Taburan Normal

Bab 7 : Taburan Normal

7.1 Pengenalan

7.2 Taburan Normal Piawai

7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z

7.2.2 Mendapatkan skor z apabila diberi kebarangkalian

7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal

7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normal

7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan binomial

Bab 7 - Taburan Normal 2

7.1 PengenalanDefinisi:

Jika satu pembolehubah rawak selanjar mempunyai taburan di mana graf adalah simetri dan berbentuk loceng, kita katakan ia tertabur normal atau mempunyai taburan normal.

Min =

Sisihan piawai =

Lengkung berbentuk loceng dan simetri


7.1 Pengenalan

Parameter bagi lengkung normal >> min, dan sisihan piawai,

Lengkung normal simetri sekitar min Serakan taburan normal bergantung

kepada sisihan piawai– Semakin besar >> lengkung menjadi

semakin mendatar


7.1 Pengenalan

= 1

= 0.5

= 2

= 1 = 2 = 5

Rajah 2


7.1 Pengenalan

Satu lengkung normal akan mempunyai ciri-ciri berikut:

1. Berbentuk loceng

2. Simetri sekitar min

3. Menghampiri paksi melintang tetapi tidak akan menyentuh apabila di luar julat -3 hingga +3


7.1 Pengenalan

- 3 - 2 - 1 +1 + 2 + 3

Rajah 3


7.2 Taburan normal piawai

Taburan normal piawai adalah taburan kebarangkalian normal yang mempunyai

min, = 0 dan sisihan piawai, = 1


7.2 Taburan normal piawai

-2 -1 0 1 2

Kawasan = 0.3413

Dengan = 0 dan = 1, mudahkan utk mengira kawasan dibawah lengkung. Luas kawasan di bawah lengkung = 1

Rajah 4



Daripada rajah 4, kawasan di bawah lengkung adalah 0.3413

Untuk mengetahui kawasan tersebut (juga dirujuk sebagai kebarangkalian), rujuk kepada jadual taburan normal piawai.


7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zPanduan jadual taburan normal piawai:

1. Jadual ini hanya boleh digunakan untuk taburan normal piawai yang mempunyai = 0 dan = 1.

2. Nilai2 yg terdapat dalam jadual menunjuk kpd kawasan di bawah lengkung. Ada bny jenis jadual.

3. Skor z = jarak pada skala melintang bagi taburan normal piawai; rujuk di sebelah kiri dan atas jadual.

4. Kawasan = luas dibawah lengkung; nilai di dalam ruang tengah jadual.



0 z = 1.58

Kawasan = 0.4429


Contoh 1:

Sykt Precision Scientific Instrument mengeluarkan termometer yg memberi bacaan 0C pada tahap beku air. Ujian yg dijlankan ke atas satu sampel termometer tersebut mendapati sesetengah termometer memberi bacaan di bawah 0C pada tahap beku air manakala sebahagian memberi bacaan di atas 0C. Andaikan min bacaan adalah 0C dan sisihan piawai adalah 1.00C serta bacaan suhu adalah bertaburan normal. Jika satu termometer dipilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian bahawa pada tahap beku air bacaan adalah 0C dan 1.58C.


Contoh 1: Penyelesaian

Dapatkan kawasan di antara 0 dan z. z = 1.58

0 z = 1.58

Kawasan = 0.4429


Contoh 2:

Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan di antara –2.43C dan 0C pada tahap beku air.

z = -2.43 0 0 z = 2.43

Kawasan = 0.4925


Contoh 3:

Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan lebih daripada 1.27C pada tahap beku air.

0 z = 1.27

Kawasan = 0.1020


Contoh 4:

Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan di antara 1.27C dan 2.30C pada tahap beku air.

0 z = 1.27 z = 2.30

Kawasan = 0.0913


Kebarangkalian juga boleh menggunakan notasi-notasi seperti berikut:

P(a < z < b) Kb bagi skor z berada di antara a dan b

P(z > a) Kb bagi skor z lebih besar daripada aP(z < a) Kb bagi skor z lebih kecil daripada a Bagi cth 4, dgn menggunakan notasi

P(1.27< z <2.30) = 0.0913



Bagi taburan kebarangkalian selanjar seperti taburan normal, kebarangkalian untuk mendpat nilai yg tepat adalah 0, iaitu P(z = a)= 0.

