Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 1
Bahan KuliahBahan Kuliah
REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOALREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL
Prinsip Teknik Pangan
Dosen : Prof. Dr. Purwiyatno Hariyadi
Prinsip Teknik Pangan
Dosen : Prof. Dr. Purwiyatno Hariyadi
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
Departemen Ilmu & Teknologi PanganFakultas Teknologi PertanianIPBBOGOR
Departemen Ilmu & Teknologi PanganFakultas Teknologi PertanianIPBBOGOR
REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOALREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOALREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOALREVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL
Tujuan PembelajaranTujuan Pembelajaran
•• Mengetahui mampu melakukan operasi matematika Mengetahui mampu melakukan operasi matematika tertentu serta aplikasi praktis beberapa operasi tertentu serta aplikasi praktis beberapa operasi matematikamatematika
•• Mahasiswa akan mengetahui dan memahami Mahasiswa akan mengetahui dan memahami prinsipprinsip--prinsip matematika dan aplikasinya pada prinsip matematika dan aplikasinya pada industri dan proses pengolahan panganindustri dan proses pengolahan pangan
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
•• Mahasiswa akan mampu menyelesaikan persamaan Mahasiswa akan mampu menyelesaikan persamaan matematika, menggambar dan membaca grafik, matematika, menggambar dan membaca grafik, serta mengembangkan persamaan matematika dari serta mengembangkan persamaan matematika dari persoalan nyata (kasus industri pangan)persoalan nyata (kasus industri pangan)
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 2
MATEMATIKA DAN INJINIRINGMATEMATIKA DAN INJINIRINGMATEMATIKA DAN INJINIRINGMATEMATIKA DAN INJINIRING
Pemecahan soal injinering memerlukan matematika!Pemecahan soal injinering memerlukan matematika!
1. Formulasi : ekspresikan soal dalam bahasa math1. Formulasi : ekspresikan soal dalam bahasa math..........> harus tahu ttg hukum> harus tahu ttg hukum22 fisik dan injiniringfisik dan injiniring
2. Pemecahan soal : gunakan operasi math yang tepat2. Pemecahan soal : gunakan operasi math yang tepat..........> harus tahu hukum2 math> harus tahu hukum2 math
3. Interpretasi : pengembangan/penjelasan hubungan 3. Interpretasi : pengembangan/penjelasan hubungan antara hasil matematika dan artinya secaraantara hasil matematika dan artinya secara
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
antara hasil matematika dan artinya secara antara hasil matematika dan artinya secara fisik/nyatafisik/nyata
4. Penyempurnaan : ...........> ulangi tahap 1, 2 dan 3.4. Penyempurnaan : ...........> ulangi tahap 1, 2 dan 3.
•• Persamaan : Pernyataan (matematika) yang Persamaan : Pernyataan (matematika) yang menunjukkan adanya kesamaan (menunjukkan adanya kesamaan (equalityequality) antara ) antara
Persamaan AljabarPersamaan AljabarPersamaan AljabarPersamaan Aljabar
j y (j y ( q yq y))satu atau lebih ekspresi matematikasatu atau lebih ekspresi matematika
•• Melibatkan variabel dan konstantaMelibatkan variabel dan konstanta•• Contoh :Contoh :
konstantakonstanta
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
yy = a= axx + b; persamaan garis lurus+ b; persamaan garis lurus
variabelvariabel
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 3
Variabel ................. ?!Variabel ................. ?!Variabel ................. ?!Variabel ................. ?!•• y = 3x y = 3x -- 77 ............................................................... Pers. 1............................................................... Pers. 1
jika x = 1jika x = 1 ................> y = 3 > y = 3 -- 7 = 7 = -- 44jika x = 3 jika x = 3 ................> y= 9 > y= 9 -- 7 = 27 = 2
jadi, nilai y tergantung pada nilai x jadi, nilai y tergantung pada nilai x ................> y = variabel dependen> y = variabel dependen
•• y = 3x y = 3x -- 77 ............................................................... Pers. 1............................................................... Pers. 1
jika x = 1jika x = 1 ................> y = 3 > y = 3 -- 7 = 7 = -- 44jika x = 3 jika x = 3 ................> y= 9 > y= 9 -- 7 = 27 = 2
jadi, nilai y tergantung pada nilai x jadi, nilai y tergantung pada nilai x ................> y = variabel dependen> y = variabel dependenx = variabel independenx = variabel independen
•• Pers.1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3)Pers.1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3) ... Pers. 2... Pers. 2
jika y = jika y = -- 44 ................> x = (1/3)(> x = (1/3)(-- 4) +(7/3) = 14) +(7/3) = 1jika y = 2jika y = 2 ................> x = (1/3)(2) + (7/3) = 3> x = (1/3)(2) + (7/3) = 3
Jadi, nilai x tergantung pada nilai y Jadi, nilai x tergantung pada nilai y ................> x = variabel dependen> x = variabel dependeny = variabