UKURAN NILAI PUSAT

Oleh : Riandy Syarif

Terkadang untuk memberi suatu informasi dari

sebuah data, tidak semua data harus disajikan.

Untuk itu diperlukan sebuah ukuran yg dapat

mewakili sekumpulan data tanpa mengurangi

maknanya.

Salah satu ukuran yg dapat mewakili sekumpulan

data tersebut adalah Ukuran Pemusatan/ Nilai

Pusat, yaitu sebuah nilai yg menunjukan pusat dari

sekumpulan data.

Ukuran Pemusatan adalah nilai tunggal yg mewakili

suatu kumpulan data dan menunjukan karakteristik

dari data

Contoh pemanfaatan Ukuran Pemusatan dalam

bidang ekonomi antara lain :

1. Bank Indonesia menyatakan bahwa rata-rata laju

inflasi di Indonesia selama tahun 2006 adalah

6,60%

2. Rata-rata penyaluran kredit yang dilakukan oleh

Bank Kalbar selama kurun waktu 2010-2015

adalah sebesar Rp.125 Miliar.

Rata-rata Hitung (Mean) Mean/ Rata-rata Hitung : nilai rata-rata dari data yg

ada, yang diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai

data dan membaginya dengan jumlah data yg ada.

Mean

Data Tunggal

Populasi

Sampel

Tertimbang Data

Berkelompok

1. Rata-rata Populasi

Rata-rata Populasi (parameter )dapat dihitung

dengan cara :

𝜇 = 𝑋

𝑁

𝜇 : Rata-rata hitung populasi (Myu) 𝑋 : Jumlah keseluruhan nilai X 𝑋 : Nilai data yg berada dalam populasi N : Jumlah total data dalam populasi

Berikut ini adalah nilai kredit yang disalurkan oleh lima koperasi

di Kabupaten Sintang pada tahun 2015 :

Nama Koperasi Nilai Kredit (Rp Jutaan)

Koperasi Merano Jaya 41 KSP Jerora Sejahtera 90

KSP Mungguk Jengkol Bersatu 61 KSU Cipta Mandiri 117 KSU Saja Mantap 66

Penyelesaian :

𝜇 = 𝑋

𝑁

𝜇 =41 + 90 + 61 + 117 + 66

5

𝜇 =375

5= 75

Nilai Kredit Koperasi di Sintang Tahun 2015

0

20

40

60

80

100

120

140

KSP MeranoJaya

KSP JeroraSejahtera

KSPMunggukJengkolBersatu

KSU CiptaMandiri

KSU SajaMantap

Nilai Kredit

Rata-rata

2. Rata-rata Hitung Sampel

𝑿 = 𝑿

𝒏

𝑋 = 𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 (𝑏𝑎𝑐𝑎 X Bar)

= 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑘𝑒𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢𝑕𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑋 (𝑑𝑎𝑡𝑎)

𝑛 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

Contoh :

Pada Tahun 2007 di BEI tercatat 350 emiten (Perusahaan yg

menawarkan sahamnya). Dari seluruh emiten, sebanyak 37

perusahaan mengumumkan akan membagikan deviden untuk

Tahun buku 2006. Dari 37 emiten tersebut, 9 emiten diambil

laporan kinerja keuangannya. Berikut data kinerja keuangan

dari 9 perusahaan :

No Nama Perusahaan Total Aset (Rp. Miliar)

Laba Bersih (Rp. Miliar)

1. PT Indosat 22.598 436 2. PT Telkom 42.253 7.568

3. PT. Aneka Tambang 2.508 123 4. PT Astra Agro Lestari 2.687 180 5. PT Bimantara Citra 4.090 392

6. PT Alfa Retailindo 603 25 7. PT H.M Sampoerna 10.137 1.480 8. PT Mustika Ratu 287 15 9. PT Astra Graphia 796 65

Dari Data di atas, hitunglah rata-rata sampel untuk total aset

dan laba bersih

Penyelesaian :

Rata-rata Hitung Sampel Total aset :

𝑋 = 𝑋

𝑛

𝑋 =22.598 + 42.253 + 2.508 + 2.687 + 4.090 + 603 + 10.137 + 287 + 796

9

𝑋 =85.959

9= 9.551

Rata-rata Hitung Sampel Laba Bersih

𝑋 = 𝑋

𝑛

𝑋 =436 + 7.568 + 123 + 180 + 392 + 25 + 1.480 + 15 + 65

9

𝑋 =10.284

9= 1.142,67

3. Rata-rata Hitung Tertimbang

Pada perhitungan rata-rata populasi dan sampel,

setiap data dianggap memmiliki tingkat bobot yg

sama.

Dalam beberapa kasus ada data yg dipandang

memiliki bobot yg berbeda, diantaranya

diakibatkan oleh perbedaan waktu dan volume.

Misal kenaikan 20% PT Telkom dan PT Alfa

Retailindo berbeda, akibat perbedaan laba yg

diperoleh masing-masing

Rata-rata Hitung Tertimbang adalah suatu nilai yg

diperoleh dari suatu kelompok data yg dipengaruhi

oleh suatu nilai bobot yang berbeda dari masing-

masing data.

𝑋 𝑤 = 𝑤𝑖 𝑋𝑖

𝑤𝑖

𝑋 𝑤 ∶ 𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑖𝑚𝑏𝑎𝑛𝑔

𝑋 ∶ 𝐷𝑎𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

𝑛 ∶ 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

𝑤 ∶ 𝐵𝑜𝑏𝑜𝑡 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑑𝑎𝑡𝑎

Contoh

Dengan menggunakan data sebelumnya, hitunglah Rata-rata

tertimbang dengan menggunakan nilai aset sebagai pembobot

untuk mempertimbangkan tingkat profitabilitas, yaitu berapa

laba yg dihasilkan dari setiap aset yg dihasilkan.

Penyelesaian :

No Nama Perusahaan Laba Bersih

(𝑿𝒊) Total Aset

(𝒘𝒊) 𝑿𝒊𝒘𝒊

1. PT Indosat 436 22.598 9.852.728

2. PT Telkom 7.568 42.253 319.770.704 3. PT. Aneka Tambang 123 2.508 308.484

4. PT Astra Agro Lestari 180 2.687 483.660 5. PT Bimantara Citra 392 4.090 1.603.280

6. PT Alfa Retailindo 25 603 15.075

7. PT H.M Sampoerna 1.480 10.137 15.002.760 8. PT Mustika Ratu 15 287 4.305

9. PT Astra Graphia 65 796 51.740

Jumlah 85.959 347.092.736

No Nama Perusahaan Laba Bersih

(𝑿𝒊) Total Aset

(𝒘𝒊) 𝑿𝒊𝒘𝒊

1. PT Indosat 436 22.598 9.852.728

2. PT Telkom 7.568 42.253 319.770.704 3. PT. Aneka Tambang 123 2.508 308.484

4. PT Astra Agro Lestari 180 2.687 483.660 5. PT Bimantara Citra 392 4.090 1.603.280

6. PT Alfa Retailindo 25 603 15.075

7. PT H.M Sampoerna 1.480 10.137 15.002.760 8. PT Mustika Ratu 15 287 4.305

9. PT Astra Graphia 65 796 51.740

Jumlah 85.959 347.092.736

𝑋 𝑤 = 𝑤𝑖 𝑋𝑖

𝑤𝑖

𝑋 𝑤 =347.092.736

85.959= 4.038

4. Rata-rata Data Berkelompok

Data berkelompok adalah data yg telah berbentuk

distribusi frekuensi

Data yg sudah dikelompokkan akan kehilangan

identitas data mentah, sehingga untuk melihat nilai

rata-rata hitung harus diduga dari distribusi

frekuensi

Dta-data yg sudah dkelompokkan memiliki

karakteristik yg sama dan dicerminkan oleh nilai

tengahnya

Untk menghitung Rata-rata dataBerkelompok sbb :

𝑋 = 𝑓𝑋

𝑛

𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 − 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠

𝑋 = 𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 (𝑏𝑎𝑐𝑎 X Bar)

𝑋 = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎𝑕 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 − 𝑚𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠

𝑛 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙

Contoh :

Berikut ini adalah data yg sudah dikelompokkan dari 20 saham

pilihan, buatlah nilai rata-rata untuk harga saham pilihan

tersebut.

