Transformasi Laplace

TRANSFORMASI LAPLACE

II.1.Pendahuluan

Metode transformasi Laplace adalah suatu metoda operasional, yang dapat digunakan secara

mudah untuk menyelesaikan “Persamaan Deferential Linear”. Maka dengan menggunakan

Transformasi Laplace kita dapat mengubah beberapa fungsi umum :

1. Fungsi sinusoidal

2. Fungsi sinusoidal teredam

3. Fungsi Exponensial menjadi aljabar variable kompleks

Sedangkan untuk operasi-operasi seperti deferential dan integral dapat diganti dengan operasi

aljabar bidang komplek dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan menggunakan tabel

transformasi Laplace.

II.2. Prinsip dasar tansformasi Laplace suatu fungsi

Definisi Transformasi Laplace suatu fungsi waktu (t) adalah:

f(t) = fungsi waktu,( berharga nol (0) untuk t< 0)

F(s) = fungsi komplek Transformasi Lapalce dari f(t)

L = simbul operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang dikehendakinya

ditransformasikan dengan integral Laplace.

Contoh:

a. Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = e2t

Jawab: ∞

L[ f(t) ] = F(s) = ∫o f(t)x(e-st )dt

0dtetfsFtfL st

∞

L[ e2t ] = ∫o (e2t) (e-st )dt

∞

= ∫o (e - ( s - 2 ) t dt

∞

= - 1/((s-2) [e - ( s - 2 ) t │ 0

= - 1/((s-2) [e - ∞ - e – 0 ]

= - 1/((s-2) [0,00000….. - 1 ]

= - 1/((s-2) [0 - 1 ]

= 1/((s-2)

b. Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = e-2t

Jawab: ∞

L[ f(t) ] = F(s) = ∫o f(t)x(e-st )dt

∞

L[ e2t ] = ∫o (e-2t) (e-st )dt

∞

= ∫o (e - ( s +2 ) t dt

∞

= - 1/((s+2) [e - ( s+ 2 ) t │ 0

= - 1/((s+2) [e - ∞ - e – 0 ]

= - 1/((s+2) [0,00000….. - 1 ]

= - 1/((s+2) [0 - 1 ]

= 1/((s+2)

c. Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = t

Jawab: ∞

L[ f(t) ] = F(s) = ∫of(t)x(e-st )dt

∞

L[ t ] = ∫o (t)(e-st )dt

Penyelesaian integral menggunakan bantuan integral parsiil sebagai berikut:

Misal : u = t du/dt = 1 atau du = dt

dv = e-st dt ∫dv = ∫ e-st dt

v = -1/s ( e-st )

∞

L[ t ] = ∫o (t)(e-st )dt

∞ ∞

= uv │ - ∫o v du

o

∞ ∞

= (t)(-1/s)(e-st│ - ∫ 0 -1/s ( e-st ) dt

o

= (∞)(-1/s)(e-∞)- (-1/s)(-1/s)(e-∞-e-0)

= 0-1/s2(-1)

=1/s2

Untuk fungsi t atau f(t) yang lain hasil transformasi Laplace dapat dilihat pada tabel I

berikut:

Tabel I. Hasil transformasi Laplace berbagai bentuk fungsi t atau f(t)

No f(t) L[f(t)]= F(s)

1 1 1/s

2 K k/s

3 t 1/s2

4 eat 1/(s-a)

5 e-at 1/(s+a)

Lanjutan ............

6 tn , dengan n≠0 n!/sn+1= ( 1.2.3.4.5….n)/sn+1

7 Sin at a/(s2 + a2)

8 Cos at s/(s2 + a2)

9 Sinh at a/(s2 - a2)

10 Cosh at s/(s2 - a2)

11 t eat 1/(s-a)2

12 [tn-1/(n-1)!]eat 1/(s-a)n

13 1/(a-b)[ eat- ebt] 1/[(s-a)(s-b)]

14 1/(a-b)[ aeat-bebt] s//[(s-a)(s-b)]

15 1/ω[Sin ωt] 1/(s2 + ω2)

16 [1/ω][ eat Sin ωt] 1/[(s-a)2+ ω2]

17 eat Cos ωt (s-a)/[(s-a)2+ ω2]

18 1/ ω2[1-Cos ωt] 1/[s(s2+ ω2]

19 1/ ω3[ω t-Sin ωt] 1/[s2(s2+ ω2]

20 [t/2 ω] [Sin ωt] s/[(s2+ ω2]2

21 [1/2 ω][Sin ωt + ω t Cos ωt] s2/[(s2+ ω2]2

22 [1/(b2-a2)][Cos at-Cos bt] s//[(s2+a2)(s2+b2)],dengan a2≠b2

23 [1/4a3][Sin at Cosh at- Cos at Sinh at] 1/[s4+4a4]

24 1/2a2[Sin at Sinh at] s/[s4+ a4]

25 1/2a2[Cosh at- Cos at] s/[s4 - a4]

26 1/t[ ebt- eat] ln[(s-a)/(s-b)]

27 2/t[1- Cos ωt] ln[(s2+ ω2)/s]

28 2/t[1- Cosh ωt] ln[(s2- a2)/s2]

29 1/t[ Sin ωt] arc tg (ω/s)

30 1/ω[eat Sinh ωt] (s + a)/[( s+a)2 - ω2]

Latihan

Berdasarkan tabel I atau dengan pinsip bahwa:

Buktikan bahwa:

a. L[t2] adalah 2/s3

b. L[Sinh at] adalah a/(s2-a2), jika diketahui bahwa Sinh at =1/2[ eat – e-at]

c. L[Cosh at] adalah s/(s2-a2), jika diketahui bahwa Sinh at =1/2[ eat – e-at]

Berdasarkan tabel I dapat juga dikembangkan lebih lanjut sebagai tabel pelengkap

transformasi Laplace seperti ditunjukkan pada tabel II.

Tabel II. Hasil pengembangan transformasi Laplace berbagai fungsi

No f(t) L[f(t)]= F(s)

1 t e-at 1/(s+a)2

2 [tn-1/(n-1)!]e-at 1/(s+a)n

3 [ eat- ebt] (a-b)/[(s-a)(s-b)]

4 [ aeat-bebt] s(a-b)/[(s-a)(s-b)]

5 Sin ωt ω/(s2 + ω2)

6 eat Sin ωt ω/[(s-a)2+ ω2]

7 e-at Sin ωt ω/[(s+a)2+ ω2]

8 1/ω e-at Sin ωt 1/[(s+a)2+ ω2]

9 e-at Cos ωt (s+a)/[(s+a)2+ ω2]

10 [1-Cos ωt] ω2/[s(s2+ ω2]

11 [ω t-Sin ωt] ω3/[s2(s2+ ω2]

12 [t Sin ωt] 2ωs/[(s2+ ω2]2

13 [Sin ωt + ω t Cos ωt] 2 ω s2/[(s2+ ω2]2

14 [Cos at-Cos bt] s(b2-a2)/[(s2+a2)(s2+b2)],dengan a2≠b2

15 [Sin at Cosh at- Cos at Sinh at] 4a3/[s4+4a4]

16 [Sin at Sinh at] 2a2s/[s4+ a4]

17 [Cosh at- Cos at] 2a2s/[s4 - a4]

18 1/t[ e-bt- e-at] ln[(s+a)/(s+b)]

Lanjutan....

19 1/t [1- Cos ωt] 1/2 ln{(s2+ ω2)/s}

20 1/t [1- Cosh ωt] 1/2 ln{(s2- a2)/s2}

0dtetfsFtfL st

21 [eat Sinh ωt] ω(s + a)/[( s+a)2 - ω2]

II.3.Penggunaan tabel transformasi Laplace

Tabel transformasi Laplace I dan II dapat langsung digunakan untuk menentukan hasil

transformasi Laplace dari suatu fungsi t atau f(t) tanpa harus menggunakan atau melalui

rumus baku asalkan f(t) terdefinisikan dengan jelas dan tersedia dalam tabel tersebut.

Terkecuali jika f(t) tersebut tidak tersedia dalam tabel I atau II, maka pencarian hasil

transformasi Laplace harus menggunakan rumus baku :

Contoh

a.Tentukan hasil transformasi Laplace dari: 4 t2- 3 Cos 2 t + 5 e-t

Jawab:

L{4 t2- 3 Cos 2t + 5 e-t}= 4 L( t2 )- 3 L (Cos 2 t) + 5 L(e-t)

= 4 {2!/s2+1}- 3{s/ (s2 + 22} + 5 {1/(s+1)}

Tabel I nomor 6 Tabel I nomor 8 Tabel I nomor 5

= 4 .2/s3 – 3s/{s2 + 4}+ 5/ (s+1)

= 8/s3 -3s/ {s2 + 4} + 5/(s+1)

b. Tentukan hasil transformasi Laplace dari: t Sin 2t + Sin 2t

Jawab:

L{ t Sin 2t + Sin 2t }= L( t Sin 2t ) + L( Sin 2t )

= 2.2 s/(s2+ 22) + 2/(s2+ 22)

Tabel II nomor 11 Tabel I nomor 7

= 4s/(s2+ 4) +2/(s2+ 22)

= 4s/(s2+ 4) +2/(s2+ 4)

c. Tentukan hasil transformasi Laplace dari : Sin 2t Sinh 2t + (e2t - e3t)/t

Jawab:

L{ Sin 2t Sinh 2t + (e2t - e3t)/t } = L(Sin 2t Sinh 2t ) + L{(e2t - e3t)/t}

= 2x22 s/[s4+ 24] + ln [(s-3)/(s-2)]

= 8 s/[s4+ 24] + ln [(s-3)/(s-2)]

0dtetfsFtfL st

Tabel II nomor 15 Tabel I nomor 26

Latihan Tentukan hasil transformasi Laplace dari fungsi berikut:

a. {t e2t + t2 e2t + e2t Sin 2t}

b. {2 e2t - 3 e3}

c. {2 e2t - 3 e3}

d. {2 e2t Cosh 3t + Sin 2t + 2t Cos 2t}

e. {2 e2t Cosh 3t + Sin 2t + 2t Cos 2t}

f. 1/t {1- Cos 2t + 1- Cosh 2t}

g. {1/t (e-2t- e-3t + 1- Cosh 3t) + Sin ωt + ω t Cos ωt}

Beberapa hal penting yang perlu diperhatikan dalam operasi matematis pada transformasi

