7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 1/25
MAKALAH MATEMATIKA
Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Matematika
Disusun oleh :
WULAN SARI
NIM : 1251.0.15
KELAS 1B
FAKULTAS TARBIYYAH PROGRAM PGSD/PGMI-S1
INSTITUT AGAMA ISLAM LATIFAH MUBAROKIYYAH
PONDOK PESANTREN SURYALAYA
2012
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 2/25
BAB I
PENDAHULUAN
A. Lata B!"a#a$%
Dalam kehidupan manusia tidak terlepas dari hitung-menghitung. Di
segala macam sosialisasinya pastilah manusia menggunakan hal tersebut.
Dalam dunia pendidikan, hal tersebut dinamakan ilmu hitung atau yang lebih
populer dengan sebutan matematika yang identik dengan hitung-hitungan.Ilmu hitung adalah ilmu pasti yang tidak dapat diterka jawabannya
hanya menggunakan angan-angan atau pendapat, semua harus berdasarkan
pada dalil dan rumus. Oleh karena itulah matematika dinamakan ilmu eksat
atau ilmu pasti. Karena matematika berhubungan dengan hal yang pasti saja.ampir semua manusia yang pernah belajar mengenal ilmu ini
karena diseluruh dunia ilmu ini dipelajari. Dalam perkuliahan kali ini, kami
mahasiswa mendapat tugas untuk membuat makalah tentang materi
pembelajaran matematika, maka judul ini kami pilih guna memenuhi tugas
tersebut.
B. R&'&(a$ Ma(a"a)
!. "pa pengertian dan sejarah matematika#
$. %agaimana karakteristik matematika #&. %agaimana hakikat pembelajaran matematikan di sekolah #'. %agaimana penyajian pembelajaran matematika di sekolah #
*. T&+&a$ P!',a)a(a$
Makalah matematika ini secara khusus disusun untuk memenuhi salah
satu tugas Mata Kuliah Matematika. (amun selain daripada itu makalah ini
disusun untuk :!. Mengetahui pengertian dan sejarah matematika.$. Mengetahui karakteristik matematika.
&. Memahami hakikat pembelajaran matematikan di sekolah.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 3/25
'. Memahami penyajian pembelajaran matematika di sekolah.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 4/25
BAB II
HAKIKAT MATEMATIKA
A. P!$%!ta$ Mat!'at#a
)ecara etimologi berasal dari bahasa *unani Kuno ++/
0máthēma1, yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu, yang ruang
lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi 2pengkajian matematika2,
bahkan demikian juga pada 3aman kuno. Kata si4atnya adalah +/+/56789
0mathēmatikós1, berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar , yang lebih
jauhnya berarti matematis. )ecara khusus, +/+/567 5;<= 0mathēmatik
tékhnē 1, di dalam bahasa >atin ars mathematica, berarti seni matematika.Matematika 0dari bahasa *unani: μαθηματικά - mathēmatiká1 adalah
studi besaran, struktur , ruang, relasi, perubahan, dan beraneka topik pola,
bentuk , dan entitas. )edangkan dalam Kamus %esar %ahasa Indonesia
0K%%I1, matematika dide4inisikan sebagai ilmu tentang bilangan, hubungan
antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam
penyelesaian masalah mengenai bilangan. 0asan "lwi, $??$:@$&1Menurut S&'a$ 0$??':$A1 secara umum de4inisi matematika
dapat dideskripsikan sebagai berikut, di antaranya:!. Matematika sebagai struktur yang terorganisir.$. Matematika sebagai alat 0tool1.&. Matematika sebagai pola pikir dedukti4.'. Matematika sebagai cara bernalar 0the way o4 thinking1.B. Matematika sebagai bahasa arti4isial.C. Matematika sebagai seni yang kreati4.
adi matematika adalah ilmu yang terorganisir sebagai alat berpikir
dedukti4 dan cara bernalar untuk memahami bahasa arti4isial dan sebagai seni
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 5/25
kreasti4 yang pembahasannya meliputi studi besaran, struktur , ruang, relasi,
perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk , dan entitas.