Interval Nilai Tengah (X) Frekuensi

160 – 303 231,5 2 304 – 447 375,5 5 448 – 591 519,5 9

592 – 735 663,5 3 736 – 879 807,5 1

𝑋 = 𝑓𝑋

𝑛

𝑋 =2 231,5 + 5 375,5 + 9 519,5 + 3 663,5 + 1(807,5)

20

𝑋 =9.814

20= 490,7

Median

Ilustrasi

Dari tabel di atas, nilai rata-rata laba bersih dari 9 perusahaan adalah Rp. 1.142,67 M, namun nilai rata-rata tersebut seolah tidak mewakili secara merata keseluruhan data diatas

No Nama Perusahaan Total Aset (Rp. Miliar)

Laba Bersih (Rp. Miliar)

1. PT Indosat 22.598 436 2. PT Telkom 42.253 7.568 3. PT. Aneka Tambang 2.508 123 4. PT Astra Agro Lestari 2.687 180

5. PT Bimantara Citra 4.090 392 6. PT Alfa Retailindo 603 25 7. PT H.M Sampoerna 10.137 1.480 8. PT Mustika Ratu 287 15

9. PT Astra Graphia 796 65 Mean 9.551 1.142,57

PT Mustika Ratu yg memiliki laba bersih terendah sebesar Rp. 15 M, dan PT Telkom memiliki laba bersih tertinggi sebesar Rp. 7.568 M, disparitas laba bersih antara perusahaan tertinggi dengan terendah mencapai hampir 500 kali lipat.

Laba bersih 15 M seolah tidak termasuk dalam kategori rata-rata laba bersih 1.142,57 M

Mengapa harga rata-rata jauh tinggi walaupun ada harga yg jauh rendah? Karena harga rata-rata terdorong naik oleh harga yang sangat tinggi, sehingga porsi nilai rata-rata didominasi oleh nilai tertinggi.

Nilai rata-rata hitung tidak mewakili keseluruhan

nilai, dalam kasus seperti ini, khususnya sebagai

ukuran pemusatan, median lebih baik digunakan

karena tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem

Median adalah titik tengah dari semua data yg

telah diurutkan dari nilai terkecil ke yg terbesar

atau sebaliknya.

Median untuk data tidak berkelompok

Median utk data tidak berkelompok adalah nilai yg

letaknya di tengah data yg telahdiurutkan , namun

datanya belum dalam bentuk distribusi frekuensi.

Bagaimana menentukan letak median ?

1. Letak median dapat dicari dengan rumus:

2. Apabila jumlah data ganjil, maka nilai median adalah

nilai yg letaknya ditengah data

3. Apabila nilainya genap, maka nilai media merupakan

nilai rata-rata dari dua data yg letaknya berada di

tengah.

Contoh Data Ganjil : Tentukan letak median pada tabel di

bawah ini

Cara kedua dgn rumus (9 + 1)/2 = 5, artinya letak

median ada pada data nomor 5, maka nilai median

adalah TA Rp. 2.687 M dan Netto Rp.180 M

No Nama Perusahaan Total Aset

(Rp. Miliar)

Laba Bersih

(Rp. Miliar)

1 PT Telkom 42.253 7.568

2 PT Indosat 22.598 436

3 PT H.M Sampoerna 10.137 1.480

4 PT Bimantara Citra 4.090 392

5 PT Astra Agro Lestari 2.687 180

6 PT. Aneka Tambang 2.508 123

7 PT Astra Graphia 796 65

8 PT Alfa Retailindo 603 25

9 PT Mustika Ratu 287 15

Contoh data genap : Tentukan letak median dari tabel berikut

No Maskapai Jumlah

1 Lion Air 30

2 Garuda Indonesia 8

3 Merpati Nusantara 8

4 Sriwijaya AIr 6

5 Batik Air 3

6 Kalstar 2

Cara kedua dgn rumus (6 + 1)/2 = 3,5, artinya letak

median ada pada data nomor 3,5.

