5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
1/80
iii
DDDDAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................... iDAFTAR ISI ....................................................................................... iiiSOAL - SOAL ....................................................................................... 2
UTS Genap 2009/2010 ................................................................................ 3
UTS Ganjil 2009/2010................................................................................ 4
UTS Genap 2008/2009 ................................................................................ 5
UTS Pendek 2008/2009 ................................................................................ 6
UTS 2007/2008 ............................................................................................ 8
UTS 2006/2007 ............................................................................................ 9
UTS 2005/2006 .......................................................................................... 10UTS 2004/2005 .......................................................................................... 11
UTS 2003/2004 .......................................................................................... 12
UTS 2002/2003 .......................................................................................... 13
UTS 2001/2002 .......................................................................................... 14
UTS 2000/2001 .......................................................................................... 15
UTS 1999/2000 .......................................................................................... 17
PEMBAHASAN .................................................................................. 19
UTS Genap 2009/2010 .............................................................................. 20UTS Ganjil 2009/2010.............................................................................. 24
UTS Genap 2008/2009 .............................................................................. 27
UTS Pendek 2008/2009 .............................................................................. 32
UTS 2007/2008 .......................................................................................... 39
UTS 2006/2007 .......................................................................................... 43
UTS 2005/2006 .......................................................................................... 49
UTS 2004/2005 .......................................................................................... 56
UTS 2003/2004 .......................................................................................... 60
UTS 2002/2003 .......................................................................................... 65UTS 2001/2002 .......................................................................................... 69
UTS 2000/2001 .......................................................................................... 71
UTS 1999/2000 .......................................................................................... 76
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
2/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
2
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
3/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
3
INSTITUT TEKNOLOGI TELKOM
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2009-2010
Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114
Jumat, 9 April 2010
UTS Genap 2009/2010
1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
a.14
2 2
+
xx
b. 25 xx
2. Diketahui ( ) xxf 2sin= dan ( ) 2= xxg
a. Tentukan ggff RDRD dan,,,
b. Periksa apakah fg o dan gf o terdefinisi ?
c. Bila ya, tentukan fgD o dan gfD o
3. Diketahui ( )
>
+x yaitu 1>x . Jadi himpunan penyelesaian yang
dimaksud adalah { }1>xx .
b. ( )ixx ....25
Dengan menggunakan definisi dari nilai mutlak untuk 5x , kita
peroleh untuk 5x pertaksamaan (i) secara berturut turut
diselesaikan sebagai berikut
( ) 25 xx 252 xx
( ) ( ) 22252
25 x
( )4332
25 x
3321
25 x
33332
1
2
5
2
1
2
5 xataux
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
21/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
21
333321
25
21
25 + xx
yang memberikan penyelesaian
( ){ } .33533332
1
2
5
2
1
2
5
2
1
2
51 +=+= xxxxxxHp
Sedangkan untuk ,5
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
22/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
22
c. Menetukan fgD o dan gfD o
Karena fg o tidak terdefinisi, maka fgD o tidak dapat
ditentukan. Selanjutnya menurut definisi diperoleh
( ) fggf DxgDxD =o Rxx = 2),2[
{ }022 = xx { }2= xx
3. Diberikan ( )
>
xf yaitu pada selang ( ) ( )1,00,1
- f monoton turun jika ( ) 0' xf yaitu pada2
1
2
1 ,0,
- fcekung ke bawah jika ( ) 0"
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
24/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
24
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2009-2010
Mata Kuliah : Kalkulus 1 MA 1114
UTS Ganjil 2009/2010
1. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan .312
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
25/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
25
Jangan terkecoh dengan kerumitan dari penampakan fungsi f.
Perhatikan bahwa untuk 1
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
26/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
26
( )( )21
1'
=
xxf
Karena ( ) 0' xf yaitu untuk 1>x , dan cekung ke
bawah jika ( ) 0"
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
27/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
27
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009
Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114
Jumat, 17 April 2009UTS Genap 2008/2009
1. Menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
( )ixx ......2121 +
Menurut definisinya
( )
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
28/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
28
2. Menentukan persamaan garis singgung dari 3322
=+ xxxy yang
tegak lurus dengan garis xy+1 = 0.
Kita tahu bahwa y merupakan gradient dari garis yangmenyinggung kurva. Karena garis singgung yang dimaksud tegak
lurus dengan garis 01 =+yx yang memiliki kemiringan 1, maka
gradient garis singgung yang kita cari haruslahy= -1/1 = -1.
Kemudian dengan menurunkan persamaan kurva yang diberikan
secara implisit terhadapx dan menyelesaikannya untuky diperoleh
secara berturut turut hasil berikut
( ) ( )332 2 xx DxxxyD =+ 034' =++ xxyy
34' = yxxy
x
yxy
34'
=
Karena garis singgung yang akan dicari memiliki kemiringan -1,
maka kita memperoleh
134
=
x
yx
xyx = 34
35 = xy
Substitusikan ke persamaan kurva awal memberikan
332)35(2
=+ xxxx
33 2 =x 1=x
untuk 1=x diperoleh
2=y dan untuk 1=x diperoleh 8=y .
Jadi kita memiliki 2 buah titik singgung yakni (1,2) dan (-1,-8).
- Di titik (1,2) persamaan garis singgungnya adalah
( )12 = xy atau 3+= xy (ans)- Di titik (-1,-8) persamaan garis singgungnya adalah
( )18 +=+ xy atau 9= xy (ans)
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
29/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
29
( )xf"1
o ++++++++
3. Diberikan fungsi ( )1
32
+=
x
xxf .
a. Menentukan selang kemonotonan dan titik ekstrim (bila ada)
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )( )
( )22
2
2
22
2
2
1
13
1
32
1
322
1
312'
+=
=
=
+=
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
- f(x) monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada (-,-1) dan (3,)
- f(x) monoton turun jika ( ) 0' xf yaitu pada selang (1,)
- f(x) cekung ke bawah jika ( ) 0"
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
30/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
30
c. Menentukan Asimtot
- Asimtot datar/miring (berbentuky = ax+b)
x
xfa
x
)(
lim=
xx
x
x )1(
3
lim
2
+=
xx
x
x
+=
2
2 3
lim
11
1
31
lim1
1
31
lim
2
2
2
2
=
+
=
+
=
x
x
xx
xx
xx
axxfbx
=
)(lim x
x
x
x
+=
1
3lim
2 ( )
1
13lim
2
+=
x
xxx
x
1
3lim
+=
x
x
x
11
41lim =
+=
xx
jadif memiliki asimtot miring ( )0a yaitu 1+=xy (ans)
- Asimtot tegak (berbentukx= c)
Karena ( ) =
+=
1
3limlim
2
11 x
xxf
xx
maka x = 1 merupakan
asimtot tegak. (ans)
d. Grafik fungsi
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
31/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
31
6
5 x
y
P
x
y
l
4. Menentukan luas maksimal segi empat seperti pada gambar di
samping.
perhatikan gambar di samping !
Titik P dapat bergerak sepanjang garis l .persamaan garis ladalah
50
5
06
0
=
xy 6
5
6+= xy
Luas segi empat yang diarsir adalah
( ) tinggialasxL .=
( ) 50;65
6
65
6
.
2+=
+==
xxxxxyxxL
Nilai maksimum ( )xL terletak pada titik kritisnya, yaitu pada titik
stasioner atau pada ujung interval domain ( )xL . Titik stasioner
terjadi ketika ( ) 0' =xL yakni
2
5
5
12 06 ==+ xx
Jadi sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis, yaitu2
5=x yang
berasal dari titik stasioner dan x = 0,x = 5 yang berasal dari ujung
interval domainL(x) . untuk mengetahui nilai maksimum dariL(x),
kita evaluasi nilai L(x) pada titik - titik kritis tersebut, yakni
( )2
15
2
5 =L ,
( ) 00 =L ,
( ) 05 =L .
jadiL(x) mencapai nilai maksimum pada2
5=x dengan luas2
15 .
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
32/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
32
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009
Mata Kuliah : Kalkulus 1, MA 1114
Tanggal : Senin 27 Juli 2009UTS Pendek 2008/2009
1. Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
a.2
3
1
1
+ xx
02
3
1
1
+ xx
0)2)(1()1(32
+
+
xx
xx
0)2)(1(
52
+
xx
x
( )ans212
5
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
33/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
33
- Untuk2
31 = xxx
Jadi himpunan penyelesaian dari (i) yang dimaksud adalah
21 HpHpHp = { }( )ans61
67 = xxx
o
611
++++++
x
x
+
1
16
o
27 1
+++++
x
x
+
+
1
72+++++
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
34/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
34
Aternatif -2 (Menggunakan sifat)
41
23
+
x
x
22
41
23
+
x
x
041
23 22
+
x
x
041
234
1
23
+
+
+
x
x
x
x
01
)1(4231
)1(423
+
++
+
+
xxx
xxx
0)1(
)72)(16(2
+
+
x
xx
Jadi himpunan penyelesaian bagi (i) adalah
{ }( )ans61
27 = xxxHp
Alternative -3 (menggunakan sifat lain)
41
23
+
x
x
41
234
+
x
x
pertaksamaan ini setara dengan
41
23
+
x
x dan 4
1
23
+
x
x...(iii)
pertaksamaan sebelah kiri (iii)menjadi
041
23+
+
x
x
0
1
)1(423
+
++
x
xx
o
27
1 61
++++++++
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
35/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
35
01
72
+
+
x
x
{ }12
71 >= xxHp
Sedangkan pertaksamaan sebelah kanan (iii)menjadi
41
23
+
x
x
04
1
23
+
x
x
01
)1(423
+
+
x
xx
01
16
+
x
x
{ }6
1
21
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
36/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
36
c. Menentukan Dgof
Menurut definisinya
( ) gfgof DxfRxD = ]3,(2),0[ = xx
{ }920320 == xxxx
{ }110 = xx
{ } ( )ans110 = x
3. a. Menghitung 386
53lim
+
+ x
x
x
3
86
53
lim
+
+ x
x
x
( )
( )3 85
6
3
limx
x
x x
x
+
= +
( )
( )3 85
6
3
limx
x
x
+
= + 3
2
1
= (ans)
b. Menentukan kagar ( )
+
+
+
=4,167
4,32
xx
xx
xf
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
37/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
37
Untuk mengetahuinya harus kita periksa apakah ( ) ( )44 ''+
=ff.
Sekarang
( )
( ) ( )
4
4
lim4 4
'
=
x
fxf
f x
24
)4(2lim
4
82lim
4
1132lim
444
=
=
=
+=
x
x
x
x
x
x
xxx Sedangkan
( ) ( ) ( )
4
4lim4
4
'
=
+
+x
fxff
x
4
416
lim4
4
16
lim4
11
16
7lim
444
=
=
+=
+++ x
x
x
x
x
x
x
xxx
( )( )
14
44lim
4
=
=
+ xx
x
x
Karena ( ) ( )44 ''+
ff makaf tidak tidak memiliki turunan dix= 4
5. Suatu kurva dinyatakan sebagai fungsi 1cossin =+ xy
a. Menentukan nilai 'y
( ) ( )1cossin xx DxyD =+
0sincos' = xyy
xyy sincos' =
( )anscos
sin'
y
xy =
b. Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva
di titik ( )42
,
Di titik ( )42
, 22
1'
21
==y
Sehingga persamaan garis singgung di titik ( )42
,
adalah
( )24 2
= xy atau 22 21
41
+= xy (ans)
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
38/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
38
Sedangkan persamaan garis normal di titik ( )42
,
adalah
( )22
14
= xy atau( )
4
21
21 2
++= xy .(ans)
6. Persamaan suatu kurva dinyatakan oleh ( ) 45 5xxxf +=
a. Menentukan selang kemonotonan dan nilai ekstrim
( ) ( )45205' 334 +=+= xxxxxf
- f(x) monoton naik jika ( ) 0' >xf yaitu pada selang (-,-4)dan (0,)
- f(x) monoton turun jika ( ) 0' xf yaitu pada selang (-3,0) dan (0,)
- f(x) cekung ke bawah jika( ) 0"
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
39/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
39
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2007-2008
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA1114
Tanggal : 29 Oktober 2007
UTS 2007/20081. Menentukan Himpunan Pertidaksamaan :
a.21
3
+
+
x
x
x
x
021
3
+
+
x
x
x
x
0
)2)(1(
)1()2)(3(
+
++
xx
xxxx
0)2)(1(
632 22
+
+
xx
xxxxx
0)2)(1(
6
+
xx
{ }21 >
x
2
2
121
>x
0121 2
2
>
x
0121121 >
+
xx
011
31
>
xx
0)1)(31(
2 >
x
xx
{ }1)0()0( 31 >
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
40/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
40
2. Diketahui ,2)(2
xxf += 1)( =xg a. Menentukan
- )ans(RDf =
- Untuk setiap Rx berlaku
02 x 22 2 +x
2)( xf Sehingga [ ) )ans(,2 =fR
- )ans(RDg =
- { } )ans(1=gR
b. Memeriksa apakah gof terdefinisi dan menentukan gof jika
terdefinisi.
Untuk mengetahuinya kita selidiki apakah { } gf DR . Dari
hasil pada poin sebelumnya kita memiliki
[ ) [ ) { }== ,2,2 RDR gf yang menunjukkan bahwa
gof terdefinisi (ans).
Selanjutnya ))(()( xfgxfgo = )ans(,1)2( 2 =+= xg
c. Menentukan Dgof
Menurut definisinya,
gfgof DxfDxxD = )(, }RxRxx += 2, 2 { }RxRxx = , { } )ans(Rxx =
3. Memeriksa apakah( )
=
=
1;1
1;1
1sin1
)(2
x
xx
xxf
kontinu dix= 1.
Untuk mengetahuinya harus diperiksa apakah )1()(lim1
fxfx
=
.
Sekarang perhatikan bahwa untuk sembarang nilai xkecualix =1
berlaku
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
41/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
41
3
+ + + + - - - - - - - - - - - + + + +
0-3
11
1sin1
x
( ) ( ) ( )222 11
1sin11
xx
xx
( ) ( ) ( )22 11 xxfx
Selanjutnya ( ) 01lim2
1
=
xx
dan ( ) 01lim2
1
=
xx
, sehingga
menurut teorema apit ( ) 0lim1
=
xfx
. Jadi karena ( ),10)(lim1
fxfx
=
makaf tidak kontinu dix= 1.
4. Diketahuix
xxxf 96)(2
+=
a. Menentukan selang keonotonan dan titik ekstrim
2
2 )96()62()('
x
xxxxxf
+=
2
22 )9662
x
xxxx +=
2
2 9
x
x =
2
)3)(3( xx +=
- f monoton naik jika ( )xf' > 0, yaitu pada selang
( ) ( ) ,33,
- f monoton turun jika ( )xf' < 0, yaitu pada selang
( ) ( )3,00,3 - Karena terjadi perubahan kemonotonan di x= -3(+ -) dan
f(-3) ada , maka titik (-3,f(-3)) = (-3,-12) merupakan titik
maksimum lokal. Karena terjadi perubahan kemonotonan di
x =3 (+ -), maka titik (3,f(3)) = (3,0) merupakan titik
minimum lokal.
b. Menentukan selang kecekungan
22
2 91
9)('
xx
xxf =
=
3
18
)('' xxf =
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
42/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
42
- f cekung ke atas jika ( ) 0" >xf , yaitu untuk 0>x
- f cekung ke bawah jika ( ) 0"
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
43/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
43
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2006/2007
Mata Kuliah : Kalkulus 1/MA1114
Senin 13 November 2006
UTS 2006/20071. Menentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 512
11
x
x
{ }2/101
>
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
44/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
44
sehingga :- untuk 0x (ii) menjadi
34
x
x
( )0
34
x
xx
( )0
432
x
xx
( )( )0
14
+
x
xx
Pertaksamaan terakhir ini terpenuhi untuk
401
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
45/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
45
[ ) [ )== ,0,,0 ff RD , RDg =
Sekarang perhatikan bahwa untuk setiap Rx berlaku
02 x
02 x
11 2 x
,1)( xg
Dengan demikian ( ]1,=gR . Kemudian karena
( ] [ )= ,01,fg DR [ ] { }= 1,0 , makafogterdefinisi/ada.
b. Menentukanfog danDfog
))(()( xgfxgfo = 22 1)1( xxf ==
Menurut definisinya
fgfog DxgDxRxD = )(,
[ )}= ,01, 2xRxRx }01 2 = xRx
1
2=
xRx
{ }1= xRx
{ }11 = xRx
3. Menentukan a agar 1379 2lim =+
xaxxx
1379lim2
=+
xaxxx
1379
379379lim
2
22
=
+
xaxx
xaxxxaxx
x
1379
979lim
2
22
=
xaxx
xaxx
x
1
379
7lim
2
=
xxx
ax
ax
x
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
46/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
46
1
3
7
9
7
lim
2
=
xxx
a
x
xax
x
1
37
9
7
lim
2
=
xx
a
xa
x
1
39
=
a 6=a
4. Diberikan24
2)(
x
xxf
=
a. Menentukan selang kemonotonan
22
2
)4(
2)2()4(2)('
x
xxxxf
=
22
22
)4(
428
x
xx
+=
22
2
)4(
82
x
x
+=
)(' xf selalu bernilai positif untuk setiap nilai x, (x 2). Ini
berartif(x) selalu naik pada interval (-,)/{2}. Fakta ini jugamenunjukkan bahwa f(x) tidak memiliki nilai ekstrim .
b. Menentukan selang kecekungan
42
2222
)4(
)82)(2)(4(2)4(4)(''
x
xxxxxxf
+=
32
22
)4(
)82(4)4(4
x
xxxx
++=
32
33
)4(
328416
x
xxxx
++=
33
3
)2()2(
484
xx
xx
+
+=
33
2
)2()2(
)12(4
xx
xx
+
+=
- f(x) cekung ke atas jika 0)('' >xf , yaitu pada interval
2
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
47/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
47
- f(x) cekung ke bawah jika 0)(''
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
48/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
48
5. Perhatikan gambar 5 di atas !
a. Menyatakan luas persegi panjang sebagai suatu peubah.
Titik Q terletak pada lingkaran dengan persamaan
222 1616 xyyx ==+ Sehingga luas persegi panjang =L(x) = 4 luas persegi panjang
OPQR.
PQOPxL = 4)(
401642
= xxx
b. Menentukan ukuran persegi panjang agar luasnya maksimum.
Nilai maksimum L(x) terletak pada titik kritisnya yaitu padatitik stasioner atau pada ujung interval. Titik stasioner terjadi
ketikaL(x) = 0 yakni
0162
)2(.4164
2
2=
+
x
xxx
016
4164
2
22
=
x
xx
04164 22
2=
xx
22 4464 xx =
648 2 =x
8=x
Karena 40 x maka x yang mememuhi adalah 8=x .
Sehingga sekarang kita memiliki 3 buah titik kritis yaitu 8=x
yang berasal dari titik stasioner dan x = 0 ,x= 4 yang berasal
dari ujung interval domain L(x). Untuk mengetahui dimanaL(x)
mencapai maksimum, kita cukup mengevaluasi nilai L(x) pada
titik-titik kritis tersebut yaitu 32)8( =L ,
0)0( =L ,
0)4( =L .
Karena 32)8( =L merupakan luas maksimum, maka ukuran
persegi panjang agar luasnya maksimum adalah
8282.2.2 = PQOP ( )ans2424 = .
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
49/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
49
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2005/2006
Mata Kuliah Kalkulus I (MA 1114)
Senin 17 Oktober 2005
UTS 2005/2006
1. Menentukan persamaan garis singgung di perpotongan kurva
( )iyxyx .........1622 =+ dengan sumbux.
Titik potong kurva dengan sumbu xberada pada y= 0. Sehingga
dari (i) diperoleh 162 =x atau 4=x Dengan demikian kita memiliki dua buah titik singgung yaitu
(4,0), dan (-4,0). Langkah selanjutnya adalah kita tentukankemiringan garis di tiap-tiap titik tersebut.
)16()( 22 xx DyxyxD =+
( ) 0'2'2 =++ yyxyyx
0'2'2 =+ yyxyyx
0')2()2( = yyxyx
')2()2( yyxyx =
yx
yxy
2
2'
=
Di titik (4,0), 2' =y
Di titik (-4,0), 2' =y
Jadi persamaan garis singgung di titik(4,0) adalah ( )420 = xy
atau ( )ans82 = xy , sedangkan Di titik (-4,0) persamaan garis
singgungnya adalah ( )( )420 = xy atau ( ).ans82 += xy
2. Menentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan
( ) ( )iiixxx ..............4112 +++
Menurut definisinya
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
50/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
50
Sehingga
- untukx-1 (iii) menjadi
( ) ( ) 4112 +++ xxx
422 2 +++ xxx
232 + xx
( ) ( ) 22232
23 +x
( )4
172
23 +x
1721
23 +x
1717 212321 + x
23
21
23
21 1717 x
]17,17[),1[2
3
21
2
3
21
1 =Hp
]17,1[23
21 =
- sedangkan untukx< -1 (iii) menjadi
( ) ( ) 41)1(2 +++ xxx
4222
++ xxx 062 xx
0)2)(3( + xx
( )!32 periksax
]3,2[]1,(2 =Hp ]1,2[ =
Jadi himpunan penyelesaian yang dimaksud untuk (iii) adalah
21 HpHpHp = [ ]1,217,1 23
21 = (ans)17,2
23
21 =
3. a. Menentukan aagar3
1349lim
2=+++
xaxxx
3
1
349
349.349lim
2
22
=
++
+++++
xaxx
xaxxxaxx
x
3
1
349
949lim
2
22
=
++
++
xaxx
xaxx
x
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
51/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
51
3
1
349
4lim
2=
++
+
xaxx
ax
x
3
1
34
9
4
lim
2
2
=
++
+
xxx
ax
xax
x
3
1
34
9
4
lim
2
=
++
+
x
xx
ax
xax
x
3
1
34
9
4
lim
2
=
++
+
xxx
ax
xax
x
3
1
34
9
4
lim2
=
++
+
xx
a
xa
x
3
1
39=
a
)ans(2
3
1
6
=
=
a
a
b. Menentukan nilai adan bjika 2)cos(
lim 20
=+
x
bxa
x
)cos(lim0
bxax
+
haruslah bernilai 0. Sebab jika hal ini tidak
terjadi (katakanlah 0)cos(lim0
=+
cbxax
) akan berakibat
==+
2
0
20
lim
)cos(lim
x
c
x
bxa
x
x
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
52/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
52
yang bertentangan dengan pernyataan 2)cos(
lim 20
=+
x
bxa
x Tulis
0)cos(lim0=+
bxax
00cos =+a ( )ans1,01 ==+ aa
Kemudian karena sekarang2
0
)cos(lim
x
bxa
x
+
berbentuk00 maka
kita dapat menerapkan dalil LHospital
2)cos(
lim20
=+
x
bxa
x
22
)sin(lim
0
=
x
bxb
x
22
)cos(lim
2
0
=
bxb
x
22
2
= b
42 =b ( )ans2=b
4. Diberikan +
=1
)(2x
xxf
a. Menentukan selang kemonotonan
( ) ( ) ( )
( )222
1
211'
+
+=
x
xxxxf .