Laplace antara lain:

1. L{ f1(t) + f2(t)}= L{ f1(t)} + L{f2(t)}

Contoh:

L{ 3e2t + t Sin 2t} = L{3e2t }+L { t Sin 2t }

= 3 L{e2t }+ L{ t Sin 2t }

= 3/(s-2) + 2x2 s/[(s2+ 22]2

=3/(s-2) + 4 s/(s2+ 4)2

=3/(s-2) + 4 s/(s4+ 8s2 +16)

2. L{ f1(t) - f2(t)}= L{ f1(t)} - L{f2(t)}

Contoh:

L{ 1/t( e-2t- e-3t) - e2t Sinh 3t} = L{1/t( e-2t- e-3t) - L { e2t Sinh 3t }

= ln[(s+3)/(s+2)] - 3(s + 2)/[( s+2)2 – 32]

= ln[(s+3)/(s+2)] - 3(s + 2)/[( s+2)2 – 32]

= ln[(s+3)/(s+2)] - 3(s + 2)/[( s+2)2 – 9]

= ln[(s+3)/(s+2)] - 3(s + 2)/[ s2+ 4s + 4 – 9]

= ln[(s+3)/(s+2)] - 3(s + 2)/[ s2+ 4s – 5]

= ln[(s+3)/(s+2)] - (3s + 6)/[ s2+ 4s – 5]

3. L{ f1(t) x f2(t)} ≠ L{ f1(t)} x L{f2(t)} tetapi tetap dituliskan sebagai : L{ f1(t) x

f2(t)}

Contoh:

L[t Sin 3t] = 2x3s/[(s2+ 32]2

= 6s/[s2+ 9]2

= 6s/[s4+ 18 s2 + 81] Gunakan tabel II nomor 11

Tetapi kalau diselesaikan dengan bentuk : L[ t Sin 3t ] = L{t}x L{ Sin 3t}

= 1/s2 x 3/(s2 + 32)

= 3/{s2(s2 + 32)}

= 3/{s4 + 9s2}

Dengan demikian dapat dilihat bahwa 6s/[s4+ 18 s2 + 81] ≠ 3/{s4 + 9s2}.

Artinya bahwa L{ f1(t) x f2(t)} ≠ L{ f1(t)} x L{f2(t)}.

Oleh karena itu L{ f1(t) x f2(t)} tetap dituliskan sebagai L{ f1(t) x f2(t)}.

4. L{ f1(t) : f2(t)} ≠ L{ f1(t)} : L{f2(t)} atau L{ f1(t) / f2(t)} ≠ L{ f1(t)} / L{f2(t)} tetapi

tetap dituliskan sebagai L{ f1(t)} : L{f2(t)}

Contoh:

L{1/t( e-2t- e-3t)} = ln[(s+3)/(s+2)]

Gunakan tabel II nomor 17

Tetapi kalau diselesaikan dengan bentuk : L{1/t( e-2t)} = L{e-2t }/ L{ t}

= 1/(s+2)/ 1/s2

= 3s2 /(s + 2)

Dengan demikian dapat dilihat bahwa ln[(s+3)/(s+2)]≠ 3/{s3 + 9s2}.

Artinya bahwa L{ f1(t) : f2(t)} ≠ L{ f1(t) :L{f2(t)} atau

L{ f1(t) / f2(t)} ≠ L{ f1(t)} / L{f2(t)}

Oleh karena itu L{ f1(t) :f2(t)} tetap dituliskan sebagai L{ f1(t) : f2(t)}.

II.4. Invers Transformasi Laplace

Invers transformasi Laplace diberi notasi L-1, merupakan kebalikan dari transformasi Laplace

dari suatu fungsi t atau f(t). Pembacaan invers transformasi Laplace pada tabel I dan II adalah

dari kolom 3 ke kolom 2 atau dituliskan dengan tanda perintah L-1{f(s)} f(t).

Contoh:

a. Tentukan L-1{ 1/(s2 + 9)}

Jawab:

L-1{ 1/(s2 + 9)}= L-1{ 1/(s2 + 32)}

Gunakan tabel I nomor 15

b. Tentukan L-1{2/(s+2)3 }

Jawab:

L-1{2/(s+2)3 } = 2 L-1{1/(s+2)3 }

= 2 [tn-1/(n-1)!]e-at

Gunakan tabel II nomor 2

= 2 [t3-1/(3-1)!]e-at

= 2 [t2/(2!)]e-at

= 2 [ t2/2 ] e-at

= t2 e-at

c. Tentukan L-1{2/(s-2) -3s/(s2+16) + 5/(s2+ 4)}

Jawab:

L-1{2/(s-2) -3s/(s2+16) + 5/(s2+ 4)}= L-1{2/(s-2)}-L-1{3s/(s2+16)} + L-1{5/(s2+ 4)}

=2L-1{1/(s-2)}-3L-1{s/(s2+16)}+5L-1{1/(s2+

4)}

=2L-1{1/(s-2)}-3L-1{s/(s2+ 42)}+5L-1{1/(s2+

22)}

=2 e2 t - 3 Cos 4t + 5 (1/2) Sin 2t

Dalam penyelesaian suatu persoalan invers transformasi Laplace terkadang tidak bisa

langsung menggunakan tabel yang tersedia tetapi harus dicarikan alternatif pemecahan,

sehingga tabel yang tersedia dapat dimanfaatkan sebagaimana mestinya.

