UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITASistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/statpro/Penyelesaian...

Penyelesaian Soal UAS Statistika dan Probabilitas 2018.docx hlm1dari6

Istiarto⦁DepartemenTeknikSipildanLingkunganFTUGM

⦁ http://istiarto.staff.ugm.ac.id/

UJIANAKHIRSEMESTERSTATISTIKADANPROBABILITAS

Senin, 10 Desember 2018 | 100 menit [ Boleh membuka buku | Tidak boleh memakai komputer ]

SOAL1[SOA-3,BOBOTNILAI40%]HasilHomeInterview(HI)Surveydikawasanperumahanperkotaandalamdelapanzonamenghasilkandatahubunganantarakepemilikankendaraanbermotor(mobil)danjumlahperjalananperhariyangterjadidikawasantersebut.Datadisajikanpadatabeldibawahini.

Zona jumlahmobil jumlahperjalananperhari1 220 7602 300 8503 400 10004 120 9005 440 11006 500 13507 150 4008 90 150

(a) Temukanlahpersamaanjumlahperjalananperharisebagaifungsijumlahmobildenganteknik

regresilinear,metodekuadratterkecil.[Bobot20%](b) Berapakahkoefisienkorelasihubunganlinearkeduavariabeltersebut?[Bobot10%](c) ApakahyangdapatSaudarasimpulkandarihubungankeduavariabeltersebut?[Bobot10%]

PENYELESAIAN

(a)Regresilinear[bobotnilai20%]Langkahcerdasdalampenyelesaiansoaliniadalahmengawalinyadenganmemplotkandata.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 100 200 300 400 500 600

Jumlahperjalananperhari

Jumlahmobil

outlier




Darigambartampakbahwasalahsatupasangandataberadapadaposisiyangmenyimpangdaripoladatayanglain.Pasangandataini,yaitudiZona4,jumlahmobiladalah120danjumlahperjalananperhariadalah900.Poladatasecarakeseluruhanmenunjukkanketeraturanhubunganantarajumlahmobildanjumlahperjalananperhari.Semakinbanyakjumlahmobil,jumlahperjalananperharibertambah.DatadiZona4mengubahpolaini.Datumsepertiinidikenalsebagaioutlier.Adanyaoutlierdapatdisebabkanolehsifatkeragaman(variabilitas)sampelataudiakibatkanolehkesalahansurvei.Apabilapenyebaboutlierdiketahui,makaperlakuanterhadapnyadapatditentukandenganmudah.Jikaoutlierdisebabkanolehkesalahanpengukuran,makaoutlierdikeluarkandaridatadantidakdiikutkandalampengolahandata.Sebaliknya,jikasurveisudahbenar,makaoutliertetapdiikutkandalampengolahandata.

Denganasumsibahwaoutliertersebutdisebabkanolehkesalahansurvei,makaoutlierdikeluarkandaridaftardatayangdiolah.

HubunganantarajumlahperjalananperhariY(𝑦" = 𝑦$, 𝑦&, … , 𝑦()danjumlahmobilX(𝑥" =𝑥$, 𝑥&, … , 𝑥()dapatdiperolehdenganteknikregresimetodekuadratterkecilyangdinyatakandalampersamaanlinearberikut:

𝑌+ = 𝑎- + 𝑎$𝑋

Variabel𝑌+ atauseringpuladisimbolkandengan𝑌0adalahjumlahperjalananperharisebagaifungsijumlahmobilX.Nilaia0dana1dalampersamaanregresidicaridenganpersamaanberikut:

𝑎$ =𝑛∑ 𝑥"𝑦"(

"3$ − ∑ 𝑥"("3$ ∑ 𝑦"(

"3$

𝑛∑ 𝑥"&("3$ − (∑ 𝑥"(

"3$ )& dan𝑎- = 𝑌8 − 𝑎$𝑋8

Dalampersamaandiatas,nadalahjumlahdata,𝑌8 dan𝑋8adalahjumlahperjalananperharirata-ratadanjumlahmobilrata-rata.Untukmenghematpenulisan,indekspadaoperatorpenjumlahantidakdituliskan,sehingga∑ 𝑥"(

"3$ dituliskansebagai∑𝑥" dan∑ 𝑦"("3$ dituliskansebagai∑𝑦" .

