TEOREMA DASAR KALKULUS

Makalah ini Dibuat untuk Memenuhi Tugas Akhir Mata KuliahAnalisis Riil 2

Disusun Oleh:NURUL ULFAH (3125110321)

Program Studi MatematikaJurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Negeri Jakarta

2013

Daftar Isi

1 PENDAHULUAN 11.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Permasalahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Manfaat Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 PEMBAHASAN 32.1 Teorema Dasar (Bentuk Pertama) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Teorema Dasar Kalkulus (Bentuk Pertama) . . . . . . . . . . . . 32.3 Teorema Dasar (Bentuk ke Dua) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Teorema Dasar Kalkulus (Bentuk ke Dua) . . . . . . . . . . . . . 72.5 Teorema Substitusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 KESIMPULAN 10

i

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat dan rahmat-Nya,penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul ”Teorema Dasar Kalkulus”ini. Penulisan makalah ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syaratuntuk menyelesaikan tugas matakuliah Analisis Riil 2 Jurusan Matematika Fakul-tas MIPA Universitas Negeri Jakarta. Makalah ini berisikan uraian sederhanamengenai teorema-teorema dasar dalam kalkulus yang diharapkan dapat dipaha-mi dengan mudah oleh pembaca.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangan di dalamnya.Oleh karena itu, penulis mengharapkan kepada pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata, penulis berharap semoga tugas ini membawa manfaat bagi pengem-bangan ilmu.

1

1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam makalah ini, kita akan menyelidiki hubungan antara derivative dan inte-gral. Terdapat dua teorema yang berkaitan dengan masalah ini; yang pertamayaitu dengan mengintegralkan derivative, dan yang lainnya dengan menurunkansuatu integral. Teorema ini biasa disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus, yangmenyatakan bahwa operasi dari differensial dan integral adalah invers dari yanglain. Namun, ada beberapa hal yang tidak boleh diabaikan.

Bagian pertama dari teorema ini, biasa disebut sebagai teorema dasar kalkuluspertama, menunjukkan bahwa sebuah integral tak tentu dapat dibalikkan denganmenggunakan pendifferensialan. Bagian kedua, biasa disebut sebagai teoremadasar kalkulus kedua, mengizinkan seseorang untuk menghitung integral tentudari sebuah fungsi dengan menggunakan salah satu dari bergai macam antitu-runan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena dapatmempermudah perhitungan integral tentu.

Oleh karena itu, dalam makalah ini penulis mencoba menguraikan mengenai isidari masing-masing teorema dasar kalkulus tersebut.

1.2 Permasalahan

Berdasarkan pada latar belakang di atas, adapun rumusan masalah dalam makalahini adalah:1. Bagaimana isi Teorema Dasar Kalkulus bentuk pertama?2. Bagaimana pembuktian teorema tersebut dan contohnya?3. Bagaimana isi Teorema Dasar Kalkulus bentuk kedua?4. Bagaimana pembuktian teorema tersebut dan contohnya?

1.3 Tujuan Penulisan

Sesuai dengan rumusan masalah di atas, adapun tujuan penulisan ini adalah:1. Ingin mengetahui isi dari Teorema Dasar Kalkulus bentuk pertama2. Ingin mengetahui pembuktian teorema tersebut dan contohya3. Ingin mengetahui isi dari Teorema Dasar Kalkulus bentuk kedua4. Ingin mengetahui pembuktian teorema tersebut dan contohya

1

1.4 Manfaat Penulisan

Dengan dituslikannya makalah mengenai materi ini, penulis berharap dapat mem-berikan informasi tambahan kepada pembaca dan dapat menambah wawasanpengetahuan mengenai Teorema Dasar Kalkulus bentuk pertama dan TeoremaDasar Kalkulus bentuk kedua.

2

2 PEMBAHASAN

2.1 Teorema Dasar (Bentuk Pertama)

Bentuk pertama dari teorema dasar memberikan teoritis untuk metode penghi-tungan suatu integral yang dipelajari dalam kalkulus. Hal ini menyatakan bahwajika suatu fungsi f adalah turunan dari fungsi F , dan jika f anggota R[a, b], ma-

ka integral∫ b

af(x) dapat dihitung dengan cara menunjukkan nilai F |ba:= F(b)-

F(a).SuatufungsiFsedemikianhinggaF’(x)=f(x)untuksetiapx∈ [a, b] disebut se-bagai antiderivatif atau primitive of f pada [a, b]. Jadi jika f memiliki suatu antiderivatif, itu adalah suatu persoalan sederhana untuk menghitung integral.

Dalam prakteknya, akan lebih mudah untuk memberikan beberapa nilai c dimanaF ′(c) tidak terdapat dalam R, atau dimana itu tidak sama dengan f(c). Itu diluar ketentuan bahwa kita dapat memperbolehkan suatu bilangan yang terbatassebagai hal yang khusus.

2.2 Teorema Dasar Kalkulus (Bentuk Pertama)

Misalkan terdapat sebuah himpunan berhingga E di [a, b] dan fungsi f ,F : [a, b]→ R memenuhi:(a) F adalah kontinu di [a, b](b) F ′(x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b]\E(c) f anggota dari R[a, b]

Maka diperoleh

∫ b

a

f(x) = F (b)− F (a) (2.2.1)

BuktiKita akan membuktikan teorema ini, dimana E := {a, b}. Secara umum dapatdiperoleh dengan mengubah interval ke dalam gabungan dari suatu interval bi-langan terbatas.

Diberikan ε > 0, karena f ∈ R [a, b] diasumsikan ada δε > 0 sedemikian se-hingga jika P adalah suatu tag partisi dengan ‖P‖ < δε, maka

3

∣∣∣∣S(f ; P)−∫ b

a

f

∣∣∣∣ < ε. (2.2.2)

Dimana titik di atas P menunjukkan bahwa tag telah dipilih untuk setiap subinterval.P := ([xi−1, xi], ti)

ni=1 dan

S(f ; (P)) := Σni=1f(ti)(xi−x1−i), merupakan jumlah Riemann dari fungsi f : [a, b]

→ R

Jika subinterval dalam P adalah [xi−1, xi], maka dengan menggunakan TeoremaNilai Rata-Rata untuk F pada [xi−1, xi] menyatakan bahwa ada ui ∈ (xi−1, xi)sedemikian sehingga

F (xi)− F (xi−1) = F ′(ui).(xi − xi−1) untuk i = 1, ..., n.

Jika kita menambahkan bentuk ini, dilihat dari jumlah dan bukti yang ada bahwaF ′(ui) = f(ui), maka kita peroleh

F (b)− F (a) = Σni=1(F (xi)− F (xi−1)) = Σn

i=1f(ui)(xi − xi−1).

Sekarang, misalkan Pu := {([xi−1, xi], ui)}(i = 1)n, jadi jumlah pada persamaan

kanan S(f ; Pu). Jika kita substitusi F (b) − F (a) = S(f ;Pu) pada persamaan(2.2.2), dapat disimpulkan bahwa∣∣∣F (b)− F (a)−

∫ b

af∣∣∣ < ε

Namun, karena ε > 0 berubah-ubah, maka kita dapat mengambil kesimpulanbahwa persamaan (2.2.1) berlaku.

KeteranganJika suatu F terdiferensial pada setiap interval dari [a, b] maka hipotesis (a) se-cara otomatis memenuhi. Jika f tidak terdefinisi untuk beberapa titik c ∈ E, kitamengambil f(c) := 0. Namun jika F terdiferensial pada setiap interval dari [a, b],kondisi (c) tidak secara otomatis memenuhi, karena ada fungsi F sedemikian se-hingga F ′ bukan terintegral secara Riemann.

Contoh Jika A(x) := |x| untuk x ∈ [−10, 10], maka A′(x) = −1 jika x ∈ [−10, 0)dan A′(x) = +1 untuk x ∈ (0, 10]. Mengingat definisi dari fungsi signum, kitadapatkan A′(x) = sgn(x) untuk semua x ∈ [−10, 10]{0. Karena fungsi signum

4

adalah fungsi tangga, maka anggota dari R[−10, 10]. Oleh karena itu TeoremaFundamental (dengan E = {0}) menyatakan bahwa

∫ 10

−10

sgn(x)dx = A(10)− A(−10) = 10− 10 = 0

2.3 Teorema Dasar (Bentuk ke Dua)

Sekarang dengan Teorema Dasar (Bentuk ke dua) akan dibedakan integral yangmelibatkan batas atas variabelnya.

Definisi Jika f ∈ R[a, b] maka fungsi yang didefinisikan sebagai:

F (z) :=

∫ b

a

f ; z ∈ [a, b] (2.3.1)

ini disebut integral tak tentu dari f dengan nilai awal a (kadang nilai selain adapat pula digunakan sebagai nilai awal)

Kita akan menunjukkan bahwa jika f ∈ R[a, b], maka integral tak tentu Fmemenuhi kondisi Lipschitz maka F kontinu pada [a, b]

Definisi Fungsi Lipschitz Misalkan A ⊆ R dan f : A → R. Jika terdapatkonstanta K > 0 sedemikian hingga:

|f(x)− f(u)| ≤ K|x− u|

untuk setiap x, u ∈ A, maka f dikatakan fungsi lipschitz.

