Trihastuti Agustinah
Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember
TE 091467 Teknik
Numerik Sistem Linear
OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan
Tujuan Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
1. Menjelaskan definisi ruang vektor beserta interpretasi geometri dari vektor
2. Menghitung norma suatu vektor
3. Membuktikan ortogonalitas dua vektor
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Definisi dan Notasi
Operasi dan Sifat-sifat Vektor
Ruang-n Euclidean
Vektor Ortogonal
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Definisi dan Notasi
Definisi Ruang-n
– Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real
Notasi: Rn
– n = 2 pasangan terurut;
– n = 3 triple terurut
– n = 1 satu bilangan real (notasi: R1 atau R)
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Interpretasi tripel terurut
(a1, a2, a3) (a1, a2, a3)
2 interpretasi geometris tripel terurut
Titik: a1,a2,a3 koordinat
Vektor: a1,a2,a3 komponen vektor
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Operasi Standar
Dua vektor u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn) di Rn dan k skalar
Penjumlahan vektor
Perkalian skalar
u+v = (u1+v1, u2+v2, ···, un+vn)
ku=(ku1, ku2,···, kun)
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Sifat-sifat Aritmatika
Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) di Rn
– Negatif: -u = (-u1, -u2,···, -un)
– Selisih: v- u = v + (- u) atau v- u = (v1-u1, v2-u2, ···, vn-un)
Sifat-sifat: (k,l: skalar)
v+ u = u +v k(l u) = (kl) u
u + (v+w) = (u +v) + w k(u +v) = k u + kv
u + 0 = 0+ u = u (k+l) u = ku+lu
u +(- u)= 0 u - u = 0 1u = u
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Ruang n-Euclidean
Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn), w=(w1, w2,···, wn) di Rn dan k skalar
Hasilkali-dalam (inner-product) Euclidean:
u·v = (u1v1 + u2v2 + ··· + unvn)
4 sifat penting inner product Euclidean (dot product)
u·v = v·u
(u+v)·w = uw + vw
(ku)·v = k(u·v)
v·v ≥ 0, v·v = 0 jika dan hanya jika (iff) v = 0
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Norma dan Jarak
Norm/panjang Euclidean vektor u=(u1, u2,···, un)
222
21
21)( nuuu +++=⋅= uuu
Jarak antara titik u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn)
2222
211 )()()(),( nn vuvuvud −++−+−=−= vuvu
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Sifat-sifat norma
Jika u dan v adalah vektor dan k skalar
||u|| ≥ 0
||u|| = 0 iff u =0
||ku|| = |k| ||u|| perkalian vektor dgn skalar mengalikan
panjang dari vektor sebesar k
u
ku
v
u
u + v ||u +v|| ≤ ||u||+||v||
jumlah dua sisi segitiga lebih kecil atau sama dengan sisi ketiga dr segitiga tersebut
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Vektor Ortogonal
Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff
u
v u + v
Teorema Phytagoras
||u+v||2 = ||u||2 + ||v||2
Vektor u, v dan u+v membentuk sisi-sisi segitiga
u·v=0
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Notasi alternatif untuk vektor di Rn
Vektor u=(u1, u2,···, un) ditulis dalam notasi matriks
Operasi matriks
=
nu
uu
2
1
u][ 21 nuuu =u
+
++
=
+
=+
nnnn vu
vuvu
v
vv
u
uu
22
11
2
1
2
1
vu
=
=
nn ku
kuku
u
uu
kk
2
1
2
1
u
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Notasi alternatif untuk vektor di Rn
Operasi matriks
][][ 2121 nn vvvuuu +=+ vu
][ 2211 nn vuvuvu +++=
][][ 2121 nn kukukuuuukk ==u
Operasi vektor
),,,(),,,(),,,( 22112121 nnnn vuvuvuvvvuuu +++=+=+ vu
),,,(),,,( 2121 nn kukukuuuukk ==u
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Hasilkali-dalam Euclidean dalam perkalian matriks
Hasilkali-dalam Euclidean
=
n
nT
v
vv
uuu
2
1
21 ][uv
Vektor u dan v dalam notasi matriks
=
nu
uu
2
1
u
=
nv
vv
2
1
v
vuvu ⋅=⋅=+++= ][][ 2211 nnvuvuvu
u ∙ v = vTu
Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan
Hasilkali-dalam Euclidean dalam perkalian matriks
vuuvuvuvvu TTTTT AAAAA ⋅====⋅ )()()(
Vektor u dan v di Rn dan matriks A(n×n)
Au ∙ v = u ∙ ATv
vuuvuvuvvu ⋅====⋅ TTTTTT AAAAA )()()(
u ∙ Av = ATu ∙ v
Jadi,
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 1
Dapatkan hasilkali-dalam Euclidean dari vektor: u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)
Penghitungan hasilkali-dalam sama dengan perkalian aritmatika biasa
(3u+2v)·(4u+v) = (3u)·(4u+v) + (2v)·(4u+v) = (3u)·(4u) + (3u)·v + (2v)·(4u) + (2v)·v = 12(u·u) + 11(u·v) + 2(v·v)
u·v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 2
Dapatkan norma dan jarak dari vektor: u = (-1, 3, 5, 1) dan v = (2, 1, 2, 4)
6153)1()( 222221 =+++−=⋅= uuu
54212)( 222221 =+++=⋅= vvv
31)41()25()13()21(),( 2222 =−+−+−+−−=−= vuvud
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 3
Buktikan bahwa vektor-vektor berikut adalah ortogonal
a) u = (-2, 3, 1, 5) dan v = (5, 4, -2, 0)
b) u = (0, 3, -2, 1) dan v = (5, 2, -1, -3)
a) u·v = (-2)(5) + (3)(4) + (1)(-2) + (5)(0) = 0
b) u·v = (0)(5) + (3)(2) + (-2)(-1) + (1)(-3) = 5 bukan ortogonal
ortogonal
Objektif Teori CONTOH Simpulan Latihan
Contoh 4
Dapatkan u·v untuk vektor berikut:
18035125 =++−−=
−
=
7531
u
−
=
074
5
v
−
−==⋅
7531
]0745[uvvu T
Objektif Teori Contoh SIMPULAN Latihan
Ruang Vektor Euclidean
Dua vektor disebut ortogonal jika dan hanya jika hasilkali-dalam (inner product) Euclidean sama dengan nol
Objektif Teori Contoh Simpulan LATIHAN
Soal Latihan 1
Dapatkan nilai k agar vektor u dan v adalah ortogonal
a) u = (2, 1, 3) dan v = (1, 7, k)
b) u = (k, k, 1) dan v = (k, 5, 6)
a) k=-2
b) k=-2 atau -3 Jawaban soal latihan 1
Top Related