HASIL PEMBELAJARAN

Menghuraikan sesuatu pemboleh ubah rawak selanjar dengan menggunakan tatatanda set

Pemboleh Ubah Rawak Selanjar

• Suatu pemboleh ubah rawak selanjar boleh mengambil sebarang nilai di dalam satu selang

• Taburan normal adalah suatu taburan kebarangkalian pemboleh ubah rawak selanjar

Taburan Normal

dan varian , 2

ditulis X N( , ) 2

X

f ( x )

Pemboleh ubah rawak selanjar X bertabur secara normal denganmin,

Taburan Normal

Z

f ( x )

P(X>0) = 0.5P(X>0) = 0.5

Luas di bawah lengkung dan paksi = jumlah kebarangkalian = 1

Ciri-ciri graf taburan normal:

Berbentuk loceng

Luas di bawah lengkung mewakili kebarangkalian, P(X)

Bersimetri pada paksi tegak yang melalui min

Min, mod dan median pada titik yang sama

HASIL PEMBELAJARAN

Mencari nilai fungsi taburan normal piawai apabila skor z diberikan

Taburan Normal PiawaiSuatu pemboleh ubah rawak normal

X (, 2) boleh dipiawaikan dan ditulis sebagai Z (0, 1)

Penggunaan sifir taburan normal piawai/kalkulatorsifir taburan normal piawai / kalkulator berdasarkan skor zDari sifir taburan normal piawai / kalkulator,

P(z > a) = luas rantau berlorek

a Z

f ( z )

1Z

f ( z )

P(Z ≥ 1) = 0.1587

)1( ZPRujuk buku sifir/kalkulator Cari nilai

-1.167 1.167

)167.1( ZPRujuk buku sifir/kalkulator Cari nilai

)167.1()167.1( ZPZP

f ( z ) f ( z )

= 0.1216

)5.0( ZPRujuk buku sifir/kalkulator, Cari nilai

)5.0(1)5.0( ZPZP

0.5- 0.5

3085.01

f ( z ) f ( z )

= 0.6915

)2.07.0( ZPRujuk buku sifir/kalkulator, Cari nilai

)9.0( ZP

0.90.9 1.7

)7.19.0( ZP)7.1( ZP

1.7Z

f ( z )

Z

f ( z )

= 0.1841 – 0.0446

= 0.1395

)2.07.0( ZPRujuk buku sifir/kalkulator, Cari nilai

)2.0( ZP

0.2

- 0.7 - 0.2

)2.07.0( ZP

0.2 0.7

)7.02.0( ZP)7.0( ZP

0.7

Z

f ( z )

Z

f ( z )

Z

f ( z )

= 0.4207 – 0.2420

= 0.1787

)13.0( ZPRujuk buku sifir / kalkulator, Cari nilai

)1()3.0( ZPZP

- 0.3

)3.0(1 ZP

- 0.3 1

)13.0( ZP

1

)1( ZP

1587.03821.01

f ( z ) f ( z )

= 0.4592

SPM2003(K1)

Z k

f ( z )

Rajah menunjukkan satu graf taburan normal piawai.Jika P ( 0 < z < k ) = 0.3128. Carikan P ( z > k)

SPM2003(K1)

Z k

f ( z )

P ( 0 < z < k ) = 0.3128.

0.5 - P ( z > k)

0 kZ

f ( z )

= 0.3128

= P ( z > k)0.5 – 0.3128

= P ( z > k) 0.1872

HASIL PEMBELAJARAN

Menukarkan pemboleh ubah suatu taburan normal kepada pemboleh ubah taburan normal piawai

X

Z(rujuk rumus)

X bertabur secara normal

dengan min , dan sisihan piawai

ditulis X N( , ) 2 Z N( 0,1)

X ditukar kepada Z(skor piawai)

X

Z (rujuk rumus)

ditulis

Dengan min = 0 dan varians = 1

0

Taburan Normal Kepada Taburan Normal Piawai

X

f ( x )

Z

f ( z )

P(Z>0) = 0.5P(Z<0) = 0.5

HASIL PEMBELAJARAN

Menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa

8413.0)( kZPRujuk buku sifir, cari nilai k jika

P(Z < k) = 0.8413

P(Z > k) = 0.1587

k

f ( z )

1 = k 0.15870.8413

0668.0)( kZPRujuk buku sifir, cari nilai k jika

P(Z < k) = 0.0668

P(Z > k) = 0.0668

k = - 1.5 - k

f ( z )

k

7734.0)( kZPRujuk buku sifir, cari nilai k jika

P(Z > k) = 0.7734

P(Z > k) = 0.5 + 0.2734

- k

f ( z )

1- P(Z < k) = 0.7734

1- 0.7734 = P(Z > k)