Misalnya, kebarangkalian mendpt seseorg secara rawak yg mempunyai ketinggian tepat 165.79 cm adalah 0.




x x

Lebih daripada xBesar daripada xTidak kurang daripada xSekurang-kurangnya x



Kurang daripada xTidak lebih daripada x

x x x



Di antara x1 dan x2

x1 x2 x1 x2


7.2.2 Mendapatkan skor z apabila diberi kebarangkalianContoh 5:

Guna cth yg sama, dapatkan suhu yang berkaitan dengan P95, persentil ke –95.

0 z

95% 5%

5% = 0.05

Dari itu z = 1.645


Contoh 6:

Guna contoh yg sama, dapatkan P10, persentil ke-10

x z 0

10% 90%

40% = 0.4

Dari itu z = -1.28



Satu pembolehubah yg tertabur normaldengan min, = 0 dan sisihan piawai, = 1

dikatakan mempunyai taburan normalpiawai.

Dari segi praktikal tidak dapatmin, = 0 dan sisihan piawai, = 1,

tapi perolehi taburan normal am.



Tukar taburan normal am kepada taburan normal piawai menggunakan rumus

z = x -



Apabila diberi taburan normal, anda boleh menggunakan jadual taburan normal piawai

untuk mendapatkan kebarangkalian atauskor z seperti sub topik sebelum ini dengan

syarat nilai ditukar kpd skor z dahulu.


7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normalBerikut merupakan prosidur utk mendapatkan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak dengan taburan normal.1. Lakarkan lengkung normal, labelkan min dan nilai x.2. Lorekkan kawasan yg dikehendaki.3. Utk nilai x iaitu sempadan kawasan yg berlorek

gunakan formula z = x -

utk menukarkan nilai kpd skor z.4. Rujuk jadual utk mendptkan kebarangkalian


Contoh 7:Dlm merekabentuk semula tempat duduk jet utk

disesuaikan dgn juruterbang wanita, didapati berat wanita adalah bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Jika seorg wanita dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian dia mempunyai berat di antara 143 lb dan 201 lb.

Lakar lengkung normal dan lorek kawasan yg dikehendaki.

143 201 x (berat)


Contoh 7: (Samb)

0 2.00

Katakan X : berat ~ N(143, 292)Tukarkan nilai kepada skor z, Z~N(0,1)

00229

143201

.

x

z

Dari itu P(143 < x <201) = P(0 <z < 2.00) = 0.4772


Contoh 8:Katakan rekabentuk tempat duduk jet yg asal boleh

menampung berat lelaki di antara 140 lb dan 211 lb. Berapa peratuskah wanita yg mempunyai berat yg sama seperti selang tersebut?

140 143 211 x (berat)

A B

x1 x2


Contoh 8:Kawasan yang dikehendaki adalah A + B

-0.10 0 2.34 z

A B

10029

143140

.

x

z

x1

34229

143211

.

xz

x2

Dari itu P(140 < x <211) = P(-0.10 < z < 2.34) = 0.5302


Fikir dan buat 1Ketinggian ketika duduk di dalam kereta merupakan kriteria

penting dalam merekabentuk model kereta yang baru. Golongan lelaki mempunyai ketinggian ketika duduk yang bertaburan normal dengan min 36 inci dan sisihan piawai 1.4 inci. Jurutera-jurutera di sebuah kilang pemasangan kereta telah mengemukakan perancangan pembuatan yang boleh memberikan ketinggian ketika duduk sehingga 38.8 inci. Walau bagaimanapun ia tidak dapat memberikan keselesaan kepada lelaki yang mempunyai ketinggian lebih daripada itu. Jika seorang lelaki dipilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian dia mempunyai ketinggian ketika duduk yang kurang daripada 38.8 inci. Berdasarkan keputusan tersebut, adakah rekabentuk yang baru ini sesuai?


7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normalBerikut merupakan prosidur utk mendapatkan nilai.1. Lakarkan lengkung normal.2. Lorekkan kawasan yg dikehendaki melalui

kebarangkalian atau peratusan yg diberi.3. Guna jadual utk dapatkan skor z yg berkaitan dgn

kawasan yg dikehendaki disempadani oleh nilai x.a) drp jadual, dapatkan nilai yg hampirb) tentukan skor z.

4. Masukkan ke dalam formula, utk dapatkan x.x = + (z )


Contoh 9:Dengan menggunakan peristiwa berat wanita yg

bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Dapatkan nilai P10.

x = ? 143 x (berat)

10% = 0.1

z = -1.28 0 z


Contoh 9:

Dengan itu,

z = -1.28 = 143 = 29

88105

1237143

29281143

.

.