5

Teorema 2.3.1. Integral tak tentu F yang didefinisikan pada definisi (2.3.1)adalah kontinu pada [a, b]. Faktanya jika |f(x)| ≤ M untuk semua x ∈ [a, b],maka |F (z)− F (w)| ≤ M |z − w| untuk semua z, w ∈ [a, b]

Bukti: Dari teorema Additivitas Misalkan f : [a, b] → R dan misalkan c ∈ (a, b).Maka f ∈ R[a, b] jika dan hanya jika f terbatas pada [a, c] dan [c, b] yang meru-pakan integral Riemann. Pada kasus ini:

∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f

menyatakan jika z, w ∈ [a, b] dan misalkan w ≤ z, maka:

F (z) =

∫ z

a

f =

∫ w

a

f +

∫ z

w

f = F (w) +

∫ z

w

f

Sehingga diperoleh

F (z)− F (w) =

∫ z

w

f

Sekarang jika −M ≤ f(x) ≤ M untuk semua x ∈ [a.b], maka:

Teorema 2.3.2. Misalkan f dan g adalah di dalam R[a, b]. Jika f(x) ≤ g(x)untuk semua x ∈ [a, b], maka:

∫ b

a

f ≤∫ b

a

g

Dari teorema diatas diperoleh:

∫ z

w

−Mdx ≤∫ z

w

f(x)dx ≤∫ z

w

Mdx

−Mx|zw ≤∫ z

w

f(x)dx ≤ Mx|zwdx

−M(z − w) ≤∫ z

w

f(x)dx ≤ M(z − w)

6

menyatakan bahwa

−M(z − w) ≤∫ z

w

f(x)dx ≤ M(z − w)

Sehingga diperoleh

|F (z)− F (w)| ≤∣∣∣∣∫ z

w

f

∣∣∣∣ ≤ M |z − w|

Terbukti

Selanjutnya kita akan menunjukkan integral tak tentu F adalah terdiferensialpada sembarang titik dimana f kontinu.

2.4 Teorema Dasar Kalkulus (Bentuk ke Dua)

Misalkan f ∈ R [a, b] dan f kontinu pada titik c ∈ [a, b]. Maka integral tak tentuyang didefinisikan dari definisi (3) adalah terdiferensialkan di c dan F ′(c) = f(c).

Bukti: Andaikan c ∈ [a, b) dan mengingat turunan dari kanan F pada c. Karenaf kontinu pada c, diberikan ε > 0 maka terdapat ηε > 0 sedemikian sehingga jikac ≤ x ≤ c + ηε, maka:

f(c)− ε < f(x) < f(c) + ε (2.4.1)

Ambil h yang memenuhi 0 < h < ηε. Menurut teorema Additivitas menunjukkanbahwa f adalah terintegralkan pada interval [a, c], [a, c + h], dan [c, c + h] dan:

F (c + h)− F (c) =

∫ c+h

c

f

F (c + h) =

∫ h

c

f +

∫ c+h

c

f

Sekarang pada interval [c, c + h] fungsi f memenuhi pertidaksamaan (2.4.1), se-hingga kita peroleh:

(f(c)− ε)h ≤ F (c + h)− F (c) =

∫ c+h

c

f ≤ (f(c) + ε)h

7

Jika kita membaginya dengan h > 0 dan mengurangkannya dengan f(c), kitaperoleh:

∣∣∣∣F (c + h)− F (c)

h− f(c)

∣∣∣∣ ≤ ε

tetapi, ε > 0 berubah-ubah, kita simpulkan limit kanan diberikan oleh:

limh→0+

F (c + h)− F (c)

h= f(c)

dengan cara yang sama dibuktikan untuk limit kirinya juga sama dengan f(c)dimana c ∈ (a, b], sehingga pernyataan terpenuhi.

Teorema 2.4.1. Jika f kontinu pada [a, b] maka integral tak tentu F yang didefin-isikan oleh definisi 2.3.1 adalah terdiferensial di [a, b] dan F ′(x) = f(x) untuksemua x ∈ [a, b].

