BAB VI
ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA
6.0. Tujuan Pembelajaran:
Mahasiswa Mampu:
1. Menghitung dan menginterpretasikan korelasi sederhana antara dua variabel
2. Mengetahui hubungan dua variabel yang tidak linier
3. Menentukan korelasi dan mengujinya
4. Menghitung dan menginterpretasikan persamaan regresi linier sederhana
5. Mengetahui asumsi yang digunakan dalam analisa regresi
6. Menentukan Model Regresi yang Layak
7. Menghitung dan Menginterpretasikan Interval Keyakinan untuk Koefisien
Regresi
8. Mengetahui bahwa analisis regresi dapat digunakan sebagai alat prediksi
9. Mengetahui bagaimana menerapkan kasus nyata yang berhubungan dengan
analisis regresi secara benar
6.1. Scatter Plot
Sebelum menentukan bentuk hubungan dengan analisis regreis linier atau
sebelum mengukur keeratan hubungan antara dua variabel, harus dilihat apakah
variabel-variabel tersebut mempunyai hubungan linier atau tidak dengan
menggunakan scatter plot seperti yang dibawah ini:
Grafik 1.Scatter Plot (Diagram Pencar)
Dalam scatter plot diatas ada empat kriteria,yaitu:
Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan
positif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier positif
Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan
negatif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier negatif
Bila titik-titik menggerombol tidak mengikuti garis lurus, maka kedua variabel
dinyatakan tidak memiliki hubungan yang linier
Bila titik-titik memencar atau membentuk suatu garis lurus mengikuti sebuah
pola yang acak atau tidak ada pola, maka kedua variabel dinyatakan tidak
memilki hubungan.
6.2. Analisis Korelasi
Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara dua
variabel. Koefisien korelasi populasi ρ (rho) adalah ukuran kekuatan hubungan
linier antara dua variabel dalam populasi sedangkan koefisien korelasi sampel r
adalah estimasi dari ρ dan digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier
dalam sampel observasi. Untuk selanjutnya r disebut Koefisien Korelasi Pearson
Product Momernt.
6.2.1. Korelasi Pearson (Product Moment)
Korelasi pearson sering juga disebut sebagai korelasi produk-momen atau
korelasi saja. Korelasi pearson termasuk ke dalam statistika parametrik. Besarnya
koefisien menggambarkan seberapa erat hubungan linear antara dua variabel,
bukan hubungan sebab akibat. Variabel yang terlibat dua-duanya bertipe numerik
(interval atau rasio), dan menyebar normal jika ingin pengujian terhadapnya sah.
Berikut ini pedoman menentukan kuat tidaknya korelasi antara dua variabel
menurut Walpole :
Tabel 1.
Interval Koefisien Tingkat Hubungan
0.00 – 0.199
0.20 – 0.399
0.40 – 0.599
0.60 – 0.799
0.80 – 1.000
Sangat rendah
Rendah
Cukup
Kuat
Sangat Kuat
Menurut Sarwono (2006) Batas-batas nilai koefisien korelasi diinterpretasikan
sebagai berikut:
Tabel 2.
Interval Hubungan Tingkat Hubungan
0 Tidak ada korelasi antara dua
variabel
>0 – 0,25 Korelasi sangat lemah
>0,25 – 0,5 Korelasi cukup
>0,5 – 0,75 Korelasi kuat
>0,75 – 0,99 Korelasi sangat kuat
1 Korelasi sempurna
Hasil dari analisis korelasi menunjukkan kekuatan atau kelemahan dari suatu
hubungan.Nilai koefisien korelasi ini akan berada pada kisaran -1 sampai dengan
+1. Koefisien korelasi minus menunjukkan hubungan yang terbalik, dimana
pengaruh yang terjadi adalah pengaruh negatif. Dalam pengaruh yang negatif ini
kenaikan suatu variabel akan menyebabkan penurunan suatu variabel yang lain,
sedangkan penurunan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan variabel yang
lain.