B. S!+aa) Mat!'at#a
Kata EmatematikaF bahasa *unani Kuno μάθημα máthēma!" yang
berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu,juga mathematikos yang diartikan
sebagai Esuka belajar ilmu matematikaF telah banyak dikenal orang pada masa
pra sejarah. %anyak ditemukan berbagai tulisan matematika di berbagai
wilayah yang merupakan sisa peninggalan 3aman prasejarah, di antaranya :
!. Matematika %abilonia tahun !G?? )M, ditemukan oleh Hlimpton$. Matematika Moskow di Jusia tahun !GB? )M&. Matematika Jhind di Mesir tahun !CB? )M'. )ulbha sutra matematika India tahun A?? )M.
Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir. Oleh
karena itu logika merupakan dasar untuk terbentuknya matematika. >ogikaadalah bayi matematika, sebaliknya matematika adalah masa dewasa logika.
Hada awal perkembangan matematika di Indonesia setelah penjajahan %elanda
dan epang, digunakan istilah EIlmu HastiF untuk matematika. Dalam
penyelenggaraan di sekolah digunakan berbagai istilah cabang matematika
seperti :
!. llmu Lkur,$. "ljabar,&. rigonometri,'. Noniometri.B. )tereometri,C. llmu Lkur >ukis
)ejarah matematika termasuk bagian dari matematika. )ejarah
matematika tidak saja ada karena keberadaannya merupakan suatu
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 6/25
keniscayaan, tetapi ia juga penting karena dapat memberi pengaruh kepada
perkembangan matematika dan pembelajaran matematika. Matematika yang
diciptakan oleh manusia terdahulu, memberi ilham bagi paradigm
pembelajaran yang bersi4at konstruktiistik sebagai bentuk implikasi sejarah
matematika dalam pembelajaran.
)iswa-siswi diperbolehkan menggunakan usahanya sendiri dalam
menyelesaikan masalah matematika. %ahkan, siswa dan siswi diberi
kebebasan dalam menggunakan bahasa dan lambangnya sendiri. Haradigma
semacam ini menjadi suatu kecenderungan dalam pembelajaran matematika
realistik atau konstruktiis. Herkembangan matematka dalam diri indiidu
#nt#gen$! mungkin saja yang sama dengan perkembangan matematika itu
sendiri ph$t#gen$!%
*. Ta)aa$ Da"a' Mat!'at#a
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan
perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan pemprediksian
peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan
dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: struktur, ruang, dan
perubahan.
!. Helajaran tentang struktur dirnulai dengan bilangan. Hertama dan yang
sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat berikut operasi
arimetikanya, yang dijabarkan dalam aljabar dasar. )i4at bilangan bulat
yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 7/25
$. llmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Puclid dan
trigonometri dari ruang tiga dimensi 0yang juga dapat diterapkan ke
dimensi lainnya1, kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri
(oneuclid yang memainkan peran sentral dalam teori relatiitas umum.
%idang ilmu modern tentang ge#metri di&erensial dan geometri aljabar
menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah: geometri di4erensial
menekankan pada konsep 4ungsi, buntelan, deriati4, sm##thness, dan
arah. )ementara itu, dalam geometri aljabar, objek-objek geometris
digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial.&. Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat
dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan
kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang
digunakan untuk menjelaskan perubahan ariabel adalah 4ungsi. %anyak
permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara
kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah
ini adalah topik dari persamaan di44erensial.'. Lntuk merepresentasikan kuantitas yang terus menerus digunakanlah
bilangan riil. Di sisi lain, studi mendetail dari si4at-si4atnya dan si4at 4ungsi
nilai riil dikenal sebagai analisis riil. "gar dapat menjelaskan danmenyelidiki dasar matematika, bidang pasti, logika matematika, dan teori
model dikembangkan. %idang-bidang penting dalam matematika terapan
ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan
memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan 4enomena dan digunakan
dalam seluruh ilmu. "nalisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 8/25
guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada
komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.
D. S!+aa) P!#!',a$%a$ Mat!'at#a
1. P!',!"a+aa$ a$% R!a"(t#/K$(t&#t(
Hemahaman pembagian sebagai distribusi sesungguhnya tidak
membutuhkan EceramahF dari guru, karena siswa memiliki potensi untuk
2menemukan2 konsep tersebut. >alu daripada langsung menyuguhkan
lambang 4ormal semacam &C : &, guru dapat menggunakan soalyang
kontekstual, seperti di bawah ini :
iga anak akan membagi &C permen sama rata. %erapa permen yang akan
diperoleh oleh tiap-tiap anak# )iswa-siswi mungkin akan menemukan
salah satu dari model atau prosedur penyelesaian berikut ini.
a. Membagi dengan dasar geometris, yaitu dengan membagi susunan
permen menjadi tiga daerah bagian yang sama. b. Mendistribusi satu demi satu. Mungkin dengan menyilang permen
yang telah didistribusi ke salah satu anak.c. Mengelompokkan tigatiga. Mungkin dengan pertimbangan setiap kali
permen didistribusi, akan terdistribusi ke tiga orang anak.
Model atau strategi penyelesaian tersebut di atas secara implisit
memuat ide tentang pengurangan berulang repeated subracti#n! maupun
bagi adil &air sharing!" bahkan ide tentang kebalikan perkalian in'ers #&
multiplicati#n!. ugas guru adalah mem4asilitasi siswa-siswi sampai pada
ide-ide tersebut sebelum benar-benar menyatakannya sebagai kalimat
matematika 4ormal 0penggunaan simboldan konsepprinsip matematika1.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 9/25
2. S!+aa) B"a$%a$ N!%at3 a$ B"a$%a$ P(t3 *$a K&$
Di Qina, penggunaan bilangan positi4 ditandai dengan batang 0atau
gambar batang1 merah, sedangkan bilangan negati4 ditandai dengan batang
hitam. Mungkin ini telah dikenal ribuan tahun yang lalu, dan kita dapat
melihatnya pada ian3hong )uanshu 0antara tahun $?C )M -$$? M1. "pa
yang digunakan oleh orang Qina Kuno tersebut dapat digunakan dalam
pembelajaran
untuk menunjukkan bilangan bulat 0bulat positi4, nol, dan bulat
negati41. lllustrasi dari Qina kuno dapat digunakan untuk menunjukkan
si4at negatie sebagai hutang dan positi4 sebagai piutang 0atau
mempunya1.
4. Bata$% Na! a"a' P!',!"a+aa$ At&a$ P!#a"a$
ohn (apiler 0!BB? - !C!@1 dalam bukunya Jabdologiae yang
diterbitkan tahun !C!@ menyuguhkan sebuah alat melakukan perkalian
yang disebut %atang (apiler dan menjadi terkenal pada 3amannya. "lat
tersebut menggunakan prinsip perkalian desimal yang telah dikenal di"rab
melalui apa yang disebut lattice diagram.
)ebuah batang (apiler terdiri atas !? kotak, dengan kotak teratasmenunjukkan sebuah bilangan dasar 0digit1 dan kotak selanjutnya berturut-
turut merupakan hasil perkalian bilangan dasar tersebut dengan bilangan t
hingga G dengan bagian satuan diletakkan diposisi tengah diagonal dan
bagian puluhan diletakkan di bagian atas diagonal.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 10/25
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 11/25
BAB III
KARAKTERISTIK MATEMATIKA
Ralau tidak dapat suatu pengertian tentang matematika yang tunggal dan
disepakati oleh semua tokoh atau pakar matematika namun dapat terlihat adanya
ciri-ciri khusus atau karakteristik yang merangkum pengertian matematika secara
umum. %eberapa karakteristik itu adalah:!. Memiliki objek abstrak $. %ertumpu pada kesepakatan&. %erpola pikir dedukti4 '. Memiliki simbol yang kosong dari artiB. Memperhatikan semesta pembicaraanC. Konsisten dalam sistemnya.
