BAB 3. FUNGSI

Jurusan Teknik Informatika

Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember

1st November 2016

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 1 / 23

Outline

1 Fungsi

Definisi Fungsi

Bentuk fungsi

Macam-macam Fungsi

Komposisi fungsi

Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 2 / 23

Fungsi Definisi Fungsi

BAB 3. FUNGSI

1 Fungsi

Definisi Fungsi

Bentuk fungsi

Macam-macam Fungsi

Komposisi fungsi

Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 3 / 23

Fungsi Definisi Fungsi

Definisi

Fungsi adalah sebuah relasi binary dimana masing-masing anggota dalam himpunan

A (domain) hanya mempunyai satu bayangan pada himpunan B (kodomain).

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 4 / 23

Fungsi Definisi Fungsi

Definisi

Notasi Fungsi :f : A → Bdibaca f adalah fungsi dari A ke B atau f memetakan A ke BA disebut daerah asal(domain) dari f dan B disebut daerah hasil(kodomain) dari f .Nama lain untuk fungsi adalah pemetaanatau transformasiKita menuliskan f (a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkandengan elemen bdi dalam B.Jika f (a) = b, maka b dinamakan bayangan(image) dari a dan adinamakan pra-bayangan(pre-image) dari b.Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range)dari f . Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian(mungkin proper subset) dari B.

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 5 / 23

Fungsi Definisi Bentuk fungsi

BAB 3. FUNGSI

1 Fungsi

Definisi Fungsi

Bentuk fungsi

Macam-macam Fungsi

Komposisi fungsi

Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 6 / 23

Fungsi Definisi Bentuk fungsi

Definisi

Bentuk fungsi diantaranya:1 Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.2 Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x2 + 103 Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1

di dalam suatu string biner.4 Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x |

fungction abs (x :integer ):integer ;beginif x < 0 thenabs:=−xelseabs:=x ;end ;

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 7 / 23

Fungsi Definisi Bentuk fungsi

Definisi

Bentuk fungsi diantaranya:1 Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.2 Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x2 + 103 Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1

di dalam suatu string biner.4 Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x |

fungction abs (x :integer ):integer ;beginif x < 0 thenabs:=−xelseabs:=x ;end ;

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 7 / 23

Fungsi Definisi Bentuk fungsi

Definisi

Bentuk fungsi diantaranya:1 Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.2 Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x2 + 103 Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1

di dalam suatu string biner.4 Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x |

fungction abs (x :integer ):integer ;beginif x < 0 thenabs:=−xelseabs:=x ;end ;

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 7 / 23

Fungsi Definisi Bentuk fungsi

Definisi

Bentuk fungsi diantaranya:1 Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi.2 Formula pengisian nilai (assignment). Contoh: f (x) = x2 + 103 Kata-kata. Contoh: f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1

di dalam suatu string biner.4 Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x |

fungction abs (x :integer ):integer ;beginif x < 0 thenabs:=−xelseabs:=x ;end ;

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 7 / 23

Fungsi Macam-macam Fungsi

BAB 3. FUNGSI

1 Fungsi

Definisi Fungsi

Bentuk fungsi

Macam-macam Fungsi

Komposisi fungsi

Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 8 / 23

Fungsi Macam-macam Fungsi

1. Fungsi satu-satu (Injektif)

Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi satu-satu jika dan hanya jikasetiap elemen pada himpunan A mempunyai bayangan yang tidaksama pada elemen B. Contoh:A=himpunan sistem operasi = {MacOS, OS/2}B=himpunan komputer = {IBM, Macitosh}

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 9 / 23

Fungsi Macam-macam Fungsi

2. Fungsi Pada (Surjektif)

Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi pada jika dan hanya jikasetiap elemen pada himpunan B muncul sebagai bayangan darisekurang-kurangnya satu elemen himpunan A. Contoh:A=himpunan software aplikasiB=himpunan sistem operasi

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 10 / 23

Fungsi Macam-macam Fungsi

3. Fungsi konstan

Sebuah fungsi f : A → B dikatakan fungsi konstan jika dan hanya jikasetiap elemen pada himpunan B yang menjadi bayangan dari seluruhelemen himpunan A. Contoh:A=himpunan software aplikasiB=himpunan sistem operasi

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 11 / 23

Fungsi Macam-macam Fungsi

4. bijeksi

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi(bijection)jika ia fungsi satu ke satu dan juga fungsi pada. Contoh:f = {(1, u), (2, w), (3, v)}dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v , w} adalah fungsi yang berkorespondensatu ke satu,karena f adalah fungsi satu ke satu maupun fungsi pada.