0.2266 = P(Z > k)

-0.75 = k

k

f ( z )

10.0)1( kZPRujuk buku sifir, cari nilai k jika

P(-1 < Z < k) = 0.10

P(1 < Z < k) = 0.10

P(Z>k) – P(Z>1) = 0.10

P(Z > k) = 0.2587

k = -0.647

Z

f ( z )

- 1 - k 1 k

P(Z>k) - 0.1587 = 0.10

Diberi pembolehubah X bertabur secara normal dengan min, dan sisihan piawai, . Jika danhitung nilai dan sisihan piawai,

Contoh Soalan

P ( X > 120) = 0.1056

P (X > 120 ) = 0.1056

P ( X < 84) = 0.1587,

P (X < 84 ) = 0.1587

Rujuk rumus / kalkulator

P(Z> ) 120 –

= 0.1056 = 0.1587P(Z< ) 84 –

Z120 –

f ( z ) f ( z )

Z 80 –

P(Z> ) 120 –

= 0.1056= 0.1587P(Z< )

84 –

Z120 –

Z 80 –

120 –

= 1.25 = - 1.0 84 –

f ( z ) f ( z )

120 - = 1.25120 - 1.25 = …..(1)

84 - = -1.0

= 84 + …..(2) per (1) = per (2)

120 - 1.25 = 84 + 36 = 2.25 16 =

Gantikan = 16 ke dlm (2)= 84 + 16= 100

HASIL PEMBELAJARAN

Menyelesaikan masalah harian yang melibatkan taburan normal

SPM2002

Rajah menunjukkan graf taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak selanjar x yang bertabur secara normal dengan sisihan piawai 3.5. Graf ini adalah simetri pada garis lurus tegak PQ.(i) Jika skor piawai z yang didapati dari mempiawaikan nilai x = k ialah 1.5, carikan nilai k.(ii) Seterusnya carikan luas kawasan berlorek di dalam rajah (jawapan betul kepada 4 tempat perpuluhan)(iii)Jika x mewakili jisim dalam kg bagi 500 orang kanak-kanak perempuan suatu daerah, anggarkan bilangan kanak-kanak perempuan di daerah itu yang mempunyai jisim melebihi 14 kg.

Xk12P

Q

14

SPM 2002

k1412P

Q

Maka 5.1

X

(a)Diberi skor piawai Z = 1.5,

dan

5.3,12 kX

5.15.3

12

k

25.17k

(b)Luas kawasan berlorek = )25.1714( XP

)5.3

1225.17

5.3

1214(

ZP

)5.15714.0( ZP

)5.1()5714.0( ZPZP

= 0.2840 – 0.0668= 0.2172

X

f ( z )

SPM 2002

)5.3

1214(

ZP

)5714.0( ZP

2840.0

(c)Bilangan kanak-kanak perempuan yang berjisim melebihi 14 kg

= 0.2840 x 500= 142 orang

)14( XP(c)

Xk1412

P

Q

f ( z )

SPM2001

Jisim ayam katek di sebuah ladang adalah mengikut taburan normal dengan min 700g dan sisihan piawai 200g. Jika seekor ayam katek dipilih secara rawak, hitungkan kebarangkalian bahawa jisimnya

(i) kurang daripada 300g

(ii) antara 300g dan 800g

Seterusnya jika terdapat 983 ekor ayam katek yang jisimnya antara 300g dan 800g, anggarkan jumlah ayam katek di ladang itu.

(a) X N(700 ,200)

)300( XP )200

700300(

ZP

)2( ZP

)2( ZP

0228.0

)5.3

1225.17

5.3

1214(

ZP

)5.02( ZP

0228.03055.01 6687.0

)800300( XP(b)

Jumlah ayam katek = 14706687.0

983

0.5-2

f ( z )

Z - 2

f ( z )

Jisim bagi pekerja di sebuah kilang bertabur normal dengan

Carikan jumlah bilangan pekerja kilang itu.

SPM2003(K2)

min 67.86 kg dan varians 42.25 kg2. 200 orang pekerja kilang itu mempunyai jisim antara 50kg dengan 70kg.

Menukarkan X kepada Z (Rujuk rumus)

P ( 50 < X < 70 )

= P ( -2.748 < Z < 0.329 )

50 – 67.86 6.5

70 – 67.86 6.5

= P ( < Z < )

Carikan jumlah bilangan pekerja kilang itu.

SPM2003(K2)

P ( 50 < X < 70 ) = P ( -2.748 < Z < 0.329)

f ( z )

0.329-2.748

= 1 - P ( Z > 2.748 ) - P ( Z > 0.329 )

= 1- 0.00299 – 0.3711= 0.6259

Jumlah bilangan pekerja= 200 /0.6259 = 319.54 = 320