A. M!'"# O,+!# A,(ta#
Dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak dan
sering disebut objek mental. Objek-objek itu merupakan objek pikiran. Objek
dasar itu meliputi 4akta, konsep, operasi ataupun relasi dan prinsip. Dari objek
itulah dapat disusun suatu pola dan struktur matematika.Sakta merupakan konensi-konensi yang diungkapkan dengan
simbol tertentu. )imbol bilangan E&F secara umum sudah dipahami sebagai
bilangan EtigaF. ika disajikan angka E&F orang sudah dengan sendirinya
menangkap maksudnya yaitu TtigaF. )ebaliknya kalau seseorang mengucapkan
kata EtigaF dengan sendirinya dapat disimbolkan dengan E&F. Sakta lain dapat
terdiri atas rangkaian simbol, misalnya E&U'F yang dipahami tiga ditambah
empat. Demikian juga E&VB W !BF adalah 4akta yang dipahami sebagai Etiga
kali lima adalah lima belasF. Sakta yang lebih komplek adalah
E&VBWBUBUBW!BF. Dalam geometri juga terdapat simbol-simbol tertentu yang
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 12/25
merupakan konensi, misalnya EF yang bermakna EsejajarF, EOF yang
bermakna lingkaran dan sebagainya. Dalam aljabar dikenal 0a,b1 sebagai
pasangan berurutan dan dalam kalkulus sebagai interal buka.Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk
menggolongkan sekumpulan objek. "pakah objek tertentu merupakan contoh
konsep ataukah bukan EsegitigaF adalah nama suatu konsep abstrak. Dengan
konsep itu sekumpulanobjek dapat digolongkan sebagai contoh segitiga
ataukah bukan contoh E%ilangan "sliF adalah nama suatu konsep yang lebih
komplek karena bilangan asli terdiri atas banyak konsep sederhana yaitu
bilangan EsatuF, EduaF, EtigaF dan seterusnya. Dalam matematika terdapat
konsep yang amat penting yaitu E4ungsiF, EariabelF dan EkonstantaF. Konsep
tersebut seperti halnya dengan bilangan terdapat disemua cabang matematika.
%anyak konsep lain dalam matematika yang si4atnya lebih kompleks misalnya
EmatriksF, EektorF, EgroupF dan Truang matriksFKonsep berhubungan erat dengan de4inisi. De4inisi adalah ungkapan
yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya de4inisi orang dapat membuat
ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang dide4inisikan. )ehingga
menjadi jelas apa yang dimaksud konsep tertentu. Konsep trapesium misalnya
bila diungkapkan dalam de4inisi Etrapesium adalah segiempat yang tepatsepasang sisinya sejajar1F akan menjadi jelas maksudnya. Konsep trapesium
dapat dikemukakan dengan de4insi lain, misalnya Esegiempat yang terjadi jika
sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya
adalah trapesium1F. Kedua de4inisi trapesium di atas memiliki isi kata atau
makna kata yang berbeda.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 13/25
Kedua de4inisi itu dikatakan EintensiF yang berbeda tetapi memiliki
TekstensiF yang sama. Kesamaan ekstensi itu dapat diuji dengan pertanyaan
Eadalah trapesium meurut de4inisi pertama yang tidak termasuk dalam
trapesium menurut de4inisi kedua dan sebaliknya#. Pkstensi suatu de4inisi juga
berarti Ehimpunan yang tertangkap oleh de4inisi ituF.De4inisi pertama digolongkan dalam de4inisi analitis, yaitu de4inisi
yang menyebutkan genus proksimum 0genus terdekat1 dan de4erensia spesi4ika
0pembeda khusus1. )ebagai contoh E%elah ketupat adalah jajargenjang
yang...F, genus proksimumnya yaitu EjajargenjangF sedangkan de4erensia
spesi4iknya adalah keterangan yang berada dibelakang kata EyangF.)edangkan de4inisi kedua digolongkan de4inisi genetik, yaitu de4inisi
yang menyebutkan bagaimana konsep itu terbentuk atau terjadi. )ebagai
contoh trapesium adalah segiemapat yang terjadi bila sebuah segitiga dipotong
oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya. enis de4inisi ketiga adalah
de4inisi dengan rumus, yaitu misalkan 0!1 aUbWaU0-b1, 0$1 nXWn0n-!1X ,?XW!Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan
matematika yang lain. )ebagai contoh misalnya EpenjumlahanF. EperkalianF.
EgabunganF. EirisanF. Lnsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. Hada
dasarnya operasi dalam matematika adalah suatu relasi khusus karena operasi
adalah aturan untuk memperoleh elemen tungga dari satu atau lebih elemen
yang diketahui.)emesta dari elemen-elemen yang diketahui maupun dari elemen yang
diperoleh dapat sama tetapi dapat juga berbeda. Plemen tunggal yang
diperoleh disebut sebagai hasil operasi sedangaka satu atau lebih elemen yang
diketahui disebut elemen yang dipoerasikan. Dalam matematika dikenal dalam
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 14/25
berbagai macam operasi yaitu operasi unair, operasi biner, operasi terner dan
sebagainya. ergantung dari banyak elemen yang dioperasikan. Henjumlahan
adalah operasi biner karena elemen yang dioperasikan ada dua. etapi
Etambah limaF adalah operasi unair karena elemen yang dioperasikan hanya
satu. Dalam himpunan operasi gabungan adalah operasi biner tetapi
komplemen adalah operasi unair. )eringkali operasi juga disebut EskillF bila
yang ditekankan adalah keterampilannya.
