Tinjau Ulang PrakalkulusLimit, Kekontinuan
Turunan dan DiferensialLimit tak HinggaAplikasi Turunan
Terapan Konsep dan PrinsipMenggunakan Algoritma
Setiap Solusi MasalahDikemukakan Strateginya
Oleh
Moch Chotim
Nip. 130781008
Jurusan Matematika
FMIPA
Universitas Negeri Semarang
2008
KATA PENGANTAR
Buku ajar ini merupakan rancangan kegiatan belajar mengajar matakuliah Kalkulus 1.
Matakuliah ini diberikan pada semester 1 tahun pertama bersama program D3 dan S1 di Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan bobot 3 satuan kredit semester (3 SKS).
Tujuan kurikuler matakuliah Kalkulus 1 adalah: “Mahasiswa memahami konsep fungsi,
kekontinuan fungsi, limit fungsi, turunan fungsi, dan aplikasinya pada masalah-masalah yang
dihadapi di matematika dan kehidupan sehari-hari”.
Untuk dapat mengikuti matakuliah Kalkulus 1 mahasiswa harus sudah memahami
matematika sekolah, khususnya matematika di SMA.
Agar perkuliahan dapat berhasil secara optimal, perkuliahan dilaksanakan dalam 2 kali
pertemuan setiap minggu dengan masing-masing pertemuan 2 x 50 menit. Dengan cara ini
mahasiswa akan lebih sering belajar, latihan, dan berdiskusi dengan dosen dibandingkan dengan
jika perkuliahan diberikan 1 kali pertemuan (3 x 50 menit). Dengan cara ini diharapkan
mahasiswa mencapai hasil belajar yang lebih baik.
Permasalahan matematika pada umumnya dan kalkulus pada khususnya memerlukan
pendalaman teori, dan latihan soal yang banyak. Dengan demikian kegiatan belajar mahasiswa
tidak cukup dilayani di kelas, dengan demikian mahasiswa harus memperkaya pengetahuan
sendiri melalui tugas, baik yang ditetapkan dosen maupun yang dipilih mahasiswa sendiri.
Pendekatan yang dipilih adalah pendekatan berbasis strategi dan pelaporannya menggunakan
algoritma. Algoritma didefinisikan sebagai seperangkat langkah yang tersusun secara deduktif,
setiap langkah dibuka dengan suatu kata pembuka yang merupakan alur berpikir. Setiap
memecahkan masalah dilalui dengan suatu diskusi yang aktif dan efisien. Bahan bacaan wajib
minimum dan tugas di luar kelas untuk perkuliahan ini dapat dilihat pada daftar pustaka yang
dilampirkan.
Untuk memperoleh data kelulusan mahasiswa dilaksanakan 2 kali ujian, yaitu ujian
tengah semester (100 menit) dan ujian akhir semester (120 menit). Selain kedua ujian itu
direncanakan pula 2 kali ujian formatif masing-masing 50 menit sebelum dan sesudah ujian
tengah semester. Nilai akhir mahasiswa ditetapkan berdasarkan pembobotan ujian dan tugas lain
sesuai dengan peraturan yang berlaku di Universitas masing-masing.
Semarang, 18 April 2008
Penulis,
Drs. Moch Chotim, M.S.
NIP. 130781008
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .........................................................................................
SASARAN BELAJAR ........................................................................................
BAB 1: TI NJAU ULANG TENTANG KONSEP-KONSEP PRAKALKULUS
1.1 Sistem Bilangan …………………………………………………...
Garis bilangan …………………………………………………......
Operasi pada R ………………………………………………….....
Urutan pada R ...…………………………………………………...
Nilai mutlak .....................................................................................
1.2 Bidang koordinat, jarak, dan lingkaran ............................................
Bidang koordinat ..............................................................................
Jarak .................................................................................................
Lingkaran .........................................................................................
1.3 Persamaan linear ..............................................................................
Kemiringan garis ..............................................................................
Persamaan garis ……………………………………………………
Garis tegak dan garis datar ………………………………………...
1.4 Fungsi ……………………………………………………………...
Pengertian fungsi ..............................................................................
Operasi aljabar pada fungsi ..............................................................
Fungsi-fungsi komposisi ..................................................................
Fungsi invers ....................................................................................
Membuat grafik fungsi dengan metode geseran ..............................
Fungsi Periodik: Tinjau ulang tentang fungsi Trigonometri ...........
Fungsi sinus dan fungsi kosinus ..........................
Fungsi tigonometri lainnya ..................................
BAB 2: LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI ..............................................
2.1 Limit fungsi .......................................................................................
Konsep limit secara intuitif ..............................................................
Konsep limit secara formal ..............................................................
Teorema-teorema limit .....................................................................
Limit sepihak ....................................................................................
Limit fungsi trigonometri .................................................................
2.2 Kekontinuan fungsi ..........................................................................
Kekontinuan fungsi di satu titik .......................................................
Kekontinuan fungsi pada suatu selang .............................................
Kekontinuan sepihak ........................................................................
001
001
001
004
005
008
012
012
014
015
017
018
018
020
021
021
031
035
037
042
048
051
084
084
084
086
090
100
107
108
111
114
114
BAB 3: TURUNAN DAN DIFERENSIAL ..........................................
3.1 Turunan ............................................................................................
Kemiringan garis singgung .............................................................
Pengertian turunan ..........................................................................
Turunan fungsi pada suatu selang ...................................................
Turunan sepihak ..............................................................................
Hubungan antara adanya turunan suatu fungsi dan kekontinuan
fungsi di suatu titik ..........................................................................
Turunan fungsi trigonometri ...........................................................
Teorema-teorema menentukan turunan fungsi ................................
Turunan fungsi invers .....................................................................
Turunan fungsi invers fungsi trigonometri .....................................
Turunan fungsi implisit ...................................................................
3.2 Diferensial .......................................................................................
Pengertian diferensial ......................................................................
Hampiran nilai fungsi ......................................................................
BAB 4: LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT DI TAK HINGGA ........
4.1 Limit tak hingga ...............................................................................
Pengertian limit tak hingga ..............................................................
4.2 Limit di tak hinga .............................................................................
BAB 5: PENGGUNAAN TURUNAN ..................................................
5.1 Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi ..................................
5.2 Teorema Rolle dan Teorema nilai rata-rata ....................................
5.3 Fungsi naik dan fungsi turun ...........................................................
5.4 Kecekungan grafik suatu fungsi ......................................................
5.5 Membuat sket grafik fungsi ............................................................
Asimptot grafik fungsi ....................................................................
Metode membuat sket grafik fungsi ................................................
5.6 Beberapa penggunan turunan ang lain ............................................
Masalah maksimum dan minimum .................................................
Masalah laju yang berkaitan ...........................................................
DAFTAR PUSTAKA
122
122
122
124
124
128
131
135
137
144
140
169
160
162
168
168
170
175
184
184
199
206
214
216
226
230
235
235
240
Konsep-konsep dan prinsip matematika yang telah diperoleh di sekolah
merupakan prasyarat untuk belajar kalkulus. Konsep dan prinsip ini perlu
diingatkan kembali sebagai penyegaran dan pendalaman.
1. Sistem Bilangan
Bilangan-bilangan real dapat di-
gambarkan oleh himpunan semua titik yang
terletak pada suatu garis. Pertama dipilih
sebuah titik O pada garis itu yang dipakai
sebagai titik pangkal. Selanjutnya dipilih
ukuran satuan dan tempatkan titik-titik
pada garis yang terletak satu satuan di
sebelah kanan O. Titik itu ditandai dengan
1 (satu). Cara ini digunakan untuk memberi
skala garis bilangan itu dan juga untuk
mempertimbangkan letak setiap bilangan
real. Sebagai contoh, setiap bilangan real
negatif – s terletak s satuan di kiri O.
Terdapat tiga tipe bilangan real yang
penting, yaitu bilangan-bilangan bulat, bi-
langan-bilangan rasional, dan bilangan-
bilangan tak rasional. Bilangan-bilangan
bulat adalah:
..., – 3, –2,–1, 0, 1, 2, 3, ... .
Bilangan-bilangan bulat dapat ditulis dalam
bentuk desimal dengan di kanan koma
desimal hanya terdiri nol, sebagai contoh:
2 = 2, 000... = 2, 0 ,
12 = 12,000... = 12, 0 , dan
–1 = –1,000... = –1, 0 .
dengan tanda ” ” dibaca ”bar” berarti
angka nol diulang tanpa akhir. Bilangan-
bilangan rasional adalah bilangan-bilangan
yang dapat dinyatakan sebagai:
b
a ,
a dan b bilangan-bilangan bulat, dan b 0.
j\“¤·“·†?P 001 j\“¤·“·†?P 002
05,02
1 ,Ini suatu kontradiksi.
Jadi 2 merupakan bilangan tak rasional.
0 1 2 3 4–1–2–3
–s r
s satuan
r satuan
Gambar 1: Garis
Bilangan
3,03
1 ,
__27,2
11
25 , dan
______538461538461,1
13
20 .
Contoh 1:
Tunjukkan bahwa__63,2 adalah bilangan ra-
sional.
Bukti:
Tulis__63,2 = x.
Jelas 100x =__63,263 .
Jadi 99x = 261
x =99
261 .
Ini menunjukkan x =__63,2 merupakan sua-
tu bilangan rasional.
Bilangan-bilangan real yang tak dapat
dinyatakan sebagaib
a , a dan b bilangan-
bilangan bulat, dan b 0 disebut bilangan-
bilangan tak rasional.
Contoh 2:
Tunjukkan bahwa 2 merupakan bilangan
tak rasional.
Bukti:
Andaikan 2 merupakan bilangan rasional.
Tulisb
a2 , a,b B, b 0, dan (a,b) = 1.
Jadi a2
= 2b2.
Jadi a2
merupakan kelipatan 2.
Jadi a merupakan kelipatan 2.
Tulis a = 2m untuk suatu m bilangan bulat.
Jadi 4m2
= 2b2
b2
= 2m2.
Jadi b2
merupakan kelipatan 2.
Jadi b kelipatan 2.
Jadi (a,b) > 1.
Bilangan = 3,14159 ... yang
merupakan perbandingan keliling dan
diameter suatu lingkaran juga termasuk
bilangan tak rasional.
Terdapat lambang-lambang baku untuk
mengenali himpunan-himpunan bilangan,
misalnya:
R = {x x bilangan real},
N = { x x bilangan asli},
Z = { x x bilangan bulat},
Q = { x x bilangan rasional},dan
Qc
= { x x bilangan tak rasional}.
Jelas N = {1, 2, 3, ...} dan
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
2. Operasi Pada R
Operasi jumlah pada R merupakan fungsi
“+”: R x R R
(x,y) x + y
dan operasi kali pada R merupakan fungsi
“x”: R x R R
(x,y) x x y.
Operasi jumlah dan kali pada R memenuhi
sifat-sifat berikut.
Jika x, y, x R, berlaku:
(1) Sifat komutatif
x + y = y + x dan
x.y = y.x.
(2) Sifat asosiatif
x + y + z = x + (y + z) = (x + y) + z
x . y . z = x . (y . z) = (x . y) . z
(3) Sifat distributif
x . (y + z) = x . y + x . z
(x . y) . z = x . z + y . z
j\“¤·“·†?P 003 j\“¤·“·†?P 004
(4) Unsur identitas
Terdapat unsur-unsur 0 dan 1 yang
memenuhi
x + 0 = 0 + x x R dan
x . 1 = 1 . x x R.
(5) Unsur balikan
x R –x R x + (–x) = 0 dan
x R, x 0, x– 1
R x.x– 1
= 1.
Kelima sifat di atas dikenal dengan sifat
lapangan (field). Jadi R merupakan suatu
lapangan.
Operasi selisih pada R merupakan fungsi
“–“: R x R R
(x,y) x + (– y)
dan operasi kali pada R merupakan fungsi
“:” : R x R R
(x,y) x x y– 1
.
3. Urutan pada R
Terdapat urutan baku pada R. Jika
pada garis bilangan letak b terletak di
kanan a, dikatakan b lebih dari a dan ditulis
dengan
b > a.
Tentu saja sama artinya apabila dika-
takan a kurang dari b dan ditulis
a < b.
Definisi 1
Teorema 2
Contoh 3
Tentukan himpunan selesaian pertidaksa-
maan: (a) x + 2 < 5, x R dan
(b) 923 x , x R.
Penyelesaian:
(a) Jelas x + 2 < 5
x + 2 + (–2) < 5 +(–2)
x < 3.
Jadi HS = { x R x < 3}.
(b) Jelas 923 x
9.)..(32
23
32 x
6x .
Jadi HS = { x R 6x }.
Berikut ini disajikan beberapa kesepa-
katan untuk menyatakan selang-selang
pada R. Apabila a, b R, didefinisikan:
(1) (a,b) = { x R a < x < b},
(2) [a,b) = { x R a x < b},
(3) (a,b] = { x R a < x b},
(4) [a,b] = { x R a x b},
(5) [a,+ ) = { x R x a}, dan
(6) (– , a] = { x R x a}.
Contoh 4
Tentukan himpunan selesaian x2
– x –2 4.
Penyelesaian:
Jelas x2
– x – 2 4 x2
– x – 6 0
(x + 2)( x – 3) 0.
Titik-titik pembuat nol ruas kiri adalah –2
dan 3.
j\“¤·“·†?P 005 j\“¤·“·†?P 006
Dipunyai a, b R.
a < b b – a 0
dan
a < b, a = b atau a > b.
Jika x, y, z, c R
maka (i) x=y, x<y, atau x>y,
(ii) x<y dan y < z x < z,
(iii) x<y x + c < y + c,
(iv) x<y dan c > 0 x . c < y . c,
(v) x<y dan c < 0 x . c > y . c.
Nilai (x + 2), (x – 3), dan (x + 2)(x – 3) pa-
dan selang (– ,–2),( –2,3), dan (3, + ):
Jadi HS = (– ,–2] [3, + ).
Teorema 3
Bukti (a):
Dipunyai ba0 .
Jelas a > 0, b > 0, dan a b.
Jelas a + b > 0 dan a – b 0.
Jadi (a + b)(a – b) 0 a2
– b2
0
a2
b2.
Jadi 220 baba .
Bukti (b):
Dipunyai ba0 .
Jelas a > 0, b > 0, dan a b.
Jelas a.b > 0 dan a – b 0.
Jadi 0ab
ba
a
1
b
1
b
1
a
1.
Jadib
1
a
1ba0 .
Bukti lainnya diserahkan pembaca sebagai
latihan.
4. Norm Baku di R
Pada garis bilangan berikut ini jarak 2
ke 5 adalah 3, ditulis j(2,5) = 3. Demikian
pula jarak 5 ke 2 juga 3, ditulis j(5,2) = 3.
Sedangkan
2 – 5 = –3 < 0 dan 5 – 2 = 3.
Berdasarkan fakta ini perlu didefinisikan
konsep jarak dua titik di R sebagai berikut:
dipunyai a, b R, jarak a ke b didefini-
sikan sebagai
J(a,b) =0apabila
0apabila
baba
abab.
Dengan demikian jarak 0x ke 0 sama
dengan jarak 0 ke 0x , ditulis dengan
J(x,0) = j(0,x) =0apabila
0apabila
xx
xx.
Selanjutnya, jarak x ke x ditulis j(x,x) = 0.
sebagai contoh j(7,7) = 0 dan j(0,0) = 0.
Definisi 4
Contoh 5
Tentukan 2 ,23 , dan 1 .
Penyelesaian:
(a) Jelas 2 > 0.
Jadi 2 = 2.
(b) Jelas 023 .
j\“¤·“·†?P 007 j\“¤·“·†?P 008
– – – + + + + + +
– – – – – – + + +
– – –+ + + + + +
(x + 2)
(x – 3)
(x + 2)(x – 3)
Gambar 2: Daerah nilai (x + 2), (x – 3),
dan (x + 2)(x – 3).
–2
–2
–2
3
3
3
Jika x R, J(x,0) ditulis dengan x
yang dibaca “nilai mutlak x” didefini-
sikan sebagai:
x =0apabila
0apabila
xx
xx.
Dipunyai a, b R.
(a) 220 baba ,
(b)ba
ba11
0 ,
(c) 220 baba , dan
(d)ba
ba11
0 .
Jadi23 =
23)
23( .
(c) Dipunyai 14,3 .
Jadi 1 – 1 – 3,14 = – 2,14 < 0.
Jadi 1 = –(1 – ) = – 1.
Berikut ini disajikan beberapa teorema
yang penting tentang nilai mutlak.
Teorema 4
(1) aaa R.
(2) babaab ,. R.
(3) Jika c > 0 maka
ca – c a c.
(4) aaaa R.
(5) bababa , R.
Bukti (1):
Ambil sembarang a R.
Kasus a < 0:
Tulis a = –m untuk suatu m > 0.
Jelas mmma )( dan
mma .
Jadi aa .
Kasus a = 0:
Jelas – a = 0.
Jadi aa = 0.
Kasus a > 0:
Jelas – a < 0.
Jadi aa dan aaa )( .
Jadi aa .
Jadi aaa R.
Bukti (3):
Dipunyai c > 0.
( ) Ambil sembarang a R.
Dipunyai ca .
Kasus a < 0:
Jelas ca – a c a –c.
Jadi –c a c.
Kasus a > 0:
Jelas ca a c.
Jelas – a < 0.
Jadi – a < c a > –c.
Jadi –c a c.
Jadi ca –c a c.
( ) Dipunyai –c a c.
Ambil sembarang a R.
Kasus a < 0:
Jelas –c a c cac
cac .
Jadi ca .
Kasus a = 0:
Jelas 0 c ca .
Kasus a > 0:
Jelas –c a c cac .
Jadi ca .
Jadi –c a c ca .
Bukti lainnya diserahkan pembaca sebagai
latihan.
Teorema 5:
Bukti:
(a) Ambil sembarang a,b R.
Jelas a = bba )( bba dan
b = aab )( aab .
Jadi baba dan baba )( .
Jadi baba .
(b) Ambil sembarang a,b R.
Jelas ba = )( ba
ba
= ba .
Jadi bababa , R.
j\“¤·“·†?P 009 j\“¤·“·†?P 010
Untuk setiap a, b R berlaku:
(a) baba dan
(b) baba .
Contoh 5
Tentukan HS pertidaksamaan berikut ini:
(a) 45x (c) 03x
x
(b) 721 xx (d) 03x
x
Penyelesaian:
(a) Cara 1:
Ambil sembarang x R.
Kasus x – 5 < 0:
Jelas x < 5.
Jelas 45x –(x – 5) 4
–x + 5 4
x 1.
Jadi HS1 = [1, 5).
Kasus x – 5 0:
Jelas x 5.
Jelas 45x x – 5 4
x 9.
Jadi HS2 = [5, 9].
Jadi HS = [1, 5) [5, 9] = [1, 9].
Cara 2:
Ambil sembarang x R.
Jelas 45x – 4 x – 5 4
1 x 9.
Jadi HS = [1, 9].
(b) Ambil sembarang x R.
Kasus x < – 1:
Jelas 721 xx –(x + 1) >2x – 7
–x – 1 > 2x – 7
x < 2.
Jadi HS1 = (– ,–1).
Kasus x – 1:
Jelas 721 xx x + 1 > 2x – 7
–x > – 8
x < 8.
Jadi HS2 = [– 1, 8).
Jadi HS = (– ,–1) [– 1, 8) = (– ,8).
(c) Ambil sembarang x R – {3}.
Jelas x 3.
Jadi (x – 3)2
> 0.
Jadi 03x
xx(x – 3) 0.
Selanjutnya daerah nilai x, (x – 3), dan
x(x – 3) diperlihatkan pada gambar be-
rikut ini.
Jadi HS = [0, 3].
(d) Ambil sembarang x R – {3}.
Jelas x – 3 0.
Jadi 03x .
Jadi 03x
x x 3.
Jadi HP = (– , 0].
4. Bidang Koordinat
Untuk menganalisis hubungan antara
dua variabel, sebagai contoh:
(a) hubungan antara waktu dan jarak
yang ditempuh suatu partikel yang
bergerak sepanjang garis,
(b) hubungan antara tekanan dan tem-
peratur suatu gas ideal,
j\“¤·“·†?P 011 j\“¤·“·†?P 012
– – – + + + + + +
– – – – – – + + +
– – –+ + + + + +
x
x – 3
x(x – 3)
0
0
0
3
3
3
Gambar 3: Daerah nilai x, (x – 3),
dan x(x + 3).
diperlukan suatu sistem kordinat dalam dua
dimensi. Sistem koordinat ini dibangun
dengan cara sebagai berikut:
(a) pilih titik O sebagai titik pangkal,
(b) melalui titik O dibangun sumbu
datar dan sumbu tegak yang selan-
jutnya berturut-turut disebut dengan
sumbu X dan sumbu Y,
(c) bagian positif sumbu datar adalah
sumbu datar yang letaknya di kanan
titik pangkal O,
(d) bagian positif sumbu tegak adalah
sumbu tegak yang letaknya di atas
titik pangkal,
(e) bidang yang dibangun oleh sumbu
datar dan sumbu tegak disebut
bidang koordinat XOY,
(f) setiap titik pada bidang XY berpa-
danan dengan sepasang bilangan
real (xo, yo) yang disebut koordinat
titik tersebut.
Perhatikan titik P pada bidang koordinat
berikut ini.
Titik-titik Q dan R berturut-turut merupa-
kan projeksi titik P pada sumbu X dan
sumbu Y.
Tulis j(PQ) = oy dan j(PR) = ox .
Jelas oy = yo dan ox = xo.
Selanjutnya xo disebut koordinat x titik P,
yo disebut koordinat y titik P, dan (xo, yo)
disebut koordinat titik P.
Berikut ini disajikan gambar beberapa
titik di bidang koordinat.
Jarak titik-titik A, B, C, dan D ke sumbu X
berturut-turut adalah:
11 , 33 , 33 , dan 11 .
Sedangkan jarak titik-titik A, B, C, dan D
ke sumbu Y berturut-turut adalah:
44 , 11 , 44 , dan 22 .
Gambar berikut memperlihatkan dua
titik )1,1( yxP dan )2,2( yxQ .
Jarak titik P ke titik Q ditulis j(P, Q).
Jelas j(P, Q) = 212
212 yyxx
= 2)12(2)12( yyxx
Contoh 6
Tentukan jarak antara dua titik berikut:
(a) A(– 3, 1) dan B(1, – 2)
(b) P(1,1) dan Q(–1,–7)
j\“¤·“·†?P 013 j\“¤·“·†?P 014
P(xo,yo)
Q
R
X
Y
O
Gambar 4: Bidang koordinat
X
Y
A(4,1)
B(–1,3)
D(2,–1)
C(–4, –3)
Gambar 5: Posisi beberapa titik
pada bidang koordinat
)1,1( yxP
Gambar 6: Jarak titik P ke titik Q
Y
X
)2,2( yxQ
)1,2( yxR
Penyelesaian:
(a) Jelas j(A, B) = 2)12(2)31(
= 25 = 5.
(b) Jelas j(A, B) = 2)17(2)11(
= 68 = 172 .
Contoh 7
Tentukan persamaan lintasan titik-titik
yang berjarak sama dari titik A(4,3) dan
B(–5, –1).
Penyelesaian:
Ambil sembarang titik P(x,y) pada lintasan.
Jelas j(P, A) = j(P, B)
2)3(2)4( yx = 2)1(2)5( yx
8
1
4
9xy .
Ini menunjukkan bahwa lintasannya meru-
pakan suatu garis lurus.
5. Lingkaran
Lingkaran adalah lintasan titik-titik
yang berjarak sama ke suatu titik tertentu.
Selanjutnya, jarak yang tetap disebut jari-
jari lingkaran dan titik tertentu disebut titik
pusat lingkaran.
Sekarang akan dicari persamaan
lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan
ukuran jari-jarinya r.
Ambil sembarang titik P(x,y) pada lingkar-
an.
Jelas j(O,P) = r
ryx2)0(2)0(
ryx22(
222ryx .
Tampilan 222ryx merupakan persama-
an lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan
berukuran jari-jari r.
Contoh 8
(a) Tentukan persamaan lingkaran ber-
jari-jari 4 dan berpusat di titik
A(2,3).
Jelaskan dan sket grafik yang persamaan-
nya x2
+ y2
+ 6x – 2y + 6 = 0.
Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang titik P(x,y) pada
lingkaran.
Jelas j(P,A) = 4
j\“¤·“·†?P 015 j\“¤·“·†?P 016
42)3(2)2( yxhubungan dua peubah lebih rumit dari garis
lurus. Berdasarkan ini para ilmuwan selalu
A(4,3)
B(–5, –1)
P(x,y)
X
Y
Gambar 7: Lintasan titik-titik yang
berjarak sama dari titik
A ke B.
X
Y
P(x,y)
O
Gambar 8: Lingkaran berpusat di O(0,0)
dan berjari-jari r
162)3(2)2( yx
036422yxyx .
(b) Jelas x2
+ y2
+ 6x – 2y + 6 = 0
(x2+2.(3x).1+9)+( y
2– 2.y.1+1) = 4
(x + 3)2
+ (y – 1)2
= 22.
merupakan persamaan lingkaran berpu
sat di titik (– 3,1) dan berukuran jari-
jari 2.
Gambar lingkaran itu adalah sebagai
berikut:
6. Persamaan Linear
Persamaan yang grafiknya merupa-
kan garis lurus sangat penting di dalam
kalkulus. Masalah mendasar seluruh objek
adalah mencari persamaan garis singgung
suatu kurva di suatu titik yang diketahui.
Secara umum, garis merupakan gambar
hubungan antara dua variabel. Biasanya
melinearkan model-model yang diperoleh
dengan cara mencari suatu garis lurus yang
merupakan hmpiran terbaik sebagai hu-
bungan dua variabel itu yang masih dibe-
narkan.
Jika P(x1,y1) dan Q(x2,y2) merupakan
dua titik berbeda membangun suatu garis
(sebut dengan garis l). Kemiringan atau
gradien garis l diberi lambang lm didefin-
isikan sebagai perbandingan garis berarah
vertikal dan garis berarah horizontal dari P
ke Q atau dari Q ke P.
Berdasarkan definisi, dapat ditentukan:
12
12xx
yyPQmm
l
atau
21
21xx
yymm
QPl.
Contoh 9
Tentukan persamaan garis l yang mempu-
nyai gradien m dan melalui titik A(x1,y1)!
Penyelesaian:
Ambil sembarang titik P(x, y) pada garis l.
Jelas m =1
1xx
yy)1(1 xxmyy
y = mx + b, b = y1 – mx1.
j\“¤·“·†?P 017 j\“¤·“·†?P 018
X
Y
P(–3,1 )
Or
Gambar 9: Lingkaran berpusat di
P(–3, 1) dan berukur-
an jari-jari 2.
P(x1,y1)
Q(x2,y2)
X
Y
Gambar 10: Garis PQ melalui titik
P(x1, y1) dan Q(x2, y2)
Contoh 10
Tentukan persamaan garis lurus yang:
(a) melalui titik (3,6) dan mempunyai
kemiringan m = 3.
(b) Melalui titik-titik A(–2,3) dan
B(2,– 3).
Penyelesaian:
(a) Tulis f: garis yang diminta.
Ambil sembarang titik P(x,y) pada f.
Jelas m =3
6
x
y3 =
3
6
x
y
3x – 9 = y – 6
y = 3x – 3.
Jadi f: y = 3x – 3.
(b) Tulis g: daris yang diminta.
Jelas23
22
33gm .
Ambil sembarang titik P(x,y) pada g.
Jadi g:2
3
23
x
y33
23 yx
2
3xy .
Contoh 11
Tentukan kemiringan dan koordinat titik
potong garis g: 2x + 4y – 6 = 0.
Penyelesaian:
Jelas 2x + 4y – 6 = 023
21 xy .
Jadi21
gm .
Tulis23
21)( xxg .
Jelas23)0(g .
Jadi grafik g memotong sumbu Y di (0, )23 .
Garis vertikal mempunyi sifat bahwa
setiap titik ada garis ini mempunyai koor-
dinat x yang sama. Sedangkan garis hori-
zontal mempunyai sifat bahwa setiap titik
pada garis ini mempunyai koordinat y yang
sama. Perhatikan Gambar 12 berikut ini:
Teorema 6
Buktinya sederhana, diserahkan pembaca
sebagai latihan.
Contoh 12
Dipunyai garis f: y – 3x – 4 = 0. Tentukan:
(a) persamaan garis g yang sejajar
dengan garis g dan melalui titik
(3,0).
(b) Persamaan garis h yang tegak lurus
garis f dan melalui titik (–3, 2).
Penyelesaian:
(a) Jelas y – 3x – 4 = 0 y = 3x + 4.
Jadi mf = 3.
Dipunyai garis g // f.
Jadi mg = mf = 3.
j\“¤·“·†?P 019 j\“¤·“·†?P 020
X
Y
h: y = 1
v: x = 1
Gambar 12: Garis h horizontal dan
garis v vertical.
X
Y
)23,0(
(3,0)
g
Gambar 11: Grafik g: 2x + 4y – 6 = 0
Dipunyai dua garis berbeda yang
memiliki persamaan
f: y = m1x + b1 dan g: y = m2x + b2.
(a) f // g m1 = m2
(b) f g m1 . m2 = –1.
Dipunyai garis g melalui titik (3,0).
Jadi g: y – 0 = 3(x – 3) y = 3x – 9.
(b) Dipunyai h f.
Jadi mh . mf = –1
mh = –31 .
Dipunyai garis h melalui titik (–3, 2).
Jadi h: y – 2 = –31 (x + 3)
y = 13
x .
7. Fungsi
Pengertian fungsi merupakan suatu
hal yang mendasar dalam kalkulus. Berikut
ini disajikan definisi fungsi.
Definisi 7
Selanjutnya apabila (x,y) f, ditulis
y = f(x)
atau
f: x y
yang menyatakan y sebagai nilai f di x.
Suatu fungsi dari A ke B digambarkan
sebagai suatu grafik (Gambar 13), dan
sebagai suatu pemetaan (Gambar 14).
Himpunan A disebut daerah asal (domain)
fungsi f diberi lambang Df, dan
{y B (x,y) f}
disebut daerah hasil (range) fungsi f dan di-
beri lambing Rf.
Contoh 13
Periksa pengaitan-pengaitan berikut ini
merupakan fungsi atau bukan:
(a) f: R R , f(x) = x,
(b) g: R R, g(x) = x3, dan
(c) h: [–5,5] [–5,5], x2
+ y2
= 25.
Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang x R.
Jelas x = f(x).
Pilih y = x.
Jelas y = f(x).
Jadi )(xfyRyRx .
Ambil sembarang a, b R, a = b.
Jelas f(a) = a = b = f(b).
Jadi ba, R, a = b, f(a) = f(b).
Jadi f suatu fungsi.
j\“¤·“·†?P 021 j\“¤·“·†?P 022
Dipunyai himpunan A dan B. Suatu
fungsi f dari himpunan A ke B merupa-
kan pasang terurut f A x B sehingga:
(1) fyxByAx ),( dan
(2) (x,y) f dan (x,z) f y = z.
AB
f
xf(x)
Gambar 14: Fungsi g: A B sebagai suatu
pemetaan.
X
Y
(x,y)
x
y
A
B
Gambar 13: Grafik fungsi f: A B.
f
(b) Ambil sembarang x R.
Jelas x3
R.
Pilih y = x3.
Jelas y = f(x).
Jadi )(xfyRyRx .
Ambil sembarang a, b R, a = b.
Jelas f(a) = a3
= b3
= f(b).
Jadi ba, R, a = b, f(a) = f(b).
Jadi f suatu fungsi.
(c) Pilih x = 3 [–5,5].
Jelas 32
+y2
= 25 y2
= 16
y = –4 y = 4.
Ini berarti
a, b [–5,5], a = b, h(a) h(b).
Jadi h bukan suatu fungsi.
Gambar situasinya:
Contoh 14
Tentukan daerah asal, daerah hasil, dan
sket setiap grafik fungsi f berikut ini:
(a) f(x) = x2
(d) f(x) =1
12
x
x
(b) f(x) = x + 1 (e) f(x) = xx 22
(c) f(x) = x (f) f(x) = xx 22
Penyelesaian:
(a) Jelas Df = R dan Rf = [0,+ ).
Daftar nilai f:
x ... –2 –1 0 1 2 ...
x2
... 4 1 0 1 4 ...
Grafik f:
j\“¤·“·†?P 023 j\“¤·“·†?P 024
X
Yg
x
g(x)
Gambar 16: Grafik f(x) = x3
Gambar 15: Grafik f(x) = x
X
Y
f
x
f(x)
X
Y f
(0,0)
(1,1)
(2,4)
(-1,1)
(-2,4)
Gambar 18: Grafik f(x) = x2
X
Y
3
Gambar 17: Grafik x2
+ y2
= 25
bukan merupakan fungsi
4
– 4
Y
(b) Dipunyai f(x) = x + 1.
Jelas Df = R dan Rf = R.
Daftar nilai f:
x ... –1 0 1 ...
x2
... 0 1 2 ...
Grafik f:
(c) Jelas Df = R dan Rf = [0,+ ).
Daftar nilai f:
x ... –2 –1 0 1 2 ...
x2
... 2 1 0 1 2 ...
Grafik f:
(d) Jelas f(x) =1
12
x
x = x + 1, x 1.
Jelas Df = R – {1} dan Rf = R – {2}.
Daftar nilai f:
x ... –2 –1 0 1 2 ...
x2
... –1 0 1 2 3 ...
Grafik f:
(e) Jelas x2
– 2x > 0 x(x – 2) > 0
x < 0 x > 2.