HitunganregresilineardenganmetodekuadratterkecildisajikanpadaTabel1dibawahini.

TABEL1HITUNGANREGRESILINEARHUBUNGANANTARAJUMLAHPERJALANANPERHARIDANJUMLAHMOBILDENGANMETODEKUADRATTERKECIL

𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒙𝒊𝟐220 760 167200 48400300 850 255000 90000400 1000 400000 160000440 1100 484000 193600500 1350 675000 250000150 400 60000 2250090 150 13500 8100

2100 5610 2054700 772600

DariTabel1,diperolehinformasisebagaiberikut:

§ jumlahpasangdata,n=7;§ jumlahperjalananperharirata-rata,𝑌8 = ∑𝑦" 𝑛⁄ = 5610 7⁄ = 801;§ jumlahmobilrata-rata,𝑋8 = ∑𝑥" 𝑛⁄ = 2100 7⁄ = 300.

Koefisien𝑎$dan𝑎-padapersamaankurvaregresidihitungsebagaiberikut:

𝑎$ =𝑛∑𝑥"𝑦" − ∑𝑥" ∑𝑦"𝑛 ∑𝑥"& − (∑𝑥")&

=7 × 2054700 − 2100 × 5610

7 × 772600 − 2100& = 2.6066.

𝑎- = 𝑌8 − 𝑎$𝑋8 = 801 − 2.6066 × 300 = 19.0224.

Perhatikanbahwajumlahmobildanjumlahperjalananperhariadalahvariabeldiskritsehingganilairata-ratajumlahmobildanjumlahperjalananperhariadalahbilanganbulat.Nilaikoefisien𝑎-




dan𝑎$tidakharusbilanganbulat,tetapinilai𝑌+ dan𝑌haruslahbilanganbulat.Hubunganantarajumlahperjalananperharidanjumlahmobilyangdiperolehdariregresilinearantarakeduavariabeladalah:

𝑌+ = 19.0224 + 2.6066𝑋atau𝑦MN = 19.0224 + 2.6066𝑥".

(b)Koefisienkorelasi[bobotnilai10%]Koefisienkorelasi,r,dinyatakandalampersamaanberikut:

𝑟 = P𝑆R − 𝑆0𝑆R

= P∑(𝑦" − 𝑌8)& − ∑(𝑦" − 𝑦MN)&

∑(𝑦" − 𝑌8)&atau𝑟 =

𝑛∑𝑥"𝑦" − (∑𝑥")(∑𝑦")U𝑛∑𝑥"& − (∑𝑥")&U𝑛∑𝑦"& − (∑𝑦")&

Dalampersamaandiatas,operatorpenjumlahan∑𝑥" dibaca∑ 𝑥"("3$ danindeksi=1,2,…,n.

HitunganuntukmendapatkannilaiStdannilaiSrdilakukansecaratabulasidalamTabel2dibawahini.Hitunganmengacukepadapersamaanrdiatasyangdisebelahkiri.

TABEL2HITUNGANKOEFISIENKORELASIANTARAJUMLAHPERJALANANPERHARIDANJUMLAHMOBIL

𝒙𝒊 𝒚𝒊 (𝒚𝒊 − 𝒀W)𝟐 𝒚XN (𝒚𝒊 − 𝒚XN )𝟐

220 760 1681 592 28224300 850 2401 801 2401400 1000 39601 1062 3844440 1100 89401 1166 4356500 1350 301401 1322 784150 400 160801 410 10090 150 423801 254 10816

𝑺𝒕 = 1019087 𝑺𝒓 = 50525

𝑟 = P𝑆R − 𝑆0𝑆R

= P1019087 − 505251019087 = 0.975.