Hrinsip adalah objek matematika yang kompleks. Hrinsip dapat terdiri
dari beberapa 4akta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun
operasi. )ecara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan
antara berbagai objek dasar matematika. Hrinsip dapat berupa aksioma,
teorema, si4at, dan sebagainya.
B. B!t&'& Paa K!(!a#ata$
)eperti halnya dalam kehidupan keseharian kita, termasuk kehidupan
berbangsa dan bernegara, terdapat banyak kesepakatan yang mengikat semua
anggota masyarakat. Dalam matematika kesepakatan merupakan suatu
tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang mendasar adalah "ksioma dan
konsep primiti4. "ksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putarnyaargumentasi dalam pembuktian. )edangkan konsep primiti4 diperlukan untuk
menghindarkan berputar-putar dalam mende4inisikan."ksioma juga disebut Hostulat ataupun pernyataan pangkal 0yang
tidak perlu dibuktikan1. )edangkan konsep primiti4 yang juga disebut sebagai
unde4ined terms ataupun pengertian pangkal tidak perlu dide4inisikan.
%eberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 15/25
dapat membetuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya dapat menurunkan
berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat konsep primiti4 tertentu dari
satu atau lebih konsep primiti4 dan dapat dibentuk konsep baru melalui
pende4inisian.
*. B!"a P# D!&#t3
Dalam matematika sebagai EilmuF hanya diterima pola pikir dedukti4.
Hola pikir dedukti4 secara sederhana dapat dikatakan pemikiran Eyang
berpangkal dari hal yang bersi4at umum diterapkan atau diarahkan pada hal
yang bersi4at khususF. Hola pikir dedukti4 ini dapat terwujud dalam bentuk
yang amat sederhana tetapi juga dapat terbentuk dalam wujud yang tidak
sederhana.)eorang siswa )D sudah mengerti makna konsep EpersegiF yang
diajarkan gurunya. )uatu hari siswa tersebut melihat berbagai macam bentuk
pigura yang terdapat pada suatu pameran lukisan. )aat itu dia menunjukkan
pigura yang berbentuk persegi dan yang bukan persegi, ini berarti siswa
tersebut telah menerapkan pemahaman umum tentang persegi ke dalam situasi
khusus tentang pigura-pigura tersebut. adi siswa itu pada waktu menunjuk
pigura persegi telah menggunakan pola pikir dedukti4 yang tergolong
sederhana.%anyak teorema dalam matematika yang EditemukanF melalui
pengamatan-pengamatan khusus, misalnya eorema Hythagoras. %ila hasil
pengamatan tersebut dimasukan dalam struktur matematika terentu maka
teorema yang ditemukan harus dibuktikan secara dedukti4 dengan
menggunakan teorema dan de4inisi terdahulu yang telah diterima.
D. M!'"# S'," a$% K($% a At
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 16/25
Dalam matematika terdapat banyak sekali simbol yang digunakan baik
berupa huru4 ataupun bukan huru4. Jangkaian simbol-simbol dalam
matematika dapat membentuk suatu model matematika dapat berupa
persamaan, pertidaksamaan, bangun eometrik tertentu dan sebagainya. uru4-
huru4 yang digunakan dalam model persamaan misalnya VUyW3 belum tentu
bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda EUF belum tentu operasi
tambah untuk dua bilangan. Makna huru4 dan tanda itu tergantung dari
permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. adi secara umum
bentuk dan tanda dalam model VUyW3 masih kosong dari arti, terserah pada
yang meman4aatkan model itu. Kosongnya arti simbol mauun tanda dalam
model-model matematika itu justru memungkinkan EinteralF matematika ke
dalam bebagai pengetahuan. Kosongnya arti memungkinkan matematika
memasuki medan garapan dari ilmu bahasa 0linguistik1.