Contoh:

a. Selesaikan L-1{(3s +7)/ ( s2- 2s -3)}

Jawab:

L-1{(3s +7)/ ( s2- 2s -3)}= L-1[(3s +7)/{( s- 3)(s +1)}]

Tabel I dan II tidak bisa dipakai langsung (tidak

tersedia)

Alternatif penyelesaian menggunakan model pecahan sebagian dengan urutan sebagai

berikut:

(3s +7)/ ( s2- 2s -3)= (3s +7)/{( s- 3)(s +1)}

Misal : (3s +7)/{( s- 3)(s +1)}= A/(s-3) + B/(s+1), dimana A dan B adalah tetapan

yang

harus dicari dengan menggunakan sifat ekuivalensi dari pembilang pada ruas kiri dan

kanan persamaan tersebut.

(3s +7)/{( s- 3)(s +1)} = A/(s-3) + B/(s+1)

(3s +7)/{( s- 3)(s +1)}= {A(s+1) + B(s-3)}/{( s- 3)(s +1)}

(3s +7)/{( s- 3)(s +1)}= {As+A + Bs-3B}/{( s- 3)(s +1)}

(3s +7)/{( s- 3)(s +1)}= {s(A + B) +(A-3B}/{( s- 3)(s +1)}

Terlihat bahwa pembilang dari 3s +7 = s(A + B) +(A-3B)

Harga A dan B dapat dicari dengan mengevaluasi koefisien pada s0 dan s1

Harga koefisien ruas kiri Harga koefisien ruas kanan

s0 7 A -3B

s1 3 A + B

Dari hasil evaluasi ini dapat diperoleh persamaan sebagai berikut:

A -3B = 7 .................. (1)

A + B = 3 ................... (2)

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan subsitusi atau eliminasi, sehingga didapat

harga A = 4 dan B= -1

Dengan demikian:

L-1{(3s +7)/ ( s2- 2s -3)}= L-1{A/(s-3)} + L-1{B/(s+1)}

= L-1{ 4/(s-3)} + L-1{-1/(s+1)}

L-1{(3s +7)/ ( s2- 2s -3)} = 4 L-1{ 1/(s-3)} - L-1{1/(s+1)}

Tabel I nomor 4 Tabel I nomor 5

= 4 e3t – e- t

b. Tentukan L-1(3s +1)/{(s-1)( s2+1)}

Jawab:

Misal: (3s +1)/{(s-1)( s2+1)} = A/(s-1) + (Bs +C)/ (s2+1)

(3s +1)/{(s-1)( s2+1)}= [A(s2+1)+ (Bs +C)(s-1)] / [(s-1)( s2+1)]

(3s +1)/{(s-1)( s2+1)}= [As2+A+ (Bs2 –Bc +Cs-C] / [(s-1)( s2+1)]

Karena penyebut sama, maka akan nampak bahwa harga pembilang pada ruas kiri dan ruas

kanan persaman adalah ekuivalen, yaitu:

3s +1 =[As2+A+ (Bs2 –Bc +Cs-C]

3s +1 =s2(A+ B) + s( C-B) + (A-C)

Harga A,B dan C dicari dengan mengevaluasi koefisien pada s0,s1dan s2


s0 1 A - C

s1 3 C- B

s2 0 A + B


A - C = 1.................. (1)

C - B = 3 ................ (2)

A + B = 0....................(3)

Persamaan (1), (2) dan (3) dapat diselesaikan dengan eliminasi dan subsitusi, sehingga

didapat harga A = 2, B= -2 dan C = 1.

Dengan demikian:

L-1(3s +1)/{(s-1)( s2+1)}= L-1{A/{(s-1)} + L-1 {(Bs +C)/( s2+1)}

= L-1{2/{(s-1)} + L-1 {(-2s +1)/( s2+1)}

= L-1{2/{(s-1)} + L-1 {(-2s +1)/( s2+1)}

= 2L-1{1/{(s-1)}-2 L-1{s/( s2+1)}+ L-

1{1/( s2+1)}

= 2 et - 2 Cos t + sin t

c. Tentukan L-1{(5 s2 – 15 s -11)/{(s+1)( s-2)3}

Jawab:

Misal:{(5 s2 – 15 s -11)/{(s+1)( s-2)3}= A/(s+1) + B/ (s-2)3 + C/ (s-2)2 + D/(s-2)

=[A(s-2)3+B(s+1)+C(s+1)(s-2)+D(s+1)(s-2)2]/[(s+1)( s-2) 3]

=[A(s3-6s2+12s-8)+Bs+B+Cs2-Cs-2c+Ds3-3Ds2+4D]/[(s+1)( s-2) 3]