)1(
1
)1(
2122
2
22
22
+
=
+
+=
x
x
x
xx
- f(x) monoton naik jika ( )xf' > 0, yaitu pada selang (-1,1).
- f(x) monoton tutun jika ( )xf' < 0 , yaitu pada selang (-,-1)dan (1,).
- Karena terjadi perubahan kemonotonan (- + ) dititikx= -1
danf(-1) ada, maka (-1,- ) merupakan titik minimum lokal.
Selain itu pada 1=x terjadi perubahan kemonotonan ( +-)
danf(1) , maka titik (1, ) merupakan titik maksimum local.
-1 1
- - - - - - + + + + - - - - - - f (x)
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
53/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
53
b. Menentukan selang kecekungan
+
++=
42
2222
)1(
)1)(2)(1(2)1(2)(''
x
xxxxxxf
32
22
)1(
)1)(2(2)1(2
+
+=
x
xxxx
32
33
)1(
4422
+
+=
x
xxxx32
3
)1(
62
+
=
x
xx
32
2
)1(
)3(2
+
=
x
xx32 )1(
)3)(3(2
+
+=
x
xxx
- f cekung ke atas jika )('' xf >0, yaitu pada selang )0,3(dan
),3(
- f cekung ke bawah jika )('' xf
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
54/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
54
+
=1
)(grafik2
xxxf
x
y
1,1/2
31.0,3
-1,-1/2
31.0,3
0,0
x y
z5m
8m
d. Sketsa grafik f(x)
5. Menentukan ukuranx,y,zagar volume kotak pada gambar di bawah
ini maksimum.
Terlebih dahulu kita tentukan fung dari volume benda sebagai suatu
peubah..
xyyx ==+ 4,822
xzzx 25,52 ==+ xzyVVolume ==
xxxxV )25)(4()( =
xxxx )25820(2
+=
xxx )21320(2
+=
2532
0;21320 += xxxx
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
55/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
55
Titik maksimum )(xV terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik
stasioner atau pada ujung interval dari domain ).(xV Titik stasioner
terjadi ketika V(x) = 0 yakni
062620 2 =+ xx 062620 2 =+ xx
010133 2 =+ xx
0)1)(103( = xx
3101 == xx
Kita tolak3
10=x Karena tidak berada pada interval250 x . Jadi
sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu 1=x yang
berasal dari titik stasioner dan25,0 == xx yang berasal dari
ujung interval domain )(xV . Untuk mengetahui dimana )(xV
mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai )(xV pada titik-
titik kritis tersebut, yaitu 39)1( mV = ,3
0)0( mV = dan
.0)( 325 mV = 39)1( mV = merupakan volume maksimum,
sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah x=
1 ,y= 3,z = 3 . (ans)
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
56/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
56
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2004/2005
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1114
Senin 25 November 2004
UTS 2004/2005
1. Menetukan himpunan penyelesaian pertaksamaan ( )ixx
......3 4
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
57/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
57
Karena 432 + xx definit positif, maka jelas pertaksamaan
terakhir akan terpenuhi jika dan hanya jika ,0>x sehingga
{ }302 = xxxHp { }30
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
58/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
58
3. Menghitung222
1lim
3
1 +
x
x
x
222
1lim
3
1 +
x
x
x 222
222
222
1lim
3
1 ++
++
+
= x
x
x
x
x
422
)222)(1(lim
3
1 +
++=
x
xx
x
22
)222)(1(lim
3
1
++=
x
xx
x
)1(2
)222)(1)(1(
lim
2
1
++++=
x
xxxx
x
62
)222)(1(lim
2
1
=++++
=
xxx
x
4. Menentukan nilai ekstrim dari1
)(2
+=
x
xxf pada selang [- ,2].
22
2
)1(
)2()1()('
+
+=
x
xxxxf
22
2
)1(
1
+
=
x
x ( )( )
22 )1(
11
+
+=
x
xx
Pada selang [- ,2] terdapat tiga buah titik kritis yaitu titik ujung
21=x dan 2=x serta titik stasioner .1=x
Untuk 121
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
59/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
59
5. Menentukan luas maksimum dari segitiga di bawah.
Titik p dapat bergerak sepanjang kurva xxy 42
+=( periksa !)
Luas pqr = )(xL = 2.Luas prs
pppsrspsrsps
xL '..2
..2)( ===
)4)(2(2
xxx +=
xxxx 824 223 ++=
42;8623
+= xxxx
Untuk menentukan nilai maksimum L(x), terlebih dahulu harus
ditentukan titik kritisnya. Titik stasioner diperoleh denganmenyelesaikan 0)(' =xL
08123 2 =+ xx
04382 =+ xx
04)2(382 =+x
342)2( =x
342 =x
Kita tolak342 =x karena tidak berada dalam selang 42 x .