E. M!'!)at#a$ S!'!(ta P!',aaa$
)ehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-
tanda dalam matematika jelas bahwa dalam menggunakan matematika
diperlukan kejelasan dalam lingkup apa simbol itu dipahami. %ila lingkup
pembicaraannya bilangan. Maka simbol-simbol diartikan bilangan. %ila
lingkup pembicaraannya trans4ormasi maka simbol-simbol itu diartikan suatu
trans4ormasi. >ingkup pembicaraan itulah yang disebut semesta pembicaraan.
%enar atau salahnya atau ada tidaknya penyelesaian suatu model matematika
oleh semesta pembicaraannya.Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat terdapat model $VWB.
"dakah penyelesainnya# Kalau kita selesaikan tanpa menghiraukan
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 17/25
semestanya akan diperoleh hasil VW$,B. ika diperhatikan semesta
pembicaraannya maka hasil itu bukan jawaban yang dikehendaki. adi
jawaban yang sesuai dengan semestanya adalah Etidak ada jawabannyaF atau
penyelesaiannya tidak ada. )ering juga dikatakan himpunan penyelesaian
adalah Ehimpunan kosongF.Dalam semesta pembicaraan ektor dalam bidang datar terdapat
model a Ub Wc. elas bahwa huru4-huru4 yang digunakan itu tidak diartikan
bilangan, tetapi harus diartikan ektor. )ehingga untuk menentukan
penyelesaiannya diperukan cara yang berbeda dengan bilangan.
F. K$((t!$ Da"a' S(t!'$a
Dalam matematika terdapat banyak sistem. "da sistem yang
mempunyai kaitan satu sama lain tetapi juga ada sistem yang terdapat
dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem-sistem aljabar, atau
sistem-sistem geometri. )istem aljabar dan sistem geometri tersebut dapat
dipandang terlepas satu sama lain tetapi di dalam sistem aljabar sendiri
terdapat beberapa sistem yang lebih EkecilF yang terkait satu sama lain.Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat beberapa sistem
EkecilF yang berkaitan satu sama lain. Dalam aljabar terdapat sistem aksioma
dari ring, sistem aksioma dari 4ield dan sebagainya. Masing-masing sistem
aksioma itu memiliki keterkaitan tertentu. Demikian juga dalam sistem
geometri terdapat sistem geometri netral, sistem geometri Puiclides, sistem
geometri non-Puiclides dan sebagainya. )istem-sistem geometri itu memilki
kaitan tertentu juga.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 18/25
BAB I6
HAKIKAT MATEMATIKA DI SEKOLAH
A. P!$a+a$ Mat!'at#a S!#"a)
Hembelajaran pada hakekatnya adalah proses interaksi antara peserta
didik dengan lingkungannya, sehingga terjadi perubahan perilaku ke arah yang
lebih baik 0Mulyasa, $??$:!??1. Dalam pembelajaran, tugas guru yang paling
utama adalah mengkondisikan lingkungan agar menunjang terjadinya
perubahan tingkah laku.Hembelajaran matematika menurut Jusse44endi 0!GG&:!?G1 adalah
suatu kegiatan belajar mengajar yang sengaja dilakukan untuk memperoleh
pengetahuan dengan memanipulasi simbol-simbol dalam matematika sehingga
menyebabkan perubahan tingkah laku.Dalam kurikulum $??' disebutkan bahwa pembelajaran matematika
adalah suatu pembelajaran yang bertujuan:!.Melatih cara ber4ikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya
melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan
kesamaan, perbedaan, konsistensi dan inkonsistensi$.Mengembangkan aktiitas kreati4 yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan
penemuan dengan mengembangkan pemikiran diergen, orisinil, rasa ingintahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba
&.Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah'.Mengembangkan kemampuan menyampaikan in4ormasi atau
mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan,
gra4ik, peta, diagram dalam menjelaskan gagasan
B. P"a P# Mat!'at#a S!#"a)
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 19/25
Hola pikir matematika sebagai ilmu adalah dedukti4. idaklah
demikian halnya dalam matematika sekolah, kalaupun siswa pada akhirnya
tetap diharapkan mampu berpikir dedukti4, namun dalam proses
pembalajarannya dapat digunakan pola pikir indukti4. Hola pikir indukti4 yang
digunakan sebagai bentuk penyesuaian dengan tahap perkembangan
intelektual siswa-siswi. (amun, untuk penyajian matematika di M"
digunakan pola pikir dedukti4.
