BAB V

P E R S A M A A N D I F E R E N S I A L P A R S I A L

Pokok Bahasan :

Penyelesaian Masalah Syarat Batas Persamaan Konduksi Panas 1 Dimensi Aliran Panas Konduksi 2 Dimensi Getaran Tali (Persamaan Gelombang 1 Dimensi)

5.1 Pendahuluan

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat suatu

fungsi dengan dua atau lebih variabel bebas berikut derivative parsial fungsi

tersebut terhadap variabel - variabel bebasnya. Orde dari PD parsial : tingkat

tertinggi dari derivatif yang ada dalam PD. Derajat dari PD parsial : pangkat

tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang ada dalam PD.

PD parsial dikatakan linier jika hanya memuat derajad pertama dari

variabel - variabel bebasnya dan derivatif - derivatif parsialnya. Beberapa contoh

PD parsial yang penting :

persamaan gelombang satu dimensi

persamaan konduksi panas satu dimensi

persamaan laplace dua dimensi

persamaan poisson dua dimensi

persamaan laplace tiga dimensi

V - 1

Penyelesaian PD parsial : sembarang fungsi yang memenuhi PD secara

identik.

Penyelesaian umum PD parsial : penyelesaian yang terdiri dari sejumlah fungsi

sebarang yang bebas linier ( independent linier) yang banyaknya sama dengan

orde PD nya.

Penyelesaian khusus PD parsial : penyelesaian yang diperoleh dari

penyelesaian umum dengan pilihan khusus dari fungsi – fungsi sembarangnya.

Penyelesaian PD dengan syarat batas adalah penyelesaian PD yang memenuhi syarat-syarat tertentu yang disebut syarat batas.

PD Parsial Linier Orde 2

Persamaan umum :

u = variabel tak bebas, merupakan fungsi dari x dan y

x, y = variabel bebas dari PD

A, B, C, D, E, F, G = koefisien, bisa konstan atau merupakan fungsi dari x atau y tetapi bukan fungsi dari u.

Jika : G = 0 → disebut PD homogen

G ≠ 0 → disebut PD non homogen

Jika B2 - 4ac < 0 → disebut PD Eliptik 2

B2 - 4ac = 0 → disebut PD Parabolis

B2 - 4ac > 0 → disebut PD Hiperbolis

5.2 Penyelesaian Masalah Syarat Batas

5.2.1 Pengintegralan seperti PD biasa

Mencari penyelesaian umum dengan metoda yang digunakan dalam PD biasa (dengan mengintegralkan masing - masing ruas ke setiap variabel bebasnya).

V - 2

(5-1)

Contoh :

a. Selesaikan PD :

b. Tentukan masalah nilai batas yang memenuhi z(x, 0) =x2 ; z(1, y) = cos y

PENYELESAIAN :

→ Diintegralkan terhadap x

→ Diintegralkan terhadap y

PUPD : ; G(x) dan H(y) fungsi sembarang

b.

V - 3

2.Selesaikan PD :

Syarat batas 1 :

Penyelesaian :

Syarat batas 2 :

V - 4

1.1.1. Pemisalan u = eax+by

PD parsial linear orde 2 dengan A,B,C,D,E,F konstan, PU PD ditentukan dengan memisalkan u = eax+by ; a,b konstanta yang harus dicari.

Contoh:

V - 5

V - 6

5.2.3 Pemisahan Variabel

Penyelesaian PD dengan pemisahan variabel adalah penyelesaian PD dengan mengasumsikan bahwa penyelesaian PD merupakan perkalian dari fungsi-fungsi yang hanya tergantung pada satu variabel bebas. Penyelesaian PD dengan pemisahan variabel banyak digunakan dalam berbagai aplikasi misalnya dalam masalah perpindahan panas, getaran dan lain-lain. Perpindahan panas konduksi.

Fluks panas yang melewati bidang datar.