.

zx


Contoh 10:

Andaikan suhu badan bagi org dewasa yg sihat adalah bertaburan normal dgn min 98.20°F dan sisihan piawai 0.62°F. Jika seorg penyelidik ingin membuat kajian ke atas org dewasa 2.5% di bawah dan org dewasa 2.5% di atas, dptkan suhu yg dimaksudkan.

x1 = ? 98.2 x2 = ? x (suhu)

0.025 0.025

-1.96 0 1.96 z


Contoh 10:

Dengan itu,

z = 1.96 = 98.2 = 0.62

499

620961298

2

.

...

zx

dan,

z = -1.96 = 98.2 = 0.62

9896

620961298

1

.

...

zx


Fikir dan buat 2

Pada lazimnya purata jangkamasa ujian pencapaian ialah 70 minit, dengan sisihan piawai 12 minit. Berapakah jangkamasa yang harus diberikan agar 90% daripada pelajar akan dapat siap peperiksaan tersebut.


Fikir dan buat 3

X~N(0,1). Dapatkan kuartil ke-3 dan pertama bagi taburan X.



Kaedah ini digunakan untuk mendapatkankebarangkalian binomial.

Kaedah penghampiran normal dalam menyelesaikan masalah kebarangkalian binomial selalunya digunakan setelah prosidur lain tidak

boleh digunakan atau memakan masa yang lama.Lazimnya digunakan apabila n bagi

taburan binomial terlalu besar. Apabila n terlalu besar sukar buat pengiraan.



Misalnya satu soal selidik dijalankan ke atas 500pelajar sekolah menengah untuk mengetahui samadamereka berminat di dalam matapelajaran matematik.

Tiap-tiap pelajar dikehendaki menjawab ya atautidak. Katakan kb seseorang meminati matematik

ialah 0.5.

Ini ujikaji binomial, X~b(x;500,0.5)Katakan kita hendak P(X280) = f(0)+f(1)+…+f(280)

Maka pengiraan menjadi rumit, apabila n besar.ATAU

n tiada dlm jadual, p terlalu kecil.



Jika np 5 dan nq 5, maka pembolehubah rawak binomial adalah hampir tertabur dengan

min dan sisihan piawai seperti berikut

npq

np


Langkah-langkah utk melakukan penghampiran

Mula

Selesaikan masalah kebarangkalianbinomial menggunakan1. Formula2. Jadual

Adakah np 5 dan nq 5 adalah benar

Dapatkan npq

np

Gunakan formula

xnx qpxxn

nxP

..

!)!(!

)(

Lakarkan lengkung normal dan kawasan yg dikehendaki. Buatpembetulan keselanjaran.

Kira z = x -

Tak

Ya

Rujuk jadual


Prosidur menggunakan taburan normal sebagai penghampiran kepada taburan normal

1. Semak samada np 5 dan nq 5. Jika tidak jangan lakukan penghampiran.

2. Dapatkan nilai bagi parameter dan menggunakan formula dan

3. Kenalpasti nilai diskrit x. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd nilai selang drp x - 0.5 atau x + 0.5. Lakarkan lengkung normal dan masukkan nilai.

4. Dapatkan kawasan yg dikehendaki.

npqnp


Pembetulan keselanjaran

Oleh kerana taburan binomial adalah berbentuk diskrit dan taburan normal berbentuk selanjar, apabila menggunakan penghampiran normal,

kita perlu tukar nombor diskrit kepada nombor selanjar iaitu selang 0.5 di bawah nombor diskrit

dan 0.5 di atas nombor diskrit.


Prosidur membuat pembetulan keselanjaran.1. Apabila menggunakan taburan normal

sebagai penghampiran kpd taburan binomial, hendaklah sentiasa buat pembetulan keselanjaran.

2. Kenalpasti nombor diskrit x. drp cth 11, nombor diskrit x adalah x = 520.

3. Lakarkan taburan normal dan tandakan x. tandakan disebelah kiri x sebagai x – 0.5 dan di sebelah kanan x sebagai x + 0.5

4. Kemudian kenalpasti apa yg dikehendaki oleh masalah; sekurang-kurangnya x atau lebih drp x atau kurang drp x atau tepat x. Kemudian lorek kawasan yg dikehendaki.


Contoh 11

Pengetua disebuah kolej mendapati calon-calon yg ingin memasuki kolej telah dibahagi sama rata di antara lelaki dan perempuan. Beliau membuat kesimpulan pelajar yg berjaya adalah 50% lelaki dan 50% perempuan. Beliau menyemak data kemasukkan tahun lepas dan mendapati drp 1000 org pelajar, 520 org adalah pelajar lelaki. Dapatkan kebarangkalian memilih sekurang-kurangnya 520 org lelaki secara rawak. Berdasarkan kebarangkalian tersebut, adakah diskriminasi berlaku?


