VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PELUANG -...
Transcript of VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSI PELUANG -...
VARIABEL RANDOM DAN
DISTRIBUSI PELUANG
Dr. Vita Ratnasari, M.Si02/10/2013
1'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Definisi Variabel Random
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
2
Variabel random ialah
Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real
pada setiap unsur dalam ruang sampel.
Variabel random dinyatakan dengan huruf besar : X
Sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil : x
Contoh 1
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
3
Dua bola diambil satu demi satu tanpa dikembalikandari suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam. Bila Y menyatakan jumlah bola merah yang diambilmaka nilai y yang mungkin dari variabel random Y adalah:
Solusi:
Y = jumlah bola merah yang diambil
S = {Y|y = 0,1,2}
MM 2
MH, HM 1
HH 0
R
u
a
n
g
s
a
m
p
e
l
Type Variabel Random
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
4
1. Ruang sampel DiskritJika suatu ruang sampel mengandung titikyang berhingga banyaknya atau sederatananggota yang banyaknya sebanyaknyabilangan bulat.
2. Ruang sampel KontinouBila ruang sampel mengandung titik sampelyang tak berhingga banyaknya danbanyaknya sebanyak titik pada sepotonggaris.
f(x) = p(x) = P(X = x) = fgs dist peluang
= fungsi padat peluang
= pdf = probability density function
F(X = x) = P(X ≤ x)
= cdf = cumulative distribution function
dx
xdFxf
02/10/2013
5
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Sifat Distribusi peluang variabel random
1.
2.
3. Variabel random
4. Diskrit
5. Variabel random
6. Kontinou
1)(0 ixf
ii xXPxf )(
i
ixf 1)(
xt
tfxXPxF )()()(
1
i
ixf
dttfxXPxF
x
x
)()(
02/10/2013
6
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Contoh 2
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
7
Sebuah kontraktor mempunyai 4 mesin yang
digunakan pada suatu proses produksi.
Diramalkan mesin mempunyai rata-rata usia
pakai 10 tahun.
Tentukan ruang sampel dari variabel random x.
Misal: X menyatakan jumlah mesin dalam keadaan baik.
Solusi
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
8
X: jumlah mesin dalam keadaan baik setelah 10 th
S: {X|x = 0,1,2,3,4}
Kondisi mesin bil real (x)
BBBB 4
BBBR, BBRB, BRBB, RBBB 3
BBRR, BRRB, RRBB, RBRB, RBBR, RBRB 2
BRRR, RBRR, RRBR, RRRB 1
RRRR 0
Distribusi Peluang
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
9
Distribusi peluang suatu variabel random X
adalah himpunan nilai peluang variabel
random X yang ditampilkan dalam bentuk
tabel dan atau gambar.
X X1 X2 ... Xk
Peluang f(x1) f(x2) ... f(xk)
Distribusi peluang keadaan mesin baik setelah 10 tahun
BBRR B
RBR R
BBR
RBRB R
RBB B
RRB RRRR
BRRR R
BRR
RRBR R
RRB
BBBR B
BRB
BRBB R
BBB
BBBB
02/10/2013
10
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
X 4 3 2 1 0
P(X) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
Berdasarkan Contoh 2:
a. Tentukan peluang lebih dari 2 mesin yang baik dengan
usia lebih dari 10 tahun:
b. Tentukan peluang paling banyak 1 mesin baik dengan
usia lebih dari 10 tahun:
c. Tentukan peluang antara 1 sampai 2 mesin baik dengan
usia lebih dari 10 tahun:
4 1 5( 2)
16 16 16P X
16
5
16
4
16
1)1( XP
16
10
16
6
16
4)21( XP
02/10/2013
11
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Contoh 3
Sebuah pengiriman 8 komputer pc yang sama ke suatu toko
mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2
komputer secara random,
Tentukan distribusi peluang banyaknya komputer yg cacat.
X = banyaknya komputer yang cacat = {0, 1, 2}
f(0) = P(X = 0)
f(1) = P(X = 1)
f(2) = P(X = 2)
02/10/2013
12
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
13
;
Distribusi Probabilitas
3 5
0 2
8
2
10(0) ( 0)
28
C Cf P X
C
3 5
1 1
8
2
15(1) ( 1)
28
C Cf P X
C
3 5
2 0
8
2
3(2) ( 2)
28
C Cf P X
C
X = 0 X = 1 X = 2
f(x) 1028
1528
328
Contoh 4:
Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam 0C padapercobaan laboratorium, merupakan variabelrandom X yang mempunyai fungsi padat peluang:
a. Tunjukkan bahwa
b. Cari
c. Carilah fungsi kumulatifnya
2
, 1 23
0 ,
xx
f x
lainnya
1f x dx
0 1P X
02/10/2013 14'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Solusi:
a.
b.
22 2 3
1 1
8 11
3 9 9 9
x xdx
11 2 3
0 0
10 1
3 9 9
x xP X dx
02/10/2013 15'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
c. Untuk -1 < x < 2
jadi:
2 3 3
1 1
1
3 9 9
xx xt t x
F x f t dt dt
3
0 1
11 2
9
1 2
x
xF x x
x
02/10/2013 16'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Beberapa distribusi peluang Diskrit a.l:
1. Distribusi Uniform
ialah suatu kejadian yang mempunyai probabilitas
yang sama.
misal:
Probabilitas mata dadu keluar angka 5:
Probabilitas mata uang keluar muka:
k
xf1
6
1
2
1
02/10/2013
17
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
2. Distribusi Binomial
- Peristiwa terjadi n kali percobaan/kejadian.
- Tiap peristiwa menghasilkan 2 kemungkinan,
‘sukses’ (p) or ‘gagal’ (q).
- Tiap peristiwa terjadi saling independen.
x = 0, 1, 2, … , n
xnxn
x PPCxXP
1
02/10/2013
18
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Contoh 5:
Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan
tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah
a. Peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang
diuji tidak akan rusak.
b. Peluang paling banyak 1 yang rusak dari 4 suku
cadang yang diujikan.
c. Peluang terdapat paling sedikit 3 suku cadang
yang baik dari 4 suku cadang yang diujikan.
02/10/2013
19
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Solusi:
X : Suku cadang yang baik
a. P( X = 2) = ?
b. P( X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4)
c. P( X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4)
4 2 4 2
2; , (1 )B x n p C p p
02/10/2013
20
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
2 4 2
4
2
3 3 32;4, 1
4 4 4B C
3. Distribusi Binomial Negatif
Percobaan seperti kejadian pada Binomial, dengan usaha diulang sampai tercapai sejumlahsukses tertentu.
Jadi banyaknya usaha X untuk menghasilkan k sukses pada n kejadian adalah Variabel random Binomial Negatif.
Distribusi peluangnya disebut distribusi Binomial Negatif.
02/10/2013
21
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Berapa peluang sukses ke-k akan terjadi pada
kejadian ke-n.
Contoh 6:
Peluang cacat pembuatan tiang pancang sebesar0.1. Pada pemeriksaan kualitas dilakukanpengambilan sampel sebanyak 5 item.
knkn
kk qpCnXP
1
1
02/10/2013
22
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Berapa peluang pengambilan tiang pancang yang
ke-5, adalah pengambilan tiang pancang cacat
yang ke-2 ?
Solusi:
Kemungkinan yang terjadi:
1. BBBCC P(BBBCC) = (0.9)(0.9) (0.9)(0.1)(0.1)
2. BBCBC P(BBCBC) = (0.9) (0.9)(0.1)(0.9)(0.1)
3. BCBBC P(BCBBC) = (0.1)(0.9) (0.9)(0.9)(0.1)
4. CBBBC P(CBBBC) = (0.1)(0.9)(0.9) (0.9)(0.1)02/10/2013
23
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Fungsi dist Binomial Negatif
Jadi peluang pengambilan tiang pancang yang ke-4
adalah pengambilan tiang pancang cacat yang
kedua sebesar 2.43 %
5 1 2 5 2
2 2 15P X C p q
2 34
2 15 0.1 0.9 0.02916P X C
02/10/2013
24
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
4. Distribusi Geometrik
Sukses pertama pada kejadian ke-n
Contoh 7:
Pada saat sibuk di suatu sentral telepon mencapaibatas daya sambungnya, sehingga orang tidakmendapat sambungan. Andaikan peluang mendapatsambungan selama waktu sibuk adalah 0.05. Berapapeluang diperlukan 6 kali usaha agar sambunganberhasil.