(5s2–15s-11)/{(s+1)(s-2)3=[s3(A+D)+s2(C-6A-3D)+s(12A+B-C)+(4D-2C+B-8A)]/[(s+1)(s-

2) 3]

Karena penyebut sama, maka akan nampak bahwa harga pembilang pada ruas kiri dan ruas

kanan persaman adalah ekuivalen, yaitu:

5 s2 – 15 s -11 = s3(A+D) + s2(C-6A-3D) + s(12A+B-C) + (4D-2C+B-8A)

Harga A,B,C dan D dicari dengan mengevaluasi koefisien pada s0,s1,s2 dan s3


s0 -11 4D-2C+B-8A

s1 -15 12A +B-C

s2 5 C-6A-3D

s3 0 A + D


4D-2C+B-8A = -11 ...........(1)

12A + B - C = -15.............(2)

C - 6A - 3D = 5 ...............(3)

A + D = 0 ......................(4)

Dari penyelesaian pesamaan (1),(2),3) dan (4) didapat harga A = -1/3, B= -7,C = 4 dan D =

1/3

Dengan demikian:

L-1{(5 s2 –15 s -11)/{(s+1)( s-2)3}= L-1{A/(s+1)}+ L-1{B/ (s-2)3}+ L-1{C/ (s-2)2}+ L-1{D/(s-

2)}

= L -1{(-1/3)/(s+1)}+ L-1{-7/ (s-2)3}+ L-1{4/ (s-2)2}+ L-1{(1/3)/(s-

2)}

= -1/3 L -1{1/(s+1)}-7 L-1{1/ (s-2)3}+ 4 L-1{1/ (s-2)2}+ 1/3 L-1{1/(s-

2)}

= -1/3 e-t -7 {t3-1 / (3-1)!}{ e2t }+ 4 t e2t + 1/3 e2t

= -1/3 e-t -7/2 t2 e2t + 4 t e2t + 1/3 e2t

= -1/3 e-t + e2t(-7/2 t2 + 4 t + 1/3)

Latihan

Tentukan :

1. L-1{s/ (s2-2s-8)} 3. L-1{(s3-7s2 +14s -9)/ (s-1)2(s-2) 2}

2. L-1{(2 s2- 4)/ (s+1)(s-2)(s-3)} 4. L-1{(s2 +2s )/(s2+2s+2) 2}

II.5.Transformasi Laplace dari turunan suatu fungsi

Misalkan suatau fungsi y dinyatakan sebagai : y = f(t) dengan turunan pertama sebagai dy/dt

atau y’ atau df(t)/dt. Secara sederhana pernyataan matematis kondisis ini dapat dinyatakan

sebagai:

y = f(t)

y’ = dy/dt

= df(t)/dt

Transformasi Laplace untuk setiap bentuk turunan dari suatu fungsi dapat dinyatakan sebagai

berikut: ∞

a. L {df(t)/dt} = ∫o df(t)/dt x (e-st )dt bentuk transformasi Laplace turunan pertama

dari f(t) atau df(t)/dt

Misal : u = e-st du/dt = -se-st

dv = {df(t)/dt}dt dv = df(t)

v = f(t)

L {df(t)/dt} = uv -∫vdu

∞ ∞

L {df(t)/dt} = uv │ - ∫o v du

o

∞ ∞

L {df(t)/dt} = e-st f(t) │ - ∫o f(t)(-s e-st)dt

o

∞ ∞

L {df(t)/dt} = e-st f(t) │ + s ∫o f(t)( e-st)dt

o

= [ f(∞) e-∞ - f(0) e-0 ] + s f(s)

= - f(0) (1) + s f(s)

= s f(s) - f(0)

Catatan: untuk bentuk L (dy/dt) = sy(s) - y(0)

∞

b. L {d 2f(t)/dt2} = ∫o d 2f(t)/dt2 x (e-st )dt bentuk transformasi Laplace turunan kedua

dari f(t) atau d2f(t)/dt2

Misal : u = e-st du/dt = -se-st

dv = {d2f(t)/dt2}dt v = df(t)/dt

L {d 2f(t)/dt 2} = uv -∫vdu

∞ ∞

L {d 2f(t)/dt 2} = uv │ - ∫o v du

o ∞ ∞

L { d 2f(t)/dt 2} = (e-st )(df (t) /dt)│ - ∫o (df (t) /dt)(-s e-st)dt

o

∞ ∞

L { d 2f(t)/dt 2}= (e-st )(df (t) /dt) │ + s ∫o (df (t) /dt)( e-st) dt

o

= [(df(∞)/dt ) e-∞ - (df(0) /dt) e-0 ] + s [s f(s) - f(0) ]

= = [(df(∞)/dt )(0) - (df(0) /dt)(1) ] + s2 f(s) - s f(0) ]

= s2 f(s) - s f(0) ] - df(0) /dt

= s2 f(s) - s f(0) ] - f ’(0)

Catatan: untuk bentuk L (d 2y/dt 2) = s2 y(s) - sy(0) - y’(0)

Bentuk umum transformasi Laplace untuk turunan order n dinyatakan sebagai berikut:

L (d ny/dt n) = sn y(s) - sn -1 y(0) - sn -2y’(0) - ∙ ∙ ∙ - sn -1 y(0) - s y(0)(n -2) - y(0)

( n -1)

Rangkuman bentuk transformasi Laplace dari turunan adalah:

1. L(y) = y(s)

2. L (dy/dt) = sy(s) - y(0)

3. L (d 2y/dt 2) = s2 y(s) - sy(0) - y’(0)

4. L (d ny/dt n) = sn y(s) - sn -1 y(0) - sn -2y’(0) - ∙ ∙ ∙ - sn -1 y(0) - s y(0)(n -2) - y(0)

( n -1)

II.6. Penerapan atau aplikasi Transformasi Laplace

Dalam bidang teknik elekto transformasi Lapalace banyak dimanfaatkan untuk penyelesaian

persamaan deferensial, penyelesaian rangkaian listrik arus searah atau bolak balik,

otomatisasi sistem, pengolahan sinyal dan sebagainya.

II.6.1.Penerapan transformasi Laplace untuk penyelesaian persamaan diferensial (PD)

ordiner

Dalam pembahasan ini persamaan diferensial hanya akan dibatasi sampai pada order dua

saja. Mengingat faktor kesulitan bakal muncul, kalau pembahasan melebihi order dua. Selain

dari pada itu pada umumnya bentuk persamaan diferensial pada rangkain listrik biasanya

mempunyai order tertinggi adalah order dua saja. Dengan demikian sebenarnya penerapan

transformasi Laplace pada penyelesaian persaman diferensial sekaligus dapat dipakai sebagai

penunjang untuk penerapan transformasi Laplace pada rangkaian listrik. Beberapa hal

penting yang harus diperhatikan pada penyelesaian persamaan deferensial antara lain pada

saat tinjauan awal atau waktu awal (t = 0) harga y(0) (harga y awal) dan harga y’(0) (harga

turunan awal dari y) harus diketahui secara pasti. Karena kalau kedua harga tersebut tidak

tersedia atau tidak diketahui, maka transformasi Laplace tidak akan mampu menyelesaikan

persoalan.

II.6.1.1.Penyelesaian persamaan diferensial (PD) ordiner order satu

Contoh:

a. Selesaikan persamaan diferensial (PD) berikut:

y’ + 2y = 2

Pada saat t = 0, y(0) = 0

Jawab:

L(y’) +2 L(y) = L(2)

L(dy/dt) +2 L(y) = L(2)

{sy(s) - y(0)} + 2 y(s) = 2/s

{sy(s) - 0} + 2 y(s) = 2/s

y(s){ s+2}=2/s

y(s) = 2/{s(s+2)}

y = L-1{ 2/{s(s+2)}

y = 2 L-1{ 1/{s(s+2)}

Misal : 1/{s(s+2)}= A/s +B/(s+2)

1/{s(s+2)}= {A(s+2) +B(s)}/[ s(s+2)]

Nampak pembilang ruas kiri dan kanan adalah ekuivalen, yaitu:

1 = A(s+2) +Bs

1 = s (A+B) +2A

Harga A dan B diperoleh dengan mengevaluasi harga koefisien pada s0 dan s1

Ruas kiri Ruas kanan

s0 1 2A

s1 0 A + B

Didapat bentuk persamaan sebagai berikut:

2A = 1 ........ (1)

A + B = 0 ....... (2)

Dari persaman (1) : 2A = 1 A = ½

Dari persamaan (2): A + B = 0 B = -A

B = - ½

Dengan demikian:

y = 2 L-1{ 1/{s(s+2)}

= 2 [ L-1{ A/s} + L-1{ B/(s+2}]

= 2 [ L-1{½ /s} + L-1{ -½/(s+2}]

= 2 [½ L-1{1/s} -½ L-1{ 1/(s+2}]

= 2 [½ {1} -½ e-2 t]

= 1 - e- 2 t

b. Selesaikan persamaan diferensial (PD) berikut:

y’ + y = 0

Pada saat t = 0, y(0) = 2

Jawab:

L(y’) +L(y) = L(0)

L(dy/dt) + L(y) = 0

{sy(s) - y(0)} + y(s) = 0

{sy(s) - 2} + y(s) = 0

y(s){ s+1}= 2

y(s) = 2/(s+1)

y = L-1{ 2/(s+1)

y = 2 L-1{ 1/(s+1)

y = 2 e- t

Latihan

Selesaikan persaman diferensial (Pd) berikut:

1. y ‘ – 4 y = 3

Pada saat t = 0 , y(0) = 2

2. y ‘ + 2 y = 0

Pada saat t = 0 , y(0) = 2

3. y ‘ + 1/2 y = 0

Pada saat t = 0 , y(0) = 0

4. 3 y ‘ – 1/3 y = 2

Pada saat t = 0 , y(0) = 0

II.6.1.2. Penyelesaian persamaan diferensial (PD) ordiner order dua

Contoh:

a. Selesaikan persamaan diferensial (PD): y” + 2y’ + 2y =0

pada saat t = 0, y(0) = 0 dan y’(0) = 0

Jawab:

L(y”) + 2L(y’) + 2L(y) =L(0)

L(d 2y/dt 2) + 2 L(dy/dt) + 2L(y) =L(0)

{s2 y(s) - sy(0) - y’(0) }+ 2 {sy(s) - y(0)} + 2 y(s) = 0

{s2 y(s) – s .0 - 1}+ 2 {sy(s) - 0} + 2 y(s) = 0

{s2 y(s) -1}+ 2 sy(s) + 2 y(s) = 0

y(s) {s2 + 2s + 2} = 1

y(s) = 1/{s2 + 2 s + 2}

y(t) = L-1{1/{s2 + 2 s + 2}}

= L-1{1/{(s + 1) 2 + 1}

= e-t Sin t gunakan tabel II no 7

b. Selesaikan persamaan diferensial (PD): y” + 8y’ + 25y = 50 Sin 3t

pada saat t = 0, y(0) = 0 dan y’(0) = 0

Jawab:

L(y”) + 8 L(y’) + 25L(y) = 50 L (Sin 3t)

{s2 y(s) - sy(0) - y’(0) }+ 8{sy(s) - y(0)} + 25y(s) = 50{ 3/ (s2 +32)}

{s2 y(s) – s .0 - 0}+ 8 {sy(s) - y(0)} + 25 y(s) = 50{ 3/ (s2 +32)}

{s2 y(s) – s .0 - 0}+ 8 {sy(s) - 0} + 25 y(s) = 50{ 3/ (s2 +32)}

s2 y(s) + 8 sy(s) + 25 y(s) = 150/ (s2 + 9)

y(s){ s2 + 8 s + 25 }= 150/ (s2 + 9)

y(s) = 150/{(s2 + 9) (s2 + 8 s + 25)}

y(t) = L-1[150/{(s2 + 9) (s2 + 8 s + 25)}]

y(t) = 150 L-1[1/{(s2 + 9) (s2 + 8 s + 25)}]

Karena pada tabel I dan II tidak tersedia invers transformasi Laplace yang memenuhi

syarat, maka metode penyelesaian dilakukan sebagai berikut:

Misal:

1/{(s2 + 9) (s2 + 8 s + 25)}=(As +B)/(s2 + 9) + (Cs+ D)/( s2 + 8 s + 25)

={(As +B)( s2 + 8 s + 25) + (Cs+ D)( s2 + 9)}/{(s2 + 9) )( s2 + 8 s + 25)}

={s3(A+C)+s2(8A+B+D)+s( (25A +8B+9C)+(25B+9D)}/{(s2 + 9)(s2+8s+

25)}

Nampak bahwa harga pembilang pada ruas kiri dan kanan adalah ekuivalen, sehingga:

1 = s3(A+C)+s2(8A+B+D)+s( (25A +8B+9C)+(25B+9D)

Lakukan evaluasi terhadap harga koefisien pada s0,s1,s2 dan s3 untuk mendapatkan

harga A,B,C dan D.


s0 1 25B + 9D

s1 0 25 A +8B +9C

s2 0 8A +B + D

s3 0 A + C

Dari evaluasi tersebut didapatkan persamaan sebagai berikut:

25B + 9D =1 ........................ (1)

25 A +8B +9C = 0 ....................... (2)

8A+B + D = 0 ........................ (3)

A + C = 0 ......................... (4)

Berdasarkan persamaan (1),(2),(3) dan (4) didapat harga A = -1/104 , B = 2/104 , C =

1/104 dan D = 6/104.

Oleh karena itu:

y(t) = 150 [L-1{ As +B)/(s2 + 9)}+ L-1 {(Cs+ D)/( s2 + 8 s + 25)}]

= 150 [L-1{(-1/104 s+ 2/104)/(s2 + 9)}+L-1{(1/104 s+ 6/104)/(s2+8 s +

25)}]

= -150/104 [L-1{s- 2)/(s2 + 9)}+L-1{(s+ 6)/(s2+8 s + 25)}]

= -150/104 [L-1{s/(s2 + 9)}- L-1{2/ (s2 + 9)}+ L-1{(s+ 4 +2)/(s2+8 s + 25)}]

tabel I no 8 tabel I no 15 tabel I no 9 tabel II

no 8

= -150/104 [Cos3t -2/3(Sin3t)+L-1{(s+ 4 )/{(s+4)2 +32 }+2L-1{1/{(s+4)2

+32 }]

= -150/104 [Cos3t - 2/3(Sin3t)+ e-4t Cos3t + 2/3 e-4t Sin3t ]

= 25/52 [2 Sin 3t - Cos3t ]+ 25/52 e-4t [ 3 Cos3t + 2 Sin3t ]

Latihan

Dengan menggunakan transformasi Laplace selesaikan :

1. y” +2y’+17 y = 0

Pada saat t = 0, y(0) = 0 dan y’(0) = 12

2. y”+ y = Sin 3t

Pada saat t = 0, y(0) = 0 dan y’(0) = 0

3. y” +3y’+2 y = e-t

Pada saat t = 0, y(0) = 0 dan y’(0) = 0

4. y” + y = t

Pada saat t = 0, y(0) = 0 dan y’(0) = 0

Catatan: y” = d2y/dt2

y’ = dy/dt

Kunci jawaban

1. y = 3e-t Sin 4t 3. y = = e-t ( t + e-t -1)

2. y = 1/8(3 Sint – Sin 3t) 4. y = t - Sin t

II.6.2. Aplikasi transformasi Laplace dalam bidang Fisika

Contoh:

1. Aliran cairan dalam suatu tangki penampung digambarkan sebagai berikut:

20 liter/detik

Luas penampang tangki (silinder) adalah 100 cm2

...-....-......-.....-....-.....-...