Koefisien korelasi positif menunjukkan hubungan yang searah dari dua variabel,
dimana kenaikan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan variabel yang lain
dan sebaliknya penurunan suatu variabel akan menyebabkan penurunan variabel
yang lain.
Koefisien korelasi sebesar nol menunjukkan tidak adanya hubungan antara dua
variabel, dengan kata lain kenaikan atau penurunan suatu variabel tidak
mempengaruhi variabel yang lain, jadi berapapun perubahan harga pada suatu
variabel tidak akan mempengaruhi variabel yang lain karena nilainya yang tetap.
Terdapat bermacam-macam analisis korelasi yang dapat digunakan untuk
mengukur hubungan asosiatif dari suatu variabel. Korelasi yang akan digunakan
tergantung pada jenis data yang akan dianalisis. Korelasi berdasarkan tingkatan
data dapat dilihat pada tabel berikut ini:
Tabel.3 Korelasi Berdasarkan Tingkatan Data
Tipe / Tingkat DataTeknik Korelasi yang
Digunakan
Nominal Koefisien Kontingensi
OrdinalSpearman Rank
Kendal Tau
Interval dan rasio
Pearson / Produk Momen
Korelasi Ganda
Korelasi Parsial.
Koefisien korelasi pearson diformulasikan sebagai berikut:
Atau:
r= ∑ (x− x )( y− y )
√ [∑ (x− x )2 ][∑ ( y− y )2 ]
r=n∑ xy−∑ x∑ y
√ [n(∑ x2)−(∑ x )2 ][ n(∑ y2)−(∑ y )2 ]
Atau: r=b√ Sxx
Syy=
Sxy
√Sxx Syy
dimana:
r = Koefisien Korelasi Sampel
n = Ukuran Sampel
x = Nilai dari Variabel Independen
y = Nilai Variabel dependen
Dari persaamaan korelasi yang terakhir tersebut dapat dilihat adanya hubungan
antara b dan r. r digunakan untuk mengukur hubungan linier antara x dan y,
sedangkan b mengukur perubahan dalam y akibat perubahan setiap unit x.
Dalam kasus dimanai r1 = 0,3 dan r2 = 0,6 hanya berarti bahwa terdapat korelasi
positif dimana r2 lebih kuat daripada r1. Adalah salah jika menyimpulkan bahwa r2
mengindikasikan hubungan linier dua kali lebih baik dibandingkan dengan r1.
6.2.2.Koefisien Determinansi
Koefisien determinansi adalah salah satu alat analisis yang dapat digunakan untuk
mengetahui lebih jauh hubungan antar variabel. Koefisien determinansi
disimbolkan dalam R2 yang menyatakan proporsi variansi keseluruhan dalam nilai
variabel dependen yang dapat diterangkan oleh hubungan linier dengan variabel
independen atau menunjukkan proporsi total variasi dalam nilai variabel
dependen yang dapat dijelaskan oleh hubungan linier dengan nilai variabel
independen. Nilai koefisien determinansi ini berkisar :0 ≤ R2≤ 1
R2 juga dapat digunakan untuk mempertimbangkan sebuah model regresi. Jika R2
suatu model besar belum tentu model tersebut adalah model yang baik, tetapi jika
MSE model kecil maka model teresbut adalah model regresi yang terbaik.
Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan
penafsirannya jika 0.994 sehingga R2 = 0.989 atau 98.9% adalah pengaruh
variabel bebas terhadap perubahan variabel terikat adalah 98,9%, sedangkan
sisanya sebesar 1,1% dipengaruhi oleh variabel lain selain variabel bebas X.
Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk hasil
perhitungan koefisien regresi.
6.2.3. Korelasi Ganda
Korelasi ganda adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan
antara dua atau lebih variabel terikat secara bersama-sama dengan variabel yang
lain (variabel bebas). Contohnya: hubungan antara kesejahteraan pegawai,
hubungan dengan pemimpin, dan pengawasan dengan efektivitas kerja.
Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara
serentak dengan variabel terikat. Misalkan ada k variabel bebas,
dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear maka besarnya
korelasi bergandanya adalah :
r y, x1 ,… , xn=
a1∑ x1 y+a2∑ x2 y+…+ak∑ xk y
∑ y2
dengan
∑ x1 y=∑ X 1Y−∑ X1∑ Y
n
∑ xk y=∑ Xk Y −∑ Xk∑ Y
n
∑ y2=∑ Y 2−(∑Y )2
n
6.2.4. Korelasi Parsial
Korelasi parsial adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan
atau pengaruh antara dua variabel atau lebih (variabel bebas dan terikat) setelah
satu variabel yang diduga dapat mempengaruhi hubungan variabel tersebut
dikendalikan untuk dibuat tetap keberadaannya.
Persamaan korelasi antara x1 dengan y, bila variabel x1 dikendalikan atau korelasi
antara x1 dengan y bila x2 tetap yaitu :
r y, x1 , x2=r y x1
−(r¿¿ y x2× rx1 x2
)
√ (1−r x1 x2
2 )(1−r y x2
2 )¿
Dimana :
r y, x1 , x2= korelasi antara x1 dengan x2 secara bersama-sama dengan variabel y
r y x1= korelasi product moment antara x1 dengan y
r y x2 = korelasi product moment antara x2 dengan y
r x1 x2 = korelasi product moment antara x1 dengan x2
6.3. Uji Hipotesis Korelasi
Pengujian hipotesis korelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat
hubungan antara dua variabel tertentu.
Perumusan hipotesis untuk korelasi adalah sebagai berikut:
H0: Tidak ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel
H1: Ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel
Atau H0 : ρ = 0
H1 : ρ ≠ 0
Statistik uji:
Statistik uji menggunakan uji-T, yakni dengan menggunakan rumus sebagai
berikut:
t hitung=r √n−2√1−r2 atau
t tabel= t( α
2;df )
dimana df =n−2
t hitung=b
S
S xx
=√SSRS
Kriteria uji
Tolak H0 jika thitung > ttabel atau thitung < -ttabel
Kesimpulan
Sementara untuk menguji hipotesis koefisien korelasi dengan menggunakan
koefisien korelasi taksiran (ρ0 ¿, dapat digunakan hipotesis sebagai berikut:
H 0 : ρ=ρ0 dimana ρ0 ≠ 0
H 1: ρ≠ ρ0
Statistik uji:
zhitung=√n−3
2ln [ (1+r )
(1−r )(1−ρ0 )(1+ρ0 ) ]
z tabel=zα (uji satu sisi) atau z tabel=z α2 (uji dua sisi)
Kriteria uji:
Tolak H0 jika zhitung > ztabel atau zhitung < -ztabel
Kesimpulan
6.4.Analisis Regresi
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai kasus yang berhubungan dengan dua
variabel atau lebih. Hubungan tersebut dapat berupa hubungan kausal atau hubungan
fungsional. Hubungan kausal misalnya : hubungan antara panas dengan tingkat muai
panjang, sedangkan hubungan fungsional contohnya: hubungan antara kepemimpinan
dengan tingkat kepuasan kerja pegawai.
Secara umum terdapat dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu :
Keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi (bukan hubungan sebab-
akibat)
Bentuk hubungan dapat diketahui dengan analisis regresi
6.4.1. Sejarah Regresi
Sejarah Regresi dimulai ketika Sir Francis Galton (1822-1911) yang membandingkan
tinggi badan anak laki-laki dengan tinggi badan ayahnya. Galton menunjukkan bahwa
tinggi anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa generasi cenderung mundur
(regressed) mendekati nilai populasi. Dengan kata lain, anak laki- laki dari ayah yang
badannya sangat tinggi, cenderung lebih pendek dari ayahnya. Sedangkan anak laki-laki
dari ayah yang badannya sangat pendek cenderung lebih tinggi dari ayahnya. Sekarang
istilah regresi diterapkan pada semua peramalan.