1
1
npqnXP
02/10/2013
25
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
X = kejadian sambungan berhasil
Diperlukan 6 kali usaha agar sambungan berhasil:
GGGGGS
Jadi peluang yang diperlukan agar 6 kali usaha
dalam melakukan sambungan akan berhasil sebesar
3.6 %
036.095.005.065
1 XP
02/10/2013
26
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
5. Distribusi Hypergeometrik
Banyaknya sukses dalam variabel random ukuran n
sampel yang diambil dari N populasi, yang
mengandung k sifat tertentu dari populasi.
x = 0, 1, 2, …, n
n
N
xn
kN
x
k
C
CCknNxh
N
n
kN
xn
k
x),,;(
02/10/2013
27
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Contoh 8:
Suatu kotak berisi 40 suku cadang, dikatakan
memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih
dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah
dengan memilih 5 suku cadang secara random.
Berapa peluang mendapatkan tepat satu yang cacat
dalam sampel berukuran 5?
3011.0
5
40
4
37
1
3
)3,5,40;1(
h
02/10/2013
28
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
6. Distribusi Poisson
Banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang
waktu atau daerah tertentu.
x = 0, 1, 2, …
e = 2.71828
Sebagai pendekatan untuk distribusi binomial bila n cukup
besar dan p kecil (n > 20 dan p < 0.05)
!)(
x
exf
x
02/10/2013
29
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Contoh 9:
Dari pengalaman masa lalu selama 20 tahun terakhir,
rata-rata terjadi hujan lebat 4 kali per tahun.
Berapa peluang tidak terjadi hujan lebat tahun
depan?
018.0!0
4)0(
40
e
XP t
02/10/2013
30
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Soal-soal
1. Seorang petani jeruk mengeluh karena
dari panen jeruknya terserang suatu virus. Cari
peluangnya bahwa diantara 4 buah jeruk yang
diperiksa dari hasil panen ini:
a. Semuanya terserang virus tersebut.
b. Antara 1 sampai 3 yang terserang virus
tersebut.
c. Cari distribusi peluangnya
3
2
02/10/2013
31
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang
kasar ditemukan bahwa 25 % truk mengalami
kegagalan karena ban pecah. Carilah peluangnya
dari 15 truk yang diuji, jika:
a. 3 sampai 6 mengalami ban pecah
b. kurang dari 4 yang mengalami ban pecah
c. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah
02/10/2013
32
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
3. Dari kotak berisi 10 peluru, diambil 4 secara acak
dan kemudian ditembakkan. Bila kotak itu
mengandung 3 peluru yang cacat yang tidak akan
meledak, berapakah peluang bahwa:
a. keempatnya meledak
b. paling banyak 2 yang tidak akan meledak
02/10/2013
33
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Rata-rata dan varians dari distribusi peluang
Jika X adalah variabel random diskrit dengandistribusi peluang f(x), maka nilai rata-rata X dinyatakan:
E(X) = ekspektasi X
Varians X dinyatakan dgn Var(X) =
i i
i
E X x f x 2
2 22
22 2 2
i i
i
E X X f x
E X E X E X
02/10/2013
34
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Ekspektasi dari Distribusi peluang
Diskrit
Kontinou
dxxfxgxgE
dxxfxXE
xfxgxgE
xfxXE
02/10/2013
35
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Sifat-sifat ekspektasi:
1. E(ax) = a E(x)
2. E(a + bx2) = a + b E(x2)
3. E(xy) = E(x) E(y)
02/10/2013
36
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Standart Deviation
Var (X) = E( X – μ)2
= E(X2) – μ2 , dimana; μ = E(X)
= E(X2) – (E(X)) 2
)()(tan XVariansXDeviasidartS
02/10/2013
37
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Sifat-sifat varians:
1. Varians tidak negatif
2. Var (x + a) = Var (x)
3. Var (bx) = b2 Var (x)
4. Var (a + bx) = b2 Var (x)
02/10/2013
38
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Distribusi Binomial (x; n, p)
Nilai Harapan (expected value)
Varians X
i i
i
E X x f x np
2( ) 1Var X np p
02/10/2013 39'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Distribusi Binomial Negatif (x; k, p)
Nilai Harapan (expected value)
Varians X
1
i i
i
pE X x f x k
p
2
2
(1 )( )
pVar X k
p
02/10/2013 40'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Distribusi Geometrik (x; p)
Nilai Harapan (expected value)
Varians X
1
i i
i
E X x f xp
2
2
(1 )( )
pVar X
p
02/10/2013 41'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Distribusi Hipergeometrik (x; N, n, k)
Nilai Harapan (expected value)
Varians X
i i
i
kE X x f x n
N
2( ) 11
N n k kVar X n
N N N
02/10/2013 42'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Distribusi Poisson (x; )
Nilai Harapan (expected value)
Varians X
E X
Var X
02/10/2013 43'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
contoh 10
Seorang kontraktor memasukkan penawaran tender untuk 3 pekerjaan A, B dan C. Jumlah pesaing untukmendapatkan pekerjaan A, B dan C masing-masing4, 3 dan 2. Andaikan peristiwa A, B dan C bebassecara statistik dan X menyatakan jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkan kontraktor:
a. Tentukan distribusi peluang X
b. Tentukan rata-rata X
c. Tentukan varians X
02/10/2013
44
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Peluang sukses mendapatkan pekerjaan A:
Peluang sukses mendapatkan pekerjaan B:
Peluang sukses mendapatkan pekerjaan C:
X = jumlah total pekerjaan yang akan dimenangkanseorang kontraktor.
