LOGO
PROBABILITAS BERSYARAT & TEOREMA BAYES
E-Learning
Pendahuluan
Permasalahan kebebasan (independence) dan peluang bersyarat (conditional probability) memainkan peran
yang penting dalam teori probabilitas (peluang)
Peluang bersyarat merupakan pengetahuan bagaimana suatu informasi tambahan dapat mengubah pola pikir
kita mengenai suatu event dapat terjadi
Teorema Bayes merupakan aplikasi dari permasalahan peluang bersyarat untuk memecahkan permasalahan
yang biasanya dinyatakan dalam complicated
statements.
PROBABILITAS BERSYARAT
Probabilitas Bersyarat adalah peluang suatu event terjadi, jika diketahui event yang lain
terjadi lebih dulu
P(B)
B)P(AB)|P(A
P(A)
B)P(AA)|P(B
dimana P(A dan B) = j joint probability dari A dan B
P(A) = marginal probability dari A
P(B) = marginal probability dari B
Probabilitas Event A terjadi
jika diketahui (given) Event
B terjadi lebih dulu
Probabilitas Event B terjadi
jika diketahui (given) Event
A terjadi lebih dulu
)( BAP
Conditional Probability
Contoh 1 :
Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali
akan menghasilkan angka yang kurang dari 4 jika
a. Tidak diberikan informasi lain
b. Diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka
ganjil
Conditional Probability
2
1
6
3
6
1
6
1
6
1)3()2()1()( PPPBP
Pemecahan :
a. Misalkan B menyatakan kejadian kurang dari 4, maka
b. Misalkan A menyatakan kejadian bilangan ganjil, maka
2
1
6
3
6
1
6
1
6
1)5()3()1()( PPPAP
3
1
6
2
6
1
6
1)3()1()( PPBAP
Conditional Probability
Sehingga
3
2
21
31
)(
)(
AP
BAPABP
Jadi, informasi tambahan bahwa pengundian
tersebut menghasilkan angka ganjil membuat nilai
peluangnya naik dari 1/2 menjadi 2/3
Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi CD player, jika diketahui mobil tersebut juga dilengkapi AC ?
Jadi, yang ditanyakan adalah P(CD | AC)
Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nya dilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CD player (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat tersebut.
Contoh 2 PROBABILITAS BERSYARAT
No CD CD Total
AC 0.2 0.5 0.7
No AC 0.2 0.1 0.3
Total 0.4 0.6 1.0
0.28570.7
0.2
P(AC)
AC)P(CDAC)|P(CD
(lanjutan) Contoh PROBABILITAS BERSYARAT
Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nya dilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CD player (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat tersebut.
No CD CD Total
AC 0.2 0.5 0.7
No AC 0.2 0.1 0.3
Total 0.4 0.6 1.0
Given AC, dari 70% mobil yang menggunakan AC dimana 20%nya dilengkapi dengan CD player, sehingga 20% dari 70% adalah 28.57%.
0.28570.7
0.2
P(AC)
AC)andP(CDAC)|P(CD
Contoh PROBABILITAS BERSYARAT (lanjutan)
Menggunakan Diagram Pohon
P(AC dan CD) = 0.2
P(AC dan CD*) = 0.5
P(AC * dan CD*) = 0.1
P(AC * dan CD) = 0.2
7.0
5.0
3.0
2.0
3.0
1.0
Mobil
7.0
2.0
Given ada AC atau
tidak ada AC:
Diagram Pohon
P(CD dan AC) = 0.2
P(CD dan AC*) = 0.2
P(CD* dan AC*) = 0.1
P(CD* dan AC) = 0.5
4.0
2.0
6.0
5.0
6.0
1.0
All
Cars
4.0
2.0
Given ada CD atau
tidak ada CD:
(lanjutan)
Sifat-sifat peluang bersyarat :
ABPABPABBP 2121
ABPABP 1
1. P(BA) > 0
2. P(A) = 1
3. Jika B1 B2 = , maka
4. Hukum komplemen
5. Hukum perkalian
BAPBPABPAPBAP
Independent Events
Jika 2 events tidak berhubungan, dimana muncul
(atau tidak munculnya) salah satu event tidak akan
mempengaruhi kemungkinan event lainnya, maka
events tersebut dinamakan independent.
Secara matematis, event A dan B dikatakan
independent, jika dan hanya jika
BPAPBAP
Independent Events
Jika dikombinasikan dengan hukum perkalian
(multiplicative rule), maka peluang bersyarat :
Jika event A dan B independent, maka
ABPAPBAP
BPABP
Dengan cara yang sama diperoleh
APBAP
P(B)B)|P(AB)P(A atau
Independent Events
Theorema :
Definisi : jika A, B, dan C independent, maka
BdanA
Jika A dan B independent, maka event berikut
juga independent
BdanA
BdanA
CPBPAPCBAP
Independent Events
Terdapat kecenderungan untuk menyamakan makna mutually exclusive dan probabilistically independent
Mutually exclusive tidak akan pernah menjadi probabilistically independent, atau sebaliknya
Sebagai ilustrasi, misalkan A dan B adalah events dengan P(A) = 0.3 dan P(B) = 0.4
Jika A dan B mutually exclusive, maka A B = dan P(A B) = P( ) = 0
Dilain pihak, jika A dan B probabilistically independent, maka
P(A B) = P(A) P(B) = (0.3) (0.4) 0
TEOREMA BAYES
Ditemukan oleh Reverend Thomas Bayes abad ke 18.
Dikembangkan secara luas dalam statistik inferensia.
Aplikasi banyak digunakan untuk : DSS (Decision Support System)
persamaan paling bermanfaat
dalam teori peluang dan statistik
Partisi dan Peluang Total
Definisi :
Jika B1, B2, , Bn adalah subset-subset dari S dengan kondisi :
i. BiBj= , untuk i j
ii. B1U B2U U Bn= S
maka B1, B2, , Bn disebut partisi dari S
S
B1
B2
B3
Bn
12/09/2014 18
Partisi dan Peluang Total
B1
B2
B3
Bn
S
A
A = A S
= A ( B1U B2U B3 U U Bn)
= (A B1) U (A B2) U U (A Bn)
P(A) = P(A B1) + P (A B2) + + P (A Bn)
Teorema Probabilitas Total
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space
Lalu {ABi} merupakan partisi dari event A, maka
berdasarkan sifat probabilitas
didapatkan :
Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka
dapat didefinisikan theorema
probabilitas total sbb :
B1
B2
B3
Bn
S
A
Teorema Bayes
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i.
Maka :
Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total,diperoleh :
Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila
diketahui event A terjadi)
TEOREMA BAYES
Teorema bayes yang hanya dibatasi oleh dua buah
kejadian dapat diperluas untuk kejadian n buah.
Teorema bayes untuk kejadian bersyarat dengan i
kejadian adalah sebagai berikut:
)2...(0)P(B bahwaketentuan dengan )(
)()|(
....(1) 0P(A) bahwaketentuan dengan )(
)()|(
i
i
ii
ii
BP
BAPBAP
AP
ABPABP
Contoh Teorema Bayes
Sebuah perusahaan pengeboran minyak mengestimasi bahwa peluang pengeoboran itu sukses adalah 40%. Dari
pengalaman perusahaan tsb diketahui bahwa 60%
keberhasilan pengeboran itu karena dikerjakan dengan
prosedur yang benar dan tepat sedangkan 20%
pengeborannya gagal walaupun dikerjakan dengan
prosedur yang benar dan tepat.
Jika perusahaan pengeboran tsb sudah melaksanakan prosedur yang benar dan tepat berapa peluang
perusahaan tsb berhasil dalam pengeboran
minyaknya?
Misal S = sukses pengeborannya
G = gagal pengeboranny
M = Pengeboran berhasil dengan metode
yang benar dan tepat
P(S) = 0.4 , P(G) = 0.6 (prior probabilities)
Probabilitas bersyarat:
P(M|S) = 0.6 P(M|G) = 0.2
Tentukan P(S|M)?
Contoh Teorema Bayes (lanjutan)
Menggunakan Diagram Pohon
Pengeboran
%60
(lanjutan)
%20
%40
%80
0.6670.120.24
0.24
(0.2)(0.6)(0.6)(0.4)
(0.6)(0.4)
G)P(G)|P(MS)P(S)|P(M
S)P(S)|P(MM)|P(S
Contoh Teorema Bayes
Jadi peluang perusahaan tsb berhasil dalam pengeboran,jika diketahui sudah menggunakan prosedur yang benar dan tepat adalah 0.667
(lanjutan)
Event Prior
Prob.
Conditional
Prob.
Joint
Prob.
Revised
Prob.
