Adam Hendra Brata
Probabilitas dan
Statistika“Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu
Lanjut”
Distribusi Peluang Gabungan
KontinyuDistribusi Peluang Gabungan Kontinyu
Untuk variabel random kontinyu, analog dengan
kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama
f(x,y) didefinisikan sebagai :
1. f(x,y) ≥0 untuk seluruh x dan y
2. Total integral di seluruh area =1
3. Probabilitas nilai X=x dan Y=y di dalam
area tertentu diberikan oleh hasil
integral f(x,y) dengan (x,y) dalam area
termaksud
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Fungsi
Distribusi
Peluang
Acak
Kontinyu
Fungsi Rapat
Peluang
Distribusi
Peluang
Kontinyu
Kumulatif
1),( dxdyyxf
A
dxdyyxfAYXP ),(]),[(
Distribusi Peluang Gabungan
KontinyuDistribusi Peluang Gabungan Kontinyu
Untuk variabel random kontinyu, analog dengan
kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas bersama
f(x,y) didefinisikan sebagai :
1. f(x,y) ≥0 untuk seluruh x dan y
2. Total integral di seluruh area =1
3. Probabilitas nilai X=x dan Y=y di dalam
area tertentu diberikan oleh hasil
integral f(x,y) dengan (x,y) dalam area
termaksud
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Fungsi
Distribusi
Peluang
Acak
Kontinyu
Fungsi Rapat
Peluang
Distribusi
Peluang
Kontinyu
Kumulatif
1),( dxdyyxf
A
dxdyyxfAYXP ),(]),[(
Contoh Soal Distribusi Peluang
Gabungan Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Gabungan Kontinyu
Sebuah perusahaan coklat mendistribusikan kotak-kotak cokelat
yang berisi isian jenis: krim, kopi dan kacang. Terdapat dua tipe
cokelatnya yaitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak
1 kotak, dan variabel random X dan Y menyatakan persentase
dari coklat putih dan gelap yang berisi krim, dengan fungsi
rapat probabilitas bersamanya :
a. Periksalah apakah integral f(x,y) di seluruh daerah = 1
b. Carilah probabilitas untuk 0<x<1/2 dan ¼<y<1/2
lainnya
yxyxyxf
,0
10,10)32(5
2
),(
Contoh Soal Fungsi Distribusi
Peluang KontinyuContoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu
a. Integral di seluruh wilayah x,y :
b. P(0<X<1/2,1/4<Y<1/2)
1
0
1
0
1)32(5
2),( dxdyyxdxdyyxf
2/1
4/1
2/1
0
2/1
4/1
2/1
0
160/13)32(5
2),( dxdyyxdxdyyxf
Distribusi Peluang Marginal
KontinyuDistribusi Peluang Marginal Kontinyu
Fungsi distribusi kumulatif dan densitas
kemungkinan untuk univariat Fx1 (x1) dan fx(x1)
dari distribusi bivariat (atau multivariat) pada
seluruh rentang variabel random pasangannya
(x2) dikenal sebagai distribusi marginal kontinyu
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Fungsi Rapat
Peluang
Distribusi
Peluang
Kontinyu
Kumulatif
Distribusi Peluang Marginal
KontinyuDistribusi Peluang Marginal Kontinyu
Misalkan f(x,y) fungsi kerapatan peluang
bersama dari X dan Y
Perhatikanlah peristiwa a<X<b dengan a < b
Peristiwa ini ekuivalen dengan peristiwa
a < X < b , -∞ < Y < ∞, dengan demikian maka :
Akan tetapi,
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Fungsi Rapat
Peluang
Distribusi
Peluang
Kontinyu
Kumulatif
𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏= 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 ,−∞ < 𝑌 < ∞
𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 ,−∞ < 𝑌 < ∞ =
b
a
dydxyxf ,
x, y kontinu
Distribusi Peluang Marginal
KontinyuDistribusi Peluang Marginal Kontinyu
Oleh karena itu kita peroleh :