6.4.2. Definisi Regresi
Regresi merupakan salah satu metoda dalam analisis statistika yang digunakan untuk
menganalisis dan memodelkan secara matematis hubungan diantara dua variabel atau
lebih. Pada analisis regresi ini dikenal adanya variabel dependen (variabel tak
bebas/variabel tergantung/Unknown Variable/Response Variable) dan variabel
independen (variabel bebas/ Explanatory Variable/Regressor Variable/Predictor
Variabls/). Regresi dipakai untuk mengukur besarnya pengaruh perubahan pada
variabel dependen yang diakibatkan perubahan pada variabel independen.
Menurut Gujarati (2006) analisis regresi merupakan suatu kajian terhadap hubungan
satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the explained variabel)
dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the explanatory). Variabel pertama
disebut juga sebagai variabel tergantung dan variabel kedua disebut juga sebagai
variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka analisis regresi disebut regresi
linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa variabel bebas akan
dikenakan kepada variabel tergantung. Saat ini, analisis regresi banyak digunakan untuk
menelaah hubungan dua variabel atau lebih dan menentukan pola hubungan yang
modelnya belum diketahui, sehingga regresi secara aplikatif lebih bersifat eksploratif.
6.4.3. Asumsi
Penggunaan regresi linear sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sbb:
Error (ε) independen secara statistik
Distribusi probabilitas dari Error berdistribusi Normal
Distribusi probabilitas dari Error(*) mempunyai variansi yang konstan
Ada hubungan linier antara kedua variabel
Catatan (*):
Residual adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan
sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data sampel.
Error adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan yang
sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data populasi.
Persamaan keduanya : merupakan selisih antara nilai duga (predicted value) dengan
pengamatan sebenarnya.
Perbedaan keduanya: residual dari data sampel, error dari data populasi.
6.4.5. Analisis Regresi Linier Sederhana
Regresi linier sederhana ini bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel
yaitu satu variabel bebas/variabel independen (X) dan variabel terikat/variabel dependen
(Y). Bentuk umum dari pesamaan regresi linier sederhana dari populasi adalah:
Persamaan garis regresi sampel memberikan estimasi garis regresi populasi sebagai
berikut:
Keterangan :
y i = nilai estimasi dari variabel bebas. Ŷ juga merupakan variabel terikat (dependen
variable)
a = konstanta yang merupan nilai estimasi y jika nilai x=0 (intercept)
b = koefisien regresi/gradient garis regresi (slope)
x = variabel bebas (independent variable)
y=α+βx+ε
y i=a+bx
6.4.5.1. Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)
Metode untuk menaksir α dan β sehingga jumlah kuadrat dari deviasi simpangan antara
observassi-observasin dan garis regresi menjadi minimum:
SSE=L=∑i=1
n
e i2=∑
i=1
❑
¿¿¿¿
Dimana ε adalah nilai sisaan/galat/error yang merupakan penyimpangan model regresi
dari nilai yang sebenaranya.
Gambar VI.2 Grafik Regresi Linier dengan Nilai ε
Dengan cara mendeferensialkan persamaan di atas terhadap α dan kemudian terhadap β,
kemudian menyamakan hasil pendeferensilan itu dengan nol, maka:
∂ L∂ a
=−2∑i=1
n
(Y i−a−b (x i−x¿))=0¿
∂ L∂b
=−2∑i=1
n
(Y i−a−b (x i−x¿))(x i−x)=0¿
Penyederhanaan dua persamaan tersebut di atas menghasilkan persamaan normal
kuadrat terkecil sebagai berikut:
na+b∑i=1
n
xi=∑i=1
n
y i
dan
∑i=1
n
x i y i=a∑i=1
n
x i+b∑i=1
n
x i2
Dari persamaan di atas, maka diperoleh persamaan:
atau b=Sxy
Sxx atau
atau
b=∑ ( x− x )( y− y )
∑ ( x− x )2
b=n∑ xy−∑ x∑ y
n∑ x2−(∑ x )2
Dari persamaan di atas disubstitusi, maka diperoleh persamaan untuk menentukan nilai
a: a = ∑i=1
n
y i
n−b
∑i=1
n
x i
n
atau:
a = y – bx
Dimana:
y = rata – rata yi
x = rata – rata xi
6.4.5.2. Partisi dari Varians Total
Estimasi parameter σ 2 menghasilkan variansi yang disebabkan karena kesalahan model
dan variansi yang disebabkan karena kesalahan eksperimen. Dekomposisi varians dapat
dijabarkan sebagai berikut:
SST = SSR + SSE
Keterangan:
SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total =Syy
SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi = bSxy
SSE = Sum of Square Eror / Jumlah Kuadrat Eror = Syy−¿ bSxy
Dimana : Sxx=∑ x i2−n x2
Syy=∑ y i2−n y2
Sxy=∑ x i yi−n x y
6.4.5.3. Estimasi dari σ 2
Sum of Square Error (SSE) merupakan variansi yang menggambarkan penyimpangan
dari nilai–nilai observasi di sekitar garis regresi sampel. Nilai SSE (Se) atau yang biasa
disebut MSE (Mean Squared Error) adalah estimasi dari σ 2 dan diestimasi dengan
persamaan berikut:
Se = S = √∑ ( y− y )2
n−2 =√ SSE
n−2 =√ S yy−b Sxy
n−2
Standar Error Koefisien Regresi
Jika diambil sampel x dan y dari populasi, maka masing–masing sampel tersebut
memiliki gradien/slope (b) sendiri. Gradien sampel tersebut akan bervariasi disekitar
nilai koefisien regresi tersebut. Maka perlu diketahui variasi koefisien regresi tersebut
dengan persamaan berikut:
sb=s
√Sxx=
sε
√∑ ( x− x )2=
sε
√∑ x2−(∑ x )2
n
6.4.5.3. Standar Error untuk y bila nilai x diketahui
Jika nilai x dimasukkan berulang–ulang pada persamaan regresi, maka nilai rata–rata
yang diperoleh tidak akan sama, yang artinya nilai y bervariasi. Sehingga nilai standar
error y dapat ditentukan dengan persamaan berikut (bila x diketahui):
Sy = Se (√( 1n+
( x0−x )2
Sxx))
6.4.6.Uji Parsial Parameter Regresi
Digunakan untuk menguji apakah parameter β berarti pada model secara parsial.
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis:
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
Statistik Uji:
t=b−β0
s /√Sxx
=b−β0
Sb
Pengambilan Keputusan:
Tolak H0 jika thitung > t a/2(df= n-2) pada selang kepercayaan α
Kesimpulan
6.4.7. Uji Intersep Model Regresi
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis:
H0 : α = 0
H1 : α ≠ 0
Statistik Uji:
t= a−α
s √∑ x i
n Sxx
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika thitung > t a/2(db= n-2) pada selang kepercayaan α
Kesimpulan
6.4.8. Selang Kepercayaan
Selang Kepercayaan untuk α:
Selang Kepercayaan untuk β:
6.4.9.Prediksi
Estimasi selang keyakinan untuk Rata-rata y, diberikan pada saat xp
Estimasi selang keyakinan untuk Nilai individual y diberikan pada saat xp
a±tα /2
S√∑ x 2i
√nSxx
b±tα /2 sb
y±tα /2 sε√ 1n+
( x p− x )2
∑ ( x− x )2
y±tα /2 sε√1+ 1n+
( x p− x )2
∑ ( x− x )2
6.5. Pemilihan Model Regresi
Penentuan model regresi linier sederhana ditekankan pada konsep linieritasnya
dengan asumsi awal bahwa hubungan tersebut linier diparamater regresinya.
Pemilihan variabel independen yang kurang tepat dapat menimbulkan bias dalam
estimasinya.
Tahapan uji yang dilakukan:
Hipotesis
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Tabel VI.1 Analysis of Variance
Sumber
Variansi SS df MS Fhitung
Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2
Error SSE n – S2 = SSE/n-2
Total SST n –
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(1 , n-2) pada selang kepercayaan (level of significance) α
Kesimpulan
6.5.1 Pendekatan Analisis Varians (Anova)
Untuk menguji kelayakan dari suatu model regresi digunakan pendekatan analisis
varians.Analisis varians adaah suatu prosedur membagi variansi total variabel dependen
menjadi dua komponen, yaitu: variansi model sistematik dan variansi error.
6.6. Analisis Residual
Analisis residual dapat dilakukan dengan:
a. Pengujian Unequal variances: Varians pada setiap nilai x harus identik, yaitudengan
melakukan plot e i dengan y, apabila terdapat pola-pola tertentu berarti varians tidak
identik sehingga perlu distabilkan dengan transformasi.
b. Pengujian Non normal error,yaitu dengan:
Stem and leaf
Histogram
Dot diagram
Plot normal (Normal Probability Plot)
c. Jika terdapat extreme skewness (kemiringan yang ekstrim) pada data, maka tidak
berdistribusi normal.
d. Pengujian Correlated Error (independent), yaitu dengan melihat plot e i dengan time
order (i). Jika ada pola tertentu, maka terjadilah dependent residual dimana
penyebabnya dapat karena kesalahan eksperimen atau kesalahan dalam
pembentukan model atau karena variabel prediktor yang diabaikan.
e. Pengecekan Ouliers residual yaitu dengan cara plot residual dalam batas pengujian
±3σ (plot ei dengan y).Apabila residual terletak di luar batas 3σ atau nilainya lebih
besar dari 3σ, maka ada indikasi outlier.
6.7. Pengujian Linieritas Regresi:untuk data dengan observasi berulang
Pada beberapa percobaan untuk mendapatkan hasil yang akurat seringkali dilakukan
pengulangan observasi untuk setiap nilai x, sehingga perlu dilakukan pengujian apakah
model yang dihasilkan sudah memenuhi atau tidak. Untuk menggambarkan kondisi
tersebut diatas dilakukan pengujian kecocokan model dengan pendekatan Lack Of Fit.
6.7.1. Pengujian Lack Of Fit
Sum of squared error terdiri atas dua komponen, yaitu variasi random yang
muncul antar nilai y untuk setiap nilai x (pure experimental error) dan komponen yang
dikenal dengan istilah Lack Of Fit (LoF), untuk mengukur ketepatan model.
Prosedur Pengujian:
Hipotesis
H0 : Tidak ada LoF
H1 : Ada LoF Model Linier tidak sesuai
Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan
adalah 0,01 atau 0,05
Hitung Pure Error sum of square (SSpe)
SSpe=∑i=1
k
∑i=1
n
¿¿¿¿ dengan df = n – k
Tabel VI.2 Analysis of Variance
Sumber
Variansi SS df MS Fhitung
Regresi SSR 1 MSR = SSR/1 MSR/s2
Error: SSE n –
2
S2 = SSE(/n-2)
Lof SSE - SSpe k - 2 (SSE – SSpe¿/(k−2)
Pure error SSE−SSpeS2(k−2)
SSpe n - k S2= SSpe /(n-k)
Total SST n
Pengambilan Keputusan
Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-2 , n-k) pada selang kepercayaan (level of significance) α
Kesimpulan
Contoh 1
nilai 9 mahasiswa dari suatu kelas pada ujian tengah semester (x) dan pada ujian akhir
semester (y) sebagai berikut :
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi 7 50 7 72 81 9 96 9 67
yi 8 66 7 34 47 8 99 9 68
a. Tentukan persamaan garis regresi linear.
b. Tentukan nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85 pada ujian tengah
semester.
