Calculus Purcell
𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿
dengan 𝑒 disebut eksentrisitas.
0 < 𝑒 < 1 Elips
𝑒 = 1 Parabola
𝑒 > 1 Hiperbola
𝑃𝐹 = 𝑃𝐿
𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦 − 0 2 = 𝑥 + 𝑝 2 + 𝑦 − 𝑦 2
𝑦2 = 𝑥 + 𝑝 2 − 𝑥 − 𝑝 2
𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2 − (𝑥2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2) Maka diperoleh persamaan umum untuk parabola
𝑦2 = ± 4 𝑝 𝑥
𝑥2 = ± 4 𝑝 𝑦
𝑦2 = ± 4 𝑝 𝑥, 𝑥2 = ± 4 𝑝 𝑦
𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿
𝑥 − 𝑎𝑒 2 + 𝑦 − 0 2 = 𝑒 𝑥 −𝑎
𝑒
2
+ 𝑦 − 𝑦 2
𝑦2 = 𝑒2 𝑥 −𝑎
𝑒
2
− 𝑥 − 𝑎𝑒 2
𝑦2 = 𝑒2𝑥2 − 2𝑎𝑒𝑥 + 𝑎2 − (𝑥2 − 2𝑎𝑒𝑥 + 𝑎2𝑒2)
𝑦2 = − 1 − 𝑒2 𝑥2 + 𝑎2(1 − 𝑒2)
Maka diperoleh persamaan umum untuk irisan kerucut(dengan 𝑐 = 𝑎𝑒):
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑎2 1 − 𝑒2= 1
Persamaan standar:
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
dengan 𝑏 = 𝑎 1 − 𝑒2,
𝑐 = 𝑎𝑒 dan
𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2
Persamaan standar:
±𝑥2
𝑎2−𝑦2
𝑏2= 1
dengan 𝑏 = 𝑎 𝑒2 − 1, 𝑐 = 𝑎𝑒, dan 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 Asimtot:
𝑦 = ±𝑏
𝑎𝑥
𝑃𝐹 = 𝑒|𝑃𝐿|
𝑃𝐹′ = 𝑒 𝑥 +𝑎
𝑒
𝑃𝐹 = 𝑒𝑎
𝑒− 𝑥
Elips 𝑃𝐹′ + 𝑃𝐹 = 2𝑎
Hiperbola
𝑃𝐹′ − |𝑃𝐹| = 2𝑎
Parametric equations
𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 in 𝐼
Istilah-istilah (dengan 𝐼 = [𝑎, 𝑏]):
Parameter 𝑡
Titik awal 𝑥 𝑎 , 𝑦 𝑎
Titik akhir (𝑥 𝑏 , 𝑦 𝑏 ) Kurva sederhana vs tak-sederhana
Kurva tertutup vs tak-tertutup
Eliminasi parameter kemudian sketsa grafik dari:
𝑥 = 𝑡2 + 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 − 3, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
Dari persamaan untuk 𝑦, diperoleh:
𝑥 = 𝑦 + 3 2 + 2 𝑦 + 3 = 𝑦2 + 8𝑦 + 15
⟹ 𝑥 + 1 = 𝑦 + 4 2
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
What do we have?
cos 𝑡 =𝑥
𝑎, sin 𝑡 =
𝑦
𝑏
Ingat bahwa sin2 𝑡 + cos2 𝑡 = 1. Maka
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
Jadi persamaan parameter diatas akan membentuk elips, atau lingkaran ketika 𝑎 = 𝑏.
Lingkaran/Elips
sin2 𝑡 + cos2 𝑡 = 1 ⟺ 𝑥
𝑎
2
+𝑦
𝑏
2
= 1
Hiperbola
sec2 𝑡 − tan2 𝑡 = 1 ⟺ 𝑥
𝑎
2
−𝑦
𝑏
2
= 1
cosh2 𝑡 − sinh2 𝑡 = 1 ⟺ 𝑥
𝑎
2
−𝑦
𝑏
2
= 1
Misal 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), dan 𝑓, 𝑔 continuously differentiable dengan 𝑓′ 𝑡 ≠ 0. Maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑑𝑦/𝑑𝑡
𝑑𝑥/𝑑𝑡
Contoh: 𝑥 = 5 cos 𝑡 , 𝑦 = 4 sin 𝑡 , 0 < 𝑡 < 3
⟹ 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡
=4 cos 𝑡
−5 sin 𝑡= −
4
5cot 𝑡
⟹ 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2=𝑑𝑦′
𝑑𝑥=
𝑑𝑦′
𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡
=
45csc2 𝑡
−5 sin 𝑡 = −
4
25csc3 𝑡
Hitung
𝑦3
1
𝑑𝑥
jika 𝑥 = 2𝑡 − 1 dan 𝑦 = 𝑡2 + 2.
𝑦3
1
𝑑𝑥 = (𝑡2 + 2)2
1
2 𝑑𝑡 = 2𝑡3
3+ 2𝑡
1
2
=26
3
Top Related