Δn = jarak bidang I dan bidang II

u = temperatur bidang I

u + Δu = temperaur bidang II

Δu = perbedaan temperatur

V - 7

jika u >0 maka aliran panas terjadi dari bidang II mengalir kebidang I,

sebab u+ u >u

Fluks panas = jumlah panas persatuan panjang persatuan waktu n sebanding dengan Δu ; berbanding terbalik dengan Δn

Fluks panas dari I ke II = -k

K = konstanta pembanding = = konduktivitas termal ; k > 0

Δn = 0 ; maka Δu = 0 , karena bidang I dan bidangII makin berimpit,

sehingga,

fluks panas yang melewati bidang I =

Fluks panas yang melewati volume

Misalkan panas masuk dan dan keluar dalam arah x positif, y positif, z positif

Fluks panas yang melewati permukaan elemen volum :

Bidang PQRS =

Bidang NPST =

Bidang NPQW =

Jumlah panas yang masuk pada masing masing sisi bidang selama ∆t =

(Fluks panas) x (luas bidang ) x ∆t sehingga Jumlah panas yang masuk

melalui permukaan elemen volum :

V - 8

Bidang PQRS =

Bidang NPST =

Bidang NPQW =

Jumlah panas yang keluar melalui permukaan elemen volum:

Bidang PQRS =

Bidang NPST =

Bidang NPQW =

Perubahan panas yang terjadi pada volume Δv dalam arah x, y, dan z =

Σ ( panas masuk - panas keluar ) pada masing masing sisi bidang

Perubahan panas dalam volume Δv = Δx Δy Δz adalah :

Arah x =

Arah y =

Arah x =

perubahan yang terjadi dalam volume Δv =

(i)

Jika massa dari volume Δv adalah m, maka banyaknya panas yang

dibutuhkan untuk menaikkan temperatur dari u menjadi u+Δu adalah: m.α.Δu

= ( massa x panas jenis x kenaikan temperatur)

m =ρΔxΔyΔz , ρ = densitas/ massa jenis dari volume v = massa persatuan volume

panas yang dibutuhkan untuk mrnaikkan temperature sampai Δu pada volume

Δv = α ρΔxΔyΔz Δu (ii)

V - 9

panas yang dibutuhkan untuk menaikkan temperatur Δv = dengan jumlah

perubahan panas dari masing masing sisi ; atau (i) = (ii)

jika masing masing ruas dibagi dengan ΔxΔyΔzΔ menjadi:

Jika Δx→0, Δy→0, Δz→0,maka nilai limitnya sama dengan:

Karena k konstan maka :

Persamaan atur untuk konduksi panas 3 dimensi adalah :

Persamaan konduksi panas satu dimensi

V - 10

(5-2)

Batang dengan penampang seragam diisolasi secara lateral. Panjang

batang = L dan diletakkan pada sumbu x. Temperatur pada batang pada suatu

waktu hanya tergantung pada posisi x , u = u(x,t). Persamaan atur untuk konduksi

panas 1 dimensi :

Ada dua macam syarat batas untuk masalah perpindahan panas konduksi yaitu

kondisi batas ( boundary condition ) dan kondisi awal ( initial condition ).Kondisi

batas adalah kondisi pada batas (ujung) batang pada waktu t sembarang. Kondisi

awal adalah temperatur pada x sembarang pada waktu t=0.

Syarat batas untuk perpindahan panas konduksi 1 dimensi adalah :

1. Jika temperatur awalnya adalah f(x) dan temperatur pada ujung dijaga

konstan pada nol, maka kondisi batasnya :

kondisi awal pada t = 0 :

untuk pertimbangan fisis biasanya temperatur dibatasi dengan

2. Bila batang diisolasi secara keseluruhan, termasuk pada x = 0 dan x = L

maka pada x= 0 dan x = L panas tidak bisa masuk atau keluar (fluks

panas = 0) sehingga kondisi batasnya adalah :

Contoh:

1. Tentukan persamaan temperatur dari suatu kawat yang permukaannya

diisolasi kecuali di kedua ujungnya. Ujung kawat diletakkan pada x=0 dan

x=3, temperatur pada ujung kawat dijaga tetap pada 0 , Temperatur awal

pada kawat dinyatakan dengan f(x)= 5 sin 4πx – 3 sin 8πx + 25 sin 10πx

Koefisien difusivitas kawat adalah 2.

