1

Taburan Normal

2

Ciri-ciri Taburan Normal

Ia adalah taburan selanjar

Ia adalah taburan simetri

Ia adalah asimtot kepada paksi

Ia adalah uni-modal

Ia adalah keluarga kepada keluk

Keluasan di bawah keluk ialah 1.

Keluasan disebelah kanan min ialah 1/2.

Keluasan disebelah kiri min ialah 1/2.

Keluasan di bawah lengkungtaburan normal

4

Keluk Normal dengan Min dan Sisihan Piawai yang Berbeza

5

Taburan Normal Piawai

Taburan normal dengan

– Min sifar, dan

– Sisihan piawai 1

xZ

Formula Z

– mempiawaikan sebarang taburan normal

Skor Z

– dikira dengan formula Z

– nombor sisihan piawai dimana nilainya adalah menyisih dari min

-

6

Taburan Normal Piawai

xZ

Formula Z

– mempiawaikan sebarang taburan normal

Z = jarak antara x dan µ dalam unit σ

x = nilai min sampel

µ = nilai min populasi

σ = sisihan piawai populasi

x

7

Jadual Z

Second Decimal Place in Z

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

3.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998

3.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

Note: terdapat beberapa bentuk Jadual Z, pengguna perlu tahu bentuk jadual yang digunakan dan cara untuk membacanya.

Jadual Z yang lain

8

Jadual Z yang lain

9

10

Jadual Kebarangkalian Normal Piawai

P Z( ) .0 1 0 3413

Z 0.00 0.01 0.02

0.00 0.0000 0.0040 0.0080

0.10 0.0398 0.0438 0.0478

0.20 0.0793 0.0832 0.0871

1.00 0.3413 0.3438 0.3461

1.10 0.3643 0.3665 0.3686

1.20 0.3849 0.3869 0.3888

11

Contoh 1

Graduate Management Aptitude Test (GMAT) banyak

digunakan untuk keperluan memasuki sekolah siswazah

pengurusan di USA. Andaikan skor GMAT adalah

bertaburan normal, kebarangkalian mencapai skor

melebihi berbagai jeda GMAT boleh ditentukan. Di dalam

beberapa tahun kebelakangan, min skor GMAT ialah 494

dan sisihan piawai lebih kurang 100. Apakah

kebarangkalian skor yang dipilih secara rawak daripada

ujian GMAT ini di antara 600 dan nilai min? Iaitu,

12

Contoh

X=600 = 494

= 100

P(494 X 600)| = 494 dan = 100) = ?

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

13

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

Z 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.4 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808

0.5 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157

0.6 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486

0.7 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794

0.8 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078

0.9 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340

1.0 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577

1.1 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790

1.2 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980

1.3 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147

P(485 X 600) = P(0 Z 1.06) = 0.3554

Z=0 Z=1.06

0.3554

14

Contoh 2Apakah kebarangkalian memperolehi skor lebih besar daripada 700

pada ujian GMAT jika min ialah 494 dan sisihan piawai 100?

P(X > 700)| = 494 dan = 100) = ?

X = 700 = 494

= 100

X > 700

2.06 100

206

100

494 - 700

- X Z

Z=2.06Z=0

Dari jadual Z:

Z=2.06 -> 0.4803

0.500

0.4803

P(Z>2.06) = 0.5000 - 0.4803

= 0.01970.0197

15

Contoh 3Bagi ujian GMAT yang sama, apakah

kebarangkalian skor kurang daripada 550?

P(X <550)| = 494 dan = 100) = ?

= 494

= 100X=550

0.56 100

56

100

494 - 550

- X Z

Z=0.56Z=0

Keluasan di bawah keluk bagi

Z = 0.56 ialah 0.2123

0.500 0.2123 P(X <550) = P(Z < 0.2123)

= 0.5000 + 0.2123

= 0.7123

16

Contoh 4

Apakah kebarangkalian memperolehi skor

kurang daripada 400 di dalam ujian GMAT?

P(X <400)| = 494 dan = 100) = ?

X=400 = 494

= 100

0.94- 100

94-

100

494 - 400

- X Z

Z=-0.94 Z=-0.94

P(Z<-0.94)=P(Z>0.94)

= 0.5000 – 0.3264

= 0.1735

0.5000 0.5000

0.3264 0.32640.1735 0.1735

17

Contoh 5

Apakah kebarangkalian memperolehi skor

di antara 300 dan 600 untuk ujian GMAT

yang sama?