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 12 / 23

Fungsi Macam-macam Fungsi

5. Fungsi invers

Fungsi invers f−1 : B → A adalah fungsi dimana untuk setiap b ∈ Bmempunyai bayangan tunggal dalam himpunan A. Dengan demikianhanya fungsi satu-satu yang memiliki invers.Contoh 1:

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 13 / 23

Fungsi Macam-macam Fungsi

5. Fungsi invers

Contoh 2:Misalkan f (x) =3 log(x − 2), maka f−1(x) adalahy =3 log(x − 2)3y = (x − 2)x = 3y + 2y = 3x + 2sehingga f−1 = 3x + 2

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 14 / 23

Fungsi Komposisi fungsi

BAB 3. FUNGSI

1 Fungsi

Definisi Fungsi

Bentuk fungsi

Macam-macam Fungsi

Komposisi fungsi

Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 15 / 23

Fungsi Komposisi fungsi

Komposisi fungsiKomposisi fungsi dinyatakan oleh (g ◦ f ) atau (gf ).jika f : A → B dan g : B → C, maka:(g ◦ f ) : A → C(g ◦ f )(a) ≡ g(f (a))

maka:(g ◦ f )(1) = g(f (1)) = g(b) = z(g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(c) = x(g ◦ f )(3) = g(f (3)) = g(b) = z

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 16 / 23

Fungsi Komposisi fungsi

Contoh Komposisi fungsi

1. Misalkan f (x) = x2 − 1 dan g(x) = x + 3maka:(f ◦ g)(2) = f (g(2)) = f (5) = 24(g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(3) = 6

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 17 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

BAB 3. FUNGSI

1 Fungsi

Definisi Fungsi

Bentuk fungsi

Macam-macam Fungsi

Komposisi fungsi

Fungsi Karakteristik

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 18 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik adalah sebuah fungsi yang memetakan semestapembicaraan ke dalam himpunan (1, 0), dinotasikan:KA : U → (0, 1)dimana

KA(x) =

{

1; jika x ∈ A0; jika x 6∈ A

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 19 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Contoh Fungsi Karakteristik

1. Misalkan U = {a, b, c, d , e, f} dan A = {a, c, e}maka KA : U → (0, 1) dapat didefinisikan melalui diagram berikut:

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 20 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Contoh Fungsi Karakteristik

2. Misalkan U = {a, e, i , o, u}, A = {a, e, i} dan B = {e, i , o}buktikan KA∩B = KAKB

jawab :e ∈ (A ∩ B) maka e ∈ A dan e ∈ Bjadi KA∩B(e) = 1, KA(e) = 1, dan KB(e) = 1 makaKA∩B(e) = (KAKB)(e) = 1.1 = 1jadi KA∩B = KA · KB

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 21 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Latihan Soal

1 Diberikan dua fungsi f (x) = 2x2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x .Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !

2 Diketahui f (x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan(f ◦ g)(x) !

3 Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dang(x) = x2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !

4 Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukanrumus dari g(x) !

5 Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukanrumus dari f (x) !

6 Carilah fungsi invers dari f (x) = 2x+53 !

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 22 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Latihan Soal

1 Diberikan dua fungsi f (x) = 2x2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x .Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !

2 Diketahui f (x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan(f ◦ g)(x) !

3 Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dang(x) = x2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !

4 Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukanrumus dari g(x) !

5 Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukanrumus dari f (x) !

6 Carilah fungsi invers dari f (x) = 2x+53 !

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 22 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Latihan Soal

1 Diberikan dua fungsi f (x) = 2x2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x .Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !

2 Diketahui f (x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan(f ◦ g)(x) !

3 Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dang(x) = x2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !

4 Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukanrumus dari g(x) !

5 Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukanrumus dari f (x) !

6 Carilah fungsi invers dari f (x) = 2x+53 !

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 22 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Latihan Soal

1 Diberikan dua fungsi f (x) = 2x2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x .Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !

2 Diketahui f (x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan(f ◦ g)(x) !

3 Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dang(x) = x2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !

4 Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukanrumus dari g(x) !

5 Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukanrumus dari f (x) !

6 Carilah fungsi invers dari f (x) = 2x+53 !

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 22 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Latihan Soal

1 Diberikan dua fungsi f (x) = 2x2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x .Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !

2 Diketahui f (x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan(f ◦ g)(x) !

3 Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dang(x) = x2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !

4 Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukanrumus dari g(x) !

5 Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukanrumus dari f (x) !

6 Carilah fungsi invers dari f (x) = 2x+53 !

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 22 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Latihan Soal

1 Diberikan dua fungsi f (x) = 2x2 + 5x + 1 dan g(x) = 3x .Tentukan (f ◦ g)(x) dan (g ◦ f )(2) !

2 Diketahui f (x) = x2 + 1 dan g(x) = 2x − 3, maka tentukan(f ◦ g)(x) !

3 Diberikan dua buah fungsi yaitu f (x) = 2x − 3 dang(x) = x2 + 2x + 3. Jika (f ◦ g)(a) = 33, tentukan nilai 2a − 1 !

4 Diketahui (f ◦ g)(x) = 5x − 3 dengan f (x) = x + 2. Tentukanrumus dari g(x) !

5 Diketahui g(x) = x − 3 dengan (f ◦ g)(x) = 2x + 2. Tentukanrumus dari f (x) !

6 Carilah fungsi invers dari f (x) = 2x+53 !

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 22 / 23

Fungsi Fungsi Karakteristik

Thank You

Ilham Saifudin (TI) BAB 3. FUNGSI 1st November 2016 23 / 23