Dimana :
Dan selanjutnya 𝑓1 𝑥 kita sebut sebagai
fungsi marginal dari x karena jelas bahwa
𝑓1 𝑥 adalah fungsi kerapatan peluang dari x
saja
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Fungsi Rapat
Peluang
Distribusi
Peluang
Kontinyu
Kumulatif
𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = b
a
dxxf1 x kontinyu
𝑓1 𝑥 =
dyyxf , x, y kontinyu
Distribusi Peluang Marginal
KontinyuDistribusi Peluang Marginal Kontinyu
Analog dengan 𝑓1 𝑥 , maka 𝑓2 𝑦 adalah :
Dimana :
Dan selanjutnya 𝑓2 𝑦 kita sebut sebagai
fungsi marginal dari y
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Fungsi Rapat
Peluang
Distribusi
Peluang
Kontinyu
Kumulatif
𝑃 −∞ < y < ∞ =
dyyf2 y kontinyu
𝑓2 𝑦 =
dxyxf , x, y kontinyu
Distribusi Peluang Bersyarat
KontinyuDistribusi Peluang Bersyarat Kontinyu
Fungsi distribusi kumulatif dan densitas
kemungkinan untuk univariat 𝐹𝑥1(𝑥1) dan
𝑓𝑥(𝑥1) dari distribusi bivariat (atau multivariat)
pada sebagian rentang variabel random
pasangannya (𝑥2) dikenal sebagai
kemungkinan distribusi bersyarat
Misalkan 𝑓 𝑥 , 𝑦 , 𝑓1 𝑥 , dan 𝑓2 𝑦 masing-
masing fungsi kerapatan peluang.bersama dari
X dan Y, fungsi kerapatan peluang marginal dari
X, dan fungsi kerapatan peluang marginal dari
Y. Misalkan a dan b dua bilangan real
sembarang
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Bersyarat
Kontinyu
Distribusi Peluang Bersyarat
KontinyuDistribusi Peluang Bersyarat Kontinyu
Jika :
𝐴 = 𝑥, 𝑦 𝑥 = 𝑎,−∞ < 𝑦 < ∞𝐵 = 𝑥, 𝑦 −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 = 𝑏
Maka
Akan tetapi 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝑌 = 𝑏 𝑋 = 𝑎 . Karena a
dan b sembarang. Kita temukan bahwa peluang
bersyarat dari Y diketahui X = x, adalah
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Bersyarat
Kontinyu
af
baf
aXP
bYaXP
AP
BAP
1
,,
𝑃 𝐵 𝐴 =
)(
),(
1 xf
yxf0)(1 xfdengan
Distribusi Peluang Bersyarat
KontinyuDistribusi Peluang Bersyarat Kontinyu
Bila harga x ditetapkan, maka peluang tersebut
merupakan fungsi dari y. Jelas fungsi itu
merupakan suatu fungsi kerapatan peluang,
sebab :
Fungsi kerapatan peluang tersebut selanjutnya
diberi lambang 𝑓 𝑦 𝑥
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Bersyarat
Kontinyu
0)(
),(
1
xf
yxf
1)(
)(),(
)(
1
)(
),(
1
1
11
xf
xfyxf
xfxf
yxf
y y
Distribusi Peluang Bersyarat
KontinyuDistribusi Peluang Bersyarat Kontinyu
Dengan 𝑓1(𝑥) adalah distribusi marginal untuk X
saja, yaitu distribusi probabilitas 𝑓(𝑥, 𝑦) yang
dijumlahkan terhadap seluruh nilai y :
Fungsi kerapatan peluang 𝑓 𝑦 𝑥 ini dinamakan
fungsi kerapatan peluang bersyarat dari Y jika
diketahui nilai X = x
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Bersyarat
Kontinyu
𝑓1(𝑥) =
𝑦
)𝑓(𝑥, 𝑦
Distribusi Peluang Bersyarat
KontinyuDistribusi Peluang Bersyarat Kontinyu
Secara analog fungsi kerapatan peluang
bersyarat dari X diketahui Y = y atau
𝑓2(𝑦) adalah distribusi marginal untuk 𝑌 saja,
yaitu distribusi probabilitas 𝑓(𝑥, 𝑦) yang
dijumlahkan terhadap seluruh nilai 𝑥, maka :
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Bersyarat
Kontinyu
𝑓2(𝑦) =
𝑥
)𝑓(𝑥, 𝑦
Distribusi Peluang Bersyarat
KontinyuSifat Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu
Dalam hal X dan Y kontinu, maka :
a. 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 𝑌 = 𝑦 =
adalah peluang bersyarat dari 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏jika diketahui Y = y
