikut.
(a)
14 x2 dx (b)
1
1 + 4x2dx (c)
1
9 + x2dx
(d)
1x2 + 4x + 5
dx (e) 1
25 4x2 dx (f)
x + 14 x2 dx
(g) 01/2
11 x2 dx (h)
01
11 + x2
dx (i)
9 x2 dx
(j)
19 (x 1)2 dx
8. Takrifkan fungsi kotangen, kosekan dan sekan songsang. Rujuk kepada graf kotan-gen, kosekan dan sekan untuk menentukan pembatasan domain yang wajar.