S (sukses) 0.4 0.6 (0.4)(0.6) = 0.24 0.24/0.36 = 0.667
G (gagsl) 0.6 0.2 (0.6)(0.2) = 0.12 0.12/0.36 = 0.333
Tot = 0.36
(lanjutan)
Menggunakan Tabel Kontingensi
Jadi peluang perusahaan tsb berhasil dalam pengeboran,jika diketahui sudah menggunakan prosedur yang benar dan tepat adalah 0.667
Latihan :
Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :
a. Laki-laki b. wanita
Bekerja Menganggur Jumlah
Laki-laki
Wanita
460
140
40
260
500
400
Jumlah 600 300 900
PROBABILITAS BERSYARAT
Latihan Teorema Bayes
Contoh 1:
Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3 perusahaan
yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari perusahaan X, 20% dari
perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z. Berdasarkan pengalaman, 3%
microchip perusahaan X cacat, 5% microchip perusahaan Y cacat, dan
4% microchip perusahaan Z cacat. Pada saat microchips tersebut sampai
di pabrik, mereka langsung menempatkannya dalam kotak tanpa inspeksi
atau mengidentifikasi asal microchip terlebih dahulu.
a). Seorang pekerja mengambil sebuah microchip secara acak dan
ternyata cacat. Berapa peluang bahwa microchip tersebut berasal dari
perusahaan Y?
b). Jika pada saat diambil sampel secara acak dan diketahui microchip
yang terambi tidak cacat, berapa peluangnya berasal dari perusahaan Z?
2. Seseorang melamar pekerjaan pada 2 perusahaan, A dan B.
Dia menduga bahwa peluang akan diterima di perusahaan A
adalah 0.4, dan di perusahaan B 0.3. Diasumsikan
penerimaan karyawan pada kedua perusahaan tersebut
adalah independen, hitung peluang :
a. Dia akan diterima di kedua perusahaan
b. Dia akan diterima paling sedikit di satu perusahaan
c. Dia diterima di perusahaan A tetapi tidak di
perusahaan B
Latihan
Soal- soal
3. Pada suatu percobaan untuk meneliti pengaruh kebiasaan merokok terhadap kanker paru-paru, dikumpulkan data yang melibatkan 180 orang yang dijelaskan dalam tabel di bawah ini :
Bukan Perokok Perokok Sedang Perokok Berat
Kanker paru-paru
Tidak kanker paru-paru
21
48
36
26
30
19
Satu orang diambil secara acak dari kelompok ini, dan
ternyata orang tersebut orang yang bukan perokok. Berapa
peluang orang tersebut adalah penderita kanker paru-paru?
(sebagai alat bantu, buat diagram pohonnya terlebih dahulu)
12/09/2014 31
Latihan
4. Suatu perusahaan TV mempunyai tiga pabrik, yaitu A, B, dan C
dengan persentase produksi masing-masing adalah 15%, 35%, dan
50%. Tiap pabrik menghasilkan produk (TV) cacat, yaitu masing-
masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C)
a. Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan
produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV
yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat?
b. Sebuah TV diambil secara acak dan ditemukan dalam
keadaan cacat, berapakah peluang TV yang cacat tersebut
berasal dari produksi pabrik C?
c. Sebuah TV diambil secara acak dan ditemukan dalam
keadaan tidak cacat, berapakah peluang TV yang tidak
cacat tersebut berasal dari produksi pabrik A?
Latihan
5. Yayasan Pendidikan Telkom (YPT) akan memberikan beasiswa
kepada 2 orang mahasiswa IT Telkom berdasarkan kriteria
tertentu. Berdasarkan kriteria tersebut terkumpul beberapa
mahasiswa yang dicalonkan sebagai penerima beasiswa, yaitu :
Jurusan TI : 5 orang mahasiswi dan 6 orang mahasiswa, TE: 4
orang mahasiswi dan 5 orang mahasiswa, dan IF : 3 orang
mahasiswi dan 7 orang mahasiswa. Dari ketiga jurusan tersebut
dipilih satu jurusan secara acak, kemudian dipilih 2 (dua) orang
mahasiswa sekaligus.
a. Berapakah peluangnya bahwa 2 orang mahasiswa yang
terpilih tsb terdiri dari 1 mahasiswi dan 1 mahasiswa?
b. Bila yang terpilih adalah seperti pada kondisi di bagian a,
berapakah peluangnya mahasiswa-mahasiswa tsb berasal dari
Jurusan TE?
LOGO
Tim Dosen E-Learning STATISTIKA
Top Related