Unit Pelajaran 2 Fungsi I

Unit 2 Fungsi I|9

UNIT PELAJARAN 2

FUNGSI I

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat: 1. Menakrifkan hubungan, fungsi, jenis fungsi, domain dan julat bagi suatu fungsi. 2. Mengambarkan fungsi dengan pelbagai perwakilan.

3. Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi. . 4. Mengenal pasti fungsi menokok, menyusut, fungsi genap dan ganjil.

. 5. Mencari fungsi songsangan daripada fungsi satu-satu. PENGENALAN

ajuk berkenaan fungsi adalah suatu yang sangat penting dalam bidang kalkulus. Fungsi

secara ringkasnya adalah suatu bentuk hubungan yang tertakrif antara satu set input

dan satu set output. Kita namakan set yang berhubungan tersebut dengan nama

domain dan julat. Ada ketika input kepada fungsi yang disebut sebagai hujah manakala output

T

Kalkulus Asas|10

yang dipanggil nilai. Fungsi sentiasa menjadi tumpuan penyiasatan dalam kebanyakan bidang

kajian matematik moden. Terdapat banyak cara untuk kita menggambarkan atau mewakili fungsi.

Pada kebiasaannya, fungsi boleh ditakrifkan oleh formula atau algoritma yang menceritakan

bagaimana untuk mengira output daripada input yang diberikan. Cara lain yang digunakan adalah

melalui rajah yang dipanggil graf fungsi. Dalam kajian sains, fungsi kadang-kadang ditakrifkan

melalui penggunaan jadual yang menghubungkan output bagi input dipilih atau dicerap. Fungsi

boleh juga digambarkan melalui hubungan dengan fungsi-fungsi lain, contohnya sebagai fungsi

songsang, gubahan atau sebagai penyelesaian persamaan perbezaan.

Di dalam unit ini, kita akan mengenali fungsi, ciri-ciri suatu fungsi, hubungan set input dan set

output. Perwakilan yang lazim bagi fungsi akan diperkenalkan bersama dengan pelbagai tatatanda

yang berkaitan. Tumpuan kita adalah kepada bentuk persamaan matematik dan graf fungsi kerana

perkembangan unit-unit selanjutnya amat memerlukan kedua-dua perwakilan ini.

2.1 Hubungan

Takrif 2.1 Hubungan antara set X dengan set Y ialah pemetaan unsur-unsur dalam set X kepada

unsur-unsur dalam set Y. Set unsur-unsur di dalam X dinamakan domain dan set imejnya di dalam

Y dinamakan julat. Set Y dinamakan kodomain bagi hubungan.

Layari Laman Web di bawah untuk nota dan latihan tambahan mengenai fungsi

https://www.khanacademy.org/math/algebra/algebra- functions/relationships_functions/v/graphical-relations-and-functions

http://www.sparknotes.com/math/algebra2/functions/section1.rhtml

Unit 2 Fungsi I|11

Katakan { }= 1,2,3X dan { }= 1,4,9Y . Gambarajah anak panah pada Rajah 2.1 menunjukkan

hubungan ‘kuasa dua adalah’ dari set X ke set Y. Biarkan H sebagai hubungan tersebut maka

→:H X Y

Rajah 2.1

Kita boleh mewakilkan hubungan dengan menggunakan

a) Pasangan tertib

b) Pemetaan

c) Bentuk-bentuk berikut:

i) graf

ii) jadual

iii) persamaan

Merujuk contoh diatas

a) H diwakili dengan set pasangan tertib

H = { }{ }1,1},{2, 4 ,{3,9}

b) H diwakili dengan satu pemetaan sebagaimana Rajah 2.1.

c) H diwakili dengan graf (Rajah 2.2)

X ‘H = kuasa dua adalah’ Y

è 1

è 4

è 8

è 9

1 è

2 è

3 è

Kalkulus Asas|12

0 1 2 3 4x0

2

4

6

8

10y

Rajah 2.2

d) H diwakili dengan jadual

Jadual 2.1

e) H diwakili dengan persamaan, = =2, 1,2,3.y x x

2.1.1 Jenis-jenis Hubungan

Terdapat 4 jenis hubungan iaitu:

a) Hubungan satu – satu.

Hanya satu unsur dari domain dipetakan kepada hanya satu unsur daripada kodomain.

b) Hubungan banyak – satu.

Terdapat dua atau lebih unsur daripada domain dipetakan kepada satu unsur dalam

kodomain.

x 1 2 3y 1 4 9

Unit 2 Fungsi I|13

c) Hubungan satu – banyak.

Terdapat satu unsur daripada domain yang mempunyai dua atau lebih imej.

d) Hubungan banyak – banyak.