V - 11

(5-3)

Penyelesaian :

Persamaan atur :

Syarat batas :

Kondisi batas u(0,t) = u(3,t) = 0° ; t ≥ 0.............................................................. 2

Kondisi awal u(x,0) = 5 sin 4πx - 3 sin 8πx + 2 sin 10πx.;t=0 …………………… 3

Pemisahan variabel: misal PU PD adalah u(x,t) = F(t) G(x)

PD menjadi : F'(t) G (x)= 2F(t) G"(x)............................................................. 4

Persamaan karakteristik: m + 2k2 = 0

m = - 2k2

Penyelesaian persamaan 5 adalah : F(t) = …………………. 6

Persamaan karakteristik: m2 + k2 = 0

V - 12

m2 = - k2 m1.2 = m1,2= k I

Penyelesaian persamaan 7 adalah:

G(x) = eox [A1 Cos kx + B1 sin kx] = A1 Cos kx + B1 sin kx …………..………..... 8

PU PD : u(x,t) = [A1 Cos kx +B1 sin kx] …………………………..…... 9

U(x, t) = [A Cos kx + B sin kx]

Kondisi batas 1: u(0,t) = 0

Penyelesaian PD : u(x, t) =

Kondisi batas 2 : u (3,t) =

Jika B = 0 akan menghasilkan penyelesaian trivial, maka:

sin 3k = 0

3k = mπ (m 0, 1, 2, 3,....... )

K= π …………………………………………………………………… 11

Penyelesaian PD: u(x, t) =

Kondisi awal : u(x,0) = 5 sin 4πx - 3sin 8πx + 2sin10πx

merupakan penyelesaian PD,

juga penyelesaian PD

Berdasarkan prinsip super posisi :

V - 13

juga merupakan penyelesaian

Persamaan temperatur di sepanjang kawat untuk x dan t sembarang:

2. Sama dengan soal no. 1, jika syarat awalnya u(x,0) = 25.

Penyelesaian.Penyelesaian PD dengan syarat u(0,t) = u(3,t) = 0 adalah:

Berdasarkan prinsip super posisi :

juga merupakan penyelesaian PD

kondisi awal : u(x,0) = 25

atau deret Fourier Sinus dari f(x) = 25; 0≤ x ≤ 3

yang konvergen ke f(x) = 25

Koefisien Bm ditentukan dengan :

V - 14

3. Sama seperti soal no.1; jika syarat batasnya adalah:

kondisi batas : u(0,t) = 10, u(3,t) = 40; t >0

Kondisi awal : u(x,0) = 25 ; |u(x, t)| < M

Persamaan atur dimodifikasi menjadi : sehingga

Kondisi batas : V(0,t) = 0, V(3,t) = 0

Kondisi awal : V(x,0) = f(x)

melalui transformasi: u(x,t)=V(x,t)+(x)

PD menjadi:

Jika dipilih "(x) = 0 maka PD akan menjadi:

V - 15

(x) dicari dari:

Jadi (x) = 10x + 10

Persamaan aturnya menjadi :

Kondisi batasnya menjadi :V(0,t) = 0 ; V(3,t) = 0

Kondisi awalnya menjadi : V(x,0) = 15 – 10x

Penyelesaian PD dengan syarat : V(0,t) = V(3,t) = 0 adalah :

Berdasarkan prinsip super posisi :

juga merupakan penyelesaian

Kondisi awal: V(x,0) = 15-10x

Deret Fourier Sinus dari f(x)=15- 10x

Menentukan Bm :

V - 16

Penyelesaian PD : u(xs t) = V(x, t) + (x) = V(x, t) + (10x+ 10)

Suku (10x+10) merupakan temperatur steady-state dari kawat yaitu persamaan

temperatur yang tidak tergantung t.