15
141
3
4.03
2
4
3
5
40
XP
43.03
1
4
3
5
4
3
2
4
1
5
4
3
2
4
3
5
11
XP
02/10/2013
45
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
149.03
1
4
1
5
4
3
1
4
3
5
1
3
2
4
1
5
12
XP
0167.03
1
4
1
5
13
XP
X 0 1 2 3
f(x) 0.4 0.43 0.149 0.016
E(x) = x f(x) 0 0.43 0.298 0.348
02/10/2013 46'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Jadi rata-rata hanya satu pekerjaan yang akandimenangkan oleh seorang kontraktor.
i
ii xfxx 1076.1
X 0 1 2 3
f(x) 0.40 0.43 0.149 0.016
X2 f(x) 0 0.43 0.596 1.044
02/10/2013 47'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Var (X) = E(X2) – μ2
= E(X2) – (E(X))2
= 2.07 - (1.076)2
= 0.91
i
ii xfxXE 07.222
02/10/2013
48
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Koefisien Variasi ( δx )
Kemencengan (θ)
x
x
x
3
3
x
xXE
02/10/2013
49
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Distribusi Kontinou
1. Distribusi NORMAL
KARL FRIEDRICH GAUSS
- < x <
Simetris
Bell shape
X N ( , 2 )
2
2
1
22
1)(
x
exf
02/10/2013
50
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
51
f(x)
x
Transformasi Normal Standart
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
52
(Transformasi)
menggunakan tabel normal standart
2~ ,X N
~ 0,1Z N
XZ
Contoh 11:
Pendapatan mingguan seorang karyawan diindustri kaca berdistribusi normal dengan mean $ 1.000 dan standart deviasi $ 100.
1. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling banyak $ 900 per minggu.
2. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan paling sedikit $ 1.250 per minggu.
3. Berapa probabilitas karyawan yang berpendapatan antara $ 900 dan $ 1.100 per minggu.
02/10/2013
53
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Solusi:
X = pendapatan mingguan, = $ 1.000 dan = $ 100
a. P( x < 900) =
= = 0.1587
b. P( x > 1.250) =
=
= =
= 0.0062 = 0.62 %
10
000.1900
100
000.1xP
100
100ZP 1ZP
100
000.1250.1
100
000.1xP
100
250ZP 5.2ZP
5.21 ZP 9938.01
02/10/2013
54
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
c. P(900 < x < 1.100) =
= =
=
100
000.1100.1
100
000.1
100
000.1900 xP
100 100
100 100P Z
11 ZP
11 ZPZP = 0.8413 - 0.1587
= 0.6826 = 68.26 %
02/10/2013
55
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
Soal
1. Diketahui distribusi normal : dgn = 40 dan = 5
Tentukan :
a. P(x < 35)
b. P(x > 45)
c. P(20 < x < 50)
d. P(x < k) = 0.05
e. P(x > k) = 0.2578
02/10/2013
56
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
2. Diberikan distribusi normal dengan = 40 dan = 6, dapatkan luasan :
a). Di bawah 32
b). Di atas 27
c). Antara 42 dan 51
d). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan dibawah k = 45%
e). Cari suatu nilai k sedemikian hingga luasan diatas k = 13%
02/10/2013
57
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
3. Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bolam
yang umurnya berdistribusi normal dengan mean 800
jam dan standart deviasinya 40 jam. Hitung
probabilitas sebuah bolam hasil produksinya akan
berumur antara 778 dan 834 jam.