Jawab :
persamaan regresi linear
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σxi 77 50 71 72 81 94 96 99 67 707yi 82 66 78 34 47 85 99 99 68 658xiyi 6314 3300 5538 2448 3807 7990 9504 9801 4556 53258xi
2 5929 2500 5041 5184 6561 8836 9216 9801 4489 57557
Sehingga b = (9 ) (53.258 )−(707 )(658)
(9 ) (57.557 )−(707)2 = 0,777142
dan
a = 658−(0,777142 )(707)
9 = 12,06232
jadi, persamaan regresi linear adalah
y = 12,06232 + 0,777142x
x = 85
y = 12,06232 + (0,777142)(85) = 78,11936
Contoh 2
Lakukan uji regresi dengan pendekatan ANOVA pada :
x 3,4 2,8 2,5 3,7 3,2 3,1 2,9 3 2,2 2,4 2,7y 25 20 18 25 21 22 30 22 10 20 17
Jawab :
Σx = 31,9 Σy = 230 Σ xiyi = 675,5
Σ xi2 = 94,49 Σ yi
2 = 4866
x = 2,9 y = 20,9091
b = 0,777142
a = 12,06232
Sxx = Σ xi2 – n(x)2 = 1,98
Sxy = Σ xiyi – n(x y)= 8,4997
Syy = Σ yi2 – n(y)2 = 56,9049
SSR = b2 Sxx = 36,4894
SSE = Syy – SSR = 20,4155
Hipotesis
H0 : β = 0
H1 : β ≠ 0
α = 0.05
Tabel Anaysis of Variance
KomponenRe
gresi
SS d M Fhitung
Regresi 36,4
9
1 36, 16,08
2
7
6
Error 20,4
2
9 2,2
Total 56,9
0
4
9
1
Pengambilan Keputusan
F tabel = F(0.05;1,9) = 5,12
Karena Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak
Kesimpulan:Model Regresi linier sesuai
Contoh 3
Berikut adalah data jumlah biaya promosi (x) dan jumlah penjualan (y) pada perusahaan
ABC.
Tahu
nJumlah Biaya Promosi x) Jumlah Penjualan (y)
2005 22 30
2006 36 38
2007 31 35
2008 32 37
2009 31 34
2010 32 38
Tentukanlah apakah terdapat hubungan antara biaya promosi dengan penjualan
menggunakan uji korelasi Spearman Rank dan tingkat kesalahan 1%!
Jawab:
Tahun
Jumlah
Biaya
Promos
i (x)
Jumlah
Penjuala
n (y)
Range
x
Range
yd i=R ( x )−R ( y) d i
2
2005 22 30 1 1 0 0
2006 36 38 6 5.5 0.5 0.25
2007 31 35 2.5 3 -0.5 0.25
2008 32 37 4.5 4 0.5 0.25
2009 31 34 2.5 2 0.5 0.25
2010 32 38 4.5 5.5 -1 1
∑ 2
r s=1− 6 (2)6(62−1)
=1− 12210
=1−0 , 057=0 , 943
Uji Hipotesis:
H0 : Tidak ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel
penjualan
H1 : Ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel
penjualan.
Statistika uji:
t hitung=r √n−21−r 2 =
(0 ,943 )√6−21−(0 , 943 )2
= 1 ,8860 ,11075
=17 , 03
t tabel= t( 0 ,01
2 ;4)=4 ,604
Kriteria uji: Karena thitung > ttabel maka tolak H0
Kesimpulan: Karena tolak H0 maka terima H1 yakni ada hubungan yang signifikan antara
variabel biaya promosi dengan variabel penjualan
LATIHAN SOAL:
1. Data berikut menyatakan IQ=X untuk kelompok anak berumur tertentu dan hasil ujian
prestasi pengetahuan umum (Y).
Xi Yi Xi Yi Yi Yi
114
110
113
137
116
132
90
121
107
29
41
48
73
55
80
40
75
43
13
14
13
14
12
71
68
69
66
39
78
49
59
66
96
89
105
125
107
97
134
106
99
45
32
50
57
59
48
55
45
47
120
125
92
64
53
31
13
10
12
11
12
95
10
67
46
47
98
117
100
59
47
49
a. Gambar diagram pencarnya.
b. Tentukn regresi linear Y atas X lalu gambarkan.
c. Jelaskan arti koefisien arah yang didapat.
d. Berapa rata-rata prestasi anak dapat diharapkan jika IQ nya 120?
e. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata prestasi anak dengan IQ=120.
Jelaskan artinya!
f. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk seorang anak dengan IQ=120. Jelaskan
artinya!
g. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perubahan rata-rata prestasi jika IQ berubah
dengan satu unit.
h. Perlukah diambil model berbentuk lain?
i. Asumsi apakah yang harus diambil untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan diatas?