Jadi pada titik stasioner kita telah memiliki sebuah titik kritis,
sedangkan dari ujung interval kita memiliki dua buah titik kritis
yaitu x = 2 dan x = 4. Untuk mengetahui yang mana yang
merupakan titik maksimum, kita evaluasi L(x) pada titik kritis yang
kita miliki, yakni 3)2(3
1634 =+f ,
0)2( =f ,
0)4( =f . Jadi
Luas segitiga maksimum adalah )ans.(33
16
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
60/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
60
PEMBAHASANUJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2003/2004
Mata Kuliah : Kalkulus 1 / MA-1314
Senin 6 Oktober 2003
UTS 2003/2004
1.Menetukan daerah asal suatu fungsi:
a. 522)( = xxxf
{ }RxfxDf = )(
Rxxx = 522
{ }0522 = xxx Kita selesaikan pertidaksamaan ( )ixx ..0522 Menurut definisinya
( )
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
61/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
61
- sedangkan untuk 2x (i) menjadi
05)2(2 xx
0542 xx
9
x { } { }9923 == xxxxxHp Dengan demikian himpunan penyelesaian akhir bagi (i) adalah
{ }91321 == xxxHpHpHpHp yang sekaligusmenjadi daerah asalf yaitu { }91 = xxxDf (ans)
b.3
6)(
23
+
=
x
xxxxf
Menurut definisinya
{ }RxfxDf = )(
{ }3;03
623
+
= x
xxxx
Kita selesaikan pertidaksamaan ( )iixxx
....................03
623
+
03
)6(2
+
xxx
03
)2)(3(
+
+
x
xxx
Dengan demikian himpunan penyelesaian bagi (ii) adalah
{ }3023 < xxxx yang sekaligus menjadi daerah
asalf. (ans)
2.a. Menghitungxx
x
x sin
cos1lim 2
+
Karena limit berbentuk00 , maka kita dapat menerapkan
dalil LHopital.
xx
x
x sin
cos1lim
2
+
xxxx
x
x cossin2
sinlim
2+
=
( )ans00
0
2
=
=
+ + + + + - - - + + + + - - - - - - - - + + + +
-3 -2 0 3
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
62/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
62
b. Menentukan aagar 524lim2
=++
xaxxx
524lim2
=++
xaxx
x
524
2424lim
2
22
=
+
+++
xaxx
xaxxxaxx
x
524
44lim
2
22
=
+
+
xaxx
xaxx
x
5
24
lim
2
=
+
xxax
ax
x
5
24
lim =
+
xx
ax
ax
x
5
24
lim =
+
x
x
ax
ax
x
5
24
lim =
+
x
a
a
x
524
=
a
( )ansa 20=
3. Memeriksa apakah
+
+=
,22
,32)(
2
2
xx
xxxf
1
1
xf . Kenyataan ini juga menunjukkan
bahwaf tidak memiliki nilai ekstrim.
b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok
3)1(
4)("
+
=
xxf
- f(x) cekung ke atas jika )(" xf > 0, yaitu pada selang (-,-1)
- f(x) cekung ke bawah jika )(" xf < 0, yaitu pada selang (-1,)
- f(x) tidak memiliki titik belok. Walaupun terjadi perubahan
kecekungan dix= -1, tetapi f(-1) tidak ada.
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
75/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
75
c. Menentukan Asimtot
- Asimtot datar / miring (berbentuky= ax+ b)
== x
xfa
x
)(lim
( )0
1
21lim
1
1
21lim =
+
=
+
xxxxx xx
12
21lim)(lim =
+==
xaxxfb
xx
Jadifmemiliki asimtot datar yaituy=1
- Asimtot tegak (berbentuk x= c)
karena ( ) =
xfxlim
1
maka x= -1 asimtot tegak dari f.