Terdapat dua atau lebih unsur yang mempunyai imej yang sama, juga terdapat dua atau

lebih imej daripada satu unsur yang sama.

1. Cuba anda tentukan jenis hubungan bagi contoh-contoh di bawah.

a) b)

c) d)

0 2 4 6 8 10x0

2

4

6

8

10y

0 2 4 6 8 10x0

2

4

6

8

10y

Latihan Formatif 2.1

Kalkulus Asas|14

2.2 Fungsi

Takrif 2.2 Fungsi adalah hubungan satu-satu dan hubungan banyak-satu yang memetakan unsur-

unsur dari suatu set yang dinamakan domain kepada set imej yang dinamakan julat.

2.2.1 Tatatanda Fungsi

Katakan f adalah fungsi yang memetakan unsur-unsur dari set X kepada unsur-unsur dalam set Y.

Kita tulis fungsi tersebut sebagai,

:f X Y→ .

Biarkan x X∈ dan y Y∈ , ‘y adalah imej bagi x di bawah hubungan f ’ dan ditulis sebagai

( )y f x= . Kita boleh menulis pemetaan unsur dengan :f x y→ tetapi ( )y f x= biasa digunakan

dalam proses pengiraan.

Sekarang, mari kita lihat beberapa contoh ringkas dan mengenali unsur, imej, domain dan julat.

Contoh 2.1

Katakan ( ) 2 5f x x= + , 2,5,6,9,10x = . Maka f boleh diwakil dengan pasangan tertib sebagai

{ }{2,9},{5,15},{6,17},{9,23},{10,25} .

Disini, Unsur: 2,5,6,9,10 .

Imej: 9 adalah imej kepada 2, ( )2 2(2) 5 9f = + = ,

15 adalah imej kepada 5, ( )5 2(5) 5 15f = + = , dan seterusnya.

Domain: { }2,5,6,9,10fD = . Julat: { }9,15,17,23,25fJ = .

Unit 2 Fungsi I|15

Contoh 2.2

Katakan ( ) 2 5f x x= + , x∈ . Kita boleh wakilkan fungsi dengan graf berikut (Rajah 2.3).

-4 -2 2 4 6 8 10x

5

10

15

20y

Rajah 2.3

Disini, Imej: 5 adalah imej kepada 0, ( )0 2(0) 5 5f = + = ,

16.6 adalah imej kepada 5.8, ( )5.8 2(5.8) 5 16.6f = + = , dan sebagainya.

Domain: fD = .

Julat: fJ = .

Perbincangan lanjut tentang domain dan julat bagi suatu fungsi akan dibuat dalam subtajuk yang

akan datang.

Contoh 2.3 Tentukan samada setiap hubungan di bawah merupakan fungsi atau tidak.

a) : 7, f x x x→ − ∈

b) 2: 5 7, g x x x x→ + + ∈

c) : 5, , 5h x x x x→ − ∈ ≥ .

d) 2 2 4, x y x+ = ∈ .

Kalkulus Asas|16

Penyelesaian:

a) : 7f x x→ − ⇒ ( ) 7f x x= −

f adalah unik bagi setiap nilai x∈ . f adalah fungsi kerana hubungan satu-satu.

b) 2: 5 7g x x x→ + + ⇒ ( ) 2 5 7g x x x= + +

apabila ( )3, 3 1x g= − − = ,

( )2, 2 1x g= − − = .

Oleh itu ( )g x mempunyai nilai yang sama dari dua nilai x yang berbeza. ( )g x adalah

fungsi kerana hubungan banyak-satu.

c) : 5h x x→ − ⇒ ( ) 5h x x= −

( )h x adalah unik bagi setiap nilai x∈ . ( )h x adalah fungsi kerana hubungan 1-1.

d) 2 2 4x y+ = ⇒

24y x= ± −

Jelas bahawa y ada dua nilai apabila 2 2x− < < . Oleh itu persamaan tersebut bukan

satu fungsi.

Kita boleh juga menentukan satu hubungan yang diberi adalah suatu fungsi atau tidak dengan

menggunakan graf.

Unit 2 Fungsi I|17

Ujian garis menegak untuk fungsi

Bagi sebarang garis menegak yang bersilang dengan suatu graf lebih daripada satu kali maka graf

tersebut tidak menakrifkan y sebagai fungsi kepada x. Rajah 2.4, menunjukkan bagaimana

penggunaan ujian garis menegak untuk menentukan samaada graf berikut adalah fungsi atau

tidak.

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

(a) (b) (c)

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

(d) (e) (f)

Rajah 2.4

Graf (a), (b), (c) dan (d) adalah fungsi kerana garis menegak hanya bersilang pada satu titik

sahaja. Manakala graf (e) dan (f) bukan mewakili fungsi.