2. Dari tabel berikut ini:
X (oC) Y (gram)
0 8 6 8
15 12 10 14
30 25 21 24
45 31 33 28
60 44 39 42
75 48 51 44
Carilah persamaan garis regresi
Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar
Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.
3. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.
4. Berikut adalah data banyaknya modal (dalam juta rupiah) dan keuntungan yang diperoleh
(dalam juta rupiah) yang dihasilkan dalam waktu 10 bulan.
Modal (x) 189 204 192 214 218 178 189 167 180 194
Keuntungan
(y)
10 15 13 17 19 14 13 11 13 15
a. Hitunglah koefisien korelasi Pearson dan determinasi berdasarkan data di atas dan ujiah!
b. Tentukan apakah pernyataan bahwa koefisien korelasi antara jumlah karyawan dan
keuntungan tidak lebih dari 0,7 adalah benar! Gunakan tingkat kesalahan 5%!
5. Hitunglah koefisien korelasi kondisi temperatur (x) dan kepuasan pekerja (y) serta
apakah
ada hubungan yang signifikan antara keduanya dengan menggunakan teknik korelasi
pearson!
nKondisi temperatur
(x)
KepuasanKerja
(y)
1 8 20
2 12 20
3 10 17
4 7 18
5 8 19
6 7 20
7 12 18
8 10 19
9 12 16
19 17
110 16
112 17
112 18
112 12
112 17
6. Dibawah ini diberikan data yang secara acak diambil dari populasi normal bervariabel
dua (X dan Y).
X Y X Y X Y
15
13
10
11
16
12
9
12
4
8
10
10
99
11
13
97
74
98
20.
69
8
11
17
20
12
18
16
13
18
11
56
75
137
163
84
149
140
137
170
109
17
6
8
5
3
6
14
5
15
16
153
73
95
26
24
50
96
35
132
141
I.1.1 Regresi Linier BergandaAnalisis regresi linier berganda digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel
bebas (x) dan variabel terikat (y). Namun pada regresi linier berganda ini, variabel bebas (x)
yang digunakan lebih dari dari satu. Bentuk persamaan umum untuk model regresi linier
berganda:
y= a + b1 x1+b2 x2+……+bn xn
Keterangan:
y = nilai dari variabel terikat
a = konstata nilai estimasi y jika nilai x=0 (intercept)
b i = koefisien regresi gradient garis regresi (slope)
xn = variabel bebas
I.1.1.1 Metode Kuadarat Terkecil (Least-Squares Method)Untuk setiap pengamatan {( x1 i , x2 i; y i ) ; i=1 , 2 ,…, n¿ } akan memenuhi persamaan:
y= a + b1 x1+b2 x2+……+bn xn+e i
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan:
e i= y- a - b1 x1−b2 x2−……−bn xn
Dengan syarat meminimasikan nilai a, b1, dan b2 penurunannya, maka diperoleh persamaan:
∑ yi = an + b1∑i=1
n
x i1 + b1∑i=1
n
x i2
∑i=1
n
x1 i y i = a∑i=1
n
x1 i + b1∑i=1
n
x i 12 + b2∑
i=1
n
x i1 x i 2
∑i=1
n
x2 i yi = a∑i=1
n
x2 i + b2∑i=1
n
x i 22 + b1∑
i=1
n
x i1 x2 i
Asumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda antara lain:
a. Setiap nilai error berdistribusi normal dengan rata–rata 0 dan dan varians σ2
b. Bersifat homoskedastisitas
c. Kovarian error = 0, tidak terjadi autokorelasi
d. Tidak terdapat multikolinieritas, artinya tidak terdapat hubungan linier yang sempurna
diantara variabel–variabel bebas.
Latihan soal
1. Dari tabel berikut ini:
X (oC) Y (gram)
0 8 6 815 12 10 1430 25 21 2445 31 33 2860 44 39 4275 48 51 44
a. Carilah persamaan garis regresi
b. Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar
c. Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.
2. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.
Top Related