Jadi Df = (– ,0) (2,+ ) dan
Rf = (0,+ ).
Daftar nilai f:
x ... –3 –2 2 3 ...
x2
... 3 0 0 3 ...
Grafik f:
(f) Jelas f(x) = xx 22
= .)2,0(,22
),2[]0,(,22
xxx
xxx
Jelas Rf = R dan Df = [0,+ ).
j\“¤·“·†?P 025 j\“¤·“·†?P 026
Daftar nilai f: Grafik f:
X
Y
(-3,3)
(-2,2)
(-1,1)
(0,0)
(1,1)
(2,2)
(3,3)
f
Gambar 20: Grafik f(x) = x
X
Y
ff
(–2,0) (2,0)
Gambar 22: Gambar f(x) = xx 22
f
X
Y
(-1,0)
(0,1)
(1,2)
Gambar 19: Grafik f(x) = x + 1
X
Y
(-1,0)
(0,1)
(1,2)
Gambar 21: Grafik f(x) =1
12
x
x .
x ... –1 0 1 2 3 ...
x2
... 3 0 1 0 3 ...
Grafik f:
Contoh 15
Jika x R, x didefinisikan sebagai bi-
langan bulat terbesar yang kurang dari atau
sama dengan x.
Dipunyai f: R B, f(x) = x .
Periksa apakah f merupakan fungsi atau
bukan.
Penyelesaian:
Ambil sembarang x R.
Pilih y = maks {b B b x}.
Jelas y B dan y = f(x).
Jadi x R y B y = f(x).
Ambil sembarang x B.
Pilih y = x R.
Jelas f(y) = f(x) = x = x.
Jadi x B y R y = f(x).
Jadi f merupakan suatu fungsi.
Dengan mudah dapat dihitung bahwa:
f([–2, –1)) = –2,
f([–1, 0)) = –1,
f([0, 1)) = 0,
f([1, 2)) = 1,
f([n–1, n)) = n – 1.
Berikut ini disajikan beberapa sifat
fungsi.
Definisi 9
Contoh 16
Periksa fungsi-fungsi berikut merupakan
fungsi injektif atau bukan.
(a) f: R R, f(x) = x3
dan
(b) g: R R, g(x) = x2
– 1.
Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang x1, x2 R, x1 x2.
Jelas
0)21( xx dan 0)212.1
21
( xxxx .
j\“¤·“·†?P 027 j\“¤·“·†?P 028
Jelas f(x1) – f(x2) (b) Ambil sembarang x [–1,+ ).
Dipunyai fungsi f: A B.
Fungsi f dikatakan satu-satu (injective)
jika untuk setiap dua unsur beda di A
mempunyai peta yang beda. Definisi
ini dapat disajikan secara formal seba-
gai berikut:
x1, x2 A, x1 x2, f(x1) f(x2).
X
Y
ff
(0,0) (2,0)
Gambar 23: Gambar f(x) = xx 22
(3,3)(-1,3)
X
Y
– 1
– 2
– 3
1`
2`
3`
Gambar 24: Grafik f(x) = x
= 32
31
xx
= )212.1
21
)(21( xxxxxx
0.
Jadi f(x1) – f(x2) 0.
Jadi x1, x2 R, x1 x2, f(x1) f(x2).
Jadi f suatu fungsi injektif.
(b) Pilih x1 = –1 dan x2 = 1.
Jelas g(x1) = g(–1) = 0 = g(1) = g(x2).
Jadi x1, x2 R, x1 x2, g(x1) = g(x2).
Jadi g bukan fungsi injektif.
Definisi 10
Contoh 17
Periksa fungsi-fungsi berikut merupakan
fungsi surjektif atau bukan.
(a) f: R R, f(x) = 2x – 1 dan
(b) g: R [–1,+ ), g(x) = x2
– 1.
Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang x R.
Jelas x = 12
12
x .
Pilih y =2
1x R.
Jelas f(y) = 12
12
x = x.
Jadi x R, y R f(y) = x.
Jadi f merupakan suatu fungsi surjek-
tif.
Pilih y g(y) = x.
Jelas g(y) = x y2
– 1 = x
y2
= x + 1
1xy 1xy
Jelas y R.
Jadi x [–1,+ ), y R, g(y) = x.
Jadi g merupakan suatu fungsi surjek-
tif.
Fungsi f: RI dikatakan bijektif
apabila fungsi f merupakan fungsi injektif
dan sekaligus surjektif.
8. Fungsi naik dan Fungsi Turun
Banyak model fenomena alam yang
mempunyai solusi sebagai suatu fungsi
yang naik atau turun. Sebagai contoh
model populasi suatu mahluk hidup, model
peluruhan radio aktif, dan sebagainya.
Definisi 11
Definisi 12
j\“¤·“·†?P 029 j\“¤·“·†?P 030
Dipunyai fungsi f: A B.
Fungsi f dikatakan pada (surjective)
jika Rf = B. Definisi ini dapat disaji-
kan secara formal sebagai berikut:
x B, y A f(y) = x.
Dipunyai fungnsi f: A B.
Grafik fungsi f dikatakan naik jika
fungsi f melestarikan urutan. Definisi
ini dapat disaji-kan secara formal
sebagai beri-kut:
)()(,,, bfafbaAba .
Dipunyai fungnsi f: A B. Grafik
fungsi f dikatakan turun jika fungsi f
tak melestarikan urutan. Definisi ini
dapat disaji-kan secara formal sebagai
beri-kut:
)()(,,, bfafbaAba .
Contoh 17
Periksa apakah grafik fungsi berikut naik
ataukah turun:
(a) f: R R, f(x) = 2x – 1,
(b) f: [0,+ ) R, f(x) = x2, dan
(c) f: R R, f(x) = x2.
Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang x1, x2 R, x1 < x2.
Jelas x1 – x2 < 0.
Jelas f(x1) – f( x2) = 2x1 – 1 – 2x2 + 1
= 2(x1 – x2)
Jadi f(x1) < f( x2).
Jadi x1, x2 R, x1 < x2, f(x1) < f( x2).
Jadi grafik f naik.
(b) Ambil sembarang x1,x2 (– ,0],x1 x2.
Jelas x1 0, x2 0, dan x1 – x2 0.
Jadi x1 + x2 0, dan x1 – x2 0.
Jelas f(x1) – f( x2) = 22
21
xx
= (x1 + x2)( x1 – x2)
0.
Jadi x1,x2 (– ,0],x1 x2, f(x1) f(x2).
Jadi grafik f turun pada (– ,0].
(c) Pilih x1 = –2 dan x2 = 1.
Jelas x1, x2 R dan x1 < x2.
Jelas f (x1) = 4 > 1 = f (x1).
Jadi )()(,,, 212121 xfxfxxRxx .
Jadi grafik f tidak naik pada R.
9. Operasi Aljabar Fungsi
Suatu cara untuk membangun suatu
fungsi baru adalah dengan menjumlah,
mengurangi, mengalikan, atau membagi
fungsi-fungsi yang diketahui. Berikut ini
didefinisikan operasi pada fungsi:
Definisi 13
Contoh 18
Dipunyai fungsi f : RR , f (x) = x dan
g : [1,+ ) [0,+ ), g(x) = 1x .
(a) jika h1 = f + g, tentukan: rumus h1,
daerah asal, dan daerah hasil h1.
(b) jika h2 =g
f, tentukan: rumus h2, dae-
rah asal, dan daerah hasil h2.
Penyelesaian:
(a) Jelas h1(x) = f(x) + g(x)
= x + 1x .
Jelas ),0[1hD dan ),1[
1hR .
Grafik h1:
j\“¤·“·†?P 031 j\“¤·“·†?P 032
Contoh 18
Dipunyai f dan g adalah fungsi-fung-
si dan k suatu konstanta. Fungsi-
fungsi f + g, f – g, kg, f.g, dang
f
didefinisikan sebagai berikut:
(a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(b) (f – g)(x) = f(x) – g(x)
(c) kg(x) = k . g(x)
(d) (f.g)(x) = f(x).g(x)
(e) 0)(,)(
)()( xg
xg
xfx
g
f
untuk semua x di daerah definisinya.
7
Y h1
(b) Jelas g(x) = 1x 0 x (1,+ ).
Jelas h2(x) = )(xg
f
=)(
)(
xg
xf
=1x
x .
Jadi ),1(2hD dan ,2[
2hR ).
Grafik :2h
Dipunyai f : R R, f (x) =0,1
0,
x
xxdan
g : R R, g (x) =1,21,
xx
xx.
Tentukan f + g, daerah asal, dan daerah
hasilnya.
Penyelesaian:
Tulis f(x) = 1
1,1
0,1
0,
x
x
xx
dan
g(x) =
1,
10,
0,
2xx
xx
xx
.
Jadi (f + g)(x) =
1,1
10,1
0,0
2xx
xx
x
.
Dari Gambar 27, dapat dilihat bahwa:
gfD R
dan
gfR = [0,+ ) (–2,–1).
Grafik f + g:
j\“¤·“·†?P 033 j\“¤·“·†?P 034
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
X
X
Y
g
f
(2,1)
(2,2)(1,1)
(1,0)
(5,2)
(5,5)
(5,25 )
Gambar 26: Grafik h2(x) =g
f(x)
Gambar 27:
Gambar ))(( xgf =
1,21
10,1
0,0
xx
xx
x
Y g
g
f
f
f + g
f + g
f + g
X
10. Komposisi Fungsi-Fungsi
Kadang-kadang dua fungsi diga-
bung tidak menggunakan operasi-operasi
aljabar yang telah dikenal, akan tetapi
dengan cara fungsi kedua didefinisikan
pada daerah hasil fungsi pertama. Fungsi
yang dihasilkan dengan cara ini dinama-
kan fungsi komposisi.
Sebagai contoh, fungsi h(x) = 1x
dapat dibangun melalui dua fungsi, yaitu:
fungsi nilai mutlak
g: R [0,+ ) dengan g(x) = x
dan fungsi linear
g: R R dengan f(x) = x – 1.
Untuk menghitung h(a), pertama dicari
a–1 dan kemudian dihitung nilai
mutlaknya, yaitu 1a .
Definisi 14
Pada Gambar 28 terlihat bahwa gfD ada-
lah prapeta fDgR oleh g ditulis dengan
)(1fDgRg
dan gfR adalah peta fDgR oleh f dan
ditulis dengan
)( fDgRf .
Gambar 28: Diagram
fungsi komposisi gf
Contoh 19
Dipunyai fungsi-fungsi f dan g yang disaji-
kan berturut-turut oleh
f(x) = x – 2 dan g(x) = x2
– 1.
Tentukan gf dan fg jika ada, selan-
jutnya tentukan daerah asal dan daerah
hasilnya.
Penyelesaian:
Jelas fD R, fR R, gD R, dan
),1[gR .
(a) Jelas ),1[fDgR R= ),1[ .
Jadi gf ada.
Jelas ))(( xgf = f[g(x)]
= f(x2
– 1) – 2
= x2
– 3.
Jelas gfD = g– 1
([–1,+ )) = R dan
gfR = f([–1,+ )) = [–3,+ ).
(b) Jelas gDRf = R R = R .
Jadi fg ada.
Jelas ))(( xfg = g[f(x)]
= g(x – 2)
= (x – 2)2
– 1.
j\“¤·“·†?P 035 j\“¤·“·†?P 036
Dipunyai fungsi-fungsi f dan g dengan
Rg Df . Fungsi komposisi f g
didefinisikan sebagai
(f g)(x) = f[g(x)] x Rg Df.
gf
f g
Df g Rf gRg Df
Df
Rg
Dg
Rf
Jelas fgD = f– 1
(R) = R dan
fgR = g(R) = R.
Berikut ini disajikan beberapa contoh
berbagai fungsi yang dapat dikembalikan
sebagi komposisi dua fungsi:
(a) Fungsi h(x) = 32
)72(x dibangun dari
32
)( xxf dan g(x) = x2
+ 7 dengan
rumus ( gf )(x).
(b) Fungsi h(x)= 224 x dibangun dari
xxf 4)( dan g(x) = 2 + x2
dengan
rumus ( gf )(x).
(c) Fungsi h(x) = 224 x dapat pula di-
bangun dari xxf 4)( dan g(x) = 2+x2
dengan rumus ( gf )(x).
(d) Fungsi h(x) =43
8
x
dibangun dari
fungsix
xf8
)( dan g(x) = 3 + x4
de-
ngan rumus ( gf )(x).
(e) Fungsi h(x) =43
8
x
dapat pula diba-
ngun dari fungsix
xf8
)( dan g(x) =
43 x dengan rumus ( gf )(x).
11. Balikan (Invers) Fungsi
Banyak fungsi yang sangat berman-
faat dibangun dengan menggunakan fung-
si yang telah dikenal. Dimulai dengan
fungsi yang memetakan titik ke dirinya
sendiri yang disebut dengan fungsi iden-
titas.
Definisi 15
Definisi 16
Gambar situasinya:
Perhatian 1: Tampilan f–1
merupakan in-
vers fungsi f dan f–1
f
1 .
Perhatian 2: jika g adalah invers f, maka
fRgD sebab g didefini-
sikan oleh:
g(y) = x y = f(x).
Contoh 20
(a) Dipunyai fungsi
f: R R , f(x) = 2x
dan
g: R R , g(x) =2
x .
j\“¤·“·†?P 037 j\“¤·“·†?P 038
f
f–1
AB
Rf
Gambar 29: Diagram fungsi f dan f–1
Fungsi i: A B dengan A B disebut
fungsi identitas apabila
i(x) = x untuk setiap x A.
Dipunyai fungsi f: A B. Jika terda-
pat fungsi g: Rf A sehingga
g[f(x)] = x x A
maka fungsi g disebut invers f dan
dituliskan dengan
g = f–1
.
Ambil sembarang x R.
Jelas g[f(x)] = g(2x) =2
2x = x.
Jadi g = f–1
.
(b) Dipunyai fungsi f: R R , f(x) = 2x – 1.
Jelas f fungsi bijektif.
Jadi f–1
ada.
Ambil sembarang x R.
Jelas x = 12
122
x = )2
12( xf .
Jadi f–1
(x) = f–1
[f(2
12x )]
= ( )2
12)(1( xff
= )2
12( xi
=2
12x .
(c) Fungsi f : R R yang disajikan oleh
f(x) = x2
tidak mempunyai invers. Hal
ini disebabkan untuk setiap bilangan
positif x berkorespondensi dengan 2
bilangan berbeda di Df = R. Sebagai
contoh, untuk x = 4 diperoleh f(–2) = 4
dan f(2) = 4. Ini berarti tak mungkin
mendefinisikan g(4) = 2 dan g(4) = –2.
Jadi tidak ada fungsi g yang memenuhi
g[f(x)] = x untuk setiap x R.
Teorema 17
Bukti:
Bangun pengaitan g: Rf Df sehingga
g(x) = y x Rf dan x = f(y).
Ambil sembarang a,b Rf, a = b.
Tulis a = f(x1) dan b = f(x2).
Dipunyai f fungsi injektif.
Jadi x1 = x2.
Jadi a,b Rf, a = b, g(a) = g(b).
Jadi g suatu fungsi.
Ambil sembarang x Df.
Jelas g[f(x)] = g(y) untuk suatu y Rf
= x.
Jadi x Df , g[f(x)] = x.
Jadi g = f–1
.
Jelas fRgDf
D 1 .
Contoh 21
Dipunyai f: R R , f(x) = 2x – 4.
Jelas f fungsi injektif.
Jadi f–1
ada.
Ambil sembarang x R.
Tulis 2x – 4 = y x = 22
y.
Jadi f–1
(x) = 22x .
Jelas fRf
D 1 = R.
Gambar situasinya:
Hubungan grafik fungsi f dan
inversnya f–1
dapat ditentukan dengan cara
j\“¤·“·†?P 039 j\“¤·“·†?P 040
Jika f: A B merupakan fungsi
injektif, maka
(a) fungsi f–1
ada, dan
(b) fRf
D 1 .
X
Y
(4,4)
–4 2
–4
2
fg
Gambar 30: Grafik f dan g = f–1
.
sebagai berikut:
apabila (a,b) f maka (b,a) f–1
. Ini
berarti bahwa setiap titik di f–1
diperoleh
dari titik di f dengan pencerminan terhadap
garis y = x. Ini berarti juga bahwa grafik f
dan f–1
simetri terhadap garis y = x.
Contoh 22
Dipunyai f: R–{–21 } R – {
23 }, dengan
12
23)(
x
xxf .
Tentukan f–1
(x) apabila ada.
Penyelesaian:
Ambil sembarang a, b R– {–21 }, a b.
Jelas a – b 0, 2a + 1 0, dan 2b + 1 0.
Jelas f(a) – f(b) =12
23
12
23
b
b
a
a
=)12)(12( ba
ab
0.
Jadi a, b R– {–21 }, a b, f(a) f(b).
Jadi f fungsi injektif.
Jadi f–1
ada.
Pemeriksaan:
(a) Ambil sembarang x R.
Jelas f(–x) = (–x)2
– 2 = x2
– 2 = f(x).
Jadi f(–x) = f(x) x R.
Jadi f merupakan fungsi genap.
(b) Ambil sembarang x R.
Jelas g(–x) = –x = –g(x).
Jadi g(–x) = –g(x) x R.
Jadi g merupakan fungsi ganjil.
(c) Ambil sembarang x R.
Jelas h(x) = 1x =1,1
1,1
xx
xx.
Jelas h(–x) =1,1
1,1
xx
xx.
Jelas h(–x) h(x) dan h(–x) –h(x)
Jadi h bukan fungsi genap dan h juga
bukan fungsi ganjil.
(d) Ambil sembarang x R.
Jelas l(–x) = (–x)3
+ x
= –(x3
–x) = –l(x).
Jadi l(–x) = –l(x) x R.
Jadi l merupakan fungsi ganjil.
Catatan:
12. Membuat Sket Grafik Fungsi
dengan Metode Geseran
Sebelum membahas konsep perge-
seran, perlu diperhatikan bagaimana meng
gambar grafik fungsi-fungsi sederhana.
Sebagai contoh diberikan fungsi-fungsi
kuadrat berikut ini:
(a) f: R R, f(x) = x2,
(b) g: R R, g(x) = (x – 1)2, dan
(c) h: R R, h(x) = (x – 1)2
– 2.
Penyelesaian:
(a) Daftar nilai fungsi f:
x ... –2 –1 0 1 2 ...
x2
... 4 1 0 1 4 ...
Grafik f:
j\“¤·“·†?P 041 j\“¤·“·†?P 042
X
Y f
(1,1)
(2,4)
(–1,1)
(–2,4)
Gambar 31: Grafik f(x) = x2
(1) Grafik fungsi genap simetri
terhadap sumbu X.
(2) Grafik fungsi ganjil simetri
terhadap titik pangkal O.
(b) Daftar nilai fungsi g:
x ... –1 0 1 2 3 ...
x–1 ... –2 –1 0 1 2 ...
(x–1)2
... 4 1 0 1 4 ...
Grafik g:
(c) Daftar nilai fungsi h:x ... –1 0 1 2 3 ...
x–1 ... –2 –1 0 1 2 ...
(x–1)2– 2 ... 4 1 0 1 4 ...
Grafik h:
Pada Gambar 31, 32, dan 33
dapat dilihat bahwa grafik g diperoleh
dari grafik f dengan menggeser ke kanan
sejauh 1 satuan dan grafik h diperoleh
dengan menggeser grafik g ke bawah
sejauh 2 satuan.
Definisi 18
Contoh 23
Dipunyai grafik fungsi f. Buatlah sket
grafik
y = 21)1(xf .
Penyelesaian:
Tulis )1()(1 xfxf , 1)1()(2 xfxf ,
1)1()(3 xfxf , dan
21)1()(3 xfxf
Grafik f1 diperoleh dengan menggeser
grafik f ke kiri sejauh 1 satuan.
Grafik f2 diperoleh dengan menggeser
grafik f1 ke bawah sejauh 1 satuan.
Grafik 23 ff .
Sedangkan grafik f4 diperoleh dengan
menggeser grafik f3 ke atas sejauh 2
satuan.
Dengan demikian sket grafiknya
dapat dilihat pada gambar berikut ini.
j\“¤·“·†?P 043 j\“¤·“·†?P 044
X
Y
h
(2, –1)
(3,2)
(0, –1)
(–1,2)
Gambar 33: Grafik h(x) = (x – 1)2
– 2
(1,–2)
X
Y g
(2,1)
(3,4)
(0,1)
(–1,4)
Gambar 32: Grafik g(x) = (x – 1)2
(1,0)
Dipunyai f suatu fungsi dan k suatu
bilangan positif.
(a) Grafik fungsi y = f(x – k) diperoleh
dengan menggeser grafik f ke kanan
sejauh k satuan.
(b) Grafik y = f(x + k) diperoleh dengan
menggeser grafik f ke kiri sejauh k
satuan.
(c) Grafik y = f(x) + k diperoleh dengan
menggeser grafik f ke atas sejauh k
satuan.
(d) Grafik fungsi y = f(x) – k diperoleh
dengan menggeser grafik f ke ba-
wah sejauh k satuan.
13. Fungsi Berkala
Fungsi berkala (periodik) banyak
ditemukan dalam matematika terapan,
seperti: model matematika ayunan mate-
matika, pegas, aliran panas, dan lain
sebagainya.
Pembaca dianggap telah mengenal
satuan ukuran sudut dalam derajat dan telah
mengenal pula bahwa ukuran sudut suatu
lingkaran adalah 300o. Sistem derajat
kurang cocok untuk keperluan-keperluan
dalam kalkulus. Dengan demikian perlu
didefinisikan ukuran sudut yang lain, yaitu
ukuran sudut dalam radian.
Perhatikan suatulingkaran pada
bidang koordinat XY yang berpusat di titik
pangkal. Dibayangkan sebuah titik yang
bergerak sepanjang lingkaran itu yang
berlawanan arah dengan gerakan jarum jam
dimulai dari titik (1,0).
Ukuran radian untuk sudut sama
dengan ukuran panjang busur yang ditem-
puh titik sepanjang gerakannya. Jelas ukur-
an keliling lingkaran itu adalah 2 . Jadi 2
radian = 360o.
Contoh 24
(a) Jelas 1 radian =2
180o
57,296o
57o
17`45``.
(b) Jelas 1o
=180
= 0,017453
dengan 3,14159.
j\“¤·“·†?P 045 j\“¤·“·†?P 046
X
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
Y
f4
f3
f2
f1
f
a
a
a
a
a
a–1
a–1
a–1
a–1
a–1
Gambar 34: Grafik f4 = 21)1(xf
X
Y
P
O (1,0)
Gambar 35: Lingkaran satuan
berpusat di (0,0)
(c) Berikut ini hubungan sudut-sudut d
(dalam derajat) dan r (dalam radian).
d
0o
30o
45o
60o
90o
120o
r
06 4 3 2 3
2
d
135o
180o
210o
270o
315o
r 43
67
23
47
Setiap bilangan real t berpadanan
dengan sebuah titik P pada lingkaran
satuan dengan ketentuan sebagai berikut:
(a) Jika t > 0, dipadankan dengan gerak
titik sejauh t berlawanan arah jarum
jam sepanjang lingkaran.
(b) Jika t < 0, dipadankan dengan gerak
titik sejauh t searah jarum jam
sepanjang lingkaran satuan.
14. Fungsi Trigonometri
Titik P(x,y) adalah suatu titik pada
lingkaran satuan yang berpadanan dengan
sudut . Berikut ini disajikan sinus dan
cosinus sudut .
Gambar situasinya adalah sebagai berikut:
Definisi 19
Contoh 25
Tentukan nilai sin dan cos apabila:
=6
, =4
3 , =3
4 , dan =2
3 .
Penyelesaian:
(a) Perhatikan Gambar 36.
Jelas OP = 1, PQ =21 , dan OQ =
2
3 .
Jadi )2
1,
2
3(P .
Jadi sin6
=21 dan cos
6=
2
3 .
(b) Perhatikan Gambar 37:
Jelas OP = 1, PQ =2
2 , dan OQ =2
2 .
Jelas x = –2
2 dan y =2
2 .
Jadi )2
2,
2
2(P .
Jadi sin2
2
43 dan cos
2
2
43 .
(c) Perhatikan Gambar 37:
Jelas OP = 1, PQ =2
3 , dan OQ =21 .
Jelas x = –21 dan y = –
2
3 .
Jadi sin2
3
3
4 dan cos21
34 .
j\“¤·“·†?P 047 j\“¤·“·†?P 048
Gambar 36: Titik P berpadanan
Dengan sudut
P(x,y)
X
Y
(1,0)
(a) Sinus sudut , ditulis dengan sin
, dan
sin = y.
(b) Cosinus sudut , ditulis dengan
cos , dan
cos = x.
(c)
(d) Perhatikan Gambar 39.
Jelas P(0, –1).
Jadi sin 12
3 dan cos 02
3 .
Berikut ini disajikan fungsi-fungsi
trigonometri lainnya.
Definisi 19
Contoh 26
Buatlah sket grafik fungsi-fungsi berikut:
(a) f: [–2 ,2 ] R, f(x) = sin x,
(b) g: [–2 ,2 ] R, g(x) = cos x,
(c) h: [–2 ,2 ]–{2
3,2
,2
,2
3 } R,
h(x) = tan x,
(d) j: (–2 ,2 )–{– , } R,
j(x) = cot x,
(e) k: [–2 ,2 ]–{2
3,2
,2
,2
3 } R,
k(x) = sec x, dan
(f) j: (–2 ,2 )–{– , } R,
j(x) = csc x.
Penyelesaian:
(a) Grafik f:
Dapat dilihat bahwa:
Grafik f naik pada selang-selang:
[-2 ,-2
3 ], [2
,2
, dan [ 2,2
3 ].
Grafik f turun pada selang-selang:
j\“¤·“·†?P 049 j\“¤·“·†?P 050
Gambar 38: =6
)2
3,
2
1(P
X
Y
(0,–1)
O
Q
Gambar 39: =2
3
X
Y
P(0,–1)
O Gambar 40: Grafik f(x) = sin x
X
Y
1
–1
2
–2f
O
X
Y
(0,–1)
O
)2
1,
2
3(P
Q
Gambar 37: =6
(a) tan =cos
sin (c) sec =cos
1
(b) cot =sin
cos (d) csc =cos
1
[2
,2
3 ] dan [2
3,2
].
Nilai 1)2
()2
3( ff merupakan
nilai maksimum.
Nilai 1)2
3()2
( ff merupakan
nilai minimum.
(b) Grafik g:
Dapat dilihat bahwa:
Grafik g naik pada selang-selang:
[- ,0] dan [ ,2 ].
Grafik g turun pada selang-selang:
[-2 ,- ] dan [0, ].
Nilai 1)2()0()2( ggg
merupakan nilai maksimum.
Nilai 1)()( ff merupakan nilai
minimum.
(c) Grafik h:
Dapat dilihat bahwa:
Grafik h naik pada Dh.
Asimptot tegak:
23x ,
2x , x =
2, dan
23x .
Memotong sumbu X di:
(–2 ,0), ( ,0), (0,0), ( ,0), dan (2 ,0).
(d) Grafik j:
Dapat dilihat bahwa:
Grafik j turun pada Dj.
Asimptot tegak:
2x , x , x = , dan 2x .
Memotong sumbu X di:
)0,2
3( , )0,2
( , )0,2
( , dan )0,2
3( .
(f) Grafik k:
j\“¤·“·†?P 051 j\“¤·“·†?P 052
Dapat dilihat bahwa: Asimptot tegak:
Y
Gambar 41: Grafik f(x) = cos x
X
1
–1
2
–2
g
O
X
Y
1
–1
2
–2
h
Gambar 42: Grafik h(x) = tan x
O
Gambar 44: Grafik k(x) = sec x
X
Y
1
–1 2–2
k
O
Gambar 43: Grafik j(x) = cot x
2
2X
Y
Grafik k naik pada:
)2
3,2( , ),2
3( , , dan
),2
( .
Grafik k turun pada:
)2
,( , )0,2
( , )2
3,( , dan
)2,2
3( .
Asimptot tegak:
23x ,
2x , x =
2, dan
23x .
Grafik k tak memotong sumbu X.
Nilai k(-2 ) = k(0) = k(2 ) = 1
merupa-kan nilai minimum relatif.
Nilai k(- ) = k( ) = –1 merupakan
nilai maksimum relatif.
(f) Grafik l:
Dari Gambar 45 dapat dilihat
bahwa:
Grafik l naik pada:
),2
3( , ),(2
, ),2
( , dan
)2
3,( .
Grafik k turun pada:
)2
3,2( , )0,2
( , )2
,0( , dan
)2,2
3( .
2x , x , x= 0 , x , dan 2x .
Grafik l tak memotong sumbu X.
Nilai l(2
) = l(2
3 )= –1 merupakan nilai
maksimum relatif.
Nilai l(2
3 ) = l(2
) = 1 merupakan nilai
minimum relatif.
Contoh 27
Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut:
(a) f: [–2 ,2 ] R, f(x) = sin 2x,
(b) g: [–2 ,2 ] R, g(x) = 2sin x, dan
(c) h: [–2 ,2 ] R, h(x) = sin (x –6
).
Penmyelesaian:
(a) Daftar nilai fungsi f:
x 2x sin 2x
2 4 0
47
27 1
46
26 0
45
25 –1
2 0
– 43
23 1
20
4–
2–1
0 0 0
4 21
20
4
3
2
3 –1
2 0
Grafik f diperlihatkan pada Gambar 46.
j\“¤·“·†?P 053 j\“¤·“·†?P 054
)2
,0(
Gambar 45: Grafik l(x) = csc x
Y
X
1
–1 2–2
l
O
(b) Daftar nilai g:
x sin x 2 sin x
2 0 0
23 1 2
0 0
2
–1 –2
0 0 0
21 2
0 0
23 –1 –2
Grafik g diperlihatkan pada Gambar 47.
(c) Daftar nilai h:
x
6x
6sin x
613 –2 0
610
23 1
67 – 0
64
2
–1
60 0
62
21
65 0
68
23 –1
611 2 0
Grafik g diperlihatkan pada Gambar 48.
Berikut ini disajikan beberapa teore-
ma yang sering digunakan.
Teorema 20
Bukti (1), (2), dan (3):
Perhatikan Gambar 49:
(1) Ambil sembarang titik P(x,y) pada ling-
karan satuan.
Titik Q adalah projeksi P pada
sumbu X.
Jelas OQ = x = –x, PQ = y = –y, dan
OP = 1.
j\“¤·“·†?P 055 j\“¤·“·†?P 056
Grafik f:
(1) sin2
+ sin2
= 1.
(2) Jika cos 0, maka
1 + tan2
= sec2
.
(3) Jika sin 0, maka
1 + cot2
= csc2
.
(4) sin (– ) = –sin dan
cos (– ) = cos .
(5) sin (2
) = cos dan
cos (2
) = sin .
(6) sin (2
) = cos dan
cos (2
) = –sin .
(7) sin ( ) = sin dan
cos ( ) = –cos .
(8) sin ( ) = –sin dan
cos ( ) = –cos .
(9) sin (2
3 ) = –cos dan
cos (2
3 ) = –sin .
(10) sin (2
3 ) = –cos dan
cos (2
3 ) = sin .
(11) sin ( 2 ) = –sin dan
cos ( 2 ) = cos .
(12) sin ( 2 ) = sin dan
cos ( 2 ) = cos .
Grafik g:
Grafik h:
j\“¤·“·†?P 057
Gambar 47: Grafik g(x) = 2 sin x
Y
2
–2
2
–2g
OX
Gambar 48: Grafik h(x) = sin (x–6
)
Y
1
–1
2–2
h
OX
Gambar 46: Grafik f(x) = sin 2x
X
Y
O
1
–12–2
f
–
Jelas OQ2
+ PQ2
= OP2
x2
+ y2
= 1
cos2
+ sin2
= 1
sin2
+ cos2
= 1.
(2) Dipunyai sin 0.
Jelas sin2
+ cos2
= 1
2cos
11
2cos
2sin
2sec2tan1 .
(3) Dipunyai sin 0.
Jelas sin2
+ cos2
= 1
2sin
1
2sin
2cos1
2csc2cot1 .
Bukti (4):
Jelas sin (– ) = –y = sin – dan
cos (– ) = x = cos .
Bukti (5):
Jelas sin (2
) = x = cos dan
cos (2
) = y = sin .
Bukti (6) s.d. (12) diserahkan pembaca se-
bagai latihan.
Teorema 21
j\“¤·“·†?P 058 j\“¤·“·†?P 059
X
Y
P(x,y)
Q(x, –y)
Gambar 50: P(x,y) dan
Q(x, –y) –
O
(0,–1)
–
Gambar 49: P(x,y) sembarang
titik pada lingkaran
satuanGambar 51: P(x,y) dan
Q(y, x)2
(1) sin( + )
= sin .cos + cos .sin
(2) sin( – )
= sin .cos – cos .sin
(3) cos( + )
= cos .cos – sin .sin
(4) cos( – )
= cos .cos + sin .sin
(5) apabila 1 – tan . tan
tan ( + ) =tan.tan1
tantan.
(6) apabila 1 + tan . tan
tan ( – ) =tan.tan1
tantan.
X
Y
P(x,y)
Q(y, x)
O
(0,–1)
2-
Y
X
P(x,y)
Q(x,0)
O
(0,–1)
Bukti (1):
Jelas sin ( + )
=OQ
QS
=OQ
USQU
=OQ
US
OQ
QU
=OQ
OT
OT
TR
OQ
QT
QT
QU
= cos . sin + sin . cos .