Kalkulus Asas|18

Contoh 2.4 Fungsi h di beri oleh 2: 5 3h x x x→ + + , x∈ . Cari

a) ( )4h

b) ( )2h x −

c) nilai atau nilai-nilai x yang imejnya ialah 3

d) nilai x sedemikian sehingga ( )h x x= .

Penyelesaian

a) ( ) = + +2 5 3h x x x ⇒ ( ) 24 4 5(4) 3 39h = + + =

b) ( ) 2 5 3h x x x= + + ⇒ ( ) ( ) ( )22 2 5 2 3h x x x− = − + − +

2 3x x= + −

c) 23 5 3x x= + + ⇒ 2 5 0x x+ =

( )5 0x x + =

0x = atau 5x = − .

d) 2 5 3x x x= + + ⇒ 2 4 3 0x x+ + =

( )( )3 1 0x x+ + =

3x = − atau 1x = − .

Unit 2 Fungsi I|19

1. F adalah hubungan dari set A kepada set B. Jika { }1,2,3,4A B= = , nyatakan sama ada f

adalah fungsi atau tidak jika f diberi dengan perwakilan berikut;

a) { } { } { } { } { }{ }1,1 , 1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,4

b) { } { } { } { }{ }1,3 , 3,1 , 2,4 , 4,2

c) { } { } { } { } { }{ }1,3 , 3,1 , 2,3 , 2,2 , 4,2

2. Nyatakan sama ada setiap hubungan berikut mentakrifkan suatu fungsi atau tidak;

a) 2 4 , 0y x x= ≥

b) 1, , 0xy x y= >

c) 5 3 , y x x x= + ∈

d) 3 1, x y x+ = ∈

3. Fungsi f di beri oleh 3: 25f x x x→ − , x∈ . Cari

a) ( )3f

b) ( )f x−

c) nilai β jika ( ) 0f β = .

Fikirkan. Jika h adalah sebarang fungsi.

Apakah ( )3h x + setara dengan ( ) ( )3h x h+ ?

Apakah ( )h x− setara dengan ( )h x− ?


Kalkulus Asas|20

2.2.2 Domain dan Julat

Katakan suatu fungsi : ,f X Y→ ,x X∈ y Y∈ . Domain bagi suatu f adalah set unsur-unsur x

yang dipetakan kepada imej-imej y . Set bagi imej dikenali sebagai julat. Tatatanda bagi domain

adalah fD , manakala untuk julat pula adalah fJ . Kita boleh menulis domain dan julat dengan

menggunakan tatatanda selang.

Perhatian Domain bagi suatu fungsi biasanya diberi, jika tidak diberi kita boleh menentukannya

secara aljabar atau secara graf.

Berikut adalah contoh fungsi untuk kita tentukan domain dan julatnya.

Katakan f adalah hubungan 'kuasa-dua adalah' antara set A dengan set B.

Rajah 2.5

Domain { }2, 1,0,1,3fD = − −

Kodomain { }0,1,3,4,6,9,10B =

Julat { }0,1,4,9fJ = .

Perhatikan

fJ B⊆

Unit 2 Fungsi I|21

Menentukan domain dan julat secara graf

Untuk menentukan domain dan julat suatu fungsi, kita hendaklah memahami fungsi daripada

bentuk grafnya.

Contoh 2.5

Katakan 2: , 1 3f x x x→ ≤ ≤ . Kita boleh tuliskan sebagai ( ) 2 , 1 3f x x x= ≤ ≤ dan diwakilkan

dengan graf seperti

-4 -2 2 4x

2

4

6

8

10y

Domain { }: 1 3fD x x= ≤ ≤ atau [ ]1,3fD =

Julat ( ) ( ){ }: 1 9fJ y f x f x= = ≤ ≤ atau [ ]1,9fJ =

Contoh 2.6

Katakan 2: , 2 3f x x x→ − ≤ ≤ .

Kita boleh tuliskan sebagai ( ) 2 , 2 3f x x x= − ≤ ≤ dan diwakilkan dengan graf seperti

Kalkulus Asas|22

-4 -2 2 4x

2

4

6

8

10y

Domain { }: 2 3fD x x= − ≤ ≤ atau [ ]2,3fD = −

Julat ( ) ( ){ }: 0 9fJ y f x f x= = ≤ ≤ atau [ ]0,9fJ =

Contoh 2.7

Katakan 2:f x x→ . Oleh kerana domain bagi f tidak diberi maka kita boleh tentukan berdasarkan

persamaannya sahaja. Daripada ( ) 2f x x= , f tertakrif untuk semua nilai x oleh itu x∈ . Graf