Akarkuadratdapatbernilaipositifataunegatif.Koefisienkorelasidapatbernilaipositifataunegatif.Karenagradienkurvaregresi,𝑎$,bernilaipositif,ataudengankatalainjumlahperjalananperhariberbandinglurusdenganjumlahmobil,makakoefisienkorelasibernilaipositif,r=0.975.

(c)Hubunganlinearantarajumlahmobildanjumlahperjalananperharididelapanzona[bobotnilai10%]Jumlahperjalananperharidanjumlahmobilmenunjukkanhubunganlinearyangerat,walaulinearitashubunganantarakeduanyatidaksepenuhnyasempurna.Nilaikoefisienkorelasi0.975sangatmendukungsimpulanbahwajumlahperjalananperhariberbandinglurusdenganjumlahmobil.

SOAL2[SOB-4,BOBOTNILAI60%]Darihasilpengujiansuatucampuranbeton,diperolehdatayangditunjukkanpadatabelberikut(MPa=megapascal):

Nomordata 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Mutu[MPa] 26 30 28 30 32 30 32 28 33 30

Nomordata 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Mutu[MPa] 30 28 29 32 31 28 30 32 35 26




(a) Berapakahnilairata-rata,median,danmodusmutubetontersebut?[Bobot10%](b) Berapakahnilaisimpanganbakumutubetontersebut?[Bobot10%](c) Tunjukkanrentangkeyakinanmutubetondengantingkatkeyakinan90%dan95%.[Bobot

20%](d) Jikadinyatakanbahwacampurantersebutmenghasilkanmutubeton27.5MPapadatingkat

keyakinan80%,apapendapatAnda?[Bobot20%]

PENYELESAIAN

(a)Nilairata-rata,median,danmodus[bobotnilai10%]Datamutubetontersebutadalahdatasampel,bukandatapopulasi.Tabeldibawahinimenyajikan20nilaimutubetonyangdiurutkandarinilaimututerendah(terkecil)sampaitertinggi(terbesar).

Mutu[MPa] 26 26 28 28 28 28 29 30 30 30 30 30 30 31 32 32 32 32 33 35

Mutubetonrata-rataadalah:

𝑋8 =∑𝑥"𝑛 =

60020 = 30MPa

Nilaimedianadalahnilaidatayangberadaditengahdalamderetdatayangdiurutkandarikecilkebesarataudaribesarkekecil.Karenajumlahdataadalah20,makanilaimedianadalahnilaiyangberadaditengahantaradatake-10danke-11.Daritabeldatayangtelahdiurutkan,tampakbahwadatake-10danke-11adalah30Mpasehingganilaimedianmutubetonadalah30MPa.

𝑋^_`"a( =30 + 30

2 = 30MPa

Nilaimodusadalahnilaidatayangmemilikifrekuensitertinggi,yaitumutubeton30Mpayangberjumlah6buahsampel,

𝑋^b`cd = 30MPa

Tampakbahwanilairata-rata,median,danmodusmutubetonadalahsama,yaitu30MPa.Kesamaanketiganilaiinimerupakansalahsatusifatdatayangberdistribusinormal.

(b)Simpanganbaku[bobotnilai10%]Simpanganbakujumlahpenumpangbusdihitungdenganbantuantabelfrekuensi,yaitudenganmenambahkankolomyangberisi𝑓"𝑥"&.Nilaisimpanganbakuadalah:

𝑠g = P∑(𝑥" − 𝑋8)&

𝑛 − 1 = P 10020 − 1 = 2.2942MPa

(c)Rentangkeyakinanmutubetonrata-rata[bobotnilai20%]Rentangkeyakinanmuturata-rata,denganasumsibahwamutubetontersebutberdistribusinormal,dinyatakandenganpersamaanberikut:

prob(𝑙 ≤ 𝜇g ≤ 𝑢) = 1 − 𝛼

Dalampersamaandiatas,ladalahbatasbawahrentangkeyakinan,uadalahbatasatasrentangkeyakinan,dan1 − 𝛼adalahtingkatkeyakinan.Batasbawahdanbatasatasrentangkeyakinanmutubetonrata-ratadinyatakandenganpersamaanberikut:

𝑙 = 𝑋8 −𝑠g√𝑛

𝑡$op &⁄ ,(o$dan𝑢 = 𝑋8 +𝑠g√𝑛

𝑡$op &⁄ ,(o$




Nilai𝑡$op &⁄ ,(o$adalahnilaitpadapdfdistribusitsedemikianhinggaprob(𝑇 < 𝑡) = 1 − 𝛼 2⁄ padanilaiderajatkebebasan𝜈 = 𝑛 − 1,dannukuransampel(jumlahdata).Tingkatkeyakinantelahditetapkan,yaitu1 − 𝛼 = 90%dan1 − 𝛼 = 95%.

Untuktingkatkeyakinan1 − 𝛼 = 90%,maka1 − 𝛼 2⁄ = 95%.Nilai𝑡$op &⁄ ,(o$ = 𝑡-.yz,$ydibacapadatabeldistribusit.Bacaantabelmenjadimudahdilakukandengancaramembuatsketsapdfdistribusit.Daritabeldistribusit,diperoleh:

𝑡-.yz,$y = 1.7293

Dengandemikian,batasbawahdanbatasatasrentangadalah:

l = 30 − 1.72932.2942√20

= 28.90 MPa

u = 30 + 1.72932.2942√20

= 30.70 MPa

Jadi,rentangkeyakinan90%mutubetonrata-rataadalah:

prob(28.90 MPa ≤ µg ≤ 30.70 MPa) = 0.90.

Untuktingkatkeyakinan1 − 𝛼 = 95%,maka1 − 𝛼 2⁄ = 97.5%.

𝑡-.y~z,$y = 2.0930

Dengandemikian,batasbawahdanbatasatasrentangadalah:

l = 30 − 2.09302.2942√20

= 28.70 MPa

u = 30 + 2.09302.2942√20

= 30.90 MPa

Jadi,rentangkeyakinan90%mutubetonrata-rataadalah:

prob(28.70 MPa ≤ µg ≤ 30.90 MPa) = 0.95.

(d)Ujihipotesisjumlahpenumpangbusrata-rata[bobotnilai20%]H0:𝜇- = 27.5MPa

H1:𝜇- ≠ 27.5MPa

Karenavarianspopulasitidakdiketahui(𝜎g&tidakdiketahui),makastatistikaujiadalah:

𝑇 = √𝑛𝑠g(𝑋8 − 𝜇-) =

√202.2942

(30 − 27.5) = 4.8013

Batas-bataspenerimaanataupenolakanstatistikaujidengantingkatkeyakinan1 − 𝛼 = 80%danjumlahsampeln=20adalah:𝑡p &⁄ ,(o$ = 𝑡-.$-,$ydan𝑡$op &⁄ ,(o$ = 𝑡-.y-,$y.

Daritabeldistribusit,diperoleh:

𝑡-.y-,$y = 1.3277dan

𝑡-.$-,$y = −1.3277

Dengandemikian,statistikauji𝑇 =4.8013beradadiluarrentangpenerimaanhipotesisH0(|𝑇| > 𝑡-.y-,$y),

𝑡-.yz,$y𝑡-.-z,$y = −𝑡-.yz,$y

1 − 𝛼 = 0.90𝛼 2⁄ = 0.05𝛼 2⁄ = 0.05

𝑡-.y-,$y = 1.3277𝑡-.$-,$y = −1.3277

1 − 𝛼 = 0.80𝛼 2⁄ = 0.10𝛼 2⁄ = 0.10

𝑡-.y~z,$y𝑡-.-&z,$y = −𝑡-.y~z,$y

1 − 𝛼 = 0.95𝛼 2⁄ = 0.025𝛼 2⁄ = 0.025




sehinggahipotesisyangmenyatakanbahwamutubetonrata-rataadalah27.5MPatidakditerimaatauditolak.

-o0o-

UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITASistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/statpro/Penyelesaian...

Documents

Transcript of UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITASistiarto.staff.ugm.ac.id/docs/statpro/Penyelesaian...