Bukti (2):
Dipunyai sin ( + )
= sin .cos +cos .sin .
Tulis = – .
Jelas sin( + ) =sin . cos + cos . sin
sin ( – )
= sin . cos(– ) + cos . sin(– )
sin( – )
= sin . cos – cos . sin .
Bukti (3):
Jelas cos( + ) = sin [ )(2
]
= sin[ ))2
( ]
= sin (2
).cos – cos(2
).sin
= cos . cos – sin . sin .
Bukti (4):
Dipunyai cos( + )
=cos . cos – sin . sin
Tulis = – .
Jadi cos( + )
= cos . cos – sin . sin
cos( – )
= cos . cos(– ) – sin . sin(– )
cos( – )
= cos . cos + sin . sin .
Bukti (5) dan (6) sederhana, diserahkan
pembaca sebagai latihan.
Teorema 22
Bukti (1):
Jelas sin (2 )
= sin ( + )
= sin . cos + cos . sin
= 2 sin . cos .
Bukti (2):
Jelas cos (2 )
= cos ( + )
= cos . cos – sin . sin
= cos2
– sin2
,
cos2
– sin2
= (1 – sin2
) – sin2
= 1 – 2 sin2
, dan
cos2
– sin2
= cos2
– (1 – cos2
)
= 2 cos2
– 1.
Contoh 28
Jika6
x6
5 , tentukan sebaran sin x.
j\“¤·“·†?P 060 j\“¤·“·†?P 061
Penyelesaian: 15. Fungsi Periodik (periodic)
Gambar 52: Titik Q berpadanan dengan
sudut +
(1) Sin (2 ) = 2 sin . cos
(2) cos (2 ) = cos2
– sin2
= 1 – 2 sin2
= 2 cos2
– 1.
P(x,y)
X
Y
O
Q
RS
TU
Jelas nilai sin21
6= sin
65 .
Jika nilai x naik dari6
ke2
, nilai sin x juga
naik dari21 ke 1. Sedangkan jika nilai x na-
ik dari2
ke6
5 , nilai sin x turun dari 1 ke
21 . Ini menunjukkan bahwa sebaran sin x
berkisar dari21 ke 1. Jadi
.1sin21 x
Contoh 29
Tentukan nilai sin 9o.
Jelas sin 3x = sin (2x + x)
= –4 sin3x + 3.sin x.
Kasus x = 18o:
Jelas sin 3x = sin 54o= cos 36
o=cos 2x.
Jadi 4 sin3x – 2 sin
2x = 3sin x + 1 = 0
(sin x – 1)(4 sin2x + 2 sin x – 1) = 0
4
51sin x
4
51sin x
sin x = 1.
Jadi sin 18o
=4
15.
Jadi sin 9o
= 5210284
1.
Model matematika suatu fenomena
alam yang banyak yang mempunyai solusi
yang berkala atau periodik. Sebagai contoh
ayunan, pegas, gelombang, dan lain-lain.
Fungsi periodik didefinisikan
sebagai berikut:
Definisi 23
Contoh 30
Periksa apakah fungsi-fungsi berikut perio-
dik: (a) f: R R, f(x) = sin x,
(b) g: R – }2
{k
Bk
R, f(x) = tan x,
(c) h: R – }{kBk
R, h(x) = csc x.
Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang x R.
Jelas f (x + 2 ) = sin (x + 2 )
= sin x
= f (x).
Jadi f(x + 2 ) = f( x) x R.
Jadi f periodik dengan periode 2 .
(b) Ambil sembarang x R– }2
{k
Bk
.
Jelas g(x + ) = tan (x + )
= tan x
= g(x).
Jadi g(x + ) = g( x) x R.
Jadi g periodik dengan periode .
j\“¤·“·†?P 062 j\“¤·“·†?P 063
Gambar 53: Sebaran nilai sin x
Untuk6
x6
5
X
Y
o30
)21,
2
3(P
O
(0,–1)
)21,
2
3(Q
sin x
2
1
1
Dipunyai fungsi f: R R.
Jika terdapat bilangan positif T sehing-
ga f(x + T) = f(x) untuk setiap x R,
fungsi f dikatakan periodik. Selanjutnya
nilai T terkecil disebut periode f.
(c) Ambil sembarang x R– }{kBk
.
Jelas h(x + 2 ) = csc (x + 2 )
= csc x
= h(x).
Jadi h(x+2 ) = h(x) x R– }{kBk
.
Jadi h periodik dengan periode 2 .
Contoh 31
Periksa apakah fungsi-fungsi berikut perio-
dik:
(a) f: R R, f(x) = sin (3x) dan
(b) g: R R, g(x) = sin x + cos x.
Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang x R.
Jelas f (x) = sin 3x
= sin (3x + 2 )
= sin [3(x +3
2 )]
= f(x +3
2 ).
Jadi f periodik dengan periode3
2 .
(b) Ambil sembarang x R.
Tulis sin x + cos x = K.cos(x– ), K>0.
Jelas K.cos(x – )
= K.cos x . cos + K.sin x . sin .
Jadi K.cos = 1 dan K.sin = 1
K2.cos
2= 1 dan K
2.cos
2= 1.
Jadi K2
= 2 K = – 2 K = 2 .
Jadi K = 2 .
Jadi2
2sin dan
2
2cos .
Jelas4
.
Jadi )4
(cos.2)( xxg .
Jelas g periodik dengan periode 2 .
16. Invers Fungsi Trigonometri
Perhatikan fungsi f:2
,2
[–1,1]
dengan f(x) = sin x pada gambar berikut ini.
Jelas f fungsi injektif.
Jadi f–1
ada.
Ambil sembarang x [–1,1].
Pilih y2
,2
sehingga f(y) = x.
Jelas f(y) = x sin y = x
y = sin–1
x.
Jadi f–1
(x) = f–1
[f(y)]
= (f–1
f)(y)
= i(y)
= y
= sin–1
x.
Daftar nilai f:x
2 3 4 6
0
Sin x –1
2
3
2
221 0
x
6 4 3 2
Sin x
21
2
2
2
3 1
j\“¤·“·†?P 064 j\“¤·“·†?P 065
X
: Grafik f
: Grafik f– 1
Gambar 54: grafik f(x) = sin x
dan f– 1
(x) = sin– 1
x
Y
f
y = x
f– 1
Daftar nilai f–1
:
x –1
2
3
2
221 0
sin–1
x
2 3 4 6
0
x
21
2
2
2
3 1
Sin–1
x
6 4 3 2
Contoh 32
Dipunyai f:2
,2
R, f(x) = tan x.
Jelas f injektif.
Jadi f–1
ada.
Jelas f–1
(x) = tan–1
(x).
Grafik f:
Jelas 1f
D R dan ]2
,2
[1f
R .
Invers fungsi-fungsi trigonometri lainnya:
(a) Dipunyai f: ]1,1[]2
,0[ , f(x) = cos x.
Invers fungsi f:
f–1
(x) = cos–1
x.
Jelas 1f
D [–1,1] dan ]2
,2
[1f
R .
Grafik f dan f–1
:
(b) Dipunyai f: ]2
,2
[ R, f(x) = cot x.
Invers fungsi f:
f–1
(x) = cot–1
x.
Jelas 1f
D [–1,1] dan ]2
,2
[1f
R .
Invers fungsi f:
f–1
(x) = cos–1
x.
Jelas 1f
D [–1,1] dan ]2
,2
[1f
R .
j\“¤·“·†?P 066 j\“¤·“·†?P 067
(c) Dipunyai f: ),1[]2
,0[ , f(x) = cos x. SOAL-SOAL LATIHAN BAB I
X
Y
22
f
f–1
Gambar 55: Grafik f(x) = sin x dan
f–1
(x) = sin–1
x
2
2
X
Y f
f–1
y = x
2
O
Gambar 57: Grafik f(x) = cot x dan
f–1
(x) = cot–1
x
Gambar 56: Grafik f(x) = cos x dan
f–1
(x) = cos–1
x
X
Y y = x
f
f–1
2
O
Invers fungsi f:
f–1
(x) = sec–1
x.
Jelas 1f
D [1,+ ) dan ]2
,0[1f
R .
Grafik f dan f–1
:
(d) Dipunyai f: ),1[]2
,0( , f(x) = csc x.
Invers fungsi f:
f–1
(x) = csc–1
x.
Jelas 1f
D [1,+ ) dan ]2
,0(1f
R .
Grafik f dan f–1
:
1. Periksa bilangan-bilangan berikut meru-
pakan bilangan rasional atau tak
rasional|.
(a) 5 (b) 5 (c) 0, 9
2. Selesaikan pertidaksamaan:
(a) 53x
(b) 2x
(c) 029 x
3. Selesaikan pertidaksamaan:
(a) 01
1
x
x ,
(b) 01
1
x
x , dan
(c) xxxx .
4. Selesaikan pertidaksamaan:
(a) cos x <2
3 , 20 x
(b)21sin x , 20 x
(c) cos 2x + sin x > 0, 20 x
5. Tentukan nilai x R sehingga
(a) 22 xx
(b) 22 xx
6. Tentukan pusat dan ukuran jari-jari ling-
karan:
(a) x2
+ y2
= 49
(b) x2
– 4x + y2
= 0
(c) x2
– 2x + y2
+ 6y = –9
(d) x2
– 2x + y2
+ 2y = 14
7. Tunjukkan bahwa fungsi f yang dibe-
rikan oleh xxxf2)( simetri terhadap
sumbu Y.
j\“¤·“·†?P 068 j\“¤·“·†?P 069
Gambar 58: Grafik f(x) = sec x dan
f–1
(x) = sec–1
x
Gambar 59: Grafik f(x) = csc x dan
f–1
(x) = csc–1
x
y = x
X
Y
f
f–1
2
O
2
11
X
Yy = x
f
f–1
2
O
2
11
8. Untuk setiap garis berikut, tentukan gra-
dien dan titik potongnya dengan sumbu
X dan sumbu Y:
(a) x + y = 1
(b) y = 4
(c) x – 3y + 4 = 0
(d) 7x – 7y + 21 = 0
(e) 3x = 6.
9. Tentukan persamaan garis yang melalui
titik (–2,1) dan (3,3).
10. Garis-garis y – ax = 1 dan 3y = 6x + 12
saling sejajar. Tentukan nilai a.
11. Tentukan persamaan garis yang tegak
lurus garis 3x – 6y = 8 dan melalui titik
pangkal.
12. Tentukan kondisi agar persamaan
ax + by + c = 0 memotong sumbu X.
13. Tentukan sebaran cos x apabila sebaran
nilai x adalah
120o
x 240o.
14. Tentukan sebaran fungsi
f(x) =x
2cos1
5
apabila 120o
x 240o.
15. Tunjukkan:
(a) pengaitan f: R R dengan
f(x) = x3
– x merupakan fungsi.
(b) pengaitan yang diberikan oleh
14
22 x
y bukan fungsi, dan
(c) pengaitan f: R R dengan f(x) = x
– 1 merupakan fungsi.
16. Tentukan daerah asal dan daerah hasil
fungsi f yang diberikan oleh
f(x) = 221 x .
17. Diketahui 21)( xxf , g(x) = 2x, h1 =
f + g, dang
fh2 .
Tentukan:
(a) h1(x) dan h2(x) dan
(b)2121
dan,,, hRhRhDhD .
18. Tunjukkan:
(a) Hasil kali dua fungsi ganjil me-
rupakan fungsi genap.
(b) Hasil kali dua fungsi genap adalah
genap.
19. Gambarlah grafik fungsi:
(a) y – 2x2
+ 2x –27 = 0
(b) y2
+ 2x – y + 043
(c) y – 025
6
2xx
20. Dipunyai f(x) = x dan g(x) = x1 .
Jika mungkin, tentukan ))(( xgf dan
))(( xfg . Selanjutnya tentukan gfD
dan fgD .
21. Dengan metode pergeseran sket grafik
fungsi f yang diberikan oleh
f(x) = 5(x + 3)2
– 4.
22. Fungsi f diberikan oleh
4,8
41,2
1,
)(
xx
xx
xx
xf .
(a) Periksa apakah f mempunyai in-
vers, jika ada tentukan f–1
.
(b) Sket grafik f dan f–1
pada satu bi-
dang koordinat.
(c) Periksa apakah
iffff11 .
j\“¤·“·†?P 070 j\“¤·“·†?P 071
23. Tentukan persamaan garis singgung pa- 29. Dipunyai f: Df Rf suatu fungsi dan
da lingkaran (x – 6)2
+ (y – 4)2
= 25 di
titik (3,8).
24. Tentukan nilai a, b, dan c sehingga
parabola y = ax2
+ bx + c memotong
sumbu X di titik (3,0), memotong
sumbu Y di titik (0,–6), dan yang
opuncaknya di titik yang koordinat-x
nya 2.
25. Jika x R, x dibaca ”norm x” dide-
finisikan sebagai bilangan bulat
terbesar yang kurang dari atau sama
dengan x.
Tentukan:
(a) 7 (d) 5,3
(b) 3,7 (e) 0
(c) 3 (f) 1
26. Gambarlah grafik fungsi
f: [-3,2] R, f(x) = x .
27. Tentukan nilai x yang memenuhi:
(a) xx
2
(b) xxx
32
28. Dipunyai f: Df Rf suatu fungsi dan
a Df.
(1) f(a) disebut minimum f jika dan
hanya jika f(a) f(x) untuk setiap
x Df.
(2) f(a) disebut maksimum f jika dan
hanya jika f(a) f(x) untuk setiap
x Df.
Tentukan nilai minimum atau
maksimum fungsi-fungsi berikut ini:
(a) f: R R, f(x) = x2.
(b) f: R R, f(x) = – (x + 3)2
+ 2.
a Df.
(1) f(a) disebut minimum relatif f jika
dan hanya jika terdapat bilangan
> 0 sehingga
f(a) f(x) x (a– ,a+ ).
(2) f(a) disebut maksimum relatif f jika
dan hanya jika terdapat bilangan
> 0 sehingga
f(a) f(x) x (a– ,a+ ).
Tunjukkan bahwa:
f(3) merupakan nilai minimum relatif
f: R R, f(x)=(x–3)2+ 2.
30. Dipunyai1,2
1,2
xx
xx . Buktikan bah-
wa:
f(0) merupakan minimum relatif dan
f(1) merupakan maksimum relatif
fungsi f.
31. (a) periksa apakah f(0) merupakan su-
atu maksimum atau minimum rela-
tif fungsi f: R R, f(x) = x3.
(b) Dipunyai f: Df Rf suatu fungsi.
Jika f(a) suatu maksimum f, apakah
f(a) juga merupakan maksimum
relatif f.
(c) Dipunyai f: Df Rf suatu fungsi.
Jika f(a) suatu minimum f, apakah
f(a) juga merupakan minimum
relatif f.
j\“¤·“·†?P 072 j\“¤·“·†?P 073
Pada BAB 2 ini mulai masuk pada materi kalkulus dengan
membicarakan konsep tentang limit fungsi. Limit fungsi merupakan suatu konsep
yang sangat mendasar dalam kalkulus. Konsep limit hampir selalu muncul pada
setiap bidang kalkulus. Masalah yang berkaitan dengan garis singgung pada suatu
kurva dan masalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva merupakan masalah
yang solusinya membutuhkan pengertian limit.
1. Barisan Bilangan
Sekarang akan dibangun pengertian
barisan bilangan dan limit barisan secara
singkat sebagai berikut.
Dipunyai fungsi u : N R. Jelas
Df ={1,2,3,...} dan Rf = {u(1),u(2),u(3), ...}.
Karena Ru suatu himpunan, urutan di Ru
tak diperhatikan. Selanjutnya perhatikan
tam-pilan . Pada tampilan
ini urutan diperhatikan, artinya
.
Tulis = .
Tampilan = disebut
barisan yang dibangun oleh fungsi f.
Contoh 33
(a) Barisan merupakan barisan
barisan bilangan yang dibangun oleh
fungsi u : N R dengan u(n) = n.
(b) Barisan yang dibangun oleh fungsi
u : N R dengan u(n) = adalah
.
(c) Barisan = .
Grafik suatu barisan bilangan sama
dengan grafik suatu fungsi. Sebagai contoh
barisan .
j\“¤·“·†?P 074 j\“¤·“·†?P 075
Grafik barisan :
),3(),2(),1( uuu
),3(),2(),1( uuu ),3(),1(),2( uuu
),3(),2(),1( uuu ,2,2,1 uuu
,2,2,1 uuuNnnu
,3,2,1
n1
,3
1,
2
1,1
Nn
n)1( ,4,3,2,1
Nnn
1
Nnn
1
R
R
3
Gambar 60: Grafik barisan .
Secara intuitif, barisan ini
mempunyai kecenderungan
menuju 0.
Barisan dikatakan
”mempunyai limit 0”
atau
”konvergen ke 0”.
dan ditulis dengan
atau .
Contoh 34
Grafik barisan dan ada-
lah sebagai berikut:
Grafik dan mempunyai
perbedaan yang cukup jelas seperti tampak
Gambar 61 dan Gambar 62. Grafik
seragam dan tak menghampiri bilangan
manapun. Ini menunjukkan bahwa
atau .
Sedangkan grafik
menghampiri suatu bilangan L = 2 apabila
n + . Jadi
atau .
Contoh 35
Tentukan .
Penyelesaian:
Kasus n genap:
Jelas =
=
= 1.
j\“¤·“·†?P 076 j\“¤·“·†?P 077
Nnn
1
Nnn
1
01
Nnn01lim
nn
12nn
n)1(2
12nn
n)1(2
12n
12n )12(lim nn
n
n)1(2
2)1(
2n
n)
)1(2(lim
n
n
n
n
nn
n
1.)1(lim
n
nn
n
1.)1(limn
n
n
1lim
)11(limnn
N
R
1 2 3 4 5 6 7 8 9O
3
5
7
9
11
Gambar 61: Grafik barisan 12n
Kasus n gasal:
Jelas =
=
= –1.
Grafik :
Dari Gambar 16 terlihat dengan jelas
bahwa menghampiri 1 dari atas dan
menghampiri –1 dari bawah. Dikatakan ba-
risan tidak mempunyi limit
atau tidak konvergen.
Berkut ini disajikan definisi limit
barisan secara formal sebagai berikut:
Definisi 24
Contoh 36
Buktikan .
Bukti:
Ambil sembarang > 0.
Pilih > .
Dipunyai n > .
Jelas .
Jadi = = < < .
Jadi .
Jadi .
Contoh 37
Buktikan .
Bukti:
Ambil sembarang > 0.
Pilih > .
Dipunyai n > .
Jelas n + 2 > + 2.
Jadi .
Jelas =
=
=
<
<
= .
Jadi
Jadi .
j\“¤·“·†?P 078 j\“¤·“·†?P 079
2. Garis Singgung Suatu Kurva
n
nn
n
1.)1(limn
n
n
1lim
)11(limnn
n
nn
n
1.)1(lim
nu
n
nn 1)1(
01limnn
N 1
N
Nn
11
0nun1
n1
N
1
NnnuN apabilaε0N0
01limnn
2212lim
n
n
n
N 25
N
N
2N
1
2
1
n
Lnu 22
12
n
n
2
5
n
2
5
n
2N
5
225
5
NnnuN apabilaε2N0
2212lim
n
n
n
Gambar 63: Grafik barisann
nn 1)1(
N
R
1 2 3 4 5 6 7 8 9O
1
–1
–2
2
Dipunyai barisan . Barisan
dikatakan konvergen ke L, ditulis
>0 N
sehingga
apabila n > .
nu nu
Lnunlim N
Lnu
N
Gambar berikut memperlihatkan bagaimana suatu garis singgung dibangun pada
suatu kurva.
Gambar 64: Garis l1, l2, l3 bukan
garis garis singgung
pada kurva f, wa-
laupun hanya memo-
tong kurva f di satu
titik saja.
Gambar 65: Garis singgung t me-
rupakan hasil rotasi
talibusur PQ di ti-
tik P.
Gambar 66: Garis singgung t me-
rupakan limit posisi
talibusur PQ untuk
Q P.
3. Gradien garis singgungSuatu titik P(xo,yo) dan Q(xo+h,yo+h)
terletak pada kurva f.
Gambar 67: Gradien garis singgung t
merupakan limit gradien
taluibusur PQ untuk h 0.
Tulis mPQ: gradien garis PQ dan
mt: gradien garis singgung t.
Jelas .
Definisi 25
Contoh 38
Tnetukan gradiden garis singgung t pada
kurva-kurva berikut ini di titik S:
(a) f(x) = x2
dan P(–2,4),
(b) g(x) = x3
dan P(1,1), dan
(c) l(x) = dan P(–1,–1).
j\“¤·“·†?P 080 j\“¤·“·†?P 081
Penyelesaian:
(a) Grafik f: =
h
oxfhoxfPQm
)()(
x1
h
h
h
3)1(3)1(
0lim
f
X
Xl1
l2
l3
P
OX
X
P
O
Q Q
Q
Qt
X
X
P
O
Q
Q
Q
t
xo xo+ h
Q(xo+h, f (yo+h))
P(xo, f (yo))
X
Y
O
h
f(xo+h) – f(xo)
f
t
Jika
ada, gradient garis singgung t di-
definisikan sebagai
.
h
oxfhoxf
hPQm
h
)()(
0lim
0lim
h
oxfhoxf
htm
)()(
0lim
Y f
P(–2,4)
Gambar 68: Garis t menyinggung
kurva f di titik P(-2,4).
Jelas xo = –2.
Jadi mt =
=
=
=
= –4.
(b) Grafik g:
Gambar 69: Garis t menyinggung
kurva g di titik P(1,1).
Jelas xo = 1.
Jadi mt =
=
=
= 3.
(c) Grafik l:
Gambar 70: Garis t menyinggung
kurva l di titik P(–1,–1).
Jelas xo = –1.
Jadi mt =
=
=
= –1.
Contoh 39
Tentukan persamaan garis singgung pada
kurva f(x) = 2(x – 1)2
+ 3 di titik P(1,3).
Penyelesaian:
Jelas xo = 1.
Tulis t: garis singgung yang diminta.
Jelas mt =
=
j\“¤·“·†?P 082 j\“¤·“·†?P 083
h
fhf
h
)2()2(
0lim
h
h
h
2)2(2)2(
0lim
h
hh
h
)4.(
0lim
)4(0
lim hh
h
fhf
h
)1()1(
0lim
h
hhh
h
)332.(
0lim
))332(0
lim hhh
h
lhl
h
)1()1(
0lim
h
h
h
11
1
0lim
hh 1
1
0lim
h
fhf
h
)1()1(
0lim
h
h
h
32)11(232)11(2
0lim
X
Yl
O
t
(1,1)
Y
X
l
O
P(-1,-1)
lt
=
= 0.
Jadi t: y – 3 = mt(x – 1)
y = 3.
Grafik f:
Gambar 71: Garis t menyinggung
kurva l di titik P(1,3).
3. Limit Fungsi Secara Intuitif
Konsep tentang gradien garis singgung
merupakan suatu kasus khusus dalam
konsep tentang limit fungsi. Secara umum,
limit fungsi ditulis dengan
L =
yang dibaca dengan “Limit fungsi f untuk x
mendekati a bernilai L”.
Secara intuitif, pengertian L =
berarti nilai f(x) dekat dengan L apabila
nilai x dekat dengan a.
Konsep ini dapat dijelaskan melalui gam-
bar berikut.
Gambar 72: Secara intuitif,
bermakna: nilai f(x) dekat
dengan L apabila x dekat a.
Perhatian 1:
(1) titik a tidak perlu berada di domain f,
(2) pada kasus a di domain f, nilai f(a) ti-
dak perlu ada.
Contoh 40
Fungsi f, g, h: R R diberikan oleh
f(x)= , g(x)= , dan
h(x)=
Grafik f:
Gambar 73: Secara intuitif, nilai f(0) = 0
dan nilai tidak ada.
j\“¤·“·†?P 084 j\“¤·“·†?P 085
hh
20
lim
)(lim xfax
)(lim xfax
)(lim xfax
0,1
0,
x
xx
1,
1,0
1,
2xx
x
xx
1,12)1(
1,
xx
xx
)(0
lim xfx
X
Yf
O
tP(1,3)
x
a X
L
Y
x
f(x)
f(x)
f
O
X
f
f
Y
O
–1
Grafik g:
Gambar 74: Secara intuitif:
nilai f(1) = 0 dan nilai
tidak ada.
Grafik h:
Gambar 75: Secara intuitif:
nilai f(1) tidak ada dan
nilai = 1.
4. Limit Fungsi Secara Formal
Berikut ini akan disajikan konsep limit
secara formal. Dimulai dengan pengertian
” ”.
Definisi 26
Contoh 41
Berilah contoh sebaran variabel x untuk
.
Penyelesaian:
Pilih suatu barisan yang konvergen ke 1,
sebagi contoh .
Daftar 1:
Sebaran variabel x
n x = 1+
1 – 0,1 0,9
3 – 0,001 0,999
5 – 0,00001 0,99999
7 – 0,0000001 0,9999999
8 0,00000001 1,00000001
6 0,000001 1,000001
4 0,0001 1,0001
2 0,01 1,01
Sebaran variabel x dapat dilihat pada
kolom ke-3: tampak bahwa variabel x
menghampiri 1 bergayut dari atas dan
bawah.
Perhatian 2:
(1) Terdapat tak hingga barisan bilang-
an yang konvergen ke 1.
(2) Dapat dipilih sembarang barisan
yang konvergen ke 1 yang dirasa
merupakan fasilitas yang paling
menguntungkan.
j\“¤·“·†?P 086 j\“¤·“·†?P 087
Contoh 42
)(1
lim xfx
)(1
lim xfx
ax
1x
Nn
n)(1101
n)(101 n)(
101
0 1
X
ff
Y
O
–1
X
ff
Y
O
1
1
Dipunyai x variabel di R dan a suatu
konstanta. Ungkapan mempu-
nyai arti bahwa sebaran variabel x pa-
da suatu barisan yang konvergen ke a.
ax
Dipunyai dengan f(x)=2x–1.
Tentukan .
Penyelesaian:
Pilih suatu barisan yang konvergen ke 1,
sebagi contoh .
Daftar 2:
Sebaran f (x) untuk
x 2x f (x) = 2x – 1
0,9 1,8 0,8
0,999 1,888 0,888
0,99999 1,88888 0,88888
0,9999999 1,8888888 0,8888888
1 2 1
1,00000001 2,000000002 1,000000002
1,0000001 2,0000002 1,0000002
1,0001 2,0002 1,0002
1,01 2,02 1,02
Sebaran nilai f(x) dapat dilihat pada
kolom ke-3: terlihat bahwa nilai f(x) meng-
hampiri 1 bergayut dari atas dan bawah.
Secara numerik dapat disimpulkan bahwa
= 1.
Sekarang akan didefinisikan konsep
limit fungsi secara formal. Di muka telah
dikenalkan bahwa
= L
diartikan bahwa dapat ditentukan nilai f(x)
dekat ke L dengan cara memilih x yang
cukup dekat dengan a.
Dalam rangka mendefinisikan limit
fungsi secara formal menggunakan bahasa
yang akurat perlu dipikirkan beberapa hal
sebagai berikut:
(1) pernyataan nilai f(x) dekat dengan nilai
L dapat dinyatakan dengan
,
(2) pernyataan variabel x dekat dengan
nilai a dapat dinyatakan dengan
,
(3) kedua butir (1) dan (2) dapat dirangkai
sebagai berikut:
untuk setiap bilangan positif kecil
dapat dipilih bilangan positif
sehingga apabila akan
berlaku .
Berdasarkan ketiga butir tersebut,
dapatlah didefinisikan pengertian limit
fungsi secara formal sebagai berikut:
Definisi 27
Pernyataan untuk setiap
terdapat bilang-an positif , sehingga
apabila
dapat disingkat dengan:
apabila
.
j\“¤·“·†?P 088 j\“¤·“·†?P 089
Rf ]4,1[:
)(1
lim xfx
Nn
n)(1101
ax
)(1
lim xfx
)(lim xfax
Lxf )(
ax0
ax0
Lxf )(
Lxf )( ax0
00 Lxf )(
ax0
Dipunyai fungsi , ,
dan . Limit fungsi f bernilai L
untuk ditulis
= L
jika dan hanya jika untuk setiap
terdapat bilangan positif , sehingga
apabila .
RIf : RI
Ia
ax
)(lim xfax
Lxf )( ax0
Berdasarkan strategi yang dikembangkan,
penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Tulis x2– 2x + 6 = (x – 1)
2+ 5 = f(x).
Ambil sembarang .
Pilih .
Dipunyai .
Dicari batas pada selang :
Jelas 1 < x < 3
.
Jadi =
=
=
< 3
= .
Jadi apabila
.
Jadi = 6.
5. Sifat-Sifat Limit
Beberapa sifat limit fungsi disajikan
untuk menghitung nilai limit fungsi yang
rumit.
Teorema 28
Bukti:
(a) Tulis f(x) = c.
Ambil sembarang > 0.
Pilih = .
Dipunya .
Jelas = =0< =
.
Jadi apabila
.
Jadi .
(b) Buktinya sederhana, diserahkan pem-
baca sebagai latihan.
Teorema 29
Bukti:
Ambil sembarang a,b R.
( ) Dipunyai untuk setiap .
Andaikan a b.
Jadi a – b 0.
Jadi .
Pilih o > 0 sehingga .
Jadi untuk suatu 1 = .
Ini suatu kontradiksi.
Jadi a = b.
Jadi untuk setiap
a=b.
( ) Dipunyai a = b.
Jelas a – b = 0.
Jadi untuk setiap .
Jadi a=b untuk setiap .
Jadi untuk setiap a = b.
j\“¤·“·†?P 090 j\“¤·“·†?P 091
0
}3
,1min{
20 x
x 120 x
120 x
31 x
6)(xf 1)1( 2x
)2(xx
x )2(x
6)(00 xf
20 x
]5)1[(lim 2
2x
x
ax0
cxf )( cc
cxf )(00
ax0
ccax
lim
ba 0
0ba
oba
1ba2o
ba 0
0ba 0
ba 0
ba 0
(a) Jika a dan c suatu konstanta real
maka .
(b) Jika x R
maka .
ccax
lim
axax
lim
Jika a,b R maka
untuk setiap a = b.ba 0
Teorema 30
Bukti:
Dipunyai Lxfax
)(lim dan Mxfax
)(lim .
Ambil sembarang > 0.
Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga
2)( Lxf apabila 10 ax
dan
3)( Mxf apabila 20 ax .
Pilih = min{ 1, 2}.
Jelas ML = ])([)]([ MxfxfL
MxfxfL )()(
<32
=6
5
< .
Jadi ML untuk setiap > 0.
Jadi L = M.
Teorema 31
Bukti (a):
Ambil sembarang > 0.
Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga
5)( Lxf apabila 10 ax
dan
10)( Mxf apabila 20 ax .
Pilih = min{ 1, 2}.
Jelas ][)]()([ MLxgxf
= )]([])([ xgMLxf
)()( xgMLxf
= MxgLxf )()(
<105
=10
3
< .
Jadi )()]()([00 MLxgxf
apabila ax0 .
Jadi MLxgxfax
)]()([lim .
Bukti (b):
Ambil sembarang > 0.
Pilih > 0 sehingga
KLxf )( apabila ax0 .
Jelas LKxfK .)(. = K . Lxf )(
< K .K
= .
Jadi LKxfK .)(.[00 apabila
ax0 .
Jadi LKxfKax
.)(.lim .
Bukti lainnya diserahkan pembaca
sebagai latihan.
j\“¤·“·†?P 092 j\“¤·“·†?P 093
Nilai limit suatu fungsi adalah tung-
gal, yaitu
jika Lxfax
)(lim dan Mxfax
)(lim
maka L = M.
Dipunyai Lxfax
)(lim , Mxgax
)(lim ,
dan K sembarang bilangan real.
(a) MLxgxfax
)]()([lim
(b) LKxfKax
.)(.lim
(c) MLxgxfax
.)().(lim
(d)M
L
xg
xf
ax )(
)(lim apabila M 0.
Teorema 32
Teorema 33
Teorema 34 (Prinsip apit)
Bukti:
Dipunyai f(x) g(x) h(x) x I dan)(lim)(lim xh
axLxf
ax
Ambil sembarang > 0.
Pilih 1 > 0, 2 > 0, dan 3 > 0 sehingga
3)( Lxf apabila 10 ax ,
4)( Mxf apabila 20 ax ,
dan
f(x) g(x) h(x) apabila 30 ax .
Pilih = min{ 1, 2, 3}.
Ambil sembarang x di ax0 .
Jelas f(x) g(x) h(x)
f(x) – L g(x) – L h(x) ) – L.
Jadi })(,)({maks)( LxhLxfLxg
< maks { }4
,3
=4
< .
Jadi Lxg )(00 apabila
ax0 .
Jadi Lxgax
)(lim .
Prinsip apit dapat diilustrasikan dengan
gambar berikut ini.
Gambar 76: f(x) g(x) h(x) pada I dan
)(lim)(lim xhax
Lxfax
Contoh 43
Hitunglah: (a) )1223(3
lim xxx
(b) )21).(122(1
lim xxx
(c)12
52
2lim
xx
x
x
(d) 2 950
lim xx
j\“¤·“·†?P 094 j\“¤·“·†?P 095
(a) Jika Pn(x) suatu suku banyak dan
a R maka
)()(lim anPxnPax
.