Teorema diatas, dapat diringkas: Jika f kontinu pada [a, b]. maka integral taktentu dari f adalah anti turunannya. Kita akan meninjau bahwa secara umumintegral tak tentu tidak harus menjadi antiturunan (baik karena turunan dari in-tegral tak tentu tidak ada atau tidak sama f(x)

contohJika f(x) = sgn(x) pada [−1, 1], maka f ∈ R[−1, 1] dan integral tak tentu F (x):= |x| − 1 dengan nilai awal -1. Tetapi, F ′(0) tidak ada, F bukan anti turunandari f pada [−1, 1]

2.5 Teorema Substitusi

Misalkan J := [α, β] dan misalkan ϕ : J → R memiliki turunan di J . Jikaf : I → R adalah kontinu pada interval I yang terdapat pada ϕ(J), maka:∫ β

α

f(ϕ(t)).ϕ′(t)dt =

∫ ϕ(β)

ϕ(α)

f(x)dx (2.5.1)

Hipotesis bahwa f dan ϕ adalah kontinu yang membatasi, tetapi digunakan untukmemastikan adanya integral Riemann pada sisi kiri persamaan (2.5.1).

Bukti:

8

Misalkan F (x) adalah primitive (anti turunan) dari f(x) dan x = ϕ(t) ma-ka F (ϕ(t)) merupakan primitive dari f(ϕ(t)).ϕ′(t) dengan menggunakan aturanrantai kita peroleh:

(F (ϕ(t)))′ = F ′(ϕ(t)).ϕ′(t) = f(ϕ(t)).ϕ′(t)

sehingga ∫ ϕ(β)

ϕ(α)

f(x)dx = F (x) + c = F (ϕ(t)) + c =

∫ β

α

f(ϕ(t)).ϕ′(t)dt

ContohGunakan teorema Subtitusi untuk menyelesaikan integral

∫ 3

1dt

t√

t+1= ln(3+2

√2)−

ln3subtitusikan ϕ′(t) =

√t + 1 untuk t ∈ [1, 3] sehingga ϕ′(t) = 1

2√

t+1adalah kontinu

pada [1, 3].Dengan memisalkan f(x) = 2

x2−1dx dan ϕ(1) =

√2, ϕ(3) =

√4 sebagai batas

bawah dan atas∫ √4√

22

x2−1dx, diperoleh

∫ √4

√2

2

x− 1dx = 2

∫ √4

√2

1

x2 − 1dx = 2

∫ √4

√2

1

(x + 1)(x− 1)dx

dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional

2

∫ √4

√2

1

(x + 1)(x− 1)dx = 2

[ ∫ √4

√2

A

(x + 1)+

∫ √4

√2

B

(x− 1)

]dx

dengan A = −12

dan A = 12, sehingga

2

∫ √4

√2

1

(x + 1)(x− 1)dx = 2

[ ∫ √4

√2

−1

2(x + 1)+

∫ √4

√2

1

2(x− 1)

]dx

∫ √4

√2

[ 1

(x− 1)− 1

(x + 1)

]dx

= [ln(x− 1)− ln(x + 1)] |√

4√2

= ln(√

4− 1)]− ln(√

4 + 1)]− ln(√

2− 1)] + ln(√

2 + 1)]

= ln(3 + 2√

2)− ln 3

9

3 KESIMPULAN

Teorema Fundamental Kalkulus merupakan hubungan dua teorema yang berkai-tan yaitu teorema integral dan turunan. Dengan menggunakan Teorema DasarKalkuus ini, kita mengintegralkan sebuah turunan, dan menurunkan suatu inte-gral untuk menyelesaikan suatu integral tanpa harus menghitungnya sebagai limitjumlah Riemann. Terdapat dua macam bentuk Teorema Dasar Kalkulus, yaituteorema dasar bentuk pertama dan teorema dasar bentuk kedua.

Bentuk pertama dari Teorema dasar ini memberikan sebuah dasar teoritis un-tuk metode penghitungan suatu integral, dimana pembaca telah mempelajarinyadalam kalkulus. Selain itu, teorema dasar kalkulus bentuk pertama ini juga me-nunjukkan bahwa sebuah integral tak tentu dapat dibalikkan dengan menggu-nakan pendifferensialan.

Sedangkan pada bentuk kedua dari Teorema Dasar ini mengizinkan seseoranguntuk menghitung integral tentu dari sebuah fungsi dengan menggunakan salahsatu dari bergai macam antiturunan. Oleh karena itu, bagian teorema ini memili-ki aplikasi yang sangat penting, karena dapat mempermudah perhitungan integraltentu.

10

Pustaka

[1] Bartle, G.Robert, Donald R. Sherbet.(2011).Introduction to Real Analysis4th Edition.John Willey Sons, Inc

[2] [ONLINE] Tersedia (http://www.docstoc.com/docs/70385726/Pengantar-Analisis-Real-Teorema-Fundamental)

11