Contoh 11

Maklumat:

Bilangan ujikaji, n =1000

2 kategori (lelaki, perempuan) adalah kesudahan dgn kebarangkalin 0.5.

Kalau guna jadual, n sampai 30 shj

Dari itu guna penghampiran normal.

1. Semak np 5 dan nq 5. (ya)

2.

3. Nilai diskrit x = 520. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd nilai selang 519.5 dan 520.5

4. Dapatkan kawasan yg dikehendaki.

500501000 ).(np

8111550501000 .).)(.( qnp


Contoh 11

5. Tukarkan nilai kepada skor z

23181115

5005519.

..

xz

Dari itu kawasan = 0.1093

=500 520

519.5 520.5

0 1.23 z


Contoh : rujuk contoh 11

Pernyataan Kawasan

1. Sekurang-kurangnya 520

Ke kanan 519.5

2. Lebih drp 520 Ke kanan 520.5

3. Tidak lebih drp 520 Ke kiri 520.5

4. Kurang drp 520 Ke kiri 519.5

5. Tepat 520 Di antara 519.5 dan 520.5


519.5 520.5 520.5

519.5

1

54

32

519.5 520.5


Contoh 12

Menurut satu kajian yg lepas, kira-kira 4.4% kemalangan kereta adalah disebabkan tayar tidak sempurna. Jika satu kajian membuat pemilihan secara rawak terhadap 750 kes kemalangan, dapatkan kebarangkalian tepat 35 kemalangan disebabkan tayar tidak sempurna.


Contoh 12

Taburan binomial, n = 750 p = 0.044 q = 0.956 x = 35

X~b(x;750, 0,044)1. Semak np 5 dan nq 5. (ya)

2.

X~N(33, 31.55)

0330440750 .).( np

617595600440750 .).)(.( qnp


Contoh 12

3.

=33.0 3534.5 35.5

0 0.27 0.45 z

4.

0672.0

)43.0267.0(

)617.5

0.335.35

617.5

0.335.34(

)5.355.34(

)35(

:

ZP

XP

XP

normalanpenghampirXP

dariitu


Fikir dan buat 4

Di dalam sebuah kotak yang akan dihantar ke sebuah kedai komputer terdapat 100 unit tetikus. Dengan penghampiran Normal, hitung kebarangkalian bahawa,

i. tidak lebih daripada 5 unit tetikus mengalami kerosakan.

ii. 4 hingga 7 unit tetikus mengalami kerosakan.

iii. Di dapati 20% daripada tetikus yang dihantar lebih daripada k unit mengalami kerosakan. Cari nilai k.


Fikir dan buat 5

A survey conducted by the Association of Executive Search Consultantsrevealed that 75% of all chief executive officers believe that corporationsshould have fast-track training programs installed to help developespecially talented employees. At the same time, the study found that only 47% of the companies actually have such programs operating at their companies. Average annual sales of the companies in the sample were $2.3 billion (Fortune, “How to Tame the Fiercest Headhunter,” July 20, 1998). Suppose you randomly selected 50 of the questionnaires returned by the collection of CEOs. Use the normal approximation to the binomial distribution to find the probability that from within your collection: i. More than 35 of the CEOs think that corporations should have a fast-track program installed. ii. Fewer that 25 of the companies have a fast-track program in operation. iii.Between 30 to 40 of the CEOs think that corporations should have a fast-track program installed. iv.Between 20 to 30 of the companies have a fast-track program in operation.


Fikir dan buat 6

Berdasarkan pengalaman lepas 5% daripada tempahan tiket kapalterbang yang dibuat melalui telefon tidak dituntut. 20 tempahan tiket kapalterbang dipilih secara rawak. Hitungkan kebarangkalian bahawai. 5 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.ii. Kurang daripada 4 orang penumpang tidak menuntut tiket yang

ditempahnya.iii. Tidak kurang daripada 3 orang penumpang tidak menuntut tiket yang

ditempahnya.Sekiranya sebuah agensi pelancongan menerima 300 tempahan, dengan menggunakan penghampiran normal, berapakah kebarangkalian bahawaiv. Sekurang-kurangnya 5 orang penumpang tidak menuntut tiket yang

ditempahnya.v. 3 hingga 8 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.

Taburan Normal

Documents

Transcript of Taburan Normal