P(300 X < 600| = 494 dan 100) = ?

X = 300 = 494 X = 600

= 100

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

94.1 100

194-

100

494 - 300

- X Z

Z=-1.94 Z=0 Z=1.06

0.35540.4738

P(-1.94 < Z < 1.06) = 0.3554 + 0.4738

= 0.8289

18

Contoh 6Apakah kebarangkalian untuk mem-perolehi

skor di antara 350 dan 450 bagi ujian GMAT

yang sama?

X = 350 X=430 = 494

= 100

1.44- 100

144-

100

494 - 350

- X Z

0.44- 100

44-

100

494 - 450

- X Z

P(-1.44 < Z < -0.44) = 0.4251 - 0.1700

= 0.2551Z=-1.44 Z= -0.44

0.1700

0.4251

0.2551

P(X 350 < X < 450| = 494 dan = 100) = ?

19

Contoh 7

Kementerian Kebudayaan dan Pelancongan menerbitkan kos

perjalanan untuk beberapa bandar di Malaysia. Khususnya, mereka

menerbitkan kos perbelanjaan hotel. Jika 86.65% daripada kos hotel

di Johor Baharu adalah kurang daripada RM449 dan jika sisihan

piawan kos hotel ialah RM36, apakah purata kos hotel di Johor

Baharu? Andaikan kos hotel adalah bertaburan normal.

= ? X = RM449

= RM36

86.65%

0.3665

P(Z < z) = 0.3665

z = ???????

20

RM36

- RM449 1.11

- X Z

Z 0.00 0.01 0.02 0.03

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907

P(Z < z) = 0.3665

z = 1.11 = RM449 – (RM36)(1.11)

= RM449 – RM39.96

= RM409.04

21

Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z

Contoh 1:

Ho: µ = 72 da Ha: : µ > 72 pada aras α = 0.05 dengan nilai x = 73 dan

sisihan piawai = 2.373

Untuk menentukan samada nilai x (73) adalah besar dari 72 adalah

mengguna skor z.

Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.05.

Rujuk Jadual Taburan Normal Z , 0.05 = 1.645 (nilai z sifir)

Langkah 2 : Dapatkan z kiraan

Keputusan: z kiraan<z sifir, maka gagal tolak Ho

Kawan tolak Ho:

Z = 1.645 atau α = 0.05

0.4214 2.373

1

2.373

72 - 73

- X Z

22

Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z

Contoh 2:

Ho: µ = 0.5 da Ha: : µ < 0.5 pada aras α = 0.01 dengan nilai x = 0.46

dan sisihan piawai = 0.011

Untuk menentukan samada nilai x (0.46) adalah kecil dari 0.5 adalah

mengguna skor z.

Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.01.

Rujuk Jadual Taburan Normal Z , 0.01 = -2.33 (nilai z sifir)

Langkah 2 : Dapatkan z kiraan

Keputusan: z kiraan>z sifir, maka tolak Ho

3.636- 0.011

0.04-

0.011

0.5 - 0.46

- X Z

Kawan tolak Ho:

Z = -2.33 atau α = 0.01

23

Pengujian Hipotesis dalam Taburan Normal z

Kawan tolak Ho:

Z = ± 1.96 atau α = 0.05/2Contoh 3:

Ho: µ = 72 da Ha: : µ ≠ 72 pada aras α = 0.05 dengan nilai x = 73 dan

sisihan piawai = 2.373

Untuk menentukan samada nilai x (73) adalah besar dari 72 adalah

mengguna skor z.

Langkah 1: Cari kawasan tolak Ho, iaitu α = 0.05.

Rujuk Jadual Taburan Normal Z , 0.05/2 = ± 1.96 (nilai z sifir)

Langkah 2 : Dapatkan z kiraan

Keputusan: z sifir -ve <z kiraan<z sifir +ve, maka gagal tolak Ho

0.4214 2.373

1

2.373

72 - 73

- X Z

Skor z untuk ujian hipotesis 1 hujung & 2 hujung

24

alfa 2 hujung1 hujung

Upper tail (+ve) Lower tail (-ve)

0.10 ±1.65 1.29 -1.29

0.05 ±1.96 1.65 -1.65

0.01 ±2.58 2.33 -2.33

0.001 ±3.29 3.10 -3.10