(b) Jika)(
)()(
xmQ
xnPxf , Pn(x) dan Qm(x)
masing-masing merupakan suku ba-
nyak berderajat n dan m, a Df dan
Qm(x) 0 maka
.)(
)(
)(
)(lim
amQ
anP
xnQ
xnP
ax
Jika n bilangan bulat positif danLxf
ax)(lim
makan Ln xf
ax
n xfax
)(lim)(lim
Dipunyai fungsi-fungsi f, g, h:I R
terdefinisi pada selang buka I yang me-
muat a.
Jika f(x) g(x) h(x) x I dan)(lim)(lim xh
axLxf
ax
maka Lxgax
)(lim .
X
f
g
h
Y
O
T
a
L
Penyelesaian:
(a) Jelas )1223(3
lim xxx
= 13
lim23
lim)23(3
limx
xx
xx
= xx
xx 3
lim22
3lim31
= – 1 + 27 + 6
= 22.
(b) Jelas )21).(122(1
lim xxx
= )122(1
lim xx
. )21(1
lim xx
= 1 + 3
= 4.
(c) Jelas12
52
2lim
xx
x
x=
)12(2
lim
)52(2
lim
xxx
xx
=5
9 .
(d) Jelas 2 950
lim xx
= 2 )95(0
lim xx
= 2 9
= 3.
6. Limit Fungsi Trigonometri
Pada teorema berikut ukuran sudut
yang digunakan adalah radian.
Teorema 35
Bukti:
Gambar 77: Titik P pada lingkaran satuan,
sudut x cukup kecil, dan t ga-
ris singgung di titik R.
Untuk nilai x yang cukup kecil (dekat
dengan 0), nilai sin x dengan nilai x sendiri
yang ditulis dengan
sin x x.
Kasus 0 < x <2
:
Tulis A: ukuran luas OPR
B: ukuran luas sektor OPR
C: ukuran luas OSQ.
Jelas A < B < C
2
.2.22
. SRORORx
xPQOR
222
SRxPQ
2
tan
22
sin xxx
1sin
cosx
xx .
Jadi sin x < x.
Ganti x dengan2
x , jadi
22sin
xx
4
2
2
2sinxx
2
2
2
2sin2xx
2
2cos1
xx
j\“¤·“·†?P 096 j\“¤·“·†?P 097
2
21cos
xx .
Bukti (b):
1sin
0lim
x
x
x.
X
Y
P
Q RO
S
t
x
Jadi 1sin
cos2
21
x
xx
x .
Kasus 02
x :
Jelas 02
x 02
x .
Jadi 1)sin(
)cos(2
2)(1
x
xx
x
1sin
cos2
21
x
xx
x .
Jadi 1sin
cos2
21
x
xx
x untuk22
x .
Jelas 10
lim1)2
21(
0lim
x
x
x.
Jadi 1sin
0lim
x
x
x.
Dari proses pembuktian Teorema 11,
diperoleh simpulan:
Teorema Akibat 36
Teorema 37
Jelas xx
tan0
lim =x
x
x cos
sin
0lim
=x
x
xx
cos0
lim
sin0
lim
=1
0
= 1.
Bukti (c):
Jelasx
x
x
tan
0lim =
x
x
x
x
cos
sin
0lim
=x
x
x
x
x
cos0
lim
sin
0lim
=1
1
= 1.
Bukti lainnya sederhana, diserahkan pem-
baca sebagai latihan.
Contoh 44
(a) Tentukanx
x
x
2sin
0lim
(b) Tentukanxx
xx
x tan2
3sin
0lim
(c) Tentukanxx
x
x sin
cos1
0lim
Penyelesaian:
(a) Strategi:
(1) Ingat rumus 1sin
0lim
x
x
x
(2) Jika x diganti 2x, diperoleh
12
2sin
02lim
x
x
x.
Berdasarkan strategi yang dibangun,
penyelesaiannya adalah:
Jelasx
x
x
2sin
0lim =
x
x
x 2
2sin
02lim.2 = 2.
(b) Jelasxx
xx
x 5tan2
3sin
0lim
j\“¤·“·†?P 098 j\“¤·“·†?P 099
1cos0
lim xx
(a) 0sin0
lim xx
,
(b) 0tan0
lim xx
,
(c) 0tan
0lim
x
x
x,
(d) 0tan0
limx
x
x,
(e) axax
sinsinlim , dan
(f) axax
coscoslim .
=
x
x
x
x
x5
5tan.52
33sin.31
0lim
=
x
x
x
x
x
x
55tan
05lim.52
33sin
03lim.31
=52
31
=34 .
(c) Jelasxx
x
x sin
cos1
0lim
=xx
x
x sin
)2
2sin21(1
0lim
=x
x
xx
x
xx
x
x sin0lim.
2
2sin
0lim.
2
2sin
0lim.
2
1
=21 .1.1.1
=21 .
7. Limit sepihak
Perhatikan fungsi f: R–{0) R
yang didefinisikan sebagai
x
xxf )( .
Fungsi f dapat dinyatakan tanpa tanda nilai
mutlak, yaitu
f(x) =x
x=
0,1
0,1
x
x.
Grafik f:
Gambar 78: Grafikx
xxf )( .
Dapat dilihat bahwa nilai f(x) akan
mendekati 1 apabila x mendekati 0 dari se-
belah kanan. Dikatakan fungsi f mempu-
nyai limit kanan di 0 yang nilainya 1,
situasi ini ditulis
1)(
0
lim xf
x
.
Demikian pula nilai f(x) akan mendekati –1
apabila x mendekati nol dari sebelah kiri.
Dikatakan fungsi f mempunyai limit kiri di
0 yang nilainya –1, situasi ini ditulis
1)(
0
lim xf
x
.
Perhatian 1:
Dengan menggunakan definisi limit, dapat
ditunjukkan bahwax
x
x 0lim tidak ada.
Alasan lain yang menyatakan bahwa
x
x
x 0lim tidak ada adalah disebabkan
)(
0
lim xf
x
= 1 –1 = )(
0
lim xf
x
.
Limit kiri atau limit kanan di suatu
titik suatu fungsi dinamakan limit sepihak.
j\“¤·“·†?P 100 j\“¤·“·†?P 101
f
X
Y
1
–1
f
O
Definisi 38
Definisi 39
Contoh 45
Dipunyai f: [–1,3] R,0,20,1
)(xx
xxxf .
Grafik f:
Gambar 79: Grafik fungsi f pada [–1,3].
Secara intuitif, dapat dilihat bahwa:
(i) f(0) = 02
= 0,
(ii) 1)(
0
lim xf
x
, dan
(iii) 0)(
0
lim xf
x
.
Berdasarkan intuisi tersebut, disimpulkan
teorema berikut ini.
Jelas 1)(
0
lim xf
x
1)(
0
lim0 xf
x
.
Ke-nyataan ini memberikan petunnjuk
bahwa nilai )(0
lim xfx
tidak ada.
Teorema 40:
Buktinya fakultatif dan diserahkan
pembaca sebagai latihan.
Contoh 46
Perhatikan fungsi f pada Contoh 7. Bukti-
kanlah:
(a) 1)(
0
lim xf
x
dan
(b) 0)(
0
lim xf
x
.
Bukti (a):
Strategi:
(1) Ambil sembarang > 0.
(2) Pilih > 0, sehingga 1)(xf
apabi- la – < x < 0:
Dipunyai – < x < 0.
Jelas 0 < –x < 0 < x < .
Jelas f(x) = x + 1.
Jadi 1)(xf = x < .
Dipilih = .
Berdasarkan strategi yang dikembang-
kan disusun bukti sebagai berikut:
j\“¤·“·†?P 102 j\“¤·“·†?P 103
X
Yf
–1 3
1
Dipunyai fungsi f: (a,b) R, dan c di
selang (a,b). Limit fungsi f untuk x
mendekati c dari kanan adalah L, ditulis
denganLxf
cx
)(lim
jika dan hanya jika untuk setiap > 0
terdapat > 0 sehingga Lxf )(
apabila c < x < c + .
Dipunyai fungsi f: (a,b) R, dan c di
selang (a,b). Limit fungsi f untuk x
mendekati c dari kiri adalah L, ditulis
denganLxf
cx
)(lim
jika dan hanya jika untuk setiap > 0
terdapat > 0 sehingga Lxf )(
apabila c – < x < c .
Dipunyai f: I R, I R, dan a I.
Nilai )(lim xfax
ada dan bernilai L jika
dan hanya jika
)(lim xf
ax
= L = )(lim xf
ax
.
Bukti (b):
Strategi:
(1) Ambil sembarang > 0.
(2) Pilih > 0, sehingga 0)(xf
apabi- la 0 < x < :
Dipunyai 0 < x < .
Jelas 0 < x < 0 < x < .
Jelas f(x) = x2.
Jadi 0)(xf = 2x = x
2<
2.
Dipilih2= .
Berdasarkan strategi yang dikembangkan
disusun bukti sebagai berikut:
Contoh 47
Dipunyai f: R]3,1[ dengan xxf )( .
Grafik f:
Gambar 80: Grafik fungsi xxf )(
pada [–1,3].
Jelas 1)(
1
lim xf
x
, 1)(lim
21
xfx
,
1)(
0
lim xf
x
, 0)(
0
lim xf
x
,
0)(
1
lim xf
x
, 1)(
1
lim xf
x
,
1)(
2
lim xf
x
, 2)(
2
lim xf
x
, dan
2)(
3
lim xf
x
.
Berdasarkan fakta ini, dapat disim-
pulkan:
(a) Dipunyai titik –1 merupakan titik ujung.
Dengan demikian
)(1
lim xfx
= )(
1
lim xf
x
= –1.
(b) Nilai 1)(lim
21
xfx
, dapat dicek bahwa
1)(
)(
lim
21
xf
x
= –1= 1)(
)(
lim
21
xf
x
.
(c) Jelas 1)(
0
lim xf
x
0)(
0
lim0 xf
x
.
Jadi 1)(0
lim xfx
tidak ada.
(d) Jelas )(
2
lim21)(
2
lim xf
x
xf
x
.
Jadi )(2
lim xfx
tidak ada.
j\“¤·“·†?P 104 j\“¤·“·†?P 105
(e) Dipunyai titik 3 merupakan titik ujung.
Dengan demikianKasus 44 x :
Ambil sembarang > 0.
Pilih = .
Dipunyai 0 < x < .
Jelas 0 < x < 0 < x <
0 < x2
< .
Jelas 0)(xf = 2x
= x2
<2
= .
Jadi untuk setiap > 0 terdapat >
0 sehingga 0)(xf < apabila
– < x < 0.
Jadi 0)(
0
lim xf
x
.
Ambil sembarang > 0.
Pilih = .
Dipunyai – < x < 0.
Jelas 0 < –x < 0 < x < .
Jelas 1)(xf = x < = .
Jadi untuk setiap > 0 terdapat >
0 sehingga 1)(xf < apabila
– < x < 0.
Jadi 1)(
0
lim xf
x
.X
Y
1 2 3
–1 O
f
)(3
lim xfx
= )(
3
lim xf
x
= 2.
Contoh 48
Dipunyai fungsi1,4
1,12)3()(
xx
xxxf .
Hitunglah )(4
lim xfx
apabila ada, kemudian
buktikan.
Penyelesaian:
Grafik f:
Gambar 81: Nilai 0)(4
lim xfx
.
Jelas )(
4
lim xf
x
= 012)3(4
lim xx
dan
)(
4
lim xf
x
= 0)4(4
lim xx
Jelas )(
4
lim xf
x
= 0 = )(
4
lim xf
x
.
Jadi )(4
lim xfx
ada dan )(4
lim xfx
= 0.
Butki formalnya:
Ambil sembarang > 0.
Pilih = min }11,{ .
Dipunyai 40 x .
Jelas 44 x .
Jelas 44 x 131 x
12)3(2)1( x
012)3(12)1( x
2)1(1]12)3[(0 x
2)1(112)3(0 x .
Jadi 0)(xf = 12)3(x
< 2)1(1
= .
Kasus 44 x :
Jelas 44 x 44 x
04x
)4(0 x
40 x .
Jadi 0)(xf = 4x < = .
Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se-
hingga 0)(xf < apabila 40 x .
Jadi )(4
lim xfx
= 0.
8. Kekontinuan Fungsi
Pada pengertian limit fungsi di titik
a, fungsi f terdefinisi pada suatu selang
buka I , kecuali mungkin di titik a sendiri.
Sekarang dipunyai fungsi f terdefinisi pada
selang I yang memuat titik a. Jikla limit
fungsi f di titik a ada dan nilainya sama
dengan nilai fungsi di titik a, maka fungsi f
dikatakan kontinu di titik a. Definisi ini
dapat dinyatakan sebagai berikut.
j\“¤·“·†?P 106 j\“¤·“·†?P 107
Definisi 41 Jelas )1(2)1(1
lim fxx
.
Y
X
f
4
O
Dipunyai fungsi f: I R dan a I.
Fungsi f dikatakan kontinu di titik a
jika dan hanya jika
Contoh 49
Dipunyai fungsi f: R R, f(x) = x + 1.
Jelas 2)1(
1
lim x
x
, 2)1(
1
lim x
x
, dan
f(1) = 2. Jadi )1(2)1(1
lim fxx
.
Jadi f kontinu di titik 1.
Contoh 49
Dipunyai fungsi f(x) =1,1
1,1
12
x
xx
x. Periksa
apakah f kontinu di titik 1.
Penyelesaian:
Jelas f(x) =1,1
1,1
x
xx.
Grafik f:
Gambar 82: Fungsi f tak kontinu yang
dapat dihilangkan di titik 1.
Jelas 2)1(1
lim)(
1
lim xx
xf
x
,
2)1(1
lim)(
1
lim xx
xf
x
, dan
f(1) = 1.
Jadi fungsi f tak kontinu di titik 1.
Contoh 50
(a) Fungsi f(x) =1,3
1,1
x
xx.
Grafik f:
Gambar 83: Fungsi f tak kontinu
loncat di titik 1 ter-
definisi di titik 1.
(b) Dipunyai fungsi f(x) =1,3
1,1
x
xx.
Grafil f:
Gambar 84: Fungsi f tak kontinu
loncat di titik 1 tak
terdefinisi di titik 1.
Pembaca diminta memeriksa mengapa:
fungsi pada butir (a) dan (b) tak kontinu,
selanjutnya buktikan secara formal.
Konsep kontinunya fungsi f di titik a
dapat disajikan sebagai berikut.
j\“¤·“·†?P 108 j\“¤·“·†?P 109
X
Y
O
f
1
12
X
Y
O
f
1
12
f
3
X
Y
O
f
1
12
f
3
Teorema 42
Contoh 51
Dipunyai f: R R, f(x) = x + 1.
Buktikan f kontinu di titik 1.
Bukti:
Ambil sembarang > 0.
Pilih = .
Dipunyai 1x .
Jelas 2)(xf = 1x < = .
Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se-
hingga 2)(xf apabila 1x .
Jadi f kontinu di titik 1.
Berikut ini disajikan beberapa sifat
tentang kekontinuan fungsi.
Teorema 43
Bukti (i):
Dipunyai f dan g kontinu di titik a.
Ambil sembarang > 0.
Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga
2)()( afxf apabila 1ax
dan
3)()( agxg apabila 2ax .
Pilih = min{ 1, 2}.
Dipunyai ax .
Jelas ))(())(( agfxgf
= )()()()( agafxgxf
= )]()([)]()([ agxgafxf
)()()]()([ agxgafxf
<32
=6
5
< .
Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se-
hingga ))(())(( agfxgf < apabila
ax .
Jadi fungsi f + g kontinu di titik a.
Bukti lainnya diserahkan pembaca sebagai
latihan.
Definisi 44
Suatu fungsi f: I R yang kontinu
di setiap titik di I dikatakan kontinu pada
selang I.
j\“·“·†?P 110 j\“¤·“·†?P 111
Jika fungsi-fungsi f, g: I R kontinu
di titik a I, dan K suatu konstanta di
R maka fungsi-fungsi:
(i) f + g,
(ii) K.f,
(iii) f . g, dan
(iv)g
fapabila g(a) 0
kontinu di titik a.
Dipunyai fungsi f: I R dan a I.
Fungsi f dikatakan kontinu di titik a
jika dan hanya jika
Untuk setiap > 0 terdapat > 0
sehingga
)()( afxf apabila ax .
(i) Fungsi f : (a,b) R dikatakan
kontinu pada (a,b) jika dan hanya
jika fkontinu di setiap titik pada
(a,b)
(ii) Fungsi f : [a,b] R dikatakan
kontinu pada [a,b] jika dan hanya
jika f kontinu di setiap titik pada
(a,b),
)()(lim afxf
ax
,
dan
)()(lim bfxf
ax
.
Contoh 52
Dipunyai fungsi yang disa-
jikan dengan rumus dan . Pe-
riksa apakah f kontinu pada .
Pemeriksaan:
Grafik f:
Gambar 85: Fungsi ,
kontinu
Ambil sembarang xo (2,+ ).
Jelas f(xo) =
dan
.
Jadi untuk setiap xo di
selang (2,+ ).
Jadi fungsi f kontinu pada selang (2,+ ).
Teorema 45
Bukti (i):
Tulis P(n): f(x) = xn
kontinu pada R.
Jelas P(1): f(x) = x kontinu pada R.
Jelas f kontinu pada R.
Jadi P(1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas f(x) = xk
kontinu pada R.
Tulis xk
= g(x) dan x = h(x).
Jelas g . h kontinu pada R.
Jadi f(x) = xk+1
kontinu pada R.
Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.
Jadi P(n) benar.
Jadi f: R R, f(x) = xn
kontinu pada R.
Bukti (ii) diserahkan pembaca sebagai
latihan.
Sama seperti konsep limit, kekonti-
nuan fungsi juga dikenal dengan adanya
kontinu sepihak. Sebagai contoh perhatikan
fungsi f: (1,4] R, f(x) = .
Gambar 86: f kontinu kiri di titik 4 dan
f tak kontinu kanan di titik 1.
Berdasarkan intuisi dapat dilihat
bahwa dan f(1) tidak
ada. Kondisi ini menyatakan bahwa fungsi
f kontinu kiri di titik 4 dan f tak kontinu
kanan di titik 1.
j\“¤·“·†?P 112 j\“¤·“·†?P 113
Rf ),2(:
2
1)(
xxf
),2(
Rf ),2(:
2
1)(
xxf
2
1
ox
2
1
2
1lim)(lim
oxxxxxf
xx oo
)()(lim oxfxfxx o
1
1
x
)4(3
1
1
1
4
lim fx
x
Untuk setiap bilangan asli n berlaku:
(i) f: R R, f(x) = xn
kontinu pada R.
(ii) Jika fungsi g: R R kontinu di
titik a maka f(x) = [g(x)]n
juga
kontinu di titik a.
X
X
O
f
1 2 xo
f(xo)
X
Y
O 41
f
Definisi 46
Contoh 53
Dipunyai fungsi f: [1,5] R yang diberi-
kan oleh .
Grafik f:
Gambar 87: Gambar fungsi dengan
f(x)= .
(a) Jelas .
Jadi f kontinu kanan di titik 1.
(b) Jelas .
Jadi f kontinu kiri di titik 3.
(c) Jelas akan te-
tapi f(3) tidak ada.
Jadi f tak kontinu kanan di titik 3.
(d) Jelas .
Jadi f kontinu kiri di titik 5.
Kekontinuan sepihak suatu fungsi di-
definisikan sebagai berikut.
Definisi 47
Contoh 54
Dipunyai fungsi f : R R yang diberikan
oleh . Buktikan f tak kontinu
kiri dan kontinu kanan di titik 1.
Grafik f:
Gambar 88: f tak kontinu kiri dan
kontinu kanan di titik 1.
Bukti:
(a) Ambil sembarang > 0.
Pilih = min{1, }.
j\“¤·“·†?P 114 j\“¤·“·†?P 115
53,5
31,)(
xx
xxxf
53,5
31,
xx
xx
)1(11
lim)(
1
lim fxx
xf
x
)3(33
lim)(
3
lim fxx
xf
x
2)5(3
lim)(
3
lim xx
xf
x
)5(0)5(5
lim)(
5
lim fxx
xf
x
1,1
1,3)(
x
xxxf
3
Dipunyai fungsi f: I R dan a I.
(i) fungsi f dikatakan kontinu kanan
jika
dan
(ii) fungsi f dikatakan kontinu kanan
jika
)()(lim afxf
ax
)()(lim afxf
ax
X
Y
O
f
f
1 2 3 4 5
Dipunyai fungsi f: I R dan a I.
(i) jika dan hanya ji-
ka untuk setiap >0 terdapat >0
sehingga apabila
a < x < a + .
(ii) jika dan hanya ji-
ka untuk setiap >0 terdapat >0
sehingga apabila
a – < x < a .
)()(lim afxf
ax
)()( afxf
)()(lim afxf
ax
)()( afxf
X
Y
f
f
O 1
1
Dipunyai 1 – < x < 1.
Jelas – < x–1< 0 0 <–(x – 1)<
.
Dicari batas x2
+ x + 1 pada 0 < x < 1:
Jelas x2
+ x + 1 = .
Jelas 0 < x < 1
.
Jadi =
=
=
< 3
= .
Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0
sehingga apabila 1– <x
<1.
Jadi .
Jadi f kontinu kiri di titik 1.
(b) Ambil sembarang > 0.
Pilih = .
Dipunyai 1 < x < 1 + .
Jelas 0 < x – 1 <
.
Jadi = < = .
Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0
sehingga apabila 1<x <1+
.
Jadi .
Akan tetapi f(1) tidak ada.
Jadi f tak kontinu kanan di titik 1.
Berikut ini disajikan beberapa sifat
kekontinuan fungsi untuk fungsi komposi-
si yang dapat digunakan untuk memeriksa
kekontinuan fungsi-fungsi yang rumit.
Teorema 48
Bukti:
Dipunyai f kontinu di titik L dan
.
Tulis g(x) = y.
Ambil sembarang > 0.
Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga
apabila
dan
apabila .
Pilih = 2.
Dipunyai .
Jelas .
Jadi
.
Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0
se- hingga apabila
.
Jadi = f(L).
Contoh 55
Penyelesaian:
Tentukan .
Tulis (x – 2) = g(x) dan x10
+ 1 = f(x).
Jelas .
Jadi =
= f(–1)
= 2.
j\“¤·“·†?P 116 j\“¤·“·†?P 117
10 x
4
32)21(x
23
21
21 x
492)
21(
41 x
3432)
21(1 x
1)(xf 13x
)12)(1( xxx
12.1 xxx
1)(xf
)1(1)(
1
lim fxf
x
10 x
1)(xf 1x
1)(xf
1)(
1
lim xf
x
Lxgax
)(lim
)()( Lfyf 1Ly
1)( Lxg 20 ax
ax0
1)( Lxg 1Ly
)()( Lfyf
))(()]([ Lgfxgf
))(()]([ Lgfxgf
Lxg )(0
)(lim)]([lim xgax
fxgfax
110)2(1
lim xx
1)2(1
lim)(1
lim xx
xgx
12)2(1
lim xx
)(1
lim xgx
f
Jika fungsi f, g: I R, a I,
, dan f kontinu di titik L
maka
.
Lxgax
)(lim
)(lim)]([lim xgax
fxgfax
Teorema 49
Bukti:
Dipunyai g kontinu pada I dan
f kontinu di g(a) = L.
Tulis g(x) = y.
Ambil sembarang > 0.
Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga
apabila
dan
apabila .
Pilih = 2.
Jelas apabila .
Jadi .
Jadi kontinu di titik a.
Contoh 56
Periksa apakah fungsi f: R R dengan f(x)
= sin (x2
– 10) kontinu pada R.
Pemeriksaan:
Tulis x2
– 10 = g(x) dan sin x = h(x).
Ambil sembarang xo R.
Jelas .
Jadi g kontinu untuk setiap xo R.
Jadi g kontinu pada R.
Ambil sembarang u R sehingga u =
g(xo).
Jelas h kontinu di titik u.
Jadi f = kontinu di u untuk setiap u.
Jadi f kontinu pada R.
Latihan Soal Bab 2
1. Dipunyai fungsi f disajikan dengan f(x) =
. Hitung dan buktikan:
(a)
(b)
2. Periksa adanya limit fungsi f yang
disajikan dengan f(x) = untuk
x mendekati:
(a) 3,
(b) –1, dan
(c) .
3. Hitunglah nilai limit berikut:
(a)
(b)
(c)
4. Hitunglah limit berikut ini:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
5. Hitunglah apabila:
(a) 2 – 3x2
f(x) 2 + 7x3
untuk setiap
x [–1, 2].
(b) 1 – 3x2
f(x) cos x untuk setiap x
.
j\“¤·“·†?P 118 j\“¤·“·†?P 119
)()( Lfyf 1Ly
1)( Lxg 2ax
)]([)]([ agfxgf ax
)]([)]([lim agfxgfax
gf
)o(102o)(lim
o
xgxxgxx
gh
12xx
)(1
lim xfx
)(5
lim xfx
212x
25
xx
xx
x tan2
2sin
0lim
x
xx
x 6cos1
sin.
0lim
x
x
x
cos1
0lim
)225sin
(0
lim xx
x
x
x
x
x 2sin
5tan
0lim
x
x
x 6sin
tan
0lim
x
xx
x sin
tan.2sec
0lim
23
52tan
0lim
x
x
x
)(0
lim xfx
]2
,2
[
Jika fungsi f, g: I R, I selang buka
memuat a, g kontinu pada I, dan f
kontinu di L = g(a) maka
fungsi komposisi kontinu di a.gf
6. Dipunyai fungsi f diberikan oleh
.
(a) Sketlah grafik fungsi f,
(b) Periksa adanya , dan
(c) Buktikan butir (b) secara formal.
6. Buktikan:
(a) (d)
(b) (e)
(c) (f)
7. Butkikan bahwa pernyataan berikut tidak
benar:
(a)
(b)
8. Buktikan:
Jika untuk setiap bilangan
bilangan bulat positif n.
9. Tentukan selang terbesar fungsi yang
diberikan oleh kontinu.
10. Jika fungsi f : I R kontinu di titik a,
buktikan fungsi (9. f) juga kontinu di
titik a.
11. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut
kontinu di titik yang diberikan:
(a) , a = 0
(b) , a = 1
(c) , a = 1
(d) , a = –3
12. Periksa apakah fungsi berikut kontinu
di titik yang disajikan:
(a) ; a = 2
(b) ; a = –2.
13. Dipunyai fungsi f: R R, f(x) = K
untuk suatu K R. Buktikan bahwa f
kontinu pada R.
14. Dipunyai a, b, c R, a 0, dan
. Tentukan ni-
lai a agar f kontinu di titik 2.
15. Dipunyai fungsi f disajikan oleh
. Hitunglah:
(a) (d)
(b) (e)
(c) (f)
16. Periksa kekontinuan fungsi-fungsi:
(a)
(b)
17. Dipunyai fungsi-fungsi f, g: I R,
f(x) g(x) untuk setiap a I, dan
.
Buktikan bahwa .
j\“¤·“·†?P 120 j\“¤·“·†?P 121
1,2)1(1
1,)(
xx
xxxf
)(1
lim xfx
22
1lim
xx
7)83(1
lim xx
3123
lim xx 3
1)2(
1
1lim
xxx
15)22(5
lim xxx
251
2
0lim
x
x
x
3)12(1
lim xx
2)12(0
lim xx
nc
ny
cylim
241)( xxf
52)( xxf
x
xxf
1
1)(
xxf
11)(
x
xxf
2)(
2,12)2(
2,1)(
xx
xxxf
2
2)(
x
xxf
x
xxaxf
,4
2,12)2()(
2,cos
21,2
1,1
)(
xx
xx
x
xf
)(
1
lim xf
x
)(
2
lim xf
x
)(
1
lim xf
x
)(
2
lim xf
x
)(1
lim xfx
)(2
lim xfx
0,1
0,tan
)(x
xx
xxf
0,1
0,sin
)(x
xx
xxf
Lxgax
)(lim
Lxfax
)(lim
Pada Bab 3 ini didiskusikan tentang turunan (derivative) suatu fungsi. Pembicara-an
dimulai dengan menghitung gradien garis singgung suatu kurva di suatu titik menggunakan
konsep limit yang telah dikembangkan pada Bab 2. Ide tentang gradien garis singgung ini
diperluas menjadi turunan suatu fungsi. Beberapa teorema atau sifat-sifat turunan disajikan yang
beberapa diantaranya dilengkapi dengan bukti. Setiap konsep, teorema, atau sifat yang disajikan
dilengkapi dengan suatu contoh agar daya serap pembaca dapat ditingkatkan.
Gradien garis singgung pada kurva f di titik P(xo,yo) telah dibicarakan pada Bab 2, yaitu:
m = apabila nilai limit ini ada. Nilai disebut perbedaan
hasil bagi, sebab ini merupakan perubahan perbandingan nilai fungsi apabila nilai x berubah,
yaitu dari titik (xo,yo) menjadi titik (xo + h, f (xo + h)). Nilai h dapat bernilai positif atau negatif.
Nilai h yang positif berarti 0 dihampiri h dari kanan dan nilai h yang negatif berarti 0 dihampiri h
dari kiri. Situasi ini dapat diperlihatkan pada gambar berikut ini.
Gambar 89: gradien garis PQ adalah
, h > 0
Gambar 90: gradien garis PQ adalah
, h < 0
j\“¤·“·†?P 122 j\“¤·“·†?P 123
hoxfhoxf
h
)()(
0lim
hoxfhoxf )()(
hoxfhoxf )()(
h
hoxfoxf )()(
Q(xo+h,f(xo+h))
X
Y
xo xo+h
P(xo,f(xo))
O
s
X
Y
xo
P(xo,f(xo))
Q(xo+h,f(xo+h))
xo+h O
s
1. Pengertian Turunan Fungsi
Gradien garis singgung s pada Gambar
89 dan Gambar 90 adalah
, apabila limit ini ada.
Selanjutnya dinota-
sikan dengan dan disebut dengan
turunan fungsi f di titik xo. Jika ada
untuk setiap xo di selang I, proses menen-
tukan turunan biasanya menghasilkan fung-
si turunan yang terdefinisi pada selang
I.
Definisi 50
Contoh 57
Dipunyai f: R R dengan f(x) = x2
– 1.
Tentukan:
(a) Persamaan garis singgung pada
kurva f yang koordinat-x nya 1.
(b) Tentukan fungsi turunan dari f.
Penyelesaian:
(a) Tulis 1 = xo dan ms: gradien garis sing-
gung yang diminta.
Jelas f(1) = 0 dan
=
=
=
=
= 2.
Jadi s: y – 0 = 2(x – 1) y = 2x – 2.
(b) Jelas =
=
=
=
= 2x.
Grafik f dan :
Gambar 91: grafik f(x) = x2
– 1
dan f (x) = 2x.
Contoh 58
Tentukan f (x) apabila:
(a) f: [0,+ ) R,
(b) f: (0,+ ) R,
Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang x [0,+ ).
Jelas f (x) =
=
=
j\“¤·“·†?P 124 j\“¤·“·†?P 125
= Berikut ini disajikan beberapa sifat
turunan, yang berguna untuk menentukan
hoxfhoxf
h
)()(
0lim
hoxfhoxf
h
)()(
0lim
)(' oxf
)(' oxf
'f
smh
fhf
h
)1()1(
0lim
h
h
h
212)1(
0lim
h
hh
h
22
0lim
)2(0
lim hh
)(' xfh
xfhxf
h
)()(
0lim
h
xfhx
h
)(2)(
0lim
h
xhxhx
h
2222
0lim
)2(0
lim hxh
'f
'
'
xxf )(
xxf
1)(
'h
xfhxf
h
)()(
0lim
h
xhx
h 0lim
xhx
xhx
h
xhx
h.
0lim
xhxh
1
0lim
Dipunyai fungsi f: I R.
Turunan fungsi f pada selang I didefi-
nisikan sebagai
=h
xfhxf
h
)()(lim
0
apabila nilai limit ini ada untuk setiap x di I.
)(' xfX
Y
O
f f '
= .
(b) Ambil sembarang x (0,+ ).
Jelas f (x) =
=
= .
Conto 59
Tentukan f (x) apabila:
(a) f(x) = sin x
(b) f(x) = cos x.
Penyelesaian:
(a) Jelas f (x) =
=
=
=
= cos x.
(b) Jelas f (x) =
=
= 2
=
= – sin x.
turunan fungsi yang rumit.
Teorema 51
Bukti:
(a) Jelas (f + g) (x)
=
=
= +
= f (x) + g (x).
(b) Jelas (K.f) (x)
=
=
=
= (K.f) (x).
Contoh 60
Tentukan f (x) apabila:
(a) f(x) = 3 sin x + 6x2
(a) f(x) = 5x2
+
Penyelesaian:
(a) Tulis sin x = g(x) dan x2
= h(x).
Jelas g (x) = cos x dan h (x) = 2x.
Jadi f (x) = 3. g (x) + 6. h (x)
j\“¤·“·†?P 126 j\“¤·“·†?P 127
x2
1
'h
xfhxf
h
)()(
0lim
)(
1
0lim
hxxh
2
1
x
'
'h
xfhxf
h
)()(
0lim
h
xhx
h
)(sin)(sin
0lim
h
hhx
h
2sin.)
2(cos2
0lim
)2
(cos0
lim.
2
2sin
0
lim
2
hx
hh
h
h
'h
xfhxf
h
)()(
0lim
h
xhx
h
cos)(cos
0lim
h
hhx
h
2sin).
2sin(2
0lim
)2
(sin0
lim.
2
2sin
0lim
hx
hh
h
h
'
h
xgfhxgf
h
))(())((
0lim
h
xghxgfxfhxf
h
)())(()()(
0lim
h
xfhxf
h
)()(
0lim
h
xfhxf
h
)()(
0lim
' '
'
h
xfKhxfK
h
))(.())(.(
0lim
h
xfKhxfK
h
)(.)(.