Nilai median 3,5 terletak antara no 3 dan 4, maka

nilai data no 3 ditambah nilai data no 4 lalu dibagi 2,

yaitu (8+6)/2 = 7. maka nilai median adalah 7

Median Data Berkelompok

Perbedaan antara data berkelompok dengan data

tidak berkelompok adalah pada data

berkelompok, nilai informasi atau karakteristik dari

masing-masing data tidak dapat diidentifikasi lagi

Yang dapat diketahui hanya karakter dari kelas

atau intervalnya. Akibatnya kan terdapat kesulitan

dalam menentukan nilai median yg tepat pada

suatu interval kelas

Untuk menentukan letak median dalam data

berkelompok, perlu dilakukan langkah sebagai

berikut :

1. Menentukan letak kelas dimana nilai median

berada dengan perhitungan n/2, n = frekuensi

2. Melakukan interpolasi di kelas median untuk

mendapatkan nilai median dengan perhitungan

sbb :

Keterangan :

Md : Nilai median

L : Batas bawah/ tepi kelas

n : Jumlah frekuensi

: Frekuensi kumulatif

f : frekuensi dimana kelas median berada

i : besarnya interval kelas

Contoh : dari tabel 20 harga saham pilihan di bawah,

tentukan letak dan nilai mediannya

Interval Frekuensi Tepi Kelas Frek Kumulatif

160 – 303 2 159,5 0

304 – 447 5 303,5 2

448 – 591 9 447,5 7

592 – 735 3 591,5 16

736 – 878 1 735,5 19

878,5 20

Letak median = 20+1/2 = 10,5 artinya median

berada pada frekuensi 10,5 dengan interval 448 -

591

Untuk menentukan nilai mediannya, maka kita

melakukan interpolasi sbb

𝑀𝑑 = 𝐿 +

𝑛2 − 𝐶𝑓

𝑓× 𝑖

𝑀𝑑 = 447,5 +

202

− 7

9× 143

𝑀𝑑 = 447,5 +3

9× 143

𝑀𝑑 = 447,5 + 47,67 = 495,17

MODUS

Modus adalah suatu nilai pengamatan yg paling sering muncul, seperti merk mobil apa yg banyak dibeli konsumen, berapa tingkat inflasi yg sering terjadi selama tahun 2010 s/d 2015, dan apa jurusan kuliah yg paling umum diindonesia.

Jawaban dari pertanyaan – pertanyaan ini adalah : Modus. Misalnya, Modus untuk jenis mobil adalah mobil non sedan, Modus utk mobil non sedan adalah Mitsubishi, sedangkan modus utk mobil sedan adalah Toyota.

Contoh 1 menentukan nilai modus

Berikut adalah nilai Par Value 8 perusahaan di BEI

berdsarkan analisis PT Bahana Sekuritas. Hitung

nilai modusnya.

NO PERUSAHAAN PAR

1 A 500

2 B 500

3 C 500

4 D 250

5 E 100

6 F 1.000

7 G 500

8 H 250

Contoh 2 : Menentukan modus kelas interval

INTERVAL FREKUENSI TEPI KELAS

160 – 303 2 159,5

304 – 447 5 303,5

448 – 591 9 447,5

592 – 735 3 591,5

736 – 878 1 735,5

878,5

Mo : Modus

L : Batas bawah/ tepi kelas modus

d1 : selisih antara frekuensi kelas dengan frekuensi kelas sebelumnya

d2 : selisih antara frekuensi kelas dengan frekuensi kelas sesudahnya

i : Interval dalam kelas

𝑀𝑜 = 𝐿 +𝑑1

𝑑1 + 𝑑2× 𝑖 𝑀𝑜 = 447,5 +

4

4 + 6× 143 = 504,7