7/25/2019 Matrik Alih
1/25
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya
Matrik Alih
7/25/2019 Matrik Alih
2/25
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Latihan
Asesmen
Ringkasan
7/25/2019 Matrik Alih
3/25
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Pengantar
Dalam Persamaan Ruang Keadaan berdimensi n,
teradapat n variable keadaan saat t = to, dan saat t
sebarang.
Sebuah fungsi dalam t, yang berfungsimentransformasikan variable keadaan untuk setiap
waktu t.
Fangsi transformasi ini dinamakan sebagai Matriks
Alih
7/25/2019 Matrik Alih
4/25
Matrik Alih
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Konsep matrik alih merupakan perluasan dari konsep fungsi alih.
Terlebih dahulu mari kita perhatikan persamaan ruang keadaan dan
persamaan keluaran sebagai berikut,
DuCxyBuAxx
(Pers.1)
dimana,x = vektor keadaan (n-vektor)
u = vektor pengendali (r-vektor)
y = vektor keluaran (m-vektor)
A = matrik n x n.
B = matrik n x r.
C = matrik m x n.
D = matrik m x r.
7/25/2019 Matrik Alih
5/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Matrik Alih
Transformasi persamaan 1 adalah
sX(s)-x(0) =AX(s) +BU(s)
Y(s) =CX(s) +DU(s)
Dengan mengambil kondisi awalx(0)=0 dan mensubtitusikan kedalam kedua
persamaan tersebut, diperoleh
Y(s) = [C(sI-A)-1B+D]U(s)
Dengan demikian diperoleh matrik alih sebagai berikut,
DBAICU
YG
1)()(
)()( s
s
s
s (Pers. 2)
7/25/2019 Matrik Alih
6/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Matrik Alih
Perhatikan bahwa ruas kanan dari persamaan 2 melibatkan (sI-A)-
1. Oleh karena itu Matriks Alih G(s) dapat dituliskan sebagaiberikut,
AIG
ssQs )()(
dimanaQ(s) adalah polynomial dalams. Oleh karena itu, sI-A
sama dengan polynomial karakteristik dariG(s). Dengan kata lain
eigenvalue dariA identik dengan pole-pole dariG(s).
(Pers. 3)
7/25/2019 Matrik Alih
7/25
Matrik Alih Sistem Loop
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Sistem multi-masukan-multi-keluaran (MIMO) seperti yang
diperlihatkan pada gambar di bawah ini
Matrik alih lintasan umpan maju adalah Go(s), sedangkan pada
lintasan umpan baliknya adalah H(s).
7/25/2019 Matrik Alih
8/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Matrik alih antara vektor sinyal umpan balik B(s) dan vektor
kesalahan E(s) diperoleh sebagai berikut,
B(s) = H(s)Y(s)
= H(s)Go(s)E(s)
Matrik alih antara B(s) dan E(s) adalah H(s)Go(s).
Matrik Alih Sistem Loop
7/25/2019 Matrik Alih
9/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Matrik alih elemen-elemen yang terhubung seri (cascade)merupakan hasil perkalian dari matrik alih masing-masing
elemennya.
Matrik lup tertutup :
Y(s) =Go(s)[U(s) -B(s)] = Go(s)[U(s) -H(s)Y(s)]
atau, [I + Go(s)H(s)]Y(s) = Go(s)U(s)
Kedua ruas persamaan terakhir dikalikan dengan [I +
Go(s)H(s)]-1, dihasilkan
Y(s) = [I + Go(s)H(s)]-1 Go(s)U(s)
Matrik Alih Loop Tertutup
(( = + ((
7/25/2019 Matrik Alih
10/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Matrik Alih Sistem Loop
Maka matrik alih lup tertutup diperoleh,
G(s) = [I + Go(s)H(s)]-1Go(s)
G(s)
7/25/2019 Matrik Alih
11/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-Multi-Output (MIMO)
Beberapa sistem pengendalian pada proses
mempunyai multi-masukan-multi keluaran (MIMO)
Sering digunakan bahwa perubahan pada satumasukan acuan hanya mempengaruhi satu keluaran.
Jika non-interaksi tersebut dapat dicapai, maka akan
mempermudah dalam menjaga tiap harga keluaran
pada harga konstan yang diinginkan tanpa adanya
gangguan-gangguan eksternal.
7/25/2019 Matrik Alih
12/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-
Multi-Output (MIMO)
Perhatikan matrik alih plantGp(s) (matriknxn) dan dirancang
suatu kompensator seriGc(s) (matriknxn) sehinggan masukan
dann keluaran sistem tidak berinteraksi. Jika diinginkan non-
interaksi antaran masukan dann keluaran, maka matrik alihlup tertutup harus merupakan matrik diagonal, atau dinyatakan
dalam bentuk berikut
)(00
00)(
00)(
)( 22
11
sG
sG
sG
s
nn
G
7/25/2019 Matrik Alih
13/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-
Multi-Output (MIMO) Matrik umpan balikH(s) merupakan matrik satuan, H(s) = I
Persamaan G(s) = [I +Go(s)H(s)]-1Go(s)
Maka, persamaan
G(s) = [I + Go(s)]-1Go(s)
Dimana,
G(s) = Gp(s)Gc(s)
[I + Go
(s)]G(s) =Go
(s)
Go(s) [I- G(s)] =G(s)
7/25/2019 Matrik Alih
14/25
Materi
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Non-interaksi dalam Sistem Multi-Input-Multi-Output
(MIMO)
Jika kedua ruas persamaan terakhir dikalikan dengan [I + Go(s)]-1 , maka
diperoleh
Go(s) = G(s)[I - G(s)]-1
Bentuk G(s) adalam matrik diagonal, maka [I - G(s)] juga merupakan matrik
diagonal.
Selanjutnya Go(s), hasil kali dua buah matrik diagonal, juga merupakan
matrik diagonal.
Kondisi yang diharapkan agar tidak terjadi interaksi, harus dibuat agar
Go(s) merupakan matrik diagonal, dengan syarat bahwa matrik umpan balik
H(s) merupakan matrik satuan.
7/25/2019 Matrik Alih
15/25
Contoh Soal 1
Cari fungsi alih sistem yang ditunjukan pada gambar dibawah.
Soal 1
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
7/25/2019 Matrik Alih
16/25
Contoh Soal 1
Penyelesaian
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Dari gambar dibawah diperoleh persamaan keadaan dan keluaran sebagai
berikut,
dalam bentuk matrik-vektor, dapat dituliskan
21
212
211
2
53
25
xxy
uxxx
uxxx
2
1
2
1
2
1
21
5
2
13
15
x
xy
ux
x
x
x
7/25/2019 Matrik Alih
17/25
Contoh Soal 1
Penyelesaian
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Selanjutnya fungsi alih sistem adalah,
)4)(2(
5912
5
221
5
2
13
1521
)()(
)4)(2(5
)4)(2(3
)4)(2(1
)4)(2(1
1
1
ss
s
s
s
ss
sss
ss
sssss
BAICG
7/25/2019 Matrik Alih
18/25
Contoh Soal 2
Soal 2
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Tinjau sistem seperti Gambar sistem loop tertutup di bawah ini.
Tentukan matrik alih dari kompensator seri tersebut, sedemikian rupa
sehingga matrik alih lup tertutup sistem tersebut adalah,
151
11
0
0)(
s
ssG
7/25/2019 Matrik Alih
19/25
Contoh Soal 2
Penyelesaian
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Matrik alih lintasan umpan maju,
s
s
s
s
ss
s
s
5
1
1
5
15
1
15
1
11
1
0
0
0
0
0
0
0)( GIGG
)(
)(
1
0
)(
)(
2
1
11
121
2
1
sU
sU
sY
sY
s
s
(s)Y(s)R(s)Y(s)R
sGsGsGsG
sUsU 11
cc
cc
222221
1211
2
1
)()()()(
)()(
dan
i ki ih
7/25/2019 Matrik Alih
20/25
Contoh Soal
Penyelesaian
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Gc11
Gc21
Gc12
Gc22
1/(2s+1)
1
1/(s+1)
Plant
r1
r2
u1 y1
u2 y2
+
+
+
+
-
-
+
+ +
+
Gambar Blok diagram sistem multi-masukan-multi-keluaran (MIMO).
Ri kM t i L tihP t
7/25/2019 Matrik Alih
21/25
Contoh Soal
Penyelesaian
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Selanjutnya diperoleh
(s)Y(s)R
sYsR
(s)Y(s)R
sYsR
sGsG
sGsG
sY
sY
s
s
cc
cc
s
s
22
11
5
1
1
22
11
2221
1211
1
1
121
2
1 )()(
0
0)()(
)()(
)()(
1
0
)(
)(
dengan demikian matrik alih kompensator adalah,
ss
sss
ss
s
s
s
s
cc
cc
c sGsG
sGsG
s51)12)(1(
12
51
1
11
121
2221
1211 0
0
0
1
0
)()(
)()(
)(G
Ri kM t i C t h S l L tihP t A
7/25/2019 Matrik Alih
22/25
Contoh Soal
Penyelesaian
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Persamaan terakhir adalah merupakan matrik alih kompensator seri. Perhatikan
bahwa Gc11(s) dan Gc22(s) adalah p e n g e n d a l i p r o p o r s i o n a l- p l u s - i n t eg r a l dan
Gc21(s) adalah p e n g e n d al i p r o p o r s i o n al -p l u s - i n t e g r a l -p l u s - t u r u n a n .
Dalam analisis ini belum ditinjau gangguan eksternal. Dalam pendekatan kali ini,pada umumnya, terjadi penghapusan pada pembilang dan penyebut.
Oleh karena itu beberapaeigenvalue dariGp(s)Gc(s) akan hilang. Ini berarti bahwa
sekalipun pendekatan ini akan memberikan hasil yang diinginkan, yakni non-
interaksi pada respon terhadap masukan-masukan acuan tanpa adanya gangguan
eksternal, akan tetapi jika sistem diganggu oleh gaya eksternal, maka sistem
menjadi tidak terkendali karena setiap gerakan yang ditimbulkan oleh eigevalueyang terhapus tidak dapat dikendalikan.
Ri kM t i C t h S l L tihP t A
7/25/2019 Matrik Alih
23/25
Ringkasan
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
1. Matriks alih merupakan matrik yang mempunyai
fungsi sebagai transformator variable keadaan saat
t dari t sebelumnya2. Matriks alih mempunyai fungsi yang sama sebagai
fungsi alih / fungsi transfer.
Ri kM t i C t h S l L tihP t A
7/25/2019 Matrik Alih
24/25
Latihan
RingkasanMateri Contoh Soal LatihanPengantar Asesmen
Perhatikan sistem yang dinyatakan dalam persamaan
keadaan berikut ini :
Tentukan keluaran sistem dengan masukan fungsi step.
2
1
2
1
2
1
01
11
05,6
11
u
u
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
00
00
10
01
u
u
x
x
y
y
7/25/2019 Matrik Alih
25/25
SEKIAN
&
TERIMAKASIH
Top Related