Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
HASILKALI TITIK DALAM RUANG DIMENSITIGA
Yulian Sari, M.Si
Pendidikan Matematika
16 Februari 2015
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De�nisi Vektor
De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).
Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.
Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut
r =�!OP = x i+ y j+ zk
(perhatikan gambar!)
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De�nisi Vektor
De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).
Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.
Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut
r =�!OP = x i+ y j+ zk
(perhatikan gambar!)
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De�nisi Vektor
De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).
Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.
Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut
r =�!OP = x i+ y j+ zk
(perhatikan gambar!)
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De�nitionPenjumlahan dan pengurangan vektor dalam ruang dimensi tigadapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk sebarang vektorA = a1i+ a2j+ a3k dan B = b1i+ b2j+ b3k,
A+B = (a1 + b1) i+ (a2 + b2) j+ (a3 + b3) kA�B = (a1 � b1) i+ (a2 � b2) j+ (a3 � b3) k.
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)
dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =
��!OP2 �
��!OP1
= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k
Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,
ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23
Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai
jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a
22 + a
23
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)
dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =
��!OP2 �
��!OP1
= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k
Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,
ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23
Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai
jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a
22 + a
23
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)
dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =
��!OP2 �
��!OP1
= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k
Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,
ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23
Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai
jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a
22 + a
23
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.
Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena
jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1
jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1
jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1
Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.
U =a1jAj i+
a2jAj j+
a3jAjk
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.
Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena
jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1
jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1
jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1
Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.
U =a1jAj i+
a2jAj j+
a3jAjk
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.
Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena
jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1
jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1
jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1
Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.
U =a1jAj i+
a2jAj j+
a3jAjk
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (1)
TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.
A+B = B+A
A+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi
A+ 0 = A
Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga
A+ (�A) = 0
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (1)
TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.
A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +C
Terdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi
A+ 0 = A
Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga
A+ (�A) = 0
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (1)
TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.
A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi
A+ 0 = A
Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga
A+ (�A) = 0
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (1)
TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.
A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi
A+ 0 = A
Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga
A+ (�A) = 0
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (2)
TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.
(cd)A =c(dA)
c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA1 (A) = A
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (2)
TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.
(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB
(c + d)A =cA+dA1 (A) = A
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (2)
TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.
(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA
1 (A) = A
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Beberapa sifat vektor (2)
TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.
(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA1 (A) = A
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
De�nition
Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka hasilkali titik dariA dan B, dinotasikan sebagai A �B dinyatakan sebagai berikut.
A �B =(a1, a2, a3) � (b1, b2, b3) =a1b1 + a2b2 + a3b3
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga
Theorem
Jika θ adalah sudut antara dua vektor bukan nol A dan B dalamruang dimensi tiga, maka
A �B = jAj jBj cos θ
De�nitionDua vektor bukan nol dalam ruang dimensi tiga dikatakan paraleljika dan hanya jika satu dari vektor tersebut adalah perkalian skalardari vektor yang lainnya.
De�nition
Dua vektor bukan nol saling tegak lurus (perpendicular/orthogonal)jika sudut yang dibentuk dari keduanya adalah π/2.
Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG
Top Related