d. Sketsa Grafikf(x)
2
2
)1(
1)(Grafik
+
=
x
xxf
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
76/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
76
PEMBAHASAN
UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 1999/2000
Mata Kuliah Kalkulus I (DA 1314)
Senin 1 November 1999
UTS 1999/2000
1. 32
+x
x
2
2
32
+x
x
2
2
32
+ xx
032 2
2
+
xx
032
32
+
++
xx
xx
02323 22
+
++
x
xx
x
xx
0)1)(2()1)(2(
++
x
xx
x
xx
0)1)(2)(1)(2(
2
++
x
xxxx
{ }( )ansxxxHp 2112 =
2. a.52
52lim
2
+
+
x
xx
x
52
52lim
2
+
+
x
xx
x
+
+
=
xx
xxx
x 5
2
521
lim2
2
+
+
=
xx
xxx
x 5
2
521
lim2
-2 -1 0 21
+ + + - - - + + + + + + - - - + + +
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
77/8
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
77
+
+
=
x
x
xxx
x 52
521
lim2
+
+
=
x
xx
x 52
521
lim2
( )2
1=
( )ans2
1=
b. Menentukan )(lim5
xgx
jika diketahui .25103)( 2 + xxxg
,25103)( 2 + xxxg
25103)()2510( 22 ++ xxxgxx
2810)(2210 22 ++ xxxgxx
Karena 32210lim2
5
=+
xxx
32810limdan2
5
=+
xxx
, maka
menurut teorema apit ( )ansxgx
3)(lim5
=
3. Diberikan 1)(2
=xxf dan xxg += 1)(
a. Membuktikan bahwa gofterdefinisi
Akan ditunjukkan bahwa { } gf DR
,=fD
berlaku,setiapUntuk x
02 x
112 x
1)( xf
[ ),,1demikiandengan =fR
[ )= ,1gD
Kemudian [ ) { }= ,1gf DR , persis seperti yang inginditunjukkan dan membuktikan bahwa gof terdefinisi
b. Menentukan gofdan daerah asalnya
))(()( xfgxfgo = )1(2
= xg )1(1 2 += x 2x= ( )ansx .=
Menurut definisinya
gfgof DxfDxD = )( [ )}= ,112xRx }112 = xRx
}02 = xRx { } ( )ansRx =
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
78/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
78
4.
+
>
+
=
3,17
3,3
152
)(2
2
xxqx
xx
pxx
xf
Agarfkontinu dix= 3, maka haruslah ).(lim)3()(lim33
xffxfxx +
==
Kekontinuan kiri f pada x = 3 menghasilkan hubungan trivial
( )209209 = qq . Sedangkan kekontinuan kanan fpada x= 3
dijabarkan sebagai berikut)3()(lim
3
fxfx
=+
( )iqx
pxxx
........2093
152lim
2
3
=
++
152lim2
3
++
pxxx
haruslah bernilai 0, sebab jika tidak (katakanlah
0152lim2
3
=++
cpxxx
) akan berakibat
( ) =
=
+
+
+ x
c
x
pxx
x
x 3lim3
152lim
3
2
3
yang menyebabkanf gagal kontinu dix= 3.
Tulis
0152lim2
3
=++
pxxx
015318 =+ p
1=p
Dengan menyulihkan hasil ini pada (i) akan memberikan
2093
152lim
2
3
=
+
qx
xx
x
2093
)3)(52(lim
3
=
+
+
qx
xx
x
( ) 20952lim3
=++
qxx
20911 = q
1=qJadi Agar f kontinu dix= 3 maka haruslah p= -1 dan q= 1 (ans).
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
79/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
79
5. Diberikan 2)3(22
=+ yx
a. Menentukany
( ) )2()3( 22xx
DyxD =+
0'2)3(2 =+ yyx
)3(2'2 = xyy
y
xy
)3('
=
b. Menentukan garis singgung yang tegak lurus garis y = x.
Karena tegak lurus dengan garis y= xyang memiliki gradien 1,
maka gradient garis singgung yang dimaksud haruslah memilikigradient -1/1 = -1. Sehingga dengan melihat hasil pada poin
sebelumnya diperoleh
1)3(
=
y
x
3=xy
Subtitusi ke persamaan awal memberikan 222
=+yy atau .1=y
- untuk y=1 menghasilkan x= 4, sehingga persamaan garis
singgungnya adalah ( )41 = xy atau 5+= xy
- untuk y = -1 menghasilkan x = 2, sehingga persamaan garis
singgungnya adalah ( ) ( )21 = xy atau 1+= xy
6. Diketahuif(x) adalah fungsi kontinu danf(0) =f(2) = 0, serta grafik
( )xf' sbb.
5/27/2018 1001 Soal Pembahasan Uts Kalkulus i
80/80
1001 Soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
80
a. Menentukan selang kemonotonan
Perhatikan grafik ( )xf' !
f(x) monoton naik jika ( )xf' > 0, yaitu pada ( )1,0 dan ( ),3
f(x) monoton turun jika ( )xf' < 0, yaitu pada selang (-,-1),
(-1,0), (1,2), dan (2,3)
b. Menentukan selang kecekungan
f(x) cekung keatas jika ( )xf" > 0, atau dengan kata lain
jika ( )xf' naik, yaitu pada selang (-,-1), dan (2,)
f(x) cekung ke bawah jika ( )xf" < 0, atau dengan kata lain
jika ( )xf' turun, yaitu pada selang (-1,0), dan (0,2)
c. Sketsaf(x)