Aliran panas konduksi 2dimensi, steady state.Persamaan atur dan kondisi batas untuk perpindahan panas konduksi 2

dimensi, steady state adalah :

BC : u(0,y) = u(a,y) = 0

u(x,0) = 0 ; u(x,b) = f(x)

Syarat batas untuk perpindahan panas konduksi 2 D steady state adalah

syarat batas pada sisi-sisi (batas) bidang sehingga disebut masalah ini boundary

V - 17

value problem. Temperatur u(x,y) pada bidang ditentukan dengan menyelesaikan

boundary value problem tersebut di atas dengan menggunakan metode

pemisahan variabel :u(x,y) = F(x) G(y)

Pemisahan variabel : u(x,y) = F(x) G(y)

PD menjadi :

u(x,y) = F(x) G(y) = (C1sin px + C2cos px) (C3 epy + C4e-py)

Kondisi batas : u(0,y) = 0, maka

u(0,y) = (C1.0 + C2.1) (C3epy + C4 e-py) = 0 C2 = 0

u(x,y) = C1sin px (C3 epy + C4e-py) = sin px (Aepy+Be-py)

Kondisi batas : u (a,y) = 0, maka

Sin pa (A epy+B e-py) = 0 sin pa = 0

: adalah penyelesaian PD

n = 1, 2, 3, ….

Berdasarkan prinsip superposisi diperoleh PUPD

Kondisi batas : u(x,0) = 0

V - 18

Kondisi batas : u(x,b) = f(x)

Sehingga Penyelesaian dari PD adalah :

: dimana

Getaran tali (persamaan gelombang dimensi 1)Jika seutas tali (benang, senar gitar dan sebagainya) yang panjangnya L

direntang sampai mencapai tegangan maksimum dan kedua ujungnya diikat

pada posisi tetap di x = 0 dan x = L, kemudian digetarkan, maka posisi tali akan

menyimpang dari posisi setimbang.

V - 19

Untuk merumuskan persamaan dari getaran tali, digunakan asumsi sebagai

berikut :

1. Massa persatuan panjang dari tali konstan (tali homogen).

2. Tali elastis sempurna, sehingga tidak ada gaya luar yang

mempengaruhi getaran tali (tali bergetar semata-mata karena

keelastisannya)

3. Karena tegangan tali maksimum, maka tali maksimum, maka nilai

gaya grafitasi bisa diabaikan

4. Setiap partikel tali hanya bergerak secara vertical secara koefisien

Karena partikel tali hanya bergerak secara vertikel, maka

T1 cos α = T2 cos = T = konstanSehingga resultan gaya yang bekerja adalah :T2 cos - T1 sin α .

menurut hukum Newton II : F = ma

Jika :

Simpangan tali terhadap posisi setimbang (defleksi tali) untuk sembarang t adalah y(x,t), sehingga percepatan getaran =Jadi,

masing-masing ruas dibagi dengan T

tan - tan α =

tan α = slope dari y(x,t) di x

V - 20

tan = slope dari y(x,t) di x+Δx

dibagi dengan Δx :

Untuk Δx0

Atau

Persamaan gelombang dimensi 1.

dengan : T = tegangan tali

ρ = densitas massa tali (massa persatuan panjang)

Syarat batas persamaan gelombang 1 dimensi adalah :

Karena ujung-ujung tali diikat pada x = 0 dan x = L , maka kondisi batasnya

adalah

y(0,t) = y(L,t) = 0

Gerakan tali tergantung pada simpangan/defleksi awal juga kecepatan awalnya,

maka kondisi awalnya adalah :

Persamaan getaran tali satu dimensi diselesaikan dengan menggunakan metode

pemisahan variabel.