ika de4inisi jajaran genjang telah diterapkan di MI untuk
memperkenalkan konsep suatu bangun datar, misalnya persegi, guru dapat
menunjukkan berbagai bangun geometri atau gambar datar kepada
siswanya, kemudian menunjuk bangun yang berbentuk persegi, dengan
mengatakan, Elni namanya persegi.F )elanjutnya menunjuk bangun lain yang
bukan persegi dengan mengatakan, Elni bukan persegi.F (amun selanjutnya dapat juga ditanamkan pola pikir dedukti4 secara
amat sederhana, misalnya siswa MI tersebut diajak ke suatu tempat yang
banyak bangun-bangun geometrinya. %ila kepada siswa itu ditanyakan
manakah yang merupakan persegi, ternyata dia dapat menunjuk dengan
benar, berarti siswa tersebut telah menerapkan pola pikir dedukti4 yang
sederhana. Demikian banyak topik matematika yang penyajiannya perludiawali dengan langkah-langkah indukti4 namun akhirnya tetap diarahkan
agar siswa dapat berpikir secara dedukti4.
*. P"a P# Mat!'at#a S!#"a)
)eperti yang kita ketahui obyek matematika adalah abstrak. )i4at
abstrak obyek matematika tersebut tetap ada pada matematika sekolah. al itu
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 20/25
merupakan salah satu penyebab sulitnya seorang guru mengajarkan
matematika sekolah. seorang guru matematika harus berusaha untuk
mengurangi si4at abstrak dari obyek matematika itu sehingga memudahkan
siswa menangkap pelajaran matematika di sekolah.
Dengan demikian, seorang guru matematika harus mengusahakan agar
4akta, konsep, operesi atau prinsip dalam matematika itu terlihat konkret
sesuai dengan perkembangan penalaran siswanya. Di jenjang sekolah, si4at
kongkret obyek matematika tersebut diusahakan lebih banyak atau lebih besar
dibanding jenjang sekolah yang lebih tinggi. )emakin tinggi jenjang
sekolahnya, semakin besar atau banyak si4at abstraknya. adi pembelajaran
tetap diarahkan kepada pencapaian kemampuan ber4ikir abstrak para siswa.
D. T&+&a$ P!$#a$ Mat!'at#a
ujuan pembelajaran matematika yang dalam tulisan ini menjadi 4okus
pembahasan bertalian dengan nilai-nilai yang terkandung dalam pembelajaran
matematika. Dalam Heraturan Menteri Hendidikan (asional nomor $$ tahun
$??C dikemukakan bahwa mata pelajaran matematika diajarkan di sekolah
bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut :a. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan
mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, e4isien, dan
tepat, dalam oemecahan masalah. b. Menggunakan penalaran pada pola dan si4at, melakukan manipulasi
matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau
menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 21/25
c. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah,
merancang model matematika, menyelesaikan model dan mena4sirkan
solusi yang diperoleh.d. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media
lain untuk memperjelas keadaan atau masalah.e. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu
memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari
matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.
%ila diperhatikan secara cermat terlihat bahwa kelima tujuan yang
dikemukakan di atas memuat nilai-nilai tertentu yang dapat mengarahkan
klasi4ikasi atau penggolongan tujuan pembelajaran matematika di semua
jenjang pendidikan sekolah menjadi 0!1 tujuan bersi4at 4ormal dan 0$1 tujuan
yang bersi4at material. "dapun tujuan yang bersi4at 4ormal lebih menekankan
kepada menata penalaran dan membentuk kepribadian. )edangkan tujuan
yang bersi4at material lebih menekankan kepada kemampuan menerapkan
matematika dan keterampilan matematika. Lntuk meningkatkan kemampuan
memecahkan masalah perlu dikembangkan keterampilan memahami masalah,
membuat model matematika, menyelesaikan masalah, dan mena4sirkan
solusinya.Dalam setiap kesempaian, pembelajaran matematika hendaknya
dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi c#nte(tual
pr#blem!% Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara
bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Lntuk
meningkatkan kee4ekti4an pembelajaran, sekolah diharapkan menggunakan
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 22/25
teknologi in4ormasi dan komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau
media lainnya. )elain itu, perlu ada pembahasan mengenai bagaimana
matematika banyak diterapkan dalam teknologi in4ormasi sebagai
perluasan pengetahuan peserta didik.