0lim
h
xfhxf
hK
)()(
0lim.
'
'
xx
72
' '
' ' '
Jika fungsi-fungsi f, g: I R mempu-
nyai turunn di x dan K sembarang bi-
langan real, maka:
(a) (f + g) (x) = f (x) + g (x)
(b) (K.f) (x).
' ' '
'
= 3 cos x + 12x.
(b) Tulis x2
= g(x), , dan .
Jelas g (x) = 2x, h (x) = , dan
p (x) = .
Jadi f (x) = 3 + 2. + 7.( )
= .
2. Turunan Sepihak
Turunan suatu fungsi merupakan
pengembangan konsep limit. Pada konsep
limit telah dikenal pengertian limit sepihak.
Dengan demikian pada konsep turunan
juga ada turunan sepihak.
Telah dibicarakan turunan fungsi f
di titik xo sebagai berikut
.
Tulis xo + h = x. Jelas h 0 x xo. Jadi
.
Contoh 61
Tentukan f (xo) apabila:
(a) f(x) = sin 2x, xo = dan
(b) f(x) = , xo = 2.
Penyelesaian:
(a) Jelas f ( ) =
=
=
=
= 2 . 1 . cos
= 2 . 1 . 0
= 0.
(b) Jelas f (2) =
=
=
= –1.
Definisi 52
j\“¤·“·†?P 128 j\“¤·“·†?P 129
)(1
xhx
)(xpx
' '
2
1
x
'
x2
1
')
1(
x)
2
1(
x x2
1
xxx 2
7
2
23
hoxfhoxf
h
)()(
0lim
hoxfhoxf
h
)()(
0lim
oxx
oxfxf
xx o
)()(lim
'
4
1
1
x
'
4
4
)4
()(
lim
4x
fxf
x
4
2sin2sin
lim
4x
x
x
4
)4
sin().4
(cos2
lim
4x
xx
x
)4
(cos
4
lim.
4
)4
sin(
0
lim.2
4
x
xx
x
x
2
'
2
)2()(
2lim
x
fxf
x
2
11
1
2lim
x
x
x
)1(2
limx
Dipunyai fungsi f: I R, I R, dan titik
xo I.
Turunan kiri f di titik xo:
dan
turunan kanan f di titik xo:
.
oxx
oxfxf
xxoxf
o
)()(lim)('
_
oxx
oxfxf
xxoxf
o
)()(lim)('
Teorema 53
Buktinya bersifat fakultatif, diserahkan
pembaca sebagai latihan.
Contoh 62
Dipunyai fungsi f: R R, f(x) = . Perik-
sa apakah fungsi f mempunyai turunan di
titik x = 0.
Pemeriksaan:
Jelas f(x) = .
Jelas =
=
=
= –1
dan
=
=
=
= 1.
Jadi .
Jadi tidak ada.
Hubungan adanya turunan suatu
fungsi dan kontinunya fungsi pada suatu
titik atau pada selang kelak akan sering di-
gunakan. Hubungan ini disajikan pada teo-
rema berikut ini.
Teorema 54
Bukti:
Dipunyai f (xo) ada.
Tulis f (xo) = y untuk suatu y R.
Jelas f (xo) = y
= y
.
Tulis xo + h = x.
Jelas h 0 x xo.
Jadi .
Jadi fungsi f kontinu di titik xo.
Kebalikan Teorema 30 tidak benar.
Hal ini cukup diberikan contoh suatu fung-
si yang kontinu di titik xo akan tetapi turun-
an fung-si f di titik xo tidak ada.
Pilih fungsi f: R R, f(x) = dan xo = 0.
Jelas f(x) = .
Jelas f(0) = 0,
, dan
.
Jadi .
Jadi fungsi f kontinu di titik 0.
Jelas tidak ada.
Ini menunjukkan kebalikan Teorema 54
tidak benar.
j\“¤·“·†?P 130 j\“¤·“·†?P 131
x
0,
0,0
0,
xx
x
xx
)0('_f
0
)0()(
0
limx
fxf
x
x
x
x 0lim
)1(0
limx
)0('f
0
)0()(
0
limx
fxf
x
x
x
x 0lim
10
limx
)0('_f )0('
f
)0('f
'
'
'
h
oxfhoxf
h
)()(
0lim
yhh
oxfhoxfh
.0
lim)()(0
lim
)()(0
lim oxfhoxfh
)()(lim oxfxfxx o
x
0,
0,0
0,
xx
x
xx
0)(0
lim)(
0
lim xx
xf
x
00
lim)(
0
lim xx
xf
x
)0(0)(0
lim fxfx
)0('f
Dipunyai fungsi f: I R, I R, dan titik
xo I.
f (xo) ada
jika dan hanya jika
= .
'
)('_ oxf )('
oxf
Dipunyai fungsi f: I R, I R, dan titik
xo I.
Jika f (xo) ada
maka fungsi f kontinu di titik xo.
'
3. Rumus Turunan
Pada pasal ini disajikan beberapa
rumus atau aturan untuk menentukan turun-
an fungsi-fungsi. Dimulai dengan notasi
yang dimunculkan oleh Gottfried Leibniz,
seorang matematikawan (1646 – 1716) se-
bagai berikut:
Notasi Leibniz 55
Teorema 56
Bukti:
Jelas =
=
=
= 0.
Teorema 57
Bukti:
Jelas =
=
=
=
= .
j\“¤·“·†?P 132 j\“¤·“·†?P 133
Teorema 58 Bukti teorema ini diserahkan pembaca
dx
xfd )]([
h
xfhxf
h
)()(
0lim
h
KK
h 0lim
00
limh
dx
xgfd )])(.[(
h
xgfhxgf
h
))(.())(.(
0lim
h
xgxfhxghxf
h
)().()().(
0lim
h
xgxfhxgxfhxgxfhxghxf
h
)().()().()().()().(
0lim
h
xghxg
hxf
hhxg
hh
xfhxf
h
)()(
0lim).(
0lim)(
0lim.
)()(
0lim
dx
xfdxg
dx
xgdxf
)]([).(
)]([).(
Dipunyai fungsi f disajikan dengan per-
samaan y = f(x). Turunan fungsi f
dinotasikan dengan
atau atau .)(' xfdx
xfd )]([
dx
dy
Dipunyai fungsi f: I R, I R, dan K
suatu konstanta di R.
Jika f(x) = K untuk setiap x di I
Maka
.0)]([
dx
xfd
Jika fungsi f, g : I R, I R, mempu-
nyai turunan di x I maka
.dx
xfdxg
dx
xgdxf
dx
xgfd )]([).(
)]([).(
)])(.[(
Bukti:
Tulis P(n): .
Jelas P(1): .
Jelas .
Jadi P(1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas .
Jadi =
=
=
=
= .
Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.
Jadi P(n) benar.
Jadi .
Teorema 59
sebagai latihan.
Contoh 63
Tentukan f (x) apabila:
(a) f(x) = tan x (c) f(x) = sec x
(b) f(x) = cot x (d) f(x) = csc x.
Penyelesaian:
(a) Jelas f (x) = =
=
=
=
= sec2
x.
(b) Jelas f (x) = =
=
=
=
= – csc2
x.
Dengan mudah dapat ditunjukkan bah-
wa: dan
.
Contoh 64
Tentukan f (x) apabila:
(a) f(x) = x . sin x
(b) f(x) =
(c) f(x) =
j\“¤·“·†?P 134 j\“¤·“·† P 135
1.)( n
xndx
nxd
11.1)(
xdx
xd
11.10.11)(
xxdx
xd
1.)( k
xkdx
kxd
dx
kxd )1(
dx
kxxd ).(
dx
xdkx
dx
kxd
x)(
.)(
.
kx
kxkx
1..
kx
kxk .
1)1(.)1( kxk
1.)( n
xndx
nxd
'
'
dx
xfd )]([
dx
xd )(tan
dx
x
xd )
cos
sin(
x
dx
xdx
dx
xdx
2cos
)(cos.sin
)(sin.cos
x
xx
2cos
2cos2sin
'
dx
xfd )]([
dx
xd )(cot
dx
x
xd )
sin
cos(
x
dx
xdx
dx
xdx
2sin
)(sin.cos
)(cos.sin
x
xx
2cos
2cos2sin
xxdx
xdtan.sec
)(sec
xxdx
xdcot.csc
)(csc
'
1
cos
x
x
x
xx
tan1
cossin
Jika f: R R, f(x) = xn, dan n semba-
rang bilangan bulat tak nol maka
.1.)( n
xndx
nxd
Jika fungsi f, g : I R, I R, mem-
punyai turunan di x I, dan g(x) 0
maka
= .dx
xg
fd ))((
)(2
)]([).(
)]([).(
xg
dx
xgdxf
dx
xfdxg
Penyelesaian:
(a) Jelas f (x) =
=
=
= x. cos x + sin x.
(b) Jelas f (x) =
=
=
= .
(c) Jelas f (x) =
=
=
= .
Contoh 65
Tentukan nilai-nilai x pada selang [0,2 ]
sehingga garis-garis singgung pada kurva
f(x) = sin x dan g(x) = cos x:
(a) sejajar
(b) tegak lurus.
Penyelesaian:
Ambil sembarang x [0,2 ].
Jelas f (x) = cos x dan g (x) = – sin x.
(a) Jelas f (x) = g (x) cos x = – sin x
cos x = cos
x = .
K x
0
1
Jadi nilai x yang memenuhi adalah
dan .
(b) Jelas f (x) . g (x) = –1
–sin x . cos x = –1
sin x . cos x = 1
sin 2x = 2.
Jelas tidak ada nilai x yang memenuhi.
Ini berarti bahwa tidan ada garis
singgung pada kurva f dan g yang
sejajar.
4. Aturan Rantai
Fungsi-fungsi yang rumit merupakan
fungsi komposisi dari fungsi-fungsi pem-
bangun. Untuk mempermudah menentukan
turunan fungsi-fungsi komposisi digunakan
suatu rumus yang disebut dengan aturan
rantai.
Teorema 60 (Aturan Rantai)
j\“¤·“·†?P 136 j\“¤·“·†?P 137
'
dx
xfd )]([
dx
xxd )sin.(
dx
xdx
dx
xdx
)(.sin
)(sin.
'
dx
xfd )]([
dx
x
xd )
1
cos(
2)1(
)1(.cos
)(cos.)1(
x
dx
xdx
dx
xdx
2)1(
cossin.)1(
x
xxx
'
dx
xfd )]([
dx
x
xxd
tan1
cossin
2)tan1(
)tan1().cos(sin
)cos(sin).tan1(
x
dx
xdxx
dx
xxdx
2)tan1(
2sec).cos(sin)sin)(costan1(
x
xxxxxx
' '
' '
)2
3( x
2.2
3Kx
4
3
4
7
4
3
4
7
' '
Jika g mempunyai turunan di xn dan f
mempunyai turunan di u = g(x) maka
)(')].([')])([(
xgxgfdx
xgfd.
Aturan rantai dapat dinyatakan
dengan notasi Leibniz sebagai berikut
.
Bukti:
Jelas )(')( xgf =dx
xgfd )])([(
=h
xgfhxgf
h
)]([)]([(
0lim
=h
xghxg
hxghxg
xgfhxgf
h
)()(
0lim.
)()(
)]([)]([(
0lim .
Tulis g(x) = u dan g(x + h) – g(x) = v
g(x + h) = u + v.
Jelas 0h v 0.
Jadi )(')( xgf =v
ufvuf
v
)()(
0lim . g ' (x)
= f ' [g(x)]. g ' (x).
Contoh 66
Tentukan f ' (x) apabila:
(a) f(x) = (x + 3)10
(b) f(x) = sin3x
(c) f(x) =x
2sin1
1
(d) f(x) =5)92(
1
x
.
Penyelesaian:
(a) Strategi: (1) Ingat rumus 910)10(
xdx
xd.
(2) Ganti x dengan (x + 3), di-
peroleh:
9)3(10)3(
10)]3[(x
xd
xd.
Jadi f ' (x) =dx
xfd )]([
=dx
xd ]10)3[(
=dx
xd
xd
xd )3(.
)3(
]10)3[(
= 10(x – 3)9.
(b) Strategi: (1) Ingat rumus 23)3(
xdx
xd.
(2) Jika x diganti sin x, diper-
oleh:
xxd
xd 2sin3)(sin
]3)[(sin.
Jadi f ' (x) =dx
xfd )]([
=dx
xd )3(sin
=dx
xd
xd
xd )(sin.
)(sin
)3(sin
= xx cos.2sin3 .
(c) f ' (x) =dx
xfd )]([
=dx
x
d3sin1
1
=2)3sin1(
)3sin1()1().3sin1(
x
x
xd
dx
dx
=2)3sin1(
)(sin.
)(sin
)3(sin)1()1().3sin1(
x
dx
xd
xd
xd
dx
d
dx
dx
=2)3sin1(
cos.2sin.3
x
xx .
(d) Jelas f ' (x) =dx
xfd )]([=
dx
x
d5)92(
1
=dx
xd ]5)92[(
=dx
xd
xd
xd )92(.
)92(
]5)92[(
= (x2
– 9)– 6
. 2x
=6)92(
2
x
x .
j\“¤·“·†?P 138 j\“¤·“·†?P 139
dx
du
du
dy
dx
dy.
5. Turunan Fungsi Implisit
Fungsi yang disajikan dengan y = f(x),
variabel x dan y terpisah di ruas yang
berbeda. Fungsi yang disajikan seperti ini
disebut fungsi ekplisit. Fungsi yang tidak
demikian disebut dengan fungsi implisit.
Sebagai contoh x2
+ y2
= 25, 12
2
2
2
b
y
a
x ,
dan 3 sin xy + x cos y + 5xy2
= 0.
Contoh 67
Tentukan persamaan garis singgung di titik
(3,4) pada lingkaran x2
+ y2
= 25.
Penyelesaian:
Jelasdx
d
dx
yxd )25()22(
0.)2()2(
dx
dy
dy
yd
dx
xd
0.22dx
dyyx
y
x
dx
dy.
Tulis m: gradidien garis singgung.
Jelas m =
43
yxdx
dy=
43
yxy
x =4
3.
Jadi s: y – 4 = )3(4
3x
3x + 4y – 7 = 0.
Gambar situasinya:
Gambar 92: Garis s: 3x + 4y – 7 = 0
menyinggung lingkaran
x2
+ y2
= 25
Contoh 68
Tentukandx
dyapabila:
(a) 12
2
2
2
b
y
a
x
(b) 3 sin xy + x cos y + 5xy2
= 5.
Penyelesian:
(a) Jelasdx
d
dx
b
y
a
xd
)1(2
2
2
2
0
2
2
2
2
dx
b
yd
dx
a
xd
0.)2(
2
1)2(
2
1
dx
dy
dy
yd
bdx
xd
a
0.2
2
2
2
dx
dy
b
y
a
x
ya
xb
dx
dy
2
2.
(b) Jelasdx
d
dx
xyyxxyd )5()25cossin3(
dx
xyd
dx
yxd
dx
xyd )2(5
)cos()(3 = 0
])(
[3dx
xdy
dx
dyx +
dx
dy
dy
ydx
)(cos
+dx
dyycos +
dx
xdy
dx
dy
dy
ydx
)(2)2([5 = 0
dx
dyy
dx
dyxxy
dx
dyx cossin33
+ 2510 ydx
dyxy = 0
dx
dyxyyxxx )10cossin3(
= yy 325
yxxxyx
yy
dx
dy
cossin103
325.
j\“¤·“·†?P 140 j\“¤·“·†?P 141
Teorema 68= ]
)(sin.
)(sin
)3(sin)2(.[)3sin2(
2
1 21
dx
xd
xd
xd
dx
dx
X
Y
O
(–5,0)
(3,4)
s
Jika m dan n bilangan-bilangan bulat
tak nol maka
1.
)(nmn
m
xmxd.
Bukti:
Tulis yxfx nm
)( .
Ambil sembarang x Df.
Kasus x 0:
Jelas y 0.
Jelas mx
nx
ny n
m
)( .
Jadi ny mempunyai turunan.
Jadidx
mxd
dx
dy
dy
nyd )(
.)(
1..1. mxm
dx
dynyn
1)(
1.
nxn
mxm
dx
dy
nm
1. n
m
xnm
dx
dy.
Contoh 69
Tentukan f ' (x) apabila:
(a) f(x) = x3sin2
(b) f(x) =12x
x
(c) x.f(x) + sin [f(x)] = x2
(d) f(xy) = x2.
Penyelesaian:
(a) Jelas f ' (x) =dx
xfd )]([
=dx
xd ])3sin2[( 21
=dx
xd
xd
xd )3sin2(.
)3sin2(
])3sin2[( 21
= xxx cos.2sin3.)3sin2(2
1 21
=x
xx
3sin22
cos.2sin.3 .12x
x
(b) Jelas f ' (x) =dx
xfd )]([
=dx
x
xd )
12(
=dx
xxd ])12.([ 21
=dx
xdx
dx
xd
xd
xdx
)(.)12(
)12(.
)12(
])12[(. 2
121
=12
1
12)12(
2
xxx
x
=12)12(
14
xx
x .
(c) Jelasdx
xd
dx
xfxfxd )2()](sin[)(.[
xdx
xfd
dx
xfxd2
)]([sin)](.[
xdx
xfd
xfd
xfd
dx
xdxf
dx
xfdx 2
)]([.
)]([
)]([sin)().(
)]([
xdx
xfdxfxf
dx
xfdx 2
)]([).(cos)(
)]([
)(2)]([
)).(cos( xfxdx
xfdxfx
)(cos
)(2)]([
xfx
xfx
dx
xfd
)(cos
)(2)('
xfx
xfxxf .
(d) Jelasdx
xyfd )]([=
dx
xd )2(
xdx
xyd
xyd
xyfd2
)(.
)(
)]([
xydx
dyxxyf 2)).(('
xyxfxxyf 2])('.).[('
)()('.
2)('
xfxfx
xxyf .
j\“¤·“·†?P 142 j\“¤·“·†?P 143
6. Turunan Invers Fungsi
Dipunyai fungsi f : R–{–1} R, yang
diberikan oleh . Jelas ada
dengan , x –{1} 1. Jelas
= = =
.
Berikut ini disajikan suatu teorema
untuk menentukan turunan invers suatu
fungsi.
Teorema 61
Contoh 70
Dipunyai fungsi f: R–{–1} R, yang dibe-
rikan oleh . Tentukan .
Penyelesaian:
Jelas = dan .
Jadi = =
= = .
Contoh ini merupakan ilustrasi terha-
dap kebenaran Teorema 61. Bukti untuk
teorema ini fakultatif, dan diserahkan
pembaca sebagai latihan.
Contoh 71
Dipunyai fungsi f :[0, ] [0,1] dengan f(x)
= sin x.
(a) Gambarlah grafik f– 1
(b) Tentukan .
Penyelesaian:
(a) Daftar nilai f dan f– 1
:
x 0
f(x) 0 1
Daftar nilai f dan f– 1
:
x 0 1
f– 1
(x) 0
Grafik f dan f– 1
:
Gambar 93: Grafik f(x) = sin x
dan f– 1
(x) = sin–1
(x).
j\“¤·“·†?P 144 j\“¤·“·†?P 145
(b) Cara 1: Daftar nilai f dan f– 1
:
1)(
x
xxf 1
f
x
xxf
1)(1
)(')1( xfdx
xfd )](1[
dx
x
xd )
1(
2)1(
1
x
1)(
x
xxf ))(1( yf
)(' xf2)1(
1
xx
xxf
1))(1(
)(')1( xf
)](1['
1
xff )1
('
1
x
xf
2)11
(
1
1
x
x
2)1(
1
x
2
)(')1( xf
6 4 3 2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
6 4 3 2
Jika fungsi f mempunyai turunan pada
selang I dan pada I maka
mempunyai turunan pada f(I) yang di-
tentukan oleh
atau
.
0)(' xf1
f
)](1['
1)(')1(
xff
xf
dx
dydy
dx 1
X
Y
O
f
f– 1
Jelas = = .
Ambil sembarang x [0,1].
Tulis x = sin y untuk suatu y [0, ].
Jadi =
= =
= =
= , .
Cara 2:
Tulis sin–1
x = y x = sin y.
Jadi = = cos y.
Jadi =
=
=
= , .
Contoh 72
Dipunyai fungsi f :[0, ] [0,1] dengan f(x)
= cos x.
(a) Gambarlah grafik f– 1
(b) Tentukan .
Penyelesaian:
(a) Daftar nilai f dan f– 1
:
x 0
f(x) 1 0
x 1 0
f– 1
(x) 0
Grafik f dan f– 1
:
Gambar 94: Grafik f(x) = cos x
dan f– 1
(x) = cos–1
(x).
(b) Cara 1:
Jelas = = .
Ambil sembarang x [0,1].
Tulis x = cos y y = cos–1
x.
Jadi =
= =
= =
= , .
Cara 2:
Tulis cos–1
x = y x = cos y.
Jadi = = – sin y.
Jadi =
=
j\“¤·“·†?P 146 j\“¤·“·†?P 147
)(' xfdx
xfd )]([x
dx
xdcos
)(sin
2
)(')1( xf
)](1['
1
xff
)1(sin'
1
xf )1cos(sin
1
y
ycos
1
y2sin1
1
21
1
x
1x
dy
dx
dy
yd )(sin
dx
dy
dy
dx
1
ycos
1
y2sin1
1
21
1
x
1x
2
)(')1( xf
6 4 3 2
2
3
2
22
1
2
3
2
22
1
6 4 3 2
)(' xfdx
xfd )]([x
dx
xdsin
)(cos
)(')1( xf
)](1['
1
xff
)1(cos'
1
xf )1sin(cos
1
x
ysin
1
y2cos1
1
21
1
x
1x
dy
dx
dy
yd )(cos
dx
dy
dy
dx
1
ysin
1
X
Y
O
f
f– 1
1
1
2
2
=
= , .
Contoh 73
Dipunyai fungsi f :[0, ) [0,+ ) dengan
f(x) = tan x.
(a) Gambarlah grafik f– 1
(b) Tentukan .
Penyelesaian:
(a) Daftar nilai f dan f– 1
:
x 0
f(x) 0 1
Daftar nilai f dan f– 1
:
x 0 1
f– 1
(x) 0
Grafik f dan f– 1
:
Gambar 95: Grafik f(x) = tan x
dan f– 1
(x) = tan–1
x.
(b) Cara 1:
Jelas = = .
Ambil sembarang x [0, + ).
Tulis x = tan y y = tan–1
x.
Jadi =
= =
= =
= , .
Cara 2:
Tulis tan–1
x = y x = tan y.
Jadi = = sec2
y.
Jadi =
=
=
= , x > 0.
Contoh 74
Dipunyai fungsi f :[0, ) [1,+ ) dengan
f(x) = sec x.
(a) Gambarlah grafik f– 1
(b) Tentukan .
Penyelesaian:
(a) Daftar nilai f :
x 0
f(x) 0 2
j\“¤·“·†?P 148 j\“¤·“·†?P 149
y2cos1
1
21
1
x
1x
2
)(')1( xf
6 4 3 2
3
3 3
3
3 3
6 4 3 2
)(' xfdx
xfd )]([
xdx
xd
2cos
1)(tan
)(')1( xf
)](1['
1
xff
)1(tan'
1
xf )1(tan2sec
1
x
y2sec
1
y2tan1
1
21
1
x
1x
dy
dx
dy
yd )(tan
dx
dy
dy
dx
1
y2sec
1
y2tan1
1
21
1
x
2
)(')1( xf
6 4 3 2
3
32 2
f– 1
1
1
2
2
X
Y
O
f
Daftar nilai f– 1
:
x 0 2
f(x) 0
Grafik f dan f– 1
:
Gambar 96: Grafik f(x) = sec x
dan f– 1
(x) = sec–1
x.
Jelas = =
= .
Ambil sembarang x [0, + ).
Tulis x = tan y y = tan–1
x.
Jadi =
=
=
=
=
yy
y
cos.cos
sin
1
=
=
= , 1x .
Cara 2:
Tulis sec–1
x = y x = sec y.
Jadidy
dx =dy
yd )(sec
=y
y
2cos
sin
= 12sec.sec yy .
Jadidx
dy=
dy
dx
1
=
12sec.sec
1
yy
=
12.
1
xx
, 1x .
Contoh 75
(a) Dipunyai fungsi f :(0,2
] [0,+ ) de-
ngan f(x) = cot x.
(i) Gambarlah grafik f– 1
(ii) Tentukan )(')1( xf .
(b) Dipunyai fungsi f :(0,2
] [1,+ ) de-
ngan f(x) = csc x.
(i) Gambarlah grafik f– 1
(ii) Tentukan )(')1( xf .
Penyelesaian untuk soal ini diserahkan
pembaca sebagai latihan.
j\“¤·“·†?P 150 j\“¤·“·†?P 151
Hasil yang diperoleh dirangkum menjadi
teorema berikut ini.(b) Jelas )(' xf =
dx
xfd )]([
3
32 2
6 4 3 2
)(' xfdx
xfd )]([
dx
xd )(sec
x
x
2cos
sin
)(')1( xf
)](1['
1
xff
)1(tan'
1
xf
)1(tan2cos
)1sin(tan
1
x
x
y
y
2cos
sin
1
yy tan.sec
1
12sec.sec
1
yy
12.
1
xx
f– 1
1
1
2
2
X
Y
O
f
Teorema 62
Contoh 76
Tentukan )(' xf apabila:
(a) f(x) = sin– 1
(1 – x),
(b) f(x) = )12(1sec x , dan
(c) f(x) = x . cos– 1
(1 – x)2.
Penyelesaian:
(a) Jelas )(' xf =dx
xfd )]([
=dx
xd )]1(1[sin
=dx
xd
xd
xd )1(.
)1(
)]1(1[sin
=2)1(1
1
x
=22
1
xx
.
=dx
xd ])12(1sec[
=dx
xd
xd
xd
xd
xd)12(
.)12(
)]12(1[sec.
)]12(1[sec
)]12(1[sec 21
= 2.212
1.2.
)12(1sec2
1
xxxx
=2).12(1sec12
2
xxxx
.
(c) Jelas )(' xf =dx
xfd )]([
=dx
xxd ]2)1(1cos.[
= x.dx
xd
xd
xd
xd
xd )1(.
)1(
]2)1[(.
]2)1[(
]2)1(1[cos
+dx
xdx
)(.2)1(1cos
= 2)1(1cos4)1(1
)1(2x
x
xx.
7. Turunan Tngkat Tinggi
Dipunyai fungsi f : I R, I R.
Tulis I* = {a I f ' (a) ada}. Jelas bahwa
f ' (a) dibangun melalui proses limit yang
tunggal. Dengan demikian untuk setiap a
I* terdapat satu nilai f ' (a). Ini memper-
lihatkan bahwa pengaitan antara a I* de-
ngan f ' (a) R membangun suatu fungsi.
Jika f(k)
ada untuk setiap k = 1, 2, 3, ..., n
j\“¤·“·†?P 142 j\“¤·“·†?P 143
(a)21
1)1(sin
xdx
xd , 1x
(b)21
1)1(cos
xdx
xd , 1x
(c)21
1)1(tan
xdx
xd, x R
(d)21
1)1(cot
xdx
xd, x R
(e)
12
1)1(sec
xxdx
xd , 1x
(f)12
1)1(csc
xxdx
xd, 1x
maka fungsi turunan kedua, ketiga, keem-
pat, dan seterusnya didefinisikan dengan
cara yang sama seperti fungsi turunan
pertama melalui proses limit. Dengan
demikian:
)('' xf =h
xfhxf
h
)(')('
0lim ,
)(''' xf =h
xfhxf
h
)('')(''
0lim ,
)()(x
nf =
h
xn
fhxn
f
h
)()'1()()1(
0lim ,
apabila limit-limit ini ada.
Contoh 77
Tentukanlah )()(x
nf apabila n
xxf )( dan
n adalah bilangan asli.
Penyelesaian:
Tulis P(n): 1.)( n
xndx
nxd
, n N.
Jelas P(1): 11.1)1(
xdx
xd
Jelas 1)()1(
dx
xd
dx
xddan 1. x
1 – 1= 1.
Jadi P(1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas 1.)( k
xkdx
kxd
.
Jelasdx
kxd )1(
=dx
kxxd ).(
= x.dx
kxd )(
+ xk
.dx
xd )(
= x. 1. kxk + x
k
= k.xk
+ xk
= (k + 1).xk
= (k + 1).x(k + 1)
.
Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.
Jadi P(n) benar.
Jadi 1.)( n
xndx
nxd
, n N.
Contoh 78
Tentukan )('' xf apabila f: R R dengan
f(x) = xx . .
Penyelesaian:
Ambil sembarang x R.
Jelas )(xf =0,20,2
xx
xx .
Kasus x < 0:
Jelas )(' xf =dx
xd )2(= – 2x dan
Kasus x = 0:
Jelas )0('f =
0
)0()(
0
limx
fxf
x
=x
x
x
22
0lim
= )2(0
lim xx
= 0.
dan )0('f =
0
)0()(
0
limx
fxf
h
=x
x
x
22
0lim
= xx
20
lim
= 0.
Jelas )0('f = )0('
f .
Jadi )0('f = 0.
Kasus x > 0:
Jelas )(' xf =dx
xd )2(= 2x dan
Jadi )(' xf =
0,2
0,0
0,2
xx
x
xx
= x.2 .
j\“¤·“·†?P 154 j\“¤·“·†?P 155
Ambil sembarang x R.
Kasus x < 0: x
y
dx
dy.
Jelas )('' xf =dx
xfd )]('[
=dx
xd )2(= – 2 dan
Kasus x = 0:
Jelas )0(''f =0
)0(')('
0
limx
fxf
x
=x
x
x
2
0lim
= )2(0
limx
= – 2.
dan )0(''f =0
)0(')('
0
limx
fxf
h
=x
x
x
2
0lim
= 20
limx
= 2.
Jelas )0('f )0('
f .
Jadi )0('f = tidak ada.
Kasus x > 0:
Jelas )('' xf =dx
xfd )]('[
=dx
xd )2(
= 2.
Jadi )('' xf =0,2
0,2
x
x.
Contoh 84
Jika xy = 1, tunjukkan bahwa .42
2.
2
2
dy
xd
dx
yd
Penyelesaian:
Jelasdx
xyd )(= 1
dx
d
dx
xdy
dx
dyx
)1()(..
0. ydx
dyx
Jadi2
2
dx
yd=
dx
dx
dyd )(
=dx
x
yd )(
=2
)(
x
dx
xdy
dx
dyx
=2
x
ydx
dyx
=2
2
x
y.
Jelasdy
xyd )(= 1
dx
d
dy
dxy
dy
ydx
)1(.
)(.
0dy
dxyx
y
x
dy
dx .
Jadi2
2
dy
xd =dy
dy
dxd )(
=dy
y
xd )(
=2
)(
y
dy
ydx
dy
dxy
=2
y
xdy
dxy
=2
2
y
x .
Jadi2
2.
2
2
dy
xd
dx
yd=
2
2
x
y.
2
2
y
x =xy
4 = 4.
Contoh 79
Dipunyai fungsi-fungsi f, g: I R, I R,
mempunyai turunan pada I. Jika h = f . g,
tunjukkan bahwa
)('').()(').('2)('').()('' xfxgxgxfxgxfxh .
Bukti:
Jelas )(' xh =dx
xgxfd )]().([
=dx
xfdxg
dx
xgdxf
)]([).(
)]([).( .
Jadi )('' xh =dx
dx
xfdxg
dx
xgdxfd ]
)]([).(
)]([).([
j\“¤·“·†?P 156 j\“¤·“·†?P 157
=dx
xfd
dx
xgd
dx
xgdxf
)]([.
)]([
2
)]([2).(
)(' xp =dx
xpd )]([=
dx
xd )
1
1(
2
dx
xgd
dx
xfd
dx
xfdxg
)]([.
)]([
2
)]([2).(
=2
)]([2)(
)]([)]([2
2
)]([2)(
dx
xfdxg
dx
xfd
dx
xgd
dx
xgdxf
= )('').()(').('2)('').( xfxgxgxfxgxf .
Contoh 80
Gunakan teorema yang disajikan pada
Contoh 79:
(a) Jika h(x) = f(x) . g(x), f(x) = (x2
+ 1),
dan g(x) = sin 2x, tentukanlah )('' xh .
(b) Jika h(x) =)(
)(
xg
xf, f(x) = sin x, dan g(x) =
x2
+ 1, tentukanlah )('' xh .
Penyelesaian:
(a) Jelas )(' xf =dx
xfd )]([=
dx
xd )12(= 2x,
)('' xf =dx
xd )2(= 2,
)(' xg =dx
xgd )]([=
dx
xd
xd
xd )2(.
)2(
)2(sin
= 2 cos 2x, dan
)('' xg =dx
xd
xd
xd )2(.
)2(
)2(cos2
= – 4 sin 2x.
Jadi )('' xh
= –4(x2+1)sin 2x + 2(2x)(2cos 2x)
–2sin 2x
= –2(2x2+3)sin 2x + 8x.cos 2x.
(b) Tulis )()(
1xp
xg.
Jelas )(' xf =dx
xfd )]([=
dx
xd )(sin= cos x,
)('' xf =dx
xd )(cos= – sin x,
=)12(
)12(.1
)1()(12(
x
dx
xd
dx
dx
=2)12(
2)1(
)12(
x
xdx
dx
=2)12(
2
x
x ,
dan )('' xp
=dx
x
xd
2)12(
2
=4)12(
)12(
)12(
]2)12[(2
)2(2)12(
x
dx
xd
xd
xdx
dx
xdx
=4)12(
)12(28)12(2
x
xxx
=3)12(
228
x
x .
Jadi )('' xh
=3)12(
sin)228(
x
xx+
2)12(
cos2
x
xx –)12
sin
x
x .
Periksalah jawaban pada Contoh 80
dengan menghitung:
dx
xxd ]2sin).12[(
dan
dx
x
xd
12
sin
secara langsung.
j\“¤·“·†?P 158 j\“¤·“·†?P 159
7. Nilai Hampiran Fungsi dan
Diferensial
Dipunyai fungsi If : R dengan
I R mempunyai turunan di I dan Iox .
Pertambahan nilai x untuk xo didefinisikan
sebagai bilangan tak nol yang ditambahkan
ke xo yang menghasilkan bilangan
x = xo + x .
Selanjutnya, pada pasal ini akan
dicari hampiran nilai f(xo+ x ) apabila nilai
xo dan x diberikan. Jelas bahwa
Gambar berikut merupakan ilus-
trasi tentang hampiran nilai f(xo+ x ) apabi-
la f(xo),'
f ( xo), dan x diketahui.
Gambar 97: f(xo+ x ) dihampiri
oleh f(xo) + f' (xo) x .
Jelas bahwa gradien garis singgung di titik
xo adalah )(' oxf dan koordinat y suatu titik
pada garis singgung di titik xo+ x adalah
f(xo)+f ' (xo) x . Ini berarti bahwa )( xoxf
dihampiri oleh f(xo) + f ' (xo) x , ditulis:
)( xoxf f(xo) + f ' (xo) x .
Contoh 81
Tentukan hampiran nilai 37 .
Penyelesaian:
Tulis f(x) = x , xo = 36, dan 1x .
Jelas )(' xf =dx
xfd )]([=
dx
xd )( 2
1
=x2
1.
Jadi f(37) = f(36 + 1)
xff ).36()36( '
= 6 +72
1. 1
=7216 .
Contoh 22
Tentukan hampiran nilai sin 62o.
Penyelesaian:
Tulis f(x) =sin x, xo = 60o, dan o
x 2 .
Jelas )(' xf =dx
xfd )]([=
dx
xd )(sin= xcos .
Jadi f(62o) = f(60
o+ 1
o)
xffoo ).60()60( '
=2
3+
2
1. 1
=2
31.
Perhatian:
Dalam perhitungan nilai hampiran
untuk f(xo+ x ) terdapat penyimpangan
(error) sebesar yang telah diperli-
hatkan secara geometri pada Gambar
97. Jelas bahwa
=f(xo+ x )–[f(xo)+f ' (xo) x ]
x
xfxxf oo )()(=
xxf o )(' ,
dengan 0x .
j\“¤·“·†?P 160 j\“¤·“·†?P 161
X
Y
O xo xo+ x
f(xo)
f (xo+ x )
f
x
f(xo)
f ' (xo) x
(erorr)
Berdasarkan uraian di muka diperoleh
suatu teorema berikut ini.
Teorema 62
Pertambahan nilai suatu fungsi dapat
pula dihampiri menggunakan rumus:
)()( oo xfxxfy .
Jadi xxfy o ).(' .
Gambar berikut memperlihatkan bahwa
y dihampiri oleh xxf o ).(' .
Gambar 98: Nilai y dihampiri
oleh f' (xo) x .
Contoh 82
Suatu bola besi dalam suatu akan dima-
sukkan dalam suatu lingkaran dengan
ukuran jari-jari 2 cm. Bola itu diproduksi
menggunakan bahan logam yang mem-
punyai berat 9 gram tiap 1 cm3.
(a) Tentukan berat bola besi itu sesuai
dengan spesifikasinya.
(b) Tentukan hampiran ukuran jari-jari
bola besi itu dengan kesalahan ukur-
an jari-jari tidak lebih dari 05,0 cm.
Penyelesaian:
Tulis r: ukuran jari-jari bola (cm),
V: ukuran volum bola (cm3), dan
W: ukuran berat bola (g).
Jelas V(r) =3
4 3r
dan
W(r) = 312 r .
(a) Jelas W(2) = 96 .
Jadi berat bola 96 gram.
(b) Kenyataan menunjukkan bahwa ukur-
an jari-jari bola hasil yang diproduksi
mesin bervariasi dari ro = 2 oleh
05,0r .
Jelas
)(' rW =dr
Wd )(=
dr
rd )12( 3
= 236 r
dan
W rW ).2('
= )05,0.(2.36 2
= 2,7 .
Ini berarti bahwa dengan kesalah-
an yang dibolehkan untuk r, yaitu
05,0r cm
akan menghasilkan kesalahan berat bola
paling besar
2,7 gram.
Pertambahan berat
W )2()05,2(' WW
= 33 2.12)05,2(12
= 3815,7 .
Dengan demikian kesalahan relatif dalam
memproduksi bola adalah
0246,03815,7
2,73815,7.
Jadi persentase kesalahan adalah 2,46%.
j\“¤·“·†?P 162 j\“¤·“·†?P 163
Dipunyai fungsi f mempunyai
turunan untuk setiap nilai x pada
suatu selang yang memuat xo.
Jika 0x , maka
f(xo+ x ) = f(xo)+f ' (xo) x +
dengan 0lim0 xx
.
X
Y
O xo xo+ x
f(xo)
f (xo+ x )
f
y
xxf o)('
Biasanya lambang dx diartikan seba-
gai pertambahan kecil untuk variabel x
tepat seperti x . Sedangkan dy telah
digunakan untuk menyatakan hampiran
dari hasil pertambahan y . Jadi
dx = x
dan
dy = dxxf ).(' .
Ekspresi dx dan dy disebut diferensial dari
x dan y. Dengan demikian turunan suatu
fungsi dapat diartikan sebagai rasio
pertambahan dy untuk y = f(x) dengan
pertambahan dx untuk x. Jelas bahwa
)(' oxf =x
oxfxoxf
x
)()(
0lim =
x
y
x 0lim
dan
dx
dyxf )(' .
Berikut ini beberapa contoh bentuk dife-
rensial:Fungsi Turunan Diferensial
y = x2
xdx
dy2
dy = 2x dx
y = xn
1nnx
dx
dy dy = nxn–1
dx
y = sin xx
dx
dysin
dy = sin x dx
Latihan Soal Bab 3
1. Tentukan persamaan garis-garis yang
dibangun melalui dua titik berikut ini,
tentukan )(' oxf untuk setiap xo yang
disajikan:
(a) A(1, 2) dan B(3, 5); xo = –6,
(b) C(–3, 5) dan D(–5, 9); xo = 4, dan
(c) E(0, –3) dan F(2, –5); xo = 9.
2. Tentukan )(' oxf menggunakan defi-
nisi untuk setiap fungsi berikut:
(a) f(x) = 5x2; xo = 3,
(b) f(x) = x2 ; xo = 8,
(c) f(x) =2
1
x; xo = 2, dan
(d) f(x) = (x + 2)3; xo = 0.
3. Tentukan )(' xf untuk setiap fungsi
berikut menggunakan definisi:
(a) f(x) = 5x2,
(b) f(x) = x2 ,
(c) f(x) =2
1
x,
(d) f(x) = (x + 2)3, dan
(e) f(x) = (x – 1)2
– 1.
4. Dipunyai f:R R dengan f(x)=(x+ 2)3
(a) tentukan )2('f ,
(b) tentukan )2('f , dan
(c) tentukan )2('f .
5. Dipunyai fungsi f: R R yang dibe-
rikan oleh:
1,22)1(
10,1
0,12
)(
xx
xx
xx
xf .
Tentukan )0('f dan )1('f apabila ada.
6. Periksa adanya turunan fungsi f yang
diberikan oleh f(x)= 1. xx di x = 1.
7. Berikan suatu contoh fungsi yang
kontinu di titik x = –3 akan tetapi
tidak mempunyai turunan di titik itu.
8. Tentukan )(' xf untuk setiap fungsi
berikut ini:
(a) f(x)= (2x + 5)32
,
(b) f(x)= x(1 – 3x)50
, dan
(c) f(x)=5)1(
1
x
.
j\“¤·“·†?P 164 j\“¤·“·†?P 165
9. Tunjukkan bahwa xxdx
xdtan.sec
)(sec.
10. Tentukan )(' xf apabila:
(a) f(x) = sin (7x),
(b) f(x)= cos2
(1 + 5x),
(c) f(x)=12
1tan
x,
(d) f(x)= xx4sin. , dan
(e) f(x)=x
x)31(5sec.
10. Fungsi f diberikan oleh
1,1
1)( x
xxf .
Tentukan:
(a) )(1xf ,
(b) )(')1( xf menggunakan definisi,
(c) )(')1( xf menggunakan teorema,
(d) domain 1f dan ')1( f .
11. Tentukan fungsi turunan pertama dari
(a) xxf1sec)(
(b)12
)12(1tan)(
x
xxg
12. Tentukandx
dyapabila:
(a) x2
+ xy – 2y2
= 5,
(b) x.tan y + sin xy = x + y, dan
(c) x.sin y + y.cos x = xy.
13. Buktikan bahwa:
Jika )()( xfxg , )()(x
nf ada, dan
0)(' xf , maka
)()(.)(
)()()(
xn
fxf
xfx
ng .
14. Tentukan hampiran nilai fungsi:
(a) sin 31o
dan
(b) 82 .
15. Rusuk suatu kubus diukur dengan
panjang 11,4 cm dengan galat yang
diperbolehkan 05,0 cm. Hitunglah
volum kubus dan berikan taksiran
galat untuk volum kubus ini.
16. Tentukan besar kesalahan pengukuran
luas permukaan kubus dengan
panjang rusuk 1 m, apabila pada
pengukuran panjang rusuk telah
terjadi kesalahan yang tidak
melampaui 3%.
17. Tentukan laju pertambahan 162x
terhadap1x
x pada x = 3.
18. Dipunyai y = x – x2. Tentukan laju
pertambahan y2
terhadap x2.
19. Tentukan hampiran nilai
4,1 dan 3 26 .
20. Dipunyai fungsi f mempunyai turunan pada Df dan )2(.)( xfxxg . Lengkapilah
daftar berikut ini:
j\“¤·“·†?P 166 j\“¤·“·†?P 167
x f(x) )(' xf f(x) )(' xf )(')]([ xifg
0 0 0
1 1 1
2 3 2
4 6 3
Pada Bab 4 akan didiskusikan tipe-tipe limit yang lain, yaitu limit tak hingga dan limit di
tak hingga. Pada Bab 4 juga didiskusikan teorema D’Lopital yang akan memudahkan
menentukan nilai limit fungi-fungsi yang rumit.
1. Limit Tak Hingga
Perhatikan garfik fungsi f yang
terdefinisi pada R – {a} berikut ini:
Gambar 99: fungsi mempunyai
kecenderungan me-
nuju ke .
Pada Gambar 1 terlihat bahwa fungsi f
mempunyai kecenderungan menuju ke
. Secara intuisi dapat dipetik sim-
pulan:
.
Apabila diambil sembarang bi-
langan positif M yang cukup besar,
terdapat bilangan positif sehingga
nilai f(x) > M apabila . Ini
berarti bahwa ekivalen de-
ngan:
untuk setiap M > 0 terdapat
sehingga f(x)>M apabila ax0 .
Berdasarkan kenyataan ini diturun-
kan konsep berikut ini.
j\“¤·“·†?P 168 j\“¤·“·†?P 169
)(lim xfax
0
ax0
)(lim xfax
0
X
Y
a
M
f(x)
x
ax0
ff
Definisi 63
Contoh 83
Gambarlah grafik fungsi f dari R–{–1} ke
R yang disajikan oleh
.
Tentukan secara intuisi nilai
kemudian buktikan secara formal.
Penyelesaian:
Grafik f:
Gambar 100: Secara intuisi:
= .
Bukti:
Strategi pilih M:
Dipunyai .
Jelas 0 < (x + 1)2
< .
Jadi
.
Dipilih .
Bukti formal:
Ambil sembarang M > 0.
Pilih .
Dipunyai .
Jelas 0 < (x + 1)2
< .
Jadi .
Jadi = > = M.
Jadi apabila
.
Jadi = .
Sekarang perhatikan fungsi yang
terdefinisi pada R – {a} berikut ini:
Gambar 101: Secara intuisi:
= .
Pada Gambar 101 terlihat bahwa fungsi f
untuk x mendekati mempunyai kecen-
derungan menuju ke . Secara intuisi
dapat dipetik simpulan:
.
j\“¤·“·†?P 170 j\“¤·“·†?P 171
2)1(
2)(
x
xf
)(lim xfax
)(1
lim xfx
10 x
2
2
1
2)1(
1
x2
2
2)1(
2
x
2
2)(xf
M2
2
M
2
M
2
10 x
2
2
2
2)1(
2
x
)(xf2)1(
2
x2
2
MxfM )(00
10 x
)(1
lim xfx
)(1
lim xfx
)(lim xfax
X
Y
–1 ff
M
10 x
x
X
Y
a
N
f(x)
x
ax0
ff
Dipunyai fungsi f: R–{a} R.
apabila
.
)(lim xfax
00M
Mxf )(
ax0
Apabila diambil sembarang bi-
langan negatif N yang cukup besar,
terdapat bilangan positif sehingga
nilai f(x) < N apabila . Ini
ber-arti bahwa:
Untuk setiap N < 0
terdapat se-
hingga f(x)<N apa-
bila .
Berdasarkan kenyataan ini diturunkan
teorema berikut ini.
Definisi 64
Contoh 84
Dipunyai fungsi f: R–{2} R yang disaji-
kan oleh .
(a) Gambarlah grafik f.
(b) Tentukan secara intuisi nilai
dan buktikan secara
formal.
Penyelesaian:
Grafik f:
Gambar 102: Secara intuisi:
= .
Bukti:
Strategi pilih :
Dipunyai .
Jelas .
Jadi
.
Dpilih .
Bukti formal:
Ambil sembarang N < 0.
Pilih .
Dipunyai .
Jelas 0 < (x – 2)2
< .
Jadi .
Jadi = < = N.
Jadi apabila
.
Jadi = .
Berikut ini disajikan suatu teknik
menghitung nilai limit tak hingga sebagai
berikut:
Teorema 65
j\“¤·“·†?P 172 j\“¤·“·†?P 173
0
ax0
)(lim xfax
0
ax0
2)2(
3)(
x
xf
)(lim xfax
)(2
lim xfx
20 x
22)2(x
2
1
2)2(
1
x2
3
2)2(
3
x
2
3)(xf
N2
3
N
3
N
3
20 x
2
2
3
2)2(
3
x
)(xf2)2(
3
x2
3
NxfN )(00
20 x
)(2
lim xfx
Dipunyai fungsi f: R–{a} R.00N
apabila
.
)(lim xfax
Nxf )(
ax0
X
Y
N
2
x
f(x)
20 x
Dipunyai fungsi-fungsi
f, g: R – { a} R, Lxfax
)(lim , dan
0)(lim xgax
.
(a) Jika L > 0 dan g(x) 0
maka)(
)(lim
xg
xf
ax.
(b) Jika L > 0 dan g(x) 0
maka)(
)(lim
xg
xf
ax.
Contoh 85
Hitung dan buktikan secara formal nilai
limit962
2
3lim
xx
x
x.
Penyelesaian:
Tulis –2x = f(x) dan x2
– 6x + 9 = g(x).
Jelas 06)2(3
lim xx
dan
)962(3
lim xxx
= 2)3(3
lim xx
= 0+.
Jadi962
2
3lim
xx
x
x= .
Bukti:
Jelas962
2
xx
x =2)3(
2
x
x .
Ambil sembarang N < 0.
Pilih .
Dipunyai 30 x .
Jelas 22)3(x
2
1
2)3(
1
x
2
1
2)3(
1
x
.
Dicari batas 2x pada 130 x :
Jelas 130 x 2 < x < 4
4 < 2x < 8.
Jadi f(x) <2
8 = N.
Jadi apabila
30 x .
Jadi962
2
3lim
xx
x
x= .
2. Limit di Tak hingga
Perhatikan grafik fungsi f beri-
kut ini:
Gambar 103: Secara intuisi:
)(lim xfx
= L.
Apabila diambil sembarang
, terdapat bilangan M > 0 sehingga nilai
apabila x > M. Berdasarkan
kenyataan ini dapat diturunkan suatu
teorema berikut ini:
Definisi 66
Contoh 86
Tunjukkan 01
limxx
.
Penyelesaian:
Tulis )(1
xfx
.
Ambil sembarang 0 .
Pilih M = 1 .
Dipunyai x > M.
j\“¤·“·†?P 174 j\“¤·“·†?P 175
N
3
NxfN )(00
0
Lxf )(
X
Y
f
L
M x
f(x)
(c) Jika L < 0 dan g(x) 0
maka)(
)(lim
xg
xf
ax.
(d) Jika L < 0 dan g(x) 0
maka)(
)(lim
xg
xf
ax.
Dipunyai fungsi f: R R.
apabila Mx .
Lxfx
)(lim
00 M lxf )(
JelasMx
11
Mx
11 .
Jadi )(xf =x
1
=x
1
<M
1
= .
Jadi 00 M sehingga 0)(xf <
apabila x > M.
Jadi 01
limxx
.
Sekarang perhatikan grafik fungsi
f berikut ini:
Gambar 104: Secara intuisi:
)(lim xfx
= L.
Apabila diambil sembarang
, terdapat bilangan N < 0 sehingga nilai
apabila x < N. Berdasarkan
kenyataan ini dapat diturunkan suatu
teorema berikut ini:
Definisi 67
Contoh 87
Hitung dan buktikan secara formal:
(a)xx
1lim (b)
nxx
1lim , n A
(c)n
xx
1lim , n A
Penyelesaian:
(a) Intuisi: 01
limxx
.
Tulis )(1
xfx
.
Ambil sembarang 0 .
Pilih N = – 1 .
Dipunyai x < N .
Jelas x < N < 0.
– x > –N > 0
Nx
11 .
JadiNxxx
xf1111
0)(
=N
1 = .
Jadi 00 N 0)(xf
apabila x < N.
Jadi 01
limxx
.
(b) Intuisi: 01
limn
xx, n A.
Penyelesaian:
Tulis )(1
xfn
x
.
Ambil sembarang 0 .
Pilih M =n
1 .
Dipunyai x > M > 0.
Jelas 0nM
nx
nM
nx
11 .
Jadi 0)(xf =n
x
1 =n
x
1 =n
x
1 <n
M
1
= .
j\“¤·“·†?P 176 j\“¤·“·†?P 177
0
Lxf )(
X
f
Y
L
N
x
f(x)
Dipunyai fungsi f: R R.
Lxfx
)(lim
00 N
apabila Nx .
lxf )(
Jadi 00 M 0)(xf
apabila Mx .
Jadi 01
limn
xx, n A.
(c) Intuisi: 01
limn
xx, n A.
Penyelesaian:
Tulis )(1
xfn
x
.
Ambil sembarang 0 .
Pilih N =n
1 .
Dipunyai x < N < 0.
Jelas 0 < –x < –N
(–x)n
< (–N)n
nN
nx )(
1
)(
1
nN
nx
11 .
Jadi 0)(xf =n
x
1 =n
x
1 =n
x
1 <
nN
1
=n
N
1 = .
Jadi 00 N 0)(xf
apabila Nx .
Jadi 01
limn
xx, n A.
Berikut ini disajikan beberapa teo-
rema yang berkaitan dengan limit tak
hingga dan limit di tak hingga.
Teorema 68
Bukti:
Ambil sembarang 0 .
Pilih M1 > 0 dan M2 > 0 sehingga
3)( Kxf apabila x > M1 dan
3)( Lxf apabila x > M2.
Pilih M > maks{ M1, M2}.
Jadi LK = LxfxfK )()(
LxfKxf )()(
<22
= .
Jadi LK < 0 .
Jadi K = L.
Bukti untuk teorema berikut seder-
hana dan diserahkan pembaca sebagai
latihan.
Teorema 69
Teorema 70
Bukti (c):
Ambil sembarang 0 .
Pilih M1 > 0, M2 > 0, dan M3 > 0 sehing-
ga
Jika Kxfx
)(lim dan
Lxfx
)(lim
maka K = L.
Jika Kxfx
)(lim dan
Lxfx
)(lim
maka K = L.
Jika Kxfx
)(lim dan
Lxfx
)(lim
maka
(a) LKxgxfx
)]()([lim ,
(b) )(.lim xfCx
= )(lim. xfx
C ,
(c) LKxgxfx
.)]().([lim , dan
(d)L
K
xg
xf
x )(
)(lim apabila L 0.
j\“¤·“·†?P 178 j\“¤·“·†?P 179
CKxf
2)( apabila x > M1,
CLxf
2)( apabila x > M2, dan
Cxf )( apabila x > M3.
Pilih M = maks{ M1, M2, M3}.
Jelf(x)-las KLxgxf )().(
= )(.)(.)().( xfLxfLKLxgxf
= ])([])()[( KxfLLxgxf
KxfLLxgxf )(.)(.)(
< C. KxfLLxg )(.)(
=22
= .
Jadi 00 M KLxgxf )(.)(
apabila Mx .
Jadi LKxgxfx
.)]().([lim .
Bukti lainnya diserahkan pembaca
sebagai latihan.
Teorema 71
Buktinya diserahkan pembaca seba-
gai latihan.
Selanjutnya disajikan teorema yang
cukup penting, yang disebut dengan
teorema apit.
Teorema 72
Bukti:
Ambil sembarang 0 .
Pilih M1 > 0, M2 > 0, dan M3 > 0 sehing-
ga
Lxf )( apabila x > M1,
Lxf )( apabila x > M2, dan
)()()( xhxgxf apabila x > M3.
Pilih M = maks{ M1, M2, M3}.
Jelas )()()( xhxgxf
LxhLxgLxf )()()(
})(,)({maks)( LxgLxfLxg
Lxg )( .
Jadi 00 M Lxg )(
apabila Mx .
Jadi Lxgx
)(lim .
Contoh 88
Hitunglah:
(a)xx
x
x 22
12lim , (d)
x
x
x
sinlim ,
(b)xx
x
x 22
12lim , (e)
53
2lim
x
xx
x,
(c)x
x
x
sinlim , (f)
53
2lim
x
xx
x.
Penyelesaian:
(a) Jelasxx
x
x 22
12lim =
x
x
x 12
2
11
lim
=2
1 .
Jika Kxfx
)(lim dan
Lxfx
)(lim
maka
(a) LKxgxfx
)]()([lim ,
(b) )(.lim xfCx
= )(lim. xfx
C ,
(c) LKxgxfx
.)]().([lim , dan
(d)L
K
xg
xf
x )(
)(lim apabila L 0.
Jika terdapat M > 0 sehingga
)()()( xhxgxf untuk semua x > M
dan)(lim)(lim xh
xLxf
x
maka
Lxgx
)(lim .
j\“¤·“·†?P 180 j\“¤·“·†?P 181
(b) Jelasxx
x
x 22
12lim =
x
x
x 12
2
11
lim
=2
1 .
(c) Jelas 1sin1 xxx
x
x
1sin1 .
Jelas )1
(limxx
= 0 =xx
1lim .
Jadi 0sin
limx
x
x.
(d) Dengan argumentasi serupa diperoleh
0sin
limx
x
x.
(e) Jelas53
2lim
x
xx
x=
53
11
limx
xx
x
=53
11
limx
xx
x=
x
x
x 53
11
lim
=3
1
=3
1 .
(f) Jelas53
2lim
x
xx
x=
53
11
limx
xx
x
=53
11
limx
xx
x=
x
x
x 53
11
lim
=3
1
=3
1 .
Latihan Bab 4
(1) Tunjukkan442
12
2lim
xx
x
x.
(2) Hitunglah:
(a)x
x
x
sinlim ,
(b)5
1lim
xx, dan
(c)2)2(
1
2
lim
xx
.
(3) Tunjukant
t
t3
3
3
lim .
(4) Tunjukkan:
(a) 01
limxx
,
(b) 313
limx
x
x, dan
(c) 02
sinlim
x
x
x.
(5) Hitunglah: (a)x
x
x 0
lim
(b)x
x
x 0
lim
(6) Tunjukkan 5limx
(7) Hitunglah:
(a)
32
2lim
x
x
x
(b)
32
2lim
x
x
x
(c) xxxx
22lim
(d)2
sinlim
x
x
x
(8) Tunjukkan:
(a) 01
limxx
,
(b)2
1
12lim
x
x
x, dan
(c) 61
26lim
x
x
x.
j\“¤·“·†?P 182 j\“¤·“·†?P 183
Pada Bab 5 disajikan beberapa teorema yang dibangun berdasarkan konsep-konsep pada
Bab-Bab sebelumnya. Teorema-teorema ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah-
masalah dalam kalkulus dan di kehidupan sehari-hari.
Masalah-masalah yang berkaitan dengan maksimum dan minimum fungsi banyak
dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Masalah-masalah ini diselesaikan menggunakan model
matematika yang berkaitan dengan turunan fungsi. Bab ini diakhiri dengan suatu metode untuk
menggambar grafik fungsi yang rumit secara lebih teliti.
1. Nilai Ekstrim Fungsi
Pada pasal ini dimulai dengan
pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang
mencakup nilai ekstrim maksimum dan
nilai ekstrim minimum.
Definisi 73
Contoh 89
Dipunyai fungsi f: R R, f(x) = 2(x – 1)2.
Sket grafik f:
Gambar 105: Grafik f(x) = 2(x – 1)2.
Intuisi: f(1) = 0 merupakan
minimum minimum f.
Bukti:
j\“¤·“·†?P 184 j\“¤·“·†?P 185
Dipunyai fungsi f: S R, R, dan
M = f(c) untuk suatu c S.
(a) Bilangan M merupakan nilai mak-
simum (mutlak) f apabila f(c) M
untuk setiap .
(b) Bilangan M merupakan nilai mi-
nimum (mutlak) f apabila f(c) M
untuk setiap .
(c) Nilai maksimum dan minimum
mutlak suatu fungsi disebut nilai
ekstrim mutlak fungsi tersebut.
S
Sx
Sx
X
Y
f
(1,0)O
Y
Ambil sembarang .
Jelas .
Jelas
.
Jadi .
Jadi merupakan nilai minimum f.
Contoh 90
Dipunyai fungsi f: R R dengan
f(x) = – (x – 2)2
+ 1.
Sket grafik f:
Gambar 106: Grafik f(x) = –(x – 2)2
+ 1.
Intuisi: f(2)=1 merupakan
nilai maksimum f.
Bukti:
Ambil sembarang .
Jelas .
Jelas
.
Jadi .
Jadi merupakan nilai minimum f.
Sekarang perhatikan fungsi f beri-
kut ini:
dengan f(x) = .
Grafik fungsi f :
Gambar 107: f(0) = 0 minimum relatif f
dan
f(1) = 1 maksimum relatif f.
Pada Gambar 107 nampak bah-
wa terdapat suatu selang sehingga nilai
f(0) = 0 merupakan nilai minimum f akan
tetapi masih ada nilai f(x) yang kurang
dari 0. Demikian juga terdapat suatu
selang sehingga nilai f(1) = 1 merupakan
nilai maksimum f akan tetapi masih ada
nilai f(x) yang lebih dari 1. Nilai f(0) = 0
disebut nilai minimum relatif f dan nilai
f(1) = 1 disebut nilai maksimum relatif f.
Berdasarkan kenyataan ini dapat didefi-
nisikan konsep tentang nilai sektrim
relatif suatu fungsi sebagai berikut.
Definisi 74
Contoh 91
Tunjukkan bahwa f(0) = 0 merupakan
nilai minimum relatif f dan f(1) = 1
merupakan nilai maksimum relatif f untuk
fungsi f yang disajikan pada Gambar 107.
j\“¤·“·†?P 186 j\“¤·“·†?P 187
Rx
Rx 1
02)1(x 02)1(2 x
)1()( fxf
)()1( xff Rx
0)1(f
Rx
Rx 2
02)2(x 02)2(x
112)2(x
)2()( fxf
)()2( xff Rx
1)2(f
RRf :1,2
1,2
xx
xx
X
Y
f
(0,–3)
O
(3,0)(1,0)
(2,1)
Dipunyai fungsi .
(a) Jika terdapat suatu selang
yang memuat c sehingga berlaku
, maka f(c)
disebut nilai maksimum relatif f.
(b) Jika terdapat suatu selang
yang memuat c sehingga berlaku
, maka f(c)
disebut nilai minimum relatif f.
RRf :
RD
Dxxfcf )()(
RD
Dxxfcf )()(
Bukti:
Dipunyai
dengan f(x) = .
(a) Pilih .
Bangun D = .
Ambil sembarang .
Jelas .
Kasus :
Jelas f(0)<f(x)<
.
Jadi f(0) f(x).
Kasus :
Jelas f(0) f(x)< .
Jadi f(0) f(x).
Jadi terdapat selang D sehingga
f(0) f(x) .
Jadi f(0) = 0 merupakan nilai mini-
mum relatif f.
(b) Pilih .
Bangun D = = .
Ambil sembarang .
Jelas .
Kasus :
Jelas .
Jadi f(1) f(x).
Kasus :
Jelas
f(1) f(x)<
.
Jadi f(1) f(x).
Jadi terdapat selang D sehingga
f(1) f(x) .
Jadi f(1) = 1 merupakan nilai maksi-
mum relatif f.
Contoh 92
Dipunyai fungsi yang diberikan
dengan . Tentukan nilai-nilai
ekstrim relatif f.
Penyelesaian:
Jelas f(x) =
Grafik fungsi f sebagai berikut:
Gambar 108: Grafik f:
f(–2) = 0 = f(2) = fmin rel dan
f(0) = 4 = fmaks rel.
Bukti:
(a) Pilih .
Bangun D = (–2–1, –2+1) = (–3, –1).
Ambil sembarang x .
Jelas .
Kasus –3 < x < –2:
Jelas 4 < x2
< 9 0< x2
–4< 5
f(–2) < f(x) < 5.
Jadi f(–2) f(x).
Kasus :
Jelas –4 –x2
< –1
0 4–x2
< 3
f(–2) f(x) <
3.
Jadi f(–2) f(x).
Jadi terdapat selang D sehingga
f(–2) f(x) .
Jadi f(–2) = 0 merupakan nilai mini-
mum relatif f.
(b) Pilih .
Bangun D = (0–1, 0+1) = (–1, 1).
Ambil sembarang x .
Jelas –1 < x < 1.
RRf :1,2
1,2
xx
xx
2
1
)210,
210(
Dx
21
21 x
021 x
4120 x
41
210 x
4120 x
41
R
Dx
2
1
)211,
211( )
23,
21(
Dx
23
21 x
121 x
12
41 x )1()(
41 fxf
2
31 x
231 x
2121 x
21
R
Dx
RRf :
24)( xxf
.
2,42
22,24
2,42
xx
xx
xx
1
D
13 x
12 x
421 x
R
Dx
1
D
X
Y
f
–2 2O
4
j\“¤·“·†?P 188 j\“¤·“·†?P 189
Kasus –1 < x < 0:
Jelas 0 < x2
< 1 –1 < –x2
< 0
3 <4 –x2
< 4
3 < f(x) < f(0).
Jadi f(x) f(0).
Kasus 0 x < 1:
Jelas 0 x2
< 1 –1 < –x2
0
3 < 4–x2
4
3 < f(x) f(0).
Jadi f(x) f(0).
Jadi terdapat selang D sehingga
f(0) f(x) .
Jadi f(0) = 4 merupakan nilai maksi-
mum relatif f.
(c) Pilih .
Bangun D = (2–1, 2+1) = (1, 3).
Ambil sembarang x .
Jelas 1 < x < 3.
Kasus 1 < x < 2:
Jelas 1< x2
<4 –4 < –x2< –1
0 < 4–x2< 3
f(2) < f(x)< 3
Jadi f(2) f(x).
Kasus 2 x < 3:
Jelas 4 x2
< 9 0 x2
– 4 < 5
f(2) < f(x)< 5.
Jadi f(2) f(x).
Jadi terdapat selang D sehingga
f(2) f(x) .
Jadi f(2) = 0 merupakan nilai minimum
relatif f.
Perhatian 1:
Contoh 93
Dipunyai fungsi , . Pe-
riksa apakah f(0) = 0 merupakan nilai
ekstrim relatif f.
Pemeriksaan:
Intuisi: (a) f(0) bukan minimum relatif
(b) f(0) bukan maksimum relatif.
Bukti (a):
Ambil sembarang .
Bangun D = (0– , 0+ ) = (– , ).
Pilih .
Jelas .
Jelas = 0 + = > 0.
Jadi .
Jadi .
Jadi f(0) = 0 bukan suatu minimum rela-
tif.
Bukti (b):
Ambil sembarang .
Bangun D = (0– , 0+ ) = (– , ).
Pilih .
Jelas .
Jelas = 0 – = – < 0.
Jadi .
Jadi .
Jadi f(0) = 0 bukan suatu maksimum rela-
tif.
Contoh 94
Berikan suatu contoh fungsi f sehingga
f(2) merupakan suatu minimum relatif.
Penyelesaian:
Pilih fungsi dengan
.
Jelas .
R
Dx
1
D
R
Dx
RRf : 3)( xxf
0
2ox
Dox
)()0( oxff8
3
8
3
)()0( oxff
RD )()0( oxffDox
0
2ox
Dox
)()0( oxff8
3
8
3
)()0( oxff
RD )()0( oxffDox
RRf :
2,4
2,242)(
xx
xxxxf
2,4
2,22)2()(
xx
xxxf
(a) Jika fungsi f mempunyai nilai
maksimum atau minimum relatif,
dikatakan f mempunyai ekstrim
relatif.
(b) Nilai ekstrim mutlak suatu fungsi
juga merupakan nilai ekstrim
relatif
j\“¤·“·†?P 190 j\“¤·“·†?P 191
Sket grafik f:
Gambar 109: f(2) = –2 = f min rel.
Intuisi: f mempunyai minimum relatif di
2 dan tidak ada.
Pilih .
Bangun .
Ambil sembarang .
Jelas (1 < x < 3).
Kasus 1 < x < 2:
Jelas –1 < x – 2 < 0
0 < (x – 2)2
< 1
–2 < (x – 2)2
–2< –1
f(2)< f(x)< –1.
Jadi f(2) f(x).
Kasus 2 < x < 3:
Jelas –2 < x – 4 < –1
f(2)< f(x)< –1.
Jadi f(2) f(x).
Jadi terdapat selang D sehingga
f(2) f(x) .
Jadi f(2) = –2 merupakan nilai mini-
mum relatif f.
Selanjutnya =
=
=
= 0
dan =
=
=
= 1.
Jadi tidak ada.
Contoh 95
Dipunyai fungsi , .
Periksa adanya:
(a) turunan f di titik 0
(b) ekstrim relatif f.
Pemeriksaan:
(a) Jelas =
= 3
= .
Jelas .
Jadi tidak ada.
(b) Intuisi: f tak mempunyai ekstrim
relatif di titik 0.
Ambil sembarang .
Bangun = .
Pilih .
Jelas = < 0 = f(0).
Jadi sehingga
.
Jadi f(0) bukan suatu minimum re-
latif f.
Ambil sembarang .
Bangun = .
Pilih21x .
Jelas )1(xf = > 0 = f(0).
)2(f
1
)3,1()12,12(D
Dx
R
Dx
)2('f
2
)2()(
2
limx
fxf
x
2
222)2(
2lim
x
x
x
)2(2
lim xx
)2('f
2
)2()(
2
limx
fxf
x
2
24
2lim
x
x
x
12
limx
)2(f
RRf : 3
1
3)( xxf
)(xfdx
xd)
2
3
3(
dx
xd)
2
3
(
32
1
x
}0{RfD
)0(f
0
)0,0(D ),(
2ox
)( oxf 3
1
)2
(3
DoxRD
xoxff )()0(
0
)0,0(D ),(
3
1
)2
(3
X
Y
f
O
(0,2)
(4,0)
(2,–2)
j\“¤·“·†?P 192 j\“¤·“·†?P 193
Jadi DxRD 1 sehingga
xxff )1()0( .
Jadi f(0) bukan suatu maksimum re-
latif f.
Grafik f:
Gambar 110: f(0) bukan suatu
ekstrim relatif f
Berikut ini disajikan suatu titik
pada grafik f yang penting untuk menen-
tukan nilai ekstrim relatif.
Definisi 75
Dari contoh-contoh dan definisi-
definisi yang telah dikemukakan dapat di-
simpulkan bahwa syarat perlu agar fungsi
mempunyai ekstrim relatif di titik c ada-
lah titik c merupakan bilangan kritis f.
Akan tetapi c suatu bilangan kritis f
bukan merupakan syarat cukup agar
fungsi f mempunyai ekstrim relatif.
Contoh 96
Tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi
RRg : dengan 5
1
125
6
)( xxxg .
Penyelesaian:
Jelas )(xg =dx
xxd 5
1
125
6
=5
5
4
12
5
5
1
6 xx , 0x
=
5
4
)2(6
x
x, 0x .
Jelas )0(g tidak ada dan 0)2(g .
Jadi bilangan kritis g adalah 0 dan 2.
Contoh 97
Dipunyai fungsi RRf : diberikan oleh
842)( xxxf . Periksa apakah f memi-
liki nilai ekstrim relatif.
Penyelesaian:
Jelas )(xf = 0
dx
xxd )842(= 0
2x – 4 = 0
x = 2.
Jelas 4)2(f .
Ambil sembarang Rx .
Jelas f(2) – f (x) = 4 – x2
+ 4x – 8
= –(x – 2)2
0 .
Jadi f(2) f (x).
Jadi f(2) f (x) Rx .
Jadi 4)2(f suatu minimum mutlak.
Jadi 4)2(f suatu minimum relatif.
Berikut ini disajikan suatu teore-
ma eksistensi nilai ekstrim suatu fungsi.
Teorema 76
X
Y
–
f
xo
x1
0
Dipunyai fungsi f: RfD dan
fDc .
Jika 0)(cf atau )(cf tidak ada
Maka titik c disebut bilangan kritis f.
Jika fungsi f kontinu pada selang
tutup [a, b] maka fungsi f memiliki
nilai minimum dan maksimum
mutlak.
j\“¤·“·†?P 194 j\“¤·“·†?P 195
Bukti teorema ini diserahkan
pembaca sebagai latihan. Berikut ini
disajikan suatu contoh yang menunjukkan
bahwa kebalikan Teorema 76 tidak benar.
Contoh 98
Dipunyai fungsi f: [–3,3] R yang dibe-
rikan oleh
f(x) =30,52)1(
03,52)1(
xx
xx.
Grafik f:
Gambar 111: f(–1) = 5 = fmaks,
f(1) = –5 = fmaks, dan
f tak kontinu pada [–3,3]
Jelas bahwa f(–1) = 5 dan f(1) = –5
berturut-turut merupakan maksimum dan
minimum relatif f. Akan tetapi f tak kon-
tinu di 0. Jadi f tak kontinu pada [–3,3].
Ini menunjukkan bahwa kebalikan
Teorema 77 tidak benar.
Contoh 99
Periksa ekstrim relatif fungsi f yang
diberikan oleh f(x) =32
1
x
x , ]1,0[x .
Penyelesaian:
Jelas )(xf =dx
x
xd
32
1
=2)32(
)32().1(
)1().32(
x
dx
xdx
dx
xdx
=2)32(
5
x
,2
3x .
Karena )23(f tidak ada, maka
2
3 merupakan bilangan kritis f. Karena
)23(f tidak ada, maka
2
3 merupakan bi-
langan kritis f. Nilai fungsi f di titik-titik
ujung adalah f(0) =3
1 dan f(1) = –2.
Ambil sembarang ]1,0[x .
Jelas )32
51(
2
1)(
xxf .
Jelas 10 x 220 x
1323 x
3
1
32
11
x
3
5
32
55
x
3
2
32
514
x
3
1)
32
51(
2
12
x
)0()()1( fxff .
Jadi f(0) =3
1 dan f(1) = –2 berturut-tu-
rut merupakan maksimum dan minimum
fungsi f.
Grafik f:
Gambar 112: Nilai minimum dan
maksimum f ada di
titik-titik ujung.
Contoh 100
Dipunyai fungsi Rf ]21,2[: yang dibe-
rikan oleh f(x) = x3
+ x2
– x + 1. Tentukan
nilai ekstrim mutlak fungsi f yang terletak
pada selang.
X
Y
f
f
O–1
1
5
–5
X
Y
f
–1
–2
1O
32
j\“¤·“·†?P 196 j\“¤·“·†?P 197
Penyelesaian:
Jelas f kontinu pada selang tutup ]21,2[ .
Jadi fungsi f mempunyai nilai maksimum
dan minimum mutlak.
Nilai fungsi f di titik ujung adalah:
1)2(f dan87)
21(f .
Jelas )(xf = 0
dx
xxxd )123(
3x2
+ 2x – 1 = 0
(3x – 1)(x + 1) = 0
31x dan x = –1.
Jelas 2)1(f dan27
22)
3
1(f .
Sket grafik f:
Gambar 113: Grafik f(x)=x3+x
2–x+1
Sebagai latihan, untuk fungsi yang
disajikan pada Contoh 100 buktikan:
(a) f(–1) maksimum mutlak,
(b) )3
1(f suatu minimum relatif,
(c) f(–2) suatu minimum mutlak, dan
(d) )21(f suatu maksimum relatif f.
2. Teorema Rolle dan Teore-
ma Nilai Rata-Rata
Teorema Rolle merupakan teorema
tentang eksistensi suatu titik di domain
suatu fungsi yang turunan fungsi di titik
itu sama dengan nol.
Teorema 77 (Teorema Rolle)
Bukti:
Tulis K = f(a) = f(b).
Kasus f fungsi konstan:
Jelas Kxf )( untuk setiap ],[ bax .
Jadi 0)(cf untuk setiap ],[ bac .
Kasus f bukan fungsi konstan:
Dipunyai f kontinu pada [a,b].
Pilih M dan m sehingga
f(x) M untuk setiap ],[ bax dan
f(x) m untuk setiap ],[ bax .
Pilih c, d ),( ba sehingga 0)(cf
dan 0)(df
Jadi terdapat titik ),( bac sehingga
0)(cf .
X
X
–2
–1
3
1
2
2722
Dipunyai fungsi Rbaf ],[: .
Jika (1) f kontinu pada [a,b],
(2) f mempunyai turunan pada
(a,b), dan
(3) f(a) = f(b)
maka terdapat titik ),( bac sehingga
0)(cf .
j\“¤·“·†?P 198 j\“¤·“·†?P 199
Gambar situasinya:
Gambar 114: Nilai f(c1) maksimum dan
nilai f(c2) minimum, jadi
0)1(cf dan 0)2(cf .
Contoh 101
Dipunyai fungsi Rf ]2,1[: disajikan de-
ngan 2223)( xxxxf . Periksa apa-
kah fungsi f memenhui teorema Rolle.
Pemeriksaan:
(1) Jelas f kontinu pada [1,2].
(2) Jelas )(xf = 3x2
– 4x – 1.
Jadi )(xf ada pada (1, 2).
(3) Jelas f(1) = 0 = f(2).
Jadi f memenuhi kondisi Teorema Rolle.
Pilih )2,1(c sehingga )(cf = 0.
Jelas )(cf = 0 3x2
– 4x – 1 = 0.
Jelas c1 =3
72 dan c2 =3
72.
Jelas )3
72(f = 0 = )
3
72(f .
Contoh 102
(a) Fungsi Rf ]4,1[: dengan f(x) = x.
Grafik f:
Gambar 115: Fungsi f tak memenuhi
kondisi teorema Rolle.
Jelas (1) f kontinu pada [1,4],
(1) )4,1(ada1)( xxf , dan
(2) f(1) = 0 4 = f(4).
Jadi f tak memenuhi kondisi Teorema
Rolle dan 0)(cf untuk setiap c di
selang (1,4).
(b) Fungsi Rf ]4,0[: diberikan oleh
42,4
20,)(
xx
xxxf .
Grafik f:
Gambar 116: Fungsi f tak memenuhi
kondisi teorema Rolle.
Jelas f kontinu pada [0,4], f(0) = 0
= f(4), akan tetapi )2(f tidak ada.
(c) Fungsi f diberikan oleh
52,5
20,)(
xx
xxxf .
Sket grafik f:
Gambar 117: Fungsi f tak memenuhi
kondisi teorema Rolle.
Jelas f(0) = 0 = f(5), akan tetapi f tak
kontinu di x = 2.
X
Y
4
4
O
f
X
Y P
Q
a bc1 c1O
f
X
Y
f
4
2
O 2
X
Y
f
5
2
O 2
j\“¤·“·†?P 200 j\“¤·“·†?P 201
Contoh 103
Fungsi f disajikan oleh
42,4
21,12)(
xx
xxxf .
Grafik f:
Gambar 118: f tak memenuhi kondisi
teorema Rolle, akan te-
tapi ada ]4,1[0 se-
hingga 0)0(f .
Jelas f tak kontinu di x = 2. Jadi f
tak memnuhi kondisi teorema Rolle.
Akan tetapi terdapat ]4,1[0 sehingga
0)0(f .
Contoh 103 menunjukkan bahwa
kebalikan Teorema Rolle tidak berlaku.
Berikut ini disajikan teorema yang lebih
umum dari Teorema Rolle yang disebut
dengan teorema nilai rata-rata (TNR).
Teorema 78
Interpretasi geometri teorema ini
adalah:
(a) nilaiab
afbf )()(merupakan talibusur
AB dengan A(a,f(a)) dan B(b,f(b))
(b) jika f memenuhi kondisi teorema ini
maka terdapat suatu garis singgung
yang memiliki gradient sama dengan
gradien talibusur AB.
Interpretasi geometri tersebut dapat
dilihat pada gambar berikut ini.
Gambar 119: f memenuhi kondisi Teo-
Rema Nilai Rata-Rata,
ms = )(cf
=ab
afbf )()(.
Bukti TNR:
Perhatikan fungsi f yang memenuhi TNR
berikut ini.
Gambar 120: Fungsi f memenuhi
kondisi TNR.
j\“¤·“·†?P 202 j\“¤·“·†?P 203
X
Y
f
O 1 2 4
3
-1
Dipunyai Fungsi Rbaf ],[: .
Jika (i) f kontinu pada [a,b] dan
(ii) )(xf ada pada (a,b)
maka terdapat ),( bac sehingga
ab
afbfcf
)()()( .
X
Y
O a b
f(a)
f(b)
A
B
f
A
s
X
Y
O a b
f(a)
f(b)
A
B
f
A
s
x
P
Q
Jelas A(a,f(a)) dan B(b,f(b)).
Jadi mAB =ab
afbf )()(.
Jelas AB: y – f(a) =ab
afbf )()(.(x – a)
y = f(a) +ab
afbf )()(.(x – a).
Ambil sembarang ),( bax .
Bangun d: Rba ],[ dengan
)(xd = f(x) – [f(a) +ab
afbf )()(.(x – a)].
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
d merupakan suatu fungsi.
Jelas d kontinu pada [a,b],
)(xd ada pada (a,b), dan
d(a) = 0 = d(b).
Jadi d memenuhi kondisi teorema Rolle.
Pilih ),( bac sehingga 0)(cd .
Jelas 0)(cd
0)()(
)(ab
afbfcf
ab
afbfcf
)()()( .
Jadi terdapat ),( bac sehingga
ab
afbfcf
)()()( .
Contoh 104
Dipunyai fungsi Rf ]4,0[: yang disaji-
kan oleh xxf )( .
Grafik f:
Gambar 121: xxf )( memenuhi
kondisi TNR
Jelas f kontinu pada [0,4] dan
)(xf =dx
xd )(=
x2
1 ada pada (0,4).
Jadi f memenhi kondisi TNR.
Pilih )4,0(c sehingga04
)4()0()(
ffcf .
Jelas04
)4()0()(
ffcf
2
1
2
1
c
c = 1.
Contoh 105
Dipunyai Rf ]1,1[: yang didefinisikan
sebagai 3
2
)( xxf .
Grafik f:
Gambar 122: f tak memenuhi kondisi
TNR dan 0)(xf un-
tuk setiap )1,1(x .
Berikut ini disajikan suatu teorema
yang merupakan kriteria untuk menun-
jukkan suatu fungsi merupakan fungsi
konstan.
Teorema 79
Bukti:
Dipunyai 0)(xf untuk setiap Ix .
Andaikan f bukan fungsi konstan.
Pilih x1, x2 I , x1 < x2, dan )2()1( xfxf .
Jelas f kontinu pada [x1, x2] dan
)(xf ada pada (x1, x2).
Pilih12
1()2()()2,1(
xx
xfxfcfxxc .
j\“¤·“·†?P 204 j\“¤·“·†?P 205
X
Y
s
42
2
O
f
X
Y
O 1-1
1A B
f
Dipunyai fungsi RIf : , RI .
Jika 0)(xf untuk setiap Ix
maka f merupakan fungsi konstan.
Jadi 012
1()2(
xx
xfxf
)2()1( xfxf .
Ini suatu kontradiksi.
Jadi f merupakan fungsi konstan.
2. Fungsi Naik dan Fungsi
Turun
Berikut ini disajikan konsep tentang
naik atau turunnya fungsi, kaitannya
dengan turunan fungsi itu, dan uji turunan
pertama untuk eksrim relatif suatu fungsi.
Definisi 80
Definisi 81
Contoh 106
Dipunyai RRf : dengan f(x) = x3.
Periksa apakah fungsi f naik atau turun.
Intuisi: Grafik f naik.
Bukti:
Ambil sembarang x1, x2 R , x1 < x2.
Jelas f(x1) – f(x2)
= 32
31
xx
= (x1 – x2) )222.1
21
( xxxx .
Jelas x1 – x2 < 0 dan 0222.1
21
xxxx .
Jadi f(x1) – f(x2) < 0
f(x1) < f(x2).
Jadi )2()1(,21,2,1 xfxfxxRxx .
Jadi grafik f naik.
Grafik f:
Gambar 124: Grafik f naik, fungsi f
melestarikan urutan.
Contoh 107
Dipunyai fungsi Rf ]2,0[: disajikan
dengan21,2
20,1)(
xx
xxxf .
Periksa grafik f naik ataukah turun.
Pemeriksaan:
Grafik f:
Gambar 125: Grafik f turun
Pembaca diminta memeriksa secara
formal.
j\“¤·“·†?P 206 j\“¤·“·†?P 207
Dipunyai fungsi RIf : , RI .
Grafik fungsi f dikatakan naik apabila
f melestarikan urutan
atau
)2()1(,21,2,1 xfxfxxIxx .
Dipunyai fungsi RIf : , RI .
Grafik fungsi f dikatakan turun apa-
bila f tak melestarikan urutan
atau
)2()1(,21,2,1 xfxfxxIxx .
X
X
O
x1 x2
f
f(x1)
f(x2)
X
Y
f
f
O
1
1 2
-1
-2
Teorema berikut mengaitkan naik-
turunnya fungsi dengan turunan fungsi
tersebut.
Teorema 82
Bukti (i):
Dipunyai 0)(xf untuk setiap Ix .
Ambil sembarang x1, x2 I , x1 < x2.
Jelas f kontinu pada [x1, x2] dan
)(xf ada pada (x1, x2).
Pilih c (x1, x2)12
)1()2()(
xx
xfxfcf .
Jelas x2 – x1 > 0.
Jadi )1()2( xfxf > 0
0)2()1( xfxf .
Jadi )2()1(,21,2,1 xfxfxxIxx .
Jadi grafik f naik.
Bukti (ii):
Dipunyai 0)(xf untuk setiap Ix .
Ambil sembarang x1, x2 I , x1 < x2.
Jelas f kontinu pada [x1, x2] dan
)(xf ada pada (x1, x2).
Pilih c (x1, x2)12
)1()2()(
xx
xfxfcf .
Jelas x2 – x1 > 0.
Jadi )1()2( xfxf < 0
0)2()1( xfxf .
Jadi )2()1(,21,2,1 xfxfxxIxx .
Jadi grafik f turun.
Contoh 108
Dipunyai fungsi RRf : , 24)( xxf .
Tentukan selang terbesar sehingga grafik
f naik atau turun.
Penyelesaian:
Jelas )(xf =dx
xd )24(= –2x.
Jelas 0)(xf –2x > 0
x < 0.
Jadi grafik f naik pada ]0,( .
Jelas 0)(xf –2x < 0
x > 0.
Jadi grafik f turun pada ),0[ .
Contoh 109
Tentukan selang sehingga fungsi f yang
diberikan oleh0,0
0,1
)(x
xxxf naik atau
turun.
Penyelesaian:
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
f kontinu pada selang )0,( dan ),0( .
Jelas )(xf =2
1
x
< 0 untuk setiap 0x .
Jadi pada selang )0,( dan ),0( grafik
f turun.
Grafik f:
Gambar 126: Grafik f turun pada
)0,( ),0( .
j\“¤·“·†?P 208 j\“¤·“·†?P 209
Dipunyai RIf : , RI , dan )(xf
ada untuk setiap Ix kecuali
mungkin di titik-titik ujungnya. Maka
(i) Jika 0)(xf untuk setiap Ix
yang bukan di titik ujung maka
grafik f naik pada I.
(ii) Jika 0)(xf untuk setiap Ix
yang bukan di titik ujung maka
grafik f turun pada I.
X
Y
O
f
f
Berikut ini disajikan prosedur me-
nentukan selang terbesar sehingga grafik f
naik atau turun:
(1) tentukan bilangan kritis untuk f,
(2) tentukan selang-selang dalam
domain f berdasarkan bilangan-
bilangan kritis dan nilai-nilai x
sehingga f tak terdefinisi, dan
(3) manfaatkan Teorema 82.
Contoh 110
Dipunyai fungsi RRf }2{: yang dibe-
rikan oleh2
2)(
x
xxf .
Penyelesaian:
Dipunyai f tak terdefinisi di x = 2.
Jelas )(xf =dx
x
xd
2
2
=2)2(
)4(
x
xx.
Jelas )2(f tidak ada dan
)(xf = 02)2(
)4(
x
xx= 0
x = 0 x = 4.
Jadi bilangan-bilangan kritis f adalah 0
dan 4.
Bangun selang-selang )0,( , (0,2), (2,4),
dan ),4( .
Kasus )0,(x :
Jelas x < 0, (x – 4) < 0, dan (x – 2)2
> 0.
Jadi )(xf > 0.
Jadi grafik f naik pada )0,( .
Kasus )2,0(x :
Jelas 0 < x < 2.
Jadi –4 < x – 4 < –2 dan (x – 2)2
> 0.
Jadi )(xf < 0.
Jadi grafik f turun pada(0,2).
Kasus )4,2(x :
Jelas 2 < x < 4.
Jadi –2 < x – 4 < 0 dan (x – 2)2
> 0.
Jadi )(xf < 0.
Jadi grafik f turun pada(2,4).
Kasus ),4(x ;
Jelas x > 4.
Jadi (x – 4) > 0 dan (x – 2)2
> 0.
Jadi )(xf > 0.
Jadi grafik f naik pada ),0( .
Berikut ini disajikan suatu teorema
untuk menguji nilai ekstrim relatif suatu
fungsi yang dikenal dengan Uji Turunan
Pertama.
Teorema 83 (Uji Turunan Pertama)
Bukti (1):
Dipunyai )(xf > 0 pada (c – h, c).
Jelas grafik f naik pada c – h, c).
Jadi )()( xfcf untuk setiap x di (c–h, c).
Dipunyai )(xf < 0 pada (c, c + h).
Jelas grafik f turun pada (c, c + h).
Jadi )()( xfcf untuk setiap x di (c, c+h).
j\“¤·“·† P 210 j\“¤·“·†?P 211
Dipunyai fungsi RIf : , RI , dan
Ic suatu bilangan kritis untuk f.
Jika )(xf ada pada selang (c–h, c+h)
untuk suatu h > 0 kecuali mung-
kin di titik c sendiri
maka f(c) ekstrim relatif jika dan ha-
nya jika tanda )(xf berganti
tanda di x = c.
Secara khusus dinyatakan sebagai be-
rikut:
(1) Jika )(xf > 0 untuk x < c dan
)(xf < 0 untuk x > c maka f(c)
suatu maksimum relatif.
(2) Jika )(xf < 0 untuk x < c dan
)(xf > 0 untuk x > c maka f(c)
suatu minimum relatif.
(3) Jika )(xf tidak berganti tanda di
x = c maka f(c) bukan suatu mak-
simum ataupun minimum relatif.
Jadi ),()()( hchcxxfcf .
Jadi terdapat h > 0 sehingga )()( xfcf .
Jadi f(c) suatu maksimum relatif.
Bukti (2) dan (3) untuk teorema ter-
sebut diserahkan pembaca sebagai latih-
an.
Contoh 111
Dipunyai fungsi RRf : yang diberikan
oleh )21(24)( xxxf . Tentukan nilai
ekstrim fungsi f.
Penyelesaian:
Jelas )(xf = 0
x = 02
2x
2
2x .
Uji turunan pertama di2
2x :
x
2
2
2
2
)(xf + 0 –
)(xf 1
Simpulan: 1)2
2(f suatu maksimum re-
latif.
Uji turunan pertama di x = 0:
x 0- 0 0+
)(xf – 0 +
)(xf 0
Simpulan: 0)0(f suatu minimum relatif.
Uji turunan pertama di2
2x :
x
2
22
2
2
2
)(xf + 0 –
)(xf 1
Simpulan: 1)2
2(f suatu maksimum re-
latif.
Grafik f:
Gambar 127: Fungsi f mempunyai maksi-
mum relatif di2
2dan
2
2serta minimum relatif
di 0.
Temukan suatu persegipanjang yang
ukuran luasnya 64 m2
dan ukuran keli-
lingnya minimum.
Penyelesaian:
Tulis x: ukuran panjang persegipanjang,
y: ukuran lebar persegipanjang,
A: ukuran luas persegipanjang, dan
K: ukuran keliling persegipanjang.
Dipunyai A = 64 xy = 64
xy
64 .
Jadi K(x) = 2(x + y)
= 2(x +x
64 ).
Jelas )(xK = 0
2 +x
x128 = 0
x = –8 x = 8.
Jadi titik kritis K adalah x = 8.
Uji turunan pertama di 8:
x (8)- 8 (8)+
)(xf – 0 +
)(xf 32
Simpulan:
Persegipanjang yang ukuran luasnya 64
cm2
dan ukuran kelilingnya minimum
merupakan persegi dengan ukuran 8 cm.
j\“¤·“·†?P 212 j\“¤·“·†?P 213
2
2
X
X
f
O
1
3. Kecekungan Grafik Fungsi
Gambar 128 dan 129 memper-
lihatkan perlunya mengetahui lebih rinci
tentang kelakuan suatu fungsi untuk
menggambar grafik fungsi secara lebih
teliti. Pada kedua gambar berikut ini
fungsi f mempunyai maksimum relatif di
titik B dan minimum relatif di titik-titik A
dan C. Demikian pula untuk fungsi g.
Akan tetapi kedua fungsi tersebut mem-
punyai perbedaan kelakuan dalam hal
naik atau turunnya. Perbedaan kelakuan
ini bergantung dari kecekungan masing-
masing fungsi.
Gambar 128: Fungsi f mempunyai maksi-
mum di B dan minimum di
A dan C. Akan tetapi cekung
ke atas di kiri A dan di kanan
nan C.
Gambar 129: Fungsi g mempunyai maksi-
mum di B dan minimum di
A dan C. Akan tetapi cekung
ke atas di antara A dan B dan
di antara B dan C.
Definisi 84
Interpretasi geometri kecekungan suatu
fungsi:
(a) Grafik fungsi yang cekung ke atas:
Gambar 130: Grafik f cekung ke atas.
Tulis s1, s2, s3, s4, dan s5 adalah garis-
garis singgung pada grafik f di titik-
titik x1, x2, x3, x4, dan x5 dengan x1 <
x2 < x3 < x4 < x5.
Jelas1s
m = )1(xf ,
2sm = )2(xf ,
3sm = )3(xf ,
4sm = )4(xf , dan
5sm = )5(xf .
Jelas ... )1(xf < )2(xf < )3(xf <
)4(xf < )5(xf < ... .
j\“¤·“·†?P 214 j\“¤·“·†?P 215
X
Y
B
CA
f
X
Y
B
CA
g
Dipunyai fungsi RIf : , RI , f
kontinu pada I, dan )(xf ada pada I
kecuali mungkin di titik-titik ujung-
nya.
(a) Grafik f dikatakan cekung ke atas
apabila f merupakan fungsi naik
pada selang I.
(b) Grafik f dikatakan cekung ke
bawah apabila f merupakan
fungsi turun pada selang I.
X
Yf
O x1 x2 x3 x4 x5
Ini menunjukkan fungsi f meles-
tarikan urutan.
Jadi grafik f naik.
Dengan demikian grafik f cekung ke
atas apabila grafik f naik.
(a) Grafik fungsi yang cekung ke bawah:
Gambar 131: Grafik f cekung ke bawah.
Tulis s1, s2, s3, s4, dan s5 adalah garis-
garis singgung pada grafik f di titik-
titik x1, x2, x3, x4, dan x5 dengan x1 <
x2 < x3 < x4 < x5.
Jelas1s
m = )1(xf ,
2sm = )2(xf ,
3sm = )3(xf ,
4sm = )4(xf , dan
5sm = )5(xf .
Jelas ... < )1(xf > )2(xf > )3(xf >
)4(xf > )5(xf > ... .
Ini menunjukkan fungsi f tidak
melestarikan urutan.
Jadi grafik f turun.
Dengan demikian grafik f cekung ke
bawah apabila grafik f turun.
Berikut ini disajikan teorema yang
mengaitkan kecekungan grafik suatu
fungsi dengan nilai turunan kedua fungsi
tersebut.
Teorema 85
Bukti:
(1) Ambil sembarang Ix , x bukan titik
ujung I.
Dipunyai 0)(xf .
Jadi grafik f naik.
Jadi grafik f cekung ke atas.
(2) Ambil sembarang Ix , x bukan titik
ujung I.
Dipunyai 0)(xf .
Jadi grafik f turun.
Jadi grafik f cekung ke bawah.
Apabila fungsi f mempunyai turunan
f yang kontinu, Teorema 85 mengisya-
ratkan suatu prosedur untuk menentukan
selang terbesar sehingga grafik fungsi f
cekung ke atas atau ke bawah, yaitu:
Seperti dalam mencari selang-selang
terbesar dengan f naik atau turun, harus
diperhatikan baik-baik mengenai bilangan
j\“¤·“·†?P 216 j\“¤·“·†?P 217
X
Y
f
O x1 x2 x3 x4 x5
Dipunyai fungsi RIf : , RI , dan
)(xf ada untuk setiap Ix kecuali
mungkin di titik-titik ujungnya.
(1) Grafik f cekung ke atas pada I
apabila 0)(xf untuk setiap
Ix yang bukan titik ujung I.
(2) Grafik f cekung ke bawah
pada I apabila 0)(xf untuk
setiap Ix yang bukan titik
ujung I.
(1) Tentukan bilangan c sehingga
)(cf =0 atau )(cf tidak ada.
(2) Bangun selang berdasarkan
temuan titik c pada butir (1).
(3) Periksa tanda )(xf pada se-
lang-selang itu.
C dengan )(cf = 0 atau )(cf tidak ada.
Titik-titik pada grafik f yang memi-
sahkan busur-busur yang kecekungannya
berbeda disebut titik infleksi.
Definisi 86
Contoh 112
Dipunyai fungsi f: R]2,0[ , f(x) = sin x.
Jelas )(xf =dx
xfd )]([=
dx
xd )(sin=cos x
dan
)(xf =dx
xfd )]([=
dx
xd )(cos= – sin x.
Jelas 0)(xf – sin x = 0
x=0, x = , atau x = 2 .
Karena f kontinu pada ]2,0[ , diperiksa
kecekungan grafik f pada selang ],0[ dan
]2,[ dengan menguji tanda )(xf pada
selang-selang ),0( dan )2,(
menggunakan Teorema 86 berikut ini:
Selang Uji bil.
x
)(xf Cekung
],0[ Negatif ke
bawah]2,[
4
3 Positif ke
atas
Jadi grafik f cekung ke bawah pada ],0[
dan grafik f cekung ke atas pada ]2,[ .
Jadi titik ))(,( f = )0,( merupakan
titik infleksi.
Contoh 113
Dipunyai fungsi RRf : yang disajikan
oleh5
3
5
3
2
)(x
xxf .
Periksa kecekungan grafik f.
Penyelesaian:
Ambil sembarang Rx .
Jelas )(xf =dx
xxd
5
3
5
2
3
=3
3
2
3
1
3
2 x
x
.
Jadi )(xf =dx
x
x
d5
3
2
3
1
3
2
=
3
4
9
)1(2
x
x.
Jelas )0(f tidak ada dan
)(xf = 0 x = –1.
Dengan demikian tanda )(xf diperiksa
pada selang-selang )1,( , )1,1( , dan
),0( .
)(xf
Gambar 132: Tanda )(xf .
j\“¤·“·†?P 218 j\“¤·“·†?P 219
2
Dipunyai RIf : , RI , dan Ic .
Titik P(c,f(c)) disebut titik infleksi
untuk f, jika f kontinu di x = c dan
terdapat bilangan h > 0 sehingga
grafik f:
(1) cekung ke bawah pada selang
(c–h, c) dan cekung ke atas
pada selang (c , c + h),
atau
(2) cekung ke atas pada selang
(c–h, c) dan cekung ke bawah
pada selang (c , c + h).
–1
–1
–1
0
0
0
Tanda
–2(1+x)
3
4
.9 x
+
+
+
+ +
– –
– –
Jadi )(xf positif pada )1,( , akan teta-
pi )(xf negatif pada )0,1( dan ),0( .
Berdasarkan Teorema 13, disimpulkan:
(a) grafik f cekung ke atas pada se-
lang ]1,( dan
(b) grafik f cekung ke bawah pada se-
lang ]0,1[ dan ],0[ .
Ini memperlihatkan bahwa titik ))1(,1( f
= )5
6,1( merupakan titik infleksi, akan
tetapi titik ))0(,0( f = (0,0) bukan merupa-
kan titik infleksi.
Grafik f:
Gambar 134: titik )5
6,1( titik infleksi
(0,0) bukan titik infleksi.
Berikut ini disajikan suatu teorema
yang mengaitkan turunan kedua suatu
fungsi dengan nilai ekstrim relatif fungsi
tersebut.
Teorema 87
Bukti:
(1) Dipunyai 0)(af .
Jelas 0)(af
0)()(
limax
afxf
ax
0)(
limax
xf
ax.
Pilih 0 sehingga
0)(
ax
xfapabila ),( aax .
Kasus ),( aax :
Jelas ax 0ax .
Jadi 0)(xf .
Jadi 0)(xf pada ),( aa .
Jadi grafik f naik pada ),( aa .
Kasus ),( aax :
Jelas ax 0ax .