bagi fungsi adalah

-4 -2 2 4x

2

4

6

8

10y

Domain: { }:fD x x= ∈ atau ( ),fD = −∞ ∞

Julat: ( ) ( ){ }: 0fJ y f x f x= = ≥ atau [ )0,fJ = ∞

Kita ambil nilai y yang terendah kepada yang tertinggi pada graf

Unit 2 Fungsi I|23

Contoh 2.8

Katakan : 2f x x→ + . Daripada fungsi f, ia tertakrif apabila 2 0x + ≥ maka 2x ≥ − . Berikut

adalah graf fungsi f

-2 2 4 6 8 10x

-1

1

2

3

4y

Domain: { }: 2fD x x= ≥ − atau [ )2,fD = − ∞

Julat: ( ) ( ){ }: 0fJ y f x f x= = ≥ atau [ )0,fJ = ∞

Menentukan domain dan julat secara aljabar

Telitikan contoh-contoh berikut bagi menentukan domain dan julat bagi sesuatu fungsi dengan

menggunakan cara aljabar.

Contoh 2.9

Cari domain dan julat.

a) ( ) 3f x x= +

b) ( ) 12

f xx

=−

c) ( )2

19

f xx

=−

Penyelesaian:

a) ( ) 3f x x= +

f tertakrif apabila 3 0x + ≥ , iaitu 3x ≥ − .

Kalkulus Asas|24

Dengan menggantikan ( )f x y= , kita tulis x dalam sebutan y seperti berikut

3y x= + ⇒

2 3y x= + ,

2 3x y= −

Perhatikan dengan 3x ≥ − maka 2 3 3y − ≥ − seterusnya 0y ≥ . Akhirnya,

{ }, 3fD x x x= ∈ ≥ − , { }, 0fJ y y y= ∈ ≥

b) ( ) 12

f xx

=−

f tertakrif apabila 2 0x − ≠ , iaitu 2x ≠ .


12

yx

=−

⇒

1 2xy

= + ,

Perhatikan dengan 2x ≠ maka 1 2 2

y+ ≠

seterusnya 0y ≠ .

{ }, 2fD x x x= ∈ ≠ atau { }\ 2 , { }, 0fJ y y y= ∈ ≠

atau { }\ 0 .

c) ( )2

19

f xx

=−

f tertakrif apabila 29 0x− > , iaitu ( )( )3 3 0x x− + > ⇒ 3 3x− < < .


2

19

yx

=−

⇒

22

19 xy

− = ,

Unit 2 Fungsi I|25

2

19xy

= ± − .

Perhatikan dengan 3 3x− < < maka 0.y ≠

{ }, 3 3fD x x x= ∈ − < < , { }, 0fJ y y y= ∈ ≠ .

1. Tentukan domain dan julat bagi fungsi berikut :

a) ( ) = 2f x x

b) ( ) 3k x x= +

c) ( ) =−

31

xh xx

d) ( ) = + +2 4 5f x x x

2.2.3 Fungsi Menokok dan Fungsi Menyusut

Takrif 2.3

a) Satu fungsi dikatakan menokok pada selang terbuka, I, jika ( ) ( )1 2f x f x< apabila 1 2x x<

untuk setiap 1 2,x x I∈ .

b) Satu fungsi dikatakan menyusut pada selang terbuka, I, jika ( ) ( )1 2f x f x> apabila

1 2x x< untuk setiap 1 2,x x I∈ .

c) Satu fungsi dikatakan malar pada selang terbuka, I, jika ( ) ( )1 2f x f x= untuk setiap

1 2,x x I∈ .


Kalkulus Asas|26

x1 x2

f Hx1L

f Hx2L

yMenokok

x1 x2

f Hx1L

f Hx2L

yMenyusut

x1 x2

f Hx1L=f Hx2L

yMalar

Rajah 2.6

Rajah 2.6 menunjukkan gambaran fungsi menokok, menyusut dan malar sebagaimana yang

dijelaskan daripada takrif di atas.

Contoh 2.10

Nyatakan selang di mana fungsi berikut menokok, menyusut atau malar

a) b)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

yf HxL=3x2-x3

-6 -4 -2 2 4 6x

-6

-4

-2

2

y

Penyelesaian

a) Fungsi menokok pada selang ( )0,2 , menyusut pada ( ),0−∞ dan ( )2,∞ .

b) Fungsi menokok pada selang ( ), 4−∞ − , menyusut pada ( )4,∞ dan malar pada ( )4,4− .

Unit 2 Fungsi I|27

2.2.4 Fungsi Genap dan Ganjil

Takrif 2.4 Satu fungsi f dikatakan fungi genap apabila ( ) ( ), ff x f x x D− = ∀ ∈ dan dikatakan fungsi

ganjil apabila ( ) ( ), ff x f x x D− = − ∀ ∈ .

Mari kita lihat beberapa contoh fungsi genap, ganjil atau tidak kedua-duanya, serta graf fungsi

yang berkenaan.