- catatan : ruas kiri biasa ditulis
𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 𝑦
b. 𝑃 𝑐 < 𝑌 ≤ 𝑑 𝑋 = 𝑥 =
adalah peluang bersyarat dari 𝑐 < 𝑌 ≤ 𝑑jika diketahui X = x
Distribusi
Peluang
Gabungan
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Marginal
Kontinyu
Distribusi
Peluang
Bersyarat
Kontinyu
b
a
dxyxf
d
c
dyxyf
Contoh Soal Distribusi Peluang
Bersyarat Kontinyu Contoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Bersyarat Kontinyu
Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X dan
Y, dengan X adalah perubahan temperatur dan Y adalah
persentase pergeseran spektrum dari suatu atom diberikan
oleh :
a. Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g(x) dan h(y)
b. Carilah fungsi rapat probabilitas bersyarat f(y|x)
c. Carilah probabilitasnya bahwa spektrum akan bergeser
lebih dari 50% dari seluruh pengamatan, jika temperatur
dinaikkan 0.25 unit
lainnya
yxxyyxf
0
1010),(
2
Contoh Soal Fungsi Distribusi
Peluang KontinyuContoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu
a. Fungsi Rapat Probabilitas Marginal :
b. Fungsi probabilitas bersyarat f(y|x)
10,510),()( 22
0
2
yyxdxxydxyxfyh
y
10),1(3
1010),()( 3
1
2
xxxdyxydyyxfxgx
101
3
)1(3
10
10
)(
),()|(
3
2
3
2
yxx
y
xx
xy
xg
yxfxyf
Contoh Soal Fungsi Distribusi
Peluang KontinyuContoh Soal Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu
c. Probabilitas spektrum akan bergeser > 50% dari seluruh
pengamatan, jika temperatur dinaikkan 0,25 unit, maka
kasus ini dapat dianggap dengan P (y>0,5|x=0,25)
9
8
25.01
3)25.0|()25.0|5.0(
1
5.0
3
21
5.0
dyy
dyxyfxyP
Tugas 7
• Mengerjakan soal – soal yang berada di beberapa
slide selanjutnya secara individu
• Mengerjakan soal – soal tersebut dengan cara
menghitung dan ditulis di kertas
• Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya (Rabu
minggu depan)
Tugas 7
1. Hasil pengukuran arus listrik pada suatu generator
telekomunikasi nirkabel merupakan distribusi probabilitas
acak kontinyu dengan fungsi kerapatan :
a. Apakah total luas dari fungsi tersebut = 1 ?
b. Hitung P(3,5 < X < 4,5) !
𝑓(𝑥)
0,075𝑥 + 0,2 3 ≤ 𝑥 ≤ 5
0 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Tugas 7
2. Jika ada data fungsi kerapatan peluang sebagai berikut :
a. Apakah f(x,y) memenuhi syarat fungsi rapat peluang ?
b. Hitung P((x,y), 0 < x <1 ; 0 < y < 1) !
lainnya yangy x,; 0
1 y 0
2 x 0 ; 4
)3yx(1 y)f(x,
2
Tugas 7
3. Fungsi rapat probabilitas bersama antara variabel random X
dan Y, dengan X adalah perubahan amplitudo dan Y
adalah persentase pergeseran frekuensi dari sebuah
gelombang adalah sebagai berikut :
a. Carilah fungsi rapat probabilitas marginal g(x) dan h(y)
b. Carilah fungsi rapat probabilitas bersyarat f(y|x)
c. Carilah probabilitasnya bahwa frekuensi akan bergeser
lebih dari 70% dari seluruh pengamatan, jika amplitudo
dinaikkan 0,5 unit
lainnya
yxyxyxf
0
1023),(
32
Sekilas Info
• Diberitahukan pada semua mahasiswa di kelas ini,
minggu depan kita akan adakan Quiz 3
• Ruang Lingkup Quiz 3
- Variabel Acak dan Fungsi
Distribusi Peluang Diskrit
- Variabel Acak dan Fungsi
Distribusi Peluang Kontinyu
• Sifat Quiz Close Book, tetapi
Diperbolehkan membawa
1 “lembar harapan”
• Quiz akan diadakan pada hari
Kamis, 2 April 2015
Selamat belajar v^^
Terimakasih dan Semoga
Bermanfaat v^^
Top Related