Volume awal

cairan 5 liter 10 liter/detik

Tentukan :

a. Volume cairan dalam tangki setelah proses berlangsung10 detik

b .Tinggi cairan dalam tangki

Jawab:

a. Bentuk persamaan diferensial untuk aliran fluida adalah dV/dt = Q1-Q2

dengan V = volume , Q1= aliran fluida masuk dan Q2 = aliran fluida keluar

dV/dt = (20 -10) liter/detik = 10 liter/detik

= 10 dm3/detik = 10.000 cm3/detik

L (dV/dt) = L (10.000)

sV(s) -V(0) = 10.000/s

sV(s) -V(0) = 10.000/s

sV(s) - 5.000 = 10.000/s

sV(s) = 10.000/s + 5.000

V(s) = 10.000/s2 + 5.000/s

V = L-1[10.000/s2] + L-1 [5.000/s]

V = 10.000 t + 5.000

V = 10.000 (10) + 5.000

V = 100.000 + 5.000

V = 105.000 cm3

V = 105 liter

Jadi volume cairan dalam tangki setelah 10 detik adalah 105 liter

b. Tinggi cairan dalam tangki = V/A = 105.000 cm3 /100 cm2 = 1.050 cm

2. Sebuah bola terbuat dari bahan tembaga, dipanaskan sampai 1000C.Selanjutnya

pada

saat awal (t=0) bola dimasukkan ke dalam air yang suhunya dipertahankan tetap

300C.

Setelah 3 menit suhu bola turun menjadi 700C.Tentukan waktu yang diperlukan oleh

bola untuk mencapai suhu 310C.

Jawab:

Air 300C

Air 300C Bola

Air 300C

Pada proses pendinginan padatan dalam cairan berlaku persamaan:

dT/dt = - k (T-T0)

dengan:

T: suhu bola setiap saat

t: waktu

k: tetapan

T0: suhu lingkungan (air)

Penyelesaian persamaan dengan transformasi Laplace dilakukan sebagai berikut:

L[dT/dt] = - k L[ T -T0]

sT(s) – T(0 ) = -k T(s) + kT0/s

sT(s) – 100 = -k T(s) + k (30/s)

T(s) (s+k) = 100 + k (30/s)

T(s) = 100/(s+k) + 30k/{s(s+k)}

T = L-1{100 /(s+k)} + L-1 [30k/{s(s+k)}]

= 100 e –kt + L-1 [30k/{s(s+k)}]

= 100 e –kt + 30 k L-1 [1/{s(s+k)}]

Misal : 1/{s(s+k)} = A/s + B/(s+k)

= {A(s+k) + B(s)}/{s(s+k)}

= {A(s+k) + B(s)}/{s(s+k)}

Nampak bahwa pembilang 1 = A(s+k) + B(s)

1 = As+ Ak + Bs

1 = s(A + B) +Ak

Evaluasi harga A dan B dilakukan sebagai berikut:


s0 1 Ak

s1 0 A+B

Diperoleh persamaan sebagai berikut:

Ak = 1 ............... (1)

A+B = 0 .................(2)

Didapat A =1/k dan B = -1/k

Dengan demikian:

T = 100 e –kt + 30 k L-1 [1/{s(s+k)}]

T = 100 e –kt + 30 k L-1 [A/s + B/(s+k)]

T = 100 e –kt + 30 k L-1 [1/k/s – 1/k/(s+k)]

T = 100 e –kt + 30 k (1/k) L-1 [1//s – 1/(s+k)]

T = 100 e –kt + 30 L-1 [1//s – 1/(s+k)]

T = 100 e –kt + 30 [1 – e-kt]

T = 100 e –kt + 30 – 30 e-kt

T = 30 + 70 e-kt

Pada saat t = 3 menit T = 700C

T = 30 + 70 e-kt

70 = 30 + 70 e-k(3)

40 = 70 e-k(3)

e-k(3) = 40/70

-3k = ln (40/70)

k = 0,1865/menit

Selanjutnya persamaan dinyatakan sebagai: T = 30 + 70 e-0,1865 t

Pada saat T = 310C, maka

T = 30 + 70 e-0,1865 t

31 = 30 + 70 e-0,1865 t

1 = 70 e-0,1865 t

e-0,1865 t = 1/70

- 0,1865 t = ln 1/70 t = 22,78 menit = 22,8 menit

Jadi waktu yang dibutuhkan untuk mencapai suhu 310C adalah 22,8 menit.

Transformasi Laplace

Documents

Transcript of Transformasi Laplace