E. P"a D!! a$ I$&#t3
)alah satu karakteristik matematika adalah berpola pikir dedukti4.
Dalam pembelajaran matematika pola pikir dedukti4 tersebut tetap penting dan
merupakan salah satu tujuan yang bersi4at 4ormal, yang memberi tekanan
kepada penataan nalar. Meskipun pola pikir dedukti4 itu sangat penting,
namun dalam pembelajaran matematika terutama di jenjang Ml dan Ms.
)impulan itu dapat saja berupa suatu de4inisi ataupun teorema yang
diangkat dari contoh-contoh tersebut. al itu dapat dilihat pada contoh
terdahulu tentang pembentukan jajaran genjang. )uatu teorema 0misal
teorema )$tag#ras1 yang diperoleh dengan cara indukti4 itu bila kondisi kelas
memungkinkan, dapat dibuktikan kebenarannya secara dedukti4. (amun jika
pembuktian tersebut dipandang berat bagi siswa Ms, pola dedukti4 dapat
diperkenalkan melalui penggunaan de4inisi atapun teorema tersebut dalam penyelesaian masalah. Hada jenjang Ms untuk menyajikan topik-topik
tertentu tidak harus menggunakan pola pikir Indukti4. Hengenalan pola pikir
dedukti4 sudah dapat dimulai secara terbatas dan selekti4, sedangkan pada
jenjang sekolah menegah khususnya M", tentunya penggunaan pola pikir
indukti4 dalam penyajian sesuatu topik sudah semakin dikurangi.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 23/25
F. Mat!'at#a I$3'a"
Hada saat sekarang ini telah dikenal istilah 2Hendidikan Sormal2 dan
Hendidikan non-Sormal2, Makna dari 2Hendidikan 4ormal2 adalah pendidikan
yang dilaksanakan di sekolah, sedangkan makna dari 2pendidikan non-
4ormal2 adalah pendidikan yang dilaksanakan di luar sekolah tetapi masih
jelas strukturnya. Hendidikan kejar paket ", misalnya, dapat digolongkan
sebagai pendidikan non-Sormal. )elain kedua istilah tersebut juga dikenal
istilah 2Hendidikan In4ormal2. Hendidikan in4ormal diartikan pendidikan
yang terlaksana di luar pendidikan 4ormal maupun pendidikan non 4ormal.
Hengetahuan matematika yang diperoleh oleh anak di tingkat
2Joudlotul "th4al2 atau 2%ustanul "th4al2 tidak mengikuti struktur
matematika yang ada di Madrasah lbtidaiyah atau jenis madrasah yang lain.
Hengetahuan matematika yang kini dimaksukkan dalam 2kurikulum2 J".
antara lain adalah 2klasi4ikasi dan seriasi2. Keduanya dapat dicapai
melalui pendidikan in4ormal.
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 24/25
7/23/2019 Makalah Matematika 2
http://slidepdf.com/reader/full/makalah-matematika-2 25/25
BAB 6
PENUTUP
A. K!('&"a$
Matematika adalah ilmu yang terorganisir sebagai alat berpikir
dedukti4 dan cara bernalar untuk memahami bahasa arti4isial dan sebagai seni
kreasti4 yang pembahasannya meliputi studi besaran, struktur, ruang,
relasi, perubahan, dan beraneka topik pola, bentuk, dan entitas.
Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang dirasakan sulit oleh
banyak siswa. al ini dikarenakan objek matematika yang abstrak, sehingga
siswa sulit memahaminya. Dengan demikian pembelajaran matematika perlu
diusahakan sesuai dengan kemampuan kogniti4 siswa, mengkongkritkan
objek matematika yang abstrak sehingga muda di4ahami siswa."dapun penerapan pembelajaran matematika menurut K)H itu
sebenarnya tidak dibatasi, tergantung sejauh mana guru kreati4 dalam
penyampaiannya saja. ika guru tidak kreati4, maka pembelajaran matematika
tidak lah akan berbeda dengan pembelajaran model dulu.
B. Saa$
"dapun saran yang dapat Henulis berikan yaitu :!. Lntuk para mahasiswa agar dapat lebih memahami tentang ilmu
matematika khususnya untuk pembelajaran di sekolah.$. Lntuk mahasiswa agar lebih mengembangkan teori ilmu matematika yang
didapat dan dikorelasikan dengan proses pembelajaran di sekolah.
Top Related