Contoh 2.11

Fungsi Genap Fungsi Ganjil Tidak kedua-duanya

-4 -2 2 4x

-2

2

4

6

8y

2y x=

Graf bagi fungsi akan bersimetri

pada paksi y

-4 -2 2 4x

-5

5

y

3y x=

Graf bagi fungsi akan

bersimetri pada titik asalan

O.

-3 -2 -1 1 2 3 4x

-6

-4

-2

2

4y

3 23y x x= −

Kalkulus Asas|28

Contoh 2.12

Tentukan sama ada fungsi berikut adalah fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya.

a) 4 2( ) 3 2 5f x x x= − +

b) 5 3( ) 2 7 4f x x x x= − +

c) 3

2( )2xf x x= +

Penyelesaian

a) 4 2( ) 3 2 5f x x x= − + ,

( ) ( )

( )

4 2

4 2

( ) 3 2 5 3 2 5

f x x x

x xf x

− = − − − +

= − +

=

Oleh itu f adalah fungsi genap.

Graf f adalah suatu graf yang simetri dengan paksi-y.

b) 5 3( ) 2 7 4f x x x x= − + ,

( ) ( ) ( )( )( )

5 3

5 3

( ) 2 7 4

2 7 4

f x x x x

x x x

f x

− = − − − + −

= − − +

= −

Oleh itu f adalah fungsi ganjil. Jelas daripada graf,

fungsi f adalah simetri pada asalan.

-4 -2 2 4x

-5

5

y

-4 -2 0 2 4x

2

4

6

8

10

12y

Unit 2 Fungsi I|29

c) 3

2( )2xf x x= +

( ) ( )

3 32 2( )

2 2x xf x x x

−− = + − = − +

Perhatikan bahawa ( )f x− tidak sama dengan ( )f x atau

( )f x− , maka f bukan fungsi genap atau ganjil.

1. Tentukan samaada fungsi berikut adalah fungsi genap, ganjil atau tidak keduanya.

a) 4 2( ) 7f x x x= +

b) 5 2( )f x x x= +

c) 3( ) 2 3f x x x= −

2.2.5 Fungsi satu - satu

Takrif 2.5 Suatu fungsi f dikatakan satu kepada satu jika setiap unsur berlainan dalam domain

mempunyai imej yang berbeza.

1 2( ) ( )f x f x= jika dan hanya jika 1 2x x=

di mana 1 2, fx x D∈ .

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y


Kalkulus Asas|30

Kita boleh menentukan fungsi 1-1 menggunakan 2 cara berikut:

1. secara teori, dengan membuktikan 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x= ⇔ = ,

2. ujian garis mendatar, iaitu dengan menentukan bilangan titik persilangan yang wujud apabila

satu garisan mendatar dilukiskan pada graf fungsi pada domainnya.

Contoh kontradiksi boleh digunakan bagi membuktikan suatu fungsi itu bukan fungsi 1-1.

Contoh 2.13

Tentukan fungsi berikut 1-1 atau tidak.

a) 2( ) 4f x x= − , x∈

b) 2( ) 3g x x= + , [0,6]x ∈

c) ( ) | |k x x= , x ∈

d) 21:h xx

→ , 0x >

Penyelesaian:

a) 2( ) 4f x x= − , x ∈

Cara 1 :

Katakan 1 2, fx x D∈ , apabila 1 2( ) ( )f x f x= maka

2 21 24 4x x− = −

21 xx ±=

1 2( ) ( )f x f x=∵ dan 1 2x x= ± , maka ( )f x bukan 1-1.

Unit 2 Fungsi I|31

Cara 2 :

-5 5x

-4

-2

2

4

6

8

10y

Garis mengufuk memotong graf ( )f x pada lebih daripada satu titik maka ( )f x bukan 1-1.

Cara 3 : Contoh kontradiksi

Ambil 3,3 fD− ∈ , maka didapati

( 3) 9 3 6f − = − = dan

(3) 9 3 6f = − =

Oleh itu ( 3) (3)f f− = apabila 3 3− ≠ . ( )f x bukan fungsi 1-1.

b) 2( ) 3g x x= + , [0,6]x ∈

Cara 1 :

Katakan 1 2, gx x D∈ , apabila 1 2( ) ( )g x g x= maka 2 21 23 3x x+ = +

1 2x x= ,

1 2( ) ( )g x g x= dan 1 2x x= , maka ( )g x fungsi 1-1.

Kalkulus Asas|32

Cara 2 :

-5 5x

-4-2

2468

10y

Garis mengufuk memotong graf ( )g x hanya pada satu titik maka ( )g x fungsi 1-1.

c. ( ) | |k x x= , x ∈ .

Cara 1 : Cara 2 :

katakan 1 2, kx x D∈ dan 1 2( ) ( )k x k x=

1 2| | | |x x⇒ =

2 21 2x x=

1 2x x= ±

( )k x∴ bukan unsur 1-1.

-5 5x

-4-2

2468

10y

Garis mengufuk memotong graf ( )k x pada

lebih daripada satu titik maka ( )k x bukan 1-1.

Unit 2 Fungsi I|33

Cara 3: Contoh kontradiksi

Ambil 5,5 kD− ∈ , maka didapati

( 5) 5 5k − = − = dan

(5) 5 5k = =

Oleh itu ( 5) (5)k k− = apabila 5 5− ≠ .

( )k x bukan fungsi 1-1.

d) 21:h xx

→ , 0x >

Cara 1 : Cara 2 :

Katakan ( )1 2, 0,hx x D∈ = ∞ , apabila

1 2( ) ( )h x h x= maka

2 21 2

1 1x x

=

1 2x x= ,

1 2( ) ( )h x h x= dan 1 2x x= , maka ( )h x fungsi

1-1.

-5 5x

-4-2

2468

10y

Garis mengufuk memotong graf ( )h x hanya

pada satu titik maka ( )h x fungsi 1-1.

Kalkulus Asas|34

y

x

1. Tunjukkan sama ada setiap fungsi berikut adalah fungsi 1-1 atau tidak.

a) ( ) 1f x = , x R∀ ∈

b) 4( )f x x= , [ 1,1]x∀ ∈ −

c) ( )f x x= , 0x∀ ≥

d) ( ) | |f x x x= + , x R∀ ≥

2.2.6 Fungsi Songsang

Katakan :f x y→ ialah fungsi 1-1 , maka songsangannya ditandakan sebagai 1f − dengan

1 :f y x− → atau 1( )f y x− = .

Gambarajah dibawah menjelaskan hubungan di antara f dan 1f − .

f

( )1x f y−= ( )y f x=

1f fD J −= 1f − 1f f

J D −=

Perhatian Fungsi f mempunyai songsangan 1f − adalah suatu fungsi 1-1. Domian f adalah juga

julat bagi songsangannya, julat bagi f bersamaan dengan domain songsangannya. Selanjutnya

persamaan berikut dipenuhi; 1 1[ ( )] [ ( )]f f x f f x x− −= = , fx D∈ .


Unit 2 Fungsi I|35

Mencari songsangan f

Contoh 2.14

Cari 1( )f x− jika 3( )4

f xx

=+

.

Penyelesaian

Guna keputusan 1[ ( )]f f x x− = ⇒

13

( ) 4x

f x− =+

13 ( ) 4xf x x−= +

1 3 4( ) xf xx

− −= .

{ : , 4}fD x x x= ∈ ≠ − , ( ){ : ( ) , 0}fJ x f x f x= ∈ ≠

Contoh 2.15

Diberi

i. 3( ) 3 4f x x= + , ii. 3( )2

xg xx

=−

.

a) Cari domain dan julat bagi f dan g .

b) Cari 1f − dan 1g− jika wujud.

Penyelesaian:

i) 3( ) 3 4f x x= +

a) fD = , fJ =

b) f adalah fungsi 1-1 kerana

Kalkulus Asas|36

1 23 3

1 2

1 2

( ) ( )3 4 3 4f x f x

x xx x

=

+ = +=

Oleh itu fungsi songsang bagi f wujud. Dengan menggunakan 1[ ( )]f f x x− =

1 33[ ( )] 4f x x− + =

( )31 4( )3

xf x− −=

131 4( )

3xf x− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

ii) 3( )2

xg xx

=−

.

a) { : , 2}gD x x x= ∈ ≠ , 1 { : , 3}g gJ D x x x−= = ∈ ≠

b) Fungsi g adalah 1-1, kerana

( ) ( )

=

=− −

− = −

=

1 2

1 2

1 2

1 2 2 1

1 2

( ) ( )3 3

2 22 2

g x g xx x

x xx x x xx x

Dengan menggunakan 1[ ( )]g g x x− = maka ( )

( )1

1

3 ( )( ) 2

g xx

g x

−

−=

−

( ) ( )1 13 ( ) ( ) 2g x g x x x− −= −

1 2( )

3xg x

x− =

−

Unit 2 Fungsi I|37

Graf fungsi dan songsangannya

Graf bagi songsangan fungsi ( )y f x= , iaitu 1( )y f x−= boleh diperolehi dengan memantulkan

graf ( )y f x= pada garis y x= .

Berikut beberapa contoh graf fungsi dan songsangan.

Contoh 2.16

a) ( ) 3 5f x x= − , 1 5( )3

xf x− +=

1f fD J −= = , 1f f

J D −= =

f

f -1

y=x

-5 5 10x

-5

5

10y

b) 3( )f x x= , 1 3( )f x x− =

1f fD J −= = , 1f f

J D −= = f

f -1

y=x

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

c) ( ) 2f x x= + , 1 2( ) 2f x x− = −

[ 2,7]fD = − , [0,3]fJ =

f

f -1

y=x

-4 -2 2 4 6 8x

-4

-2

2

4

6

8

10y

Kalkulus Asas|38

1. Takrifkan fungsi songsangan untuk setiap fungsi yang berikut.

a) 2( ) 2f x x→ + , x +∈

b) 4( )f xx

→ , { }/ 0x ∈

c) 2( ) ( 1) 3f x x→ + + , x +∈

RUMUSAN

Dalam unit ini kita telah membincangkan beberapa konsep penting berkaitan dengan fungsi.

Perkenalan ini diharap dapat diperkukuhkan oleh pelajar dengan latihan-latihan yang banyak

daripada buku-buku teks. Kita akan mengaplikasikan pengetahuan daripada unit ini secara

langsung pada unit selanjutnya iaitu Fungsi II. Pemahaman tentang domain dan julat, serta

songsangan suatu fungsi akan membantu kita untuk melakarkan graf-graf bagi fungsi khusus

seterusnya menyelesai masalah yang berkaitan.

KATA KUNCI

Hubungan, Fungsi, Domain, Julat, Fungsi Songsang.


Unit 2 Fungsi I|39

1. Tentukan domain dan julat bagi fungsi berikut :

a) ( ) ( )= − ∈23 , g x x x

b) ( ) [ ]( ]

2 3, 1,05, 0,1

x xf x

x⎧ + ∈ −⎪= ⎨ ∈⎪⎩

2. Lakarkan graf fungsi dan nyatakan domain dan julat;

a) ( ) 4k x =

b) ( ) 6 3h x x= − +

c) ( ) 22f x x= −

d) 13

yx

=+

3. Lakarkan graf fungsi berikut dan tentukan domain dan julat;

a) ( )− ≥⎧

= ⎨ <⎩

1 , 0, 0x x

f xx x

b) ( )2

0, 1 01, 0

0 14 ,

xf x x

xx

− < <⎧⎪= =⎨⎪ < <⎩

c) ( )3, 5

2, 5 53, 5

x xf x x

x x

− + >⎧⎪= − − < ≤⎨⎪ + ≤ −⎩

Latihan Sumatif

Kalkulus Asas|40

4. Di beri ( ) 22 4 5f x x x= + + dan ( ) 23 6 7g x x x= − − − .

a) Tukarkan fungsi dalam bentuk ( )2a x h k− + .

b) Nyatakan domain dan julat fungsi.

c) Nyatakan titik maksimum atau titik minimum bagi setiapnya.

5. Domain suatu fungsi h ialah dengan h ditakrifkan oleh 2: 2h x x→ + .

a) Apakah imej bagi 6, 1,0,2− − ?

b) Apakah unsur dalam domain dengan imej 18?

c) Apakah julat bagi fungsi h?

6. Lakarkan graf bagi fungsi ( ) 3f x x= − bagi − < <5 5x . Nyatakan julat bagi f.

Seterusnya cari domain bagi x yang sepadan dengan julat bagi ( )1 7f x≤ ≤ .

7. Tentukan samaada fungsi-fungsi di bawah adalah genap, ganjil atau tidak kedua-duanya;

a) 2( )f x x=

b) 3( )f x x=

c) ( )f x x=

d) ( ) 1f x x= +

e) 5

2( )1x xf x

x−

=+

f) ( ) 2f x =

Unit 2 Fungsi I|41

8. Cari 1f − bagi fungsi-fungsi berikut;

a) ( ) 3 5f x x= −

b) 3( )f x x=

c) ( ) xf x e= , 0x ≥

d) ( ) 2f x x= + , [ ]2,7x ∈ −

Tentukan domain dan julat 1f − .

9. Takrifkan fungsi songsang untuk setiap fungsi yang berikut;

a) :2

xf xx

→+

, { }/ 2x ∈

b) 1:1

xf xx−

→+

, { }/ 1x ∈ −

c) 2 3:1

xf xx+

→−

, { }/ 1x ∈ .

10. Takrifkan fungsi songsangan untuk setiap fungsi yang berikut;

a) ( ) 3 2f x x→ − , x ∈

b) 2( ) 2f x x→ + , x ∈ , 0x ≥

c) 4( )f xx

→ , x ∈ , 0x ≠

d) 2( ) 1f x x→ − , x ∈ , 1x ≥

e) 2( ) ( 1) 5f x x→ + + , x ∈ , 0x ≥ .

11. Dua fungsi f dan g ditakrifkan oleh 3: xf xx+

→ , 0x ≠ dan : 2g x x→ . Cari;

a) 1g − b) g f

Kalkulus Asas|42

12. Katakan :f + → adalah suatu fungsi yang ditakrifkan oleh 1( )f xx−

= . Carikan 1f −

dan lakarkan grafnya.

13. Diberi : af xb x

→−

adalah sedemikian hingga ( 2) 5f − = dan 1( 2) 4f − − = . Carikan nilai

a dan b. seterusnya nilaikan 1(4)f − .

RUJUKAN

Hestenes, M. D. & Hill, R. O. (1986). Algebra and trigonometry. New Jersey: Prentice-Hill, Inc..

Larson, R. & Hostetler, R. P. (2004). Algebra and Trigonometry (6th. Ed.). Boston, MA: Houghton Mifflin.

Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2003). Algebra and trigonometry with analytic geometry (I0th. Ed.).

Brooks Cole: Pacific Grove.

Unit 2 Fungsi I|43

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF


1. a) 1-Banyak b) Banyak-banyak c) 1-Banyak d) 1-1


1. a) bukan b) ya c) ya

2. a) bukan b) ya c) ya d) ya

3. a) - 48 b) ( ) 3 25f x x x− = − + c) 0,5,-5


1. a) [ ): , : 0,f fD J ∞ b) [ ) [ ): 3, , : 0,k kD J− ∞ ∞

. c) { } { }: / 1 , : / 3h hD J d) : , :f fD J


1. a) genap b) tidak kedua-duanya c) ganjil


1. a) bukan b) bukan c) 1-1 d) 1-1


1. a) → − ≥( ) 2, 2f x x x

Kalkulus Asas|44

b) 4( )f xx

→ , { }/ 0x ∈

c) ( ) 3 1f x y→ − − , 3x ≥

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. a) : , :g gD J b) [ ] [ ] { }: 1,1 , : 1,3 5f fD J− ∪

2. a) b)

-10 -5 5x

2

4

6

8

10y

{ }: , : 4k kD J

-10 -5 5 10x

-10

-5

5

10y

: , :h hD J

c) d)

-10 -5 5x

-10

-5

5

y

( ]: , : ,2f fD J −∞

-6 -4 -2 2 4 6x

-6

-4

-2

2

4

6y

{ } { }: / 3 , : / 0y yD J−

Unit 2 Fungsi I|45

3. a) b)

-6 -4 -2 2 4 6x

-6

-4-2

24

6y

( ]: , : ,1f fD J −∞

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

( ) [ )−: 1,1 , : 0,4f fD J

c)

-6 -4 -2 2 4 6x

-6-4-2

246

y

( ]: , : , 2f fD J −∞ −

4. a) ( ) ( )22 1 3f x x= + + , ( ) ( )23 1 4g x x= − + −

b) [ ): , : 3,f fD J ∞ , ( ]: , : , 4g gD J −∞ −

c) ( )1,3− Min, ( )1, 4− − Min

5. a) 38,3,2,6

b) 4,4−

c) [ ): , : 2,h hD J ∞

Kalkulus Asas|46

6.

-10 -5 5x

2

4

6

8

10y

[ ): 0,8fJ , [ ]: 4,1fD − , atau [ ]: 4,10fD

7.

a) even

b) odd

c) even

d) neither

e) odd f) even

8. a) 1 5( )3

xf x− += 1f f

D J −= = , 1f fJ D −= =

b) 1 3( )f x x− = 1f fD J −= = , 1f f

J D −= =

c) 1( ) lnf x x− = [ )1 0,f fD J −= = ∞ , [ )1 1,f f

J D −= = ∞

d) 1 2( ) 2f x x− = − [ 2,7]fD = − , [0,3]fJ =

9. a) 1 2:1

xf xx

− →−

, x ∈ , 1x ≠

b) 1 1:1

xf xx

− +→

− , x ∈ , 1x ≠

c) 1 3:2

xf xx

− +→

− , x ∈ , 2x ≠

10. a) 1 1( ) ( 2)3

f x x− = + , x R∈

b) 1( ) 2f x x− = − , x R∈ , 2x >

Unit 2 Fungsi I|47

c) 1 4( )f xx

− = , x ∈ , 0x ≠

d) 1 : 2f x x− = − , 1x ≥ −

e) 1( ) 1 5f x x− = − + − , 6x ≥

11. a) 31x −

, 1x ≠ b) 2x , x ∈

12.

1 1( )f xx

− = − , 0x < , 0y >

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

y=-1x

13. 20, 6; 1a b= − = − −

Unit Pelajaran 2 Fungsi I

Documents

Transcript of Unit Pelajaran 2 Fungsi I