02/10/2013
58
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
4. Kekuatan batang baja yang dibuat dengan prosestertentu diketahui kira-kira mendekati distribusinormal dengan mean 24 dan deviasi standart 3.Para konsumen menghendaki bahwa paling sedikit95% batang tersebut mempunyai kekuatan lebih 20.Apakah kualitas batang baja tersebut sesuaidengan ketetapan konsumen.
02/10/2013
59
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
5. Ukuran mata bor untuk komponen tertentu yangdigunakan dalam proses perakitan (assembly) merupakandimensi (karakteristik) kualitas yang penting. Daripengamatan tiap jam berukuran 4 sampel selama 25 jamdiperoleh : = 4,3 mm, s = 0,243 mm. Batas spesifikasimata bor 4,4 0,2 mm. Biaya scrap dan rework tiap unitmasing-masing $ 2,40 dan $ 0,75. Produksi 1200 unit.
a). Taksir parameter produk yang discrap & rework?
b). Taksir biaya total scrap dan rework tiap hari?
c). Jika rata-rata proses digeser 4,5 mm, jelaskan
dampaknya pada persentase produk yang discrap
dan rework serta biayanya?
02/10/2013
60
'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
x
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
61
6. Tinjau proses pembuatan coil. Diambil sampel berukuran 5
buah tiap jam dan dicatat tingkat resistensinya (ohm)nya.
Data diberikan pada Tabel 1.
Andaikan spesifikasi proses 21 3 ohm
a. Tentukan persentase produk cacat (tidak memenuhi)
spesifikasi bila tingkat resistensi berdistribusi normal.
b. Andaikan tiap hari diproduksi 10000 coil dan coil dengan
tingkat resistensi kurang dari LSL tidak dapat digunakan,
tentukan kerugian bila biaya scrap tiap unit $ 1.
62
Tabel 1
Sampel
ke
Data Sampel
ke
Data
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
20,22,21,23,22
19,18,20,20,22
25,18,20,17,22
20,21,22,21,21
19,24,23,22,20
22,20,18,18,19
18,20,19,18,20
20,18,23,20,21
21,20,24,23,22
21,19,20,20,20
20,20,23,22,20
22,21,20,22,23
19,22,19,18,19
21,6
19,8
20,4
21,0
21,6
19,4
19,0
20,4
22,0
20,0
21,0
21,0
19,4
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
20,21,22,21,22
20,24,24,23,23
21,20,24,20,21
20,18,18,20,20
20,24,22,23,23
20,19,23,20,19
21,21,21,24,22
23,22,22,20,22
21,18,18,17,19
21,24,24,23,23
20,22,21,21,20
19,20,21,21,22
21,2
22,8
21,2
19,2
22,4
20,2
22,0
21,8
18,6
23,0
20,8
20,6
x x
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
63
Tabel 1
mean = 20,816
Standar deviasi = 1,188725
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
64
Tabel 2
Mean = 37,175
Standar deviasi = 1,678933
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
65
7. Tingkat ketebalan magnetic coating pada proses pem-
buatan audio tape merupakan karakteristik kualitas
penting. Suatu sampel berukuran 4 unit dipilih tiap jam
dan tingkat ketebalannya diukur dengan instrument optik
(Tabel 2). Batas-batas spesifikasi proses 38 4,5.
Jika tingkat ketebalan proses coating kurang dari batas
spesifikasi maka digunakan untuk produk lain dengan
melalui proses lain.
a). Berapa persen produk tidak memenuhi batas spesifikasi?
b). Jika rata-rata proses bergeser menjadi 37,8 berapapersen produk akan diterima?
Tabel 2
02/10/2013'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013
66 Sampel ke Sampel ke
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
36,4
35,8
37,3
33,9
37,8
36,1
38,6
39,4
34,4
39,5
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
36,7
35,2
38,8
39,0
35,5
37,1
38,3
39,2
36,8
37,7
THE GOLDEN TRIANGEL
02/10/2013 67'Variabel Random dan Distribusi Peluang' - Sipil Geoteknik 2013