Contoh :1. Tentukan persamaan defleksi y(x,t) dari senar yang panjangnya π dan

kedua ujungnya diikat pada posisi tetap. Jika kecepatan awalnya f(x) = 0

dan defleksi awalnya g(x) = (0,01 sin x),c2 =T/ρ =1.

V - 21

Penyelesaian.

Syarat batas:

Kondisi batas : y(0, t) = y(π, t) = 0 ; t ≥ 0

Kondisi awal : y(x,0) = 0,01 sin x ; 0 ≤ x ≤ L

PD diselesaikan dengan pemisahan variable

PD menjadi : F(x)G"(t) = F"(x)G(t)

PU PD : y(x, t) (A1 cos kt + B1 sin kt)(A2 cos kx + B2 sin kx)

Kondisi batas : y(0,t) = 0

y(0,t) = (A1 cos kt + B1 sin kt) (A2 cos k0 + B2 sin k0) = 0

y(0,t)= (A1 cos kt + B1 sin kt) A2 = 0 ; A2 = 0

Penyelesaian PD : y(x,t) = (A1 cos kt + B1 sin kt) B2 sin kx

y(x,t) = (A cos kt + B sin kt) sin kx

Kondisi batas : y( π,t) = 0

y( π,t) = sin k π(A cos kt + B sin kt) = 0

V - 22

y( π,t) = sin k π= 0

k π= mπ; (m=0, 1, 2,... )

k = mπ/ π = m

Penyelesaian PD : y(x,t) = sin mx (A cos mt + B sin mt)

Kondisi awal : yt (x,0) = 0

yt (x,0) = sin mx (-A m sin m0 + B m cos m0)

sin mx (Bm) = 0

B = 0

Penyelesaian PD : y(x,t) = sin mx (A cos mt)

Kondisi awal : y (x,0) = 0,01 sin x

y(x,t) = A sin mx cos m0 = 0.01 sin x

A sin mx = 0,01 sin x

A = 0,01 ; m = 1

Penyelesaian khusus PD : y (x,t) = 0,01 sin x cos t

2. Sama seperti soal no. 1 jika defleksi awalnya adalah 0,01x

Penyelesaian.Langkah-langkah penyelesaian sama seperti pada soal no 1, dengan

kondisi awal y(x,0) = 0,01 x.

Penyelesaian PD : y(x,t) = A sin mx cos mt

Kondisi awal : y (x,0) = 0,01x

Berdasarkan prinsip super posisi :

juga merupakan penyelesaian

penyelesaian.

merupakan deret Sinus dengan f(x) = 0,01x

V - 23

Soal Latihan.1. Tentukan defleksi u(x,t) dari tali yang panjangnya L. Kedua ujungnya

dipasang tetap, kecepatan awalnya g(x) = 0 dan defleksi awalnya :

2. Tentukan defleksi u(x,t) dari tali yang panjangnya L = π. Kedua ujungnya

dipasang tetap c2 = T/ ρ = 1, kecepatan awalnya g(x) = 0 dan defleksi

awalnya f(x) = 0.01 x (π-x).

3. Tentukan distribusi temperatur u (x,t) pada batang tembaga yang

panjangnya 10 cm, luas penampang melintang 1 cm2 yang diisolasi secara

lateral, densitas = 10,6 gm/cm3 konduktivitas termal bahan 1,04 cal/cmseco

C, panas spesifik 0,056kal/gmoc. Batang diisolasi secara lateral dan

temperatur kedua ujungnya dijaga tetap pada 0oC. Temperatur awal

batang f(x) = x(10-x).

V - 24

4. Tentukan distribusi temperatur u (x,t) pada batang yang diisolasi secara

sempurna (termasuk pada x = 0 dan x = L), bila L = π, c = 1 dan kondisi

awalnya

5. Tentukan temperatur u (x,y) pada bidang yang berbentuk bujur sangkar

yang panjang sisinya a, temperatur pada sisi vertikal dijaga tetap = 0,

permukaan dan sisi horizontal pada plat diisolasi sempurna.

Jawaban.

V - 25