Jadi 0)(xf .
Jadi 0)(xf pada ),( aa .
Jadi grafik f turun pada ),( aa .
Jadi f(a) suatu maksimum relatif.
(2) Dipunyai 0)(af .
Jelas 0)(af
0)()(
limax
afxf
ax
0)(
limax
xf
ax.
Pilih 0 sehingga
0)(
ax
xfapabila ),( aax .
Kasus ),( aax :
Jelas ax 0ax .
Jadi 0)(xf .
Jadi 0)(xf pada ),( aa .
Jadi grafik f turun pada ),( aa .
Kasus ),( aax :
Jelas ax 0ax .
Jadi 0)(xf .
Jadi 0)(xf pada ),( aa .
Jadi grafik f naik pada ),( aa .
Jadi f(a) suatu minimum relatif.
j\“¤·“·†?P 220 j\“¤·“·†?P 221
X
Y
O–1 5
f
5
6
Dipunyai fungsi RIf : , RI , dan
Ia . Jika )(xf ada pada I dan )(xf
ada pada I maka
(1) 0)(af f(a) suatu maksimum
relatif,
(2) 0)(af f(a) suatu minimum
relatif, dan
(3) 0)(af tak ada simpulan.
(3) Bukti (3) diserahkan pembaca seba-
gai latihan.
Contoh 115
Diskusikan ekstrim relatif dan kecekung-
an fungsi f yang diberikan oleh
3
1
43
4
)( xxxf .
Penyelesaian:
Jelas )(xf =dx
xfd )]([=
dx
xxd 3
1
43
4
= 3
2
3
43
1
.3
4xx , 0x
Jadi tidak ada.
Jelas 3
2
3
43
1
.3
4xx = 0
)1(3
2
3
4xx = 0
x = 0.
Jadi bilangan kritis untuk f adalah x = 0
dan x = –1.
Uji turunan pertama di x = 0:
Uji turunan pertama di x = –1:
Simpulan:
(1) Di titik (0,0) tidak terjadi perubahan
naik turunya grafik f.
Jadi f(0) = 0 bukan suatu ekstrim
relatif.
(2) Di titik (–1, –3) terjadi perubahan na-
ik turunnya grafik f, yaitu: grafik f
turun di kiri –1 dan naik di kanan –1.
Jadi f(–1) = –3 merupakan nilai
minimum relatif.
Selanjutnya )(xf =dx
xfd )]([
=dx
xxd 3
2
3
43
1
3
4
= 0,3
5
3
83
2
9
4xxx .
Jadi )0(f tidak ada.
Jelas )(xf = 0 0)2(3
5
9
4xx
x = 2.
Analisis kecekungan grafik f:
Kasus )0,(x :
Jelas x < 0.
Jadi 03
5
x
dan x < 0 x – 2 < –2 < 0.
Jadi )2(3
5
9
4xx > 0
0)(xf .
Jadi grafik f cekung ke atas pada se-
lang )0,( .
Kasus )2,0(x :
Jelas x > 0.
Jelas 03
5
x
dan x < 2 x – 2 < 0.
Jadi )2(2
5
9
4xx < 0
0)(xf .
Jadi grafik f cekung ke bawah pada se-
lang )2,0( .
j\“¤·“·†?P 222 j\“¤·“·†?P 223
)0(f
0)(xf
x 0– 0 0+
)(xf + Tidak ada +
f(0) 0
x –1– –1 –1+
)(xf –
0
+
f(0) 0
Kasus ),2(x :
Jelas x > 2.
Jelas 03
5
x
dan x > 2 x – 2 > 0.
Jadi )2(2
5
9
4xx > 0
0)(xf .
Jadi grafik f cekung ke atas pada se-
lang )2,0( .
Grafik f:
Gambar 135: f(–1) = –3 = fmin. rel.,
grafik f cekung ke atas
pada )0,( dan ),2(
dan cekung ke bawah
pada (0,2).
Contoh 116
Diskusikan ekstrim relatif untuk fungsi
Rf ]2,2[: dengan f(x) = x + sin x.
Penyelesaian:
Jelas )(xf =dx
xfd )]([=
dx
xxd )sin(
=dx
xd
dx
xd )(sin)(= 1 + cos x
dan )(xf =dx
xfd )]([=
dx
xd )cos1(
=dx
xd
dx
d )(cos)1(= –sin x.
Jelas 0)(xf 1 + cos x = 0
cos x = –1
x atau x .
Dengan demikian bilangan-bilangan kritis
untuk f adalah dan .
Jelas 0)(f dan 0)(f .
Jadi uji turunan kedua tak memberikan
simpulan.
Jelas )(xf = 1 + cos x 0 ]2,2[x .
Jadi berdasarkan uji turunan pertama
disimpulkan fungsi f tidak memiliki
ekstrim relatif.
Selanjutnya 0)(xf
–sin x = 0
x atau x .
Analisis kecekungan grafik f:
Kasus ],2[x :
Jelas f(x) < 0.
Jadi grafik f cekung ke bawah.
Kasus ]0,[x :
Jelas f(x) > 0.
Jadi grafik f cekung ke atas.
Kasus ],0[x :
Jelas f(x) < 0.
Jadi grafik f cekung ke bawah.
Kasus ]2,[x :
Jelas f(x) > 0.
Jadi grafik f cekung ke atas.
Jadi titik-titik infleksi f adalah ),( ,
(0,0), dan ),( .
Grafik f:
Gambar 136: titik-titik ),( , (0,0),
dan ),( merupakan
titik-titik infleksi.
j\“¤·“·†?P 224 j\“¤·“·†?P 225
X
Y
f
O 2–4
–1
X
Y
f
O
2
2
4. Grafik Fungsi yang Teliti
Pada pasal ini didiskusikan ba-
gaimana menggambar grafik suatu fungsi
dengan teliti memanfaatkan konsep dan
prinsip yang telah dimiliki. Dimulai de-
ngan pengertian tentang asymtot. Di
muka telah dibahas tentang nilai ekstrim
relatif dan kecekungan suatu fungsi.
Konsep ini akan dipergunakan untuk
membuat sket grafik suatu fungsi pada
selang yang terbatas. Apabila selang yang
dimaksud tidak terbatas atau nilai fungsi
itu tak hingga, diperlukan suatu
pengertian baru, yaitu asymtot.
Definisi 88
Contoh 117
Dipunyai fungsi RRf }0{: yang dide-
finisikan oleh
x
xxf
2)( .
Jelas )(lim xfx
=x
x
x
2lim
=1
21
lim x
x
= 1
dan )(lim xfx
=x
x
x
2lim
=1
21
lim x
x
= 1.
Jadi garis y = 1 merupakan asymtot datar
untuk f.
Grafik f:
Gambar 137: Garis y = 1 merupakan
asymtot datar untuk f.
Contoh 118
Dipunyai fungsi RRf }1{: dengan
x
xxf
1
1)( .
Jelas )(lim xfx
=x
x
x 1
1lim
=1
1
11
lim
x
x
x
= –1
dan )(lim xfx
=x
x
x 1
1lim
=1
1
11
lim
x
x
x
= –1.
Jadi garis y = –1 merupakan asymtot da-
tar untuk f.
Grtafik f:
Gambar 138: Garis y = –1 merupakan
asymtot datar untuk f.
j\“¤·“·†?P 226 j\“¤·“·†?P 227
Garis y = L adalah asymtot datar un-
tuk grafik fungsi f salah satu berlaku)(lim xf
xL
atau
)(lim xfx
L .
X
Y
f
f
1
X
Y
f
f
–1
Definisi 89
Contoh 119
Dipunyai fungsi }3{: Rf diberikan
oleh2)3(
1)(
x
xf .
Jelas bahwa
)(
3
lim xf
x
, )(
3
lim xf
x
,
0)(lim xfx
, dan 0)(lim xfx
.
Jadi garis x = 3 merupakan asymtot tegak
dan garis y = 0 merupakan asymtot datar.
Grafik f:
Gambar 139: x=3 merupakan asymtot tegak
y=0 merupakan asymtot datar
Contoh 120
Dipunyai RRf }3,3{: ,29
2)(
x
xxf .
Jelas 129
2lim
x
x
xdan
129
2lim
x
x
x.
Jadi garis y = –1 adalah asymtot datar un-
tuk f. Jelas bahwa pembawah akan sama
dengan nol x = –3 atau x = 3. Bilangan-
bilangan ini adalah calon untuk asymtot-
asymtot tegak. Untuk mencari keempat
limit-limit sepihak, diperlukan informasi
tentang tanda dari f yang dapat diperoleh
menggunakan garis-garis bilangan-bi-
langan berikut ini.
Gambar 140: Tanda f(x) berdasarkan
tanda pembangun f(x).
Dengan fasilitas yang ditampilkan pada Gam-
bar 124, dapat ditentukan:
29
2
3
lim
x
x
x
,29
2
3
lim
x
x
x
,
29
2
3
lim
x
x
x
, dan29
2
3
lim
x
x
x
.
Dengan demikian garis-garis x = –3 dan x = 3
merupakan asymtot-asymtot datar.
Grafik f:
Gambar 141: Asymtot datar y = –1
asymtot tegak x = –3
dan x = 3.
j\“¤·“·†?P 228 j\“¤·“·†?P 229
Dipunyai RRf : dan a R . Gra-
fik f mempunyai asymtot tegak di
x = a apabila terdapat limit tak hingga
berikut:
)(lim xf
ax
,
)(lim xf
ax
,
)(lim xf
ax
,
atau
)(lim xf
ax
.
X
Y x=3
f
O
–3
–3
–3
–3
3
3
3
3
Tanda
x2
3 – x
3 + x
f(x)
+
+
+ +
+ –
+
+
+–
––
X
Y
O 3–3-1
Informasi tentang limit dan tu-
runan fungsi dapat dimanfaatkan untuk
mengidentifikasi kelakuan grafik suatu
fungsi. Untuk mempermudah membuat
sket grafik suatu fungsi diperlukan
langkah-langkah sebagai beruikut:
(1) pertimbangkan domain dan range
fungsi tersebut.
(2) jika mungkin tentukan nilai nol
fungsi dengan menyelesaikan
persamaan f(x) = 0.
(3) tentukan semua titik kritis, perik-
sa jenis ekstrimnya, pertim-
bangkan grafik fungsi naik atau
turun pada selang-selang yang
ditemukan
(4) tentukan semua asymtot datar
dan asymtot tegak.
(5) tentukan selang sehingga grafik
fungsi itu cekung ke atas atau ke
bawah, dan titik infleksi.
(6) hitung nilai fungsi untuk
beberapa nilai x yng strategis.
Contoh 121
Buatlah sket grafik fungsi yang diberikan
oleh
22
1)(
xx
xxf .
Penyelesaian:
Jelas )(xf =22
1
xx
x =)2(
1
xx
x .
Pembawah bernilai nol untuk x = 0 dan
x = 2.
Jadi domain f adalah }2,0{RfD .
Jelas f(0) = 0, f(x) menuju positif tak
hingga apabila x naik menuju 1, dan f(x)
menuju negatif tak hingga apabila x turun
menuju 0.
Jadi RfR .
Jelas )(xf = 0)2(
1
xx
x = 0 x = 1.
Jelas)2(
1
0
limxx
x
x
,
)2(
1
0
limxx
x
x
,
)2(
1
2
limxx
x
x
, dan
)2(
1
0
limxx
x
x
.
Jadi garis x = 0 dan x = 2 merupakan
asymtot-asymtot tegak untuk f. Selanjut-
nya
0)2(
1lim
xx
x
xdan 0
)2(
1lim
xx
x
x.
Jadi garis y = 0 merupakan asymtot datar
untuk f.
Jelas )(xf =dx
xx
xd
22
1
=2)2(2
)22().1(
)1().22(
xx
dx
xxdx
dx
xdxx
=2)2(2
222
xx
xx .
Jelas )(xf tidak ada pada x = 0 dan x = 2.
Selanjutnya )(xf = 0 tidak mempunyai
selesaian.
Bilangan-bilangan kritis f adalah x = 0
dan x = 2.
Uji turunan pertama
x 0- 0 0+
)(xf + tidak ada +
f(x) Tidak ada
x 2- 2 2+
)(xf + tidak ada +
f(x) Tidak ada
Jadi fungsi f tidak mempunyai nilai eks-
trim dan grafik f naik pada fD .
j\“¤·“·†?P 230 j\“¤·“·†?P 231
Jelas )(xf =4)2(3
)8122434(2
xx
xxxx.
Jelas )(xf = 0 x = 1 dan )(xf tidak
ada untuk x = 0 dan x = 2.
Gambar 142: tanda )(xf berdasar tanda
pembangun )(xf .
Dari fakta yang ada pada Gambar 142
dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi f
cekung ke atas pada selang )0,( dan
[1,2), serta cekung ke bawah pada selang
),2[ . Jadi titik (1,0) merupakan titik in-
fleksi. Jelas bahwa3
2)1(f , f(1) = 0,
dan3
2)3(f . Ini menunjukkan bahwa
titik-titik )3
2,1( , (1,0), dan )
3
2,3( terle-
tak pada grafik f.
Grafik f:
Gambar 143: Tanda f(x) berdasarkan
tanda pembangun f(x).
Contoh 122
Buatlah sket grafik fungsi
RRf }2,2{: dengan42
2)(
x
xxf .
Penyelesaian:
Jelas)2)(2(
2
2
limxx
x
x
,
)2)(2(
2
2
limxx
x
x
,
)2)(2(
2
2
limxx
x
x
,
)2)(2(
2
2
limxx
x
x
, dan
f(0) = 0.
Jadi }2,2{RfD , RfR , x = –2 me-
rupakan asymtot tegak, dan x = 2 merupa-
kan asymtot tegak.
Jelas 0)2)(2(
2lim
xx
x
xdan
0)2)(2(
2lim
xx
x
x.
Jadi garis x = 0 merupakan asymtot datar.
Jelas2)42(
8)(
x
xxf .
Dengan demikian )2(f dan )2(f tidak
ada. Demikian pula
0)(xf 8x = 0
x = 0.
Jadi bilangan-bilangan kritis untuk f ada-
lah –2, 0, dan 1.
Uji turunan pertama di titik x = –2:
j\“¤·“·†?P 232 j\“¤·“·†?P 233
0
0
0
0
1
1
1
1
Tanda
–2(x – 1)
x3
– 4x + 8
x3(2 – x)
4
)(xf
–
+
– +
+ +
+
–
+–
++
2
2
2
2
+
+
–
–
X
Y
1
3
-2
x –2 –2 –2)(xf + 0 +
f(x) Tak ada
Uji turunan pertama di titik x = 0:
Uji turunan pertama di titik x = 2:
Uji turunan pertama untuk f mem-
perlihatkan bahwa nilai f(0) = 0 merupa-
kan nilai maksimum relatif, grafik f naik
pada selang-selang )2,( serta )0,2( ,
dan tu-run pada selang-selang (0,2) dan
),2( . Selanjutnya
0)(xf 03)42(
32224
x
x
tidak mempunyai selesaian dan )(xf ti-
dak ada di titik-titik x = –2 dan x = 2.
Tanda )(xf dianalisis menggunakan
garis-garis bilangan beruikut ini.
Gambar 144: Tanda )(xf
Dengan demikian dapat disimpulkan
grafik f cekung ke atas pada selang-se-
lang )2,( dan ),2( serta cekung ke
bawah pada selang (–2, 2). Selanjutnya
nilai5
9)3(f , f(0) = 0, dan
5
9)3(f . Jadi
titik-titik )5
9,3( , (0,0), dan )
5
9,3( terletak
pada grafik f. Grafik f adalah sebagai
berikut.
Gambar 145: Garis y = 0 asymtot datar,
garis x = –2 dan x = 2 me-
rupakan asymtot tegak, dan
f(0) nilai maksimum relatif.
5. Penggunaan Turunan Yang
Lain
Pemanfaatan turunan yang juga pen-
ting adalah untuk membantu menyele-
saikan masalah-masalah pada kehidupan
nyata.
Masalah Maksmum dan Minimum
Langkah-langkah untuk menyelesai-
kan masalah maksimum-minimum adalah
melalui pemodelan matematika. Untuk
menyelesaikan suatu masalah adakala-
nya tidak dapat langsung. Akan tetapi
melalui suatu metode yang biasanya dise-
but dengan pemodelan matematika.
Pertama:
(a) Identifikasi semua besaran yang
terlibat dalam masalah nyata ter-
sebut.
(b) Memberi lambang setiap besaran
yang teridentifikasi.
j\“¤·“·†?P 234 j\“¤·“·†?P 235
x 0 0 0)(xf + 0 –
f(x) 0
x 2 2 2)(xf – Tak ada –
f(x) Tak ada
– 2
– 2
– 2
2
2
2
Tanda
24x2+32
(x2
– 4)3
)(xf
+ + + + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
– – –
– – –
X
Y
O
ff
f
)95,3()
95,3(
–2 2
(c) Memilah-milah besaran-be-
saran itu mana yang variabel
dan mana yang merupakan
konstanta.
(d) Menentukan hukum yang me-
ngendalikan pada masalah ter-
sebut.
(e) Hukum yang mengendalikan
ini menentukan hubungan an-
tara setiap variabel dan kons-
tanta yang merupakan model
matematika.
Kedua:
(a) Menyatakan model matematika
yang diperoleh sebagai fungsi
dengan sebuah variabel.
(b) Menentukan domain dan range
fungsi.
(c) Menentukan nilai maksimum
atau minimum fungsi itu ber-
dasarkan teori yang telah dike-
mukakan.
Ketiga:
(a) Menentukan solusi model mate-
matika.
(b) Menginterpretasi solusi model
sehingga menghasilkan solusi
masalah nyata.
Langkah-langkah tersebut dapat
dinyatakan sebagai diagram pemodelan
matematika berikut ini.
Diagram 146: Pemodelan Matematika
Contoh 123
Suatu kotak terbuka di atas dibuat dari
lembaran seng berbentuk persegi berukuran
sisi 12 cm dengan memotong pada setiap
ujungnya persegi-persegi kongruen seperti
nampak pada gambar 37. Tentukan ukuran
volum maksimum kotak.
Gambar 147: Kotak dibangun meng-
gunakan lembaran seng.
Penyelesaian:
Besaran Yang Terlibat Lmb. Sat. V/K
Ukuran panjang Alas p cm Var
Ukuran lebar Alas l cm Var
Ukuran tinggi kotak x cm Var
Ukuran volum Kotak V cm3
Var
Ukuran luas bahan s = 12 cm K
Jelas p(x) = 12 – 2x,
l(x) = 12 – 2x, dan
V(x) = (12 – 2x).(12 – 2x).x.
Jelas ]6,0[vD
dan )(xV =dx
xxxd )14424834(
= 12x2
– 96x + 144
= 12(x – 2)(x – 6).
Dengan demikian )(xV = 0
12(x – 2)(x – 6) = 0
x = 2 atau x = 6.
Jadi bilangan kritis untuk V adalah 2 dan 6.
Uji Turunan pertama di x = 2:
x 2-
2 2+
)(xV + 0 –
V(x) 128
Jadi volum maksimum kotak 128 cm3.
Untuk x = 6 tidak ada kotak yang terjadi.
j\“¤·“·†?P 236 j\“¤·“·†?P 237
Masalah
Nyata
Model
Matematika
Solusi
Model
Solusi
Masalah
* Identifikasi besaran
* Memberi Lambang
* Menentukan satuan
* Pilah Var/ Kons.
Hukum Yang
Mengendalikan
x
x
xx
x x
x
x
Contoh 124
Seorang berada dalam perahu (posisi A)
yang berjarak 3 mil dari pantai yang lu-
rus. Ia ingin mencapai rumahnya di pantai
(posisi C) yang berjarak 20 mil dari titik
di pantai yang terdekat padanya (posisi
B). Jika ia dapat mendayung dengan ke-
cepatanjam
mil4 dan berjalan kaki dengan
kecepatanjam
mil5 , tentukan titik di pantai
yang harus dituju agar ia sampai di rumah
dalam waktu sesingkat mungkin.
Gambar 148: Route seseorang di laut
menuju rumah.
Besaran yang terlibat Lmb. Sat. V/K
Jarak BD x mil Var
Kec. Mendayung Vm= 3
jam
mil kons
Kecepatan jalan kaki Vj= 5
jam
mil kons
Waktu yg dibutuhkan T jam Var
Dipunyai 92xAD dan xCD 20 .
Model matematika:
)(xT =jV
CD
mV
AD
)(xT =5
20
4
92xx .
Jelas ]20,0[TD .
Selanjutnya )(xT =dx
xxd
5
20
4
92
=5
1
924 x
x .
Dengan demikian
)(xT = 05
1
924 x
x = 0 x = 4.
Jadi bilangan kritis T adalah x = 4.
Uji turunan pertama di x = 4:
x 4-
4 4+
)(xT – 0 +
T(x)20
95
Jadi T(4)=20
95 merupakan nilai minimum.
Jadi agar orang itu sampai di rumah da-
lam waktu yang paling singkat, ia harus
mendayung menuju D di pantai yang
berjarak 4 mil dari B.
Contoh 125
Sebuah bak berisi 50 liter air asin yang
mengandung 10 gram larutan garam. Air
asin yang mengandung larutan garam tiap
liter mengalir ke dalam bak dengan laju
menit
liter5 . Secara otomatis campuran
diaduk agar homogen dan hasil campuran
ini mengalir ke luar bak dengan laju
menit
liter3 . Tentukanlah model matematika
masalah ini.
Gambar 149: Larutan garam masuk mela-
lui kran dan kemudian menga-
galir keluar.
j\“¤·“·†?P 238 j\“¤·“·†?P 239
Penyelesaian: hubungan antara masing-masing laju pe-
A
B C
3 mil
20 mil
D
Vm
Vk
Tabel 11: Identifikasi besaran
yang terlibat.
Besaran yang
terlibat
Lmb. Sat. V/K
Waktu t menit V
Banyak garam di
bak
x(t) gram V
Konsentrasi
garam di bak
C(t)
liter
gram V
Volum air di bak x(t)
menit
gram V
Laju pertambahan
garam di bak dt
dx
menit
gram V
Laju volum
larutan masuk bak
Vm=5
menit
liter Vm
Laju volum
larutan keluar bak
Vk=3
menit
liter Vk
Pertambahan volum cairan di bak tiap menit
ada-lah:
(5 – 3)l = 2l.
Jadi y(t) = 50 + 2t.
Dengan demikian konsentrasi garam di
bak pada saat detik adalah:
C(t) =t
x
230.
Laju garam masuk bak adalah
2liter
gram. 5
det
liter = 10det
gramn.
Laju garam yang keluar adalah
kVtC ).( = 10 -t
x
230
3 .
Jadi model matematika masalah di atas
adalah
10)0(230
310
xt
x
dt
dx
yang diselesaikan memanfaatkan anti
tu-runan, jadi akan dibahas dalam
matakuiah Kalkulus 2.
6. Masalah Laju Yang
Berkaitan
Jika dua atau lebih fungsi (dalam
waktu) yang terdeferensial dikaitkan
dalam sebuah persamaan, selalu diper-
oleh
rubahan dengan mendiferensialkan kedua
ruas persamaan itu terhadap t (waktu).
Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 126
Dipunyai fungsi-fungsi f dan g dikaitkan
oleh persamaan
f(t) = 3[g(t)]2
+ 10, )t .
Tentukan laju perubahan fungsi f di t = 4,
apabila diketahui
G(4) = 2 dan 5)4(g .
Penyelesaian:
Kedua ruas persamaan diturunkan terha-dap
t, diperoleh
)(tf =dt
tgd 102)]([3
=dt
tgd2)]([3
+dt
d )10(
=dt
tgd
tgd
tgd)]([
.)]([
2)]([3
= 6.g(t). )(tg .
Jadi )4(f = 6.g(4). )4(g .
= 6.2.(-5)
= –60.
Contoh 127
Sebuah balon berbentuk bola dipompa se-
hingga ukuran volumnya naik 100det
3cm . De-
ngan laju berapa jari-jari balon naik, ketika
ukuran jari-jari balon mencapai 6 cm.
Penyelesaian:Tabel 11: Identifikasi besaran
yang terlibat.
Besaran yang
terlibat
Lam-
bang
Satuan
V/ K
Waktu t Detik V
Volum Balon V(r) cm3
V
Jejari balon r(t) cm V
Laju perubah-
an volum per-
detik
100dt
dV
det
3cm
K
j\“¤·“·†?P 240 j\“¤·“·†?P 241
Jelas V(t) = 3)]([3
4tr .
Andaikan V dan r mempunyai turunan
terhadap t. Jadi
dt
dr
dr
dV
dt
dV
100 =dt
dr
dr
rd )(
3
4 3
100 =dt
drr ...4 2
2.
25
rdt
dr.
Untuk r = 9, diperoleh.81
25
dt
dr.
Interpretasi:
Laju perubahan jejari balon pada saat je-
jari belum mencapai 9 cm adalah
det.81
25 cm.
Berdasarkan pembahasan dan contoh
di muka, dapat disusun langkah-langkah
menyelesaikan masalah laju yang berka-
itan adalah sebagai berikut:
(1) Jika masalahnya adalah masalah
yang dapat diinterpretasi secara
geometrik, sketlah gambarnya.
(2) Sebutkan semua besaran yang
terlibat, tentukan satuannya, dan
pilah mana yang variabel dan
mana yang konstanta.
(3) Berdasarkan sketlah gambarnya,
bersama-sama dengan hubungan
yang diketahui antara variabel-va-
riabelnya tulislah persamaan yang
mengkaitkan variabel-variabel
yang sesuai.
(4) Turunkan kedua ruas persamaan
itu, menggunakan aturan rantai
apabila perlu, untuk memperoleh
suatu persamaan yang mengkait-
kan laju perubahan-laju perubah-
an.
(5) Selesaikan untuk laju yang dicari.
Setelah mengerjakan ini semua,
substitusikan data yang diketahui
untuk menyatakan penyelesaian
yang diperoleh.
Contoh 128
Seorang mahasiswa fisika berdiri 30 mil
di muka suatu bagian rel pacu yang lurus
dalam rangka melaksanakan percobaan
tentang Efek Dopller. Sebuah kereta
menghampiri, bergerak sepanjang rel pa-
cu dengan kecepatanjam
km30 . Berapa
penurunan jarak antara kereta dan maha-
siswa ketika kereta api berjarak 50 m dari
mahasiswa.
Penyelesaian:
Gambar 150: Peta lokasi percobaan
Efek Dopller
Tulis K: posisi kereta api
M: posiosi mahasiswa, dan
P: titik di rel pacu yang mempu-
nyai jarak terdekat dengan
dengan mahasiswa.
Besaran-besaran yang terlibat dicatat pa-
da daftar berikut ini:Tabel 11: Identifikasi besaran
yang terlibat.
Besaran
Yang terlibat
Lamb. Sat. V/ K
Waktu t jam V
KP x m V
KM y m V
PM zo m V
Kecepatan
Kereta 90dt
dx
jam
km K
j\“¤·“·†?P 242 j\“¤·“·†?P 243
x
30 cmy
K P
M
Masalah:
Mencaridt
dxpada saat KM = 50.
Jelas y2
= x2
+ 900.
Selanjutnya diasumsikan bahwa x(t) dan
y(t) mempunyai turunan terhadap varia-
bel t. Jadi
dt
yd )( 2
=dt
xd )( 2
+dt
d )900(
dt
dy
dy
yd.
)( 2
=dt
dx
dx
xd.
)( 2
dt
dyy.2 =
dt
dxx.2
dt
dy=
dt
dx
y
x. .
Kasus y = 50:
Jelas 403050 22x .
Jadi50ydt
dy= )90.(
50
40= –72.
Interpretasi:
Laju penurunan jarak antara kereta dan
mahasiswa 50 m adalahjam
km72 .
Latihan Soal Bab. 5
1. Untuk fungsi-fungsi f yang berikut ini,
tentukan selang terbesar sehingga
grafik f naik atau turun, tentukan
ekstrim relatif dan jenisnya, kemudian
dengan informasi yang diperoleh
sketlah grafik f:
(a) 64)( 2xxxf ,
(b) 2)2(9)( xxf ,
(c) 3
2
4)( xxf ,
(d) 24)( xxf ,
(e) 35)( 3
2
3
5
xxxf ,
(f)x
xxf
4)( , dan
(g)21
1)(
x
xxf .
2. Dipunyai fungsi RRf : dengan
7)( 23bxaxxxf mempunyai
ekstrim relatif di x = 1 dan x = –3.
(a) Tentukan nilai a dan b,
(b) Periksa jenis ekstrim relatif terse-
but.
3. Tentukan nilai ekstrim untuk setiap
fungsi f yang diberikan berikut ini:
(a) ]2,1(,34)( xxf ,
(b) ]3,2[,1
)(x
xf ,
(c) ),(,4)( 2xxf ,
(d)
2,2
2,5
2
)(
x
xxxf , [3,5], dan
(e)1,3
1,1)(
x
xxxf , [–2,1].
4. Periksa apakah fungsi f yang diberikan
pada selang yang disajikan memenuhi
kondisi teorema Rolle:
(a) ]4,1[,2,2
2,)2()(
2
xx
xxxf dan
(b) ]2,2[,1,
11)(
2xx
xxxf .
5. Berikan sebuah contoh fungsi f yang
tak memenuhi kondisi teorema Rolle,
tetapi simpulan pada teorema ini ada
opada selang [0,4].
j\“¤·“·†?P 244 j\“¤·“·†?P 245
6. Periksa naik atau turunnya fungsi-
fungsi berikut menggunakan uji turun-
an pertama:
(a) 21)( xxf ,
(b) 2
3
)( xxf , dan
(c)2
4)(
xxf .
7. Tentukan selang terbesar sehingga
fungsi berikut ini cekung ke bawah
atau cekung ke atas:
(a)1
)(x
xxf ,
(b) 3
1
)2()( xxf , dan
(c) 35)( 3
2
3
5
xxxf .
8. Dipunyai fungsi RRf : . Jika f(0) =
0 dan f cekung ke bawah untuk setiap
Rx , buktikan 0)(xf untuk seti-
ap Rx .
9. Tentukan nilai ekstrim relatif dan
jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut
menggunakan uji turunan kedua:
(a) xxf2sin)( ,
(b) 2034484)( 234xxxxxf ,
(c)x
xxf2
)( 2 .
10. Tentukan:
(a)24
3
23
)4(lim
xx
xx
x,
2
1lim
2 xx
,
(b)x
x
x
sinlim , x
x
tanlim_
2
,
(c)
51
limxx
,x
x
x 0
lim ,
(d)4
22
4
)2(lim
x
xx
x, dan
3
21
)1(
1lim
xx
.
11. Dipunyai fungsi RRf }4{: yang
diberikan olehx
xxf
4
71)( mem-
punyai asimtot datar y = 3. Tentukan
nilai a dan b.
12. Dipunyai fungsi RDf : , RD ,
danbaxx
xf2
1)( . Garis-garis
x = 3 dan x = 5 merupakan asimtot-
asimtot tegak grafik f. Tentukan nilai
a dan b.
13. Buatlah sket grafik fungsi yang
disajikan berikut ini:
(a) 82)( 2xxxf ,
(b)4
4)(
x
xxf ,
(c)x
xxf1
9)( ,
(d) 24)( xxf ,
(e) 3
2
3
5
)1()1()( xxxf ,
(f)2)12(
)(x
xxf , dan
(g)5
)(3
5
3
2x
xxf .
14. Tentukan persamaan garis singgung
pada grafik fungsi RRf : dengan
xxxxf 53)( 23 yang memiliki
gradien paling kecil.
15. Suatu wabah (epidemi) berjangkit di
lingkungan masyarakat. Dalam x bu-
lan setelah wabah mulai berjangkit, P
persen penduduk telah terjangkit,
dengan laju
22
2
)1(
30)(
x
xxP .
Setelah berapa bulan paling banyak
penduduk yang terjangkit dan berapa
j\“¤·“·†?P 246 j\“¤·“·†?P 247
persenkah dari penduduknya.
16. Arus searah generator mempunyai
gaya elektromotif sebesar E volt dan
tahanan sebesar r ohm (E dan r meru-
pakan konstanta). Bila R ohm tahan-
an luar, (r + R) adalah tahanan total,
dan P Watt adalah tenaga, maka
22
2
)1(
30)(
x
xxP .
Setelah berapa bulan banyak pendu-
duk yang terjangkit mencapai puncak
dan berapa persenkah penduduk yang
terjangkit.
17. Suatu bak berisi 50 liter air asin yang
mengandung 10 gram garam. Air asin
yang mengandung 2 gram larutan
garam tiap liter mengalir ke dalam
bak dengan lajumenit
liter5 . Secara oto-
matis larutan diaduk agar larutan ini
homogen. Hasil campuran ini me-
ngalir keluar dari bak dengan laju
menit
liter5 . Tentukan model matematika
masalah tersebut. Tentukan pula ba-
nyak garam di bak pada 10 menit
yang pertama.
j\“¤·“·†?P 248 j\“¤·“·†?P 249
DAFTAR PUSTAKA
[1] Leithold, L. (1986). (diterjemahkan oleh Hutahaean). Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Jilid
II. Jakarta: Penerbit Erlangga.
[2] Purcell, E. & Varberg, D (1984). (diterjemahkan oleh I Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita,
dan Rawuh). Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Jilid I. Jakarta: Penerbit Erlangga.
[3] Bartle, G. Robert. (1982). Introduction To Real Analyisis. New York: John Wiley & Sons.
Inc.
[4] Berkey, D. Dennis. (1988). Calculus, 2nd Edition. New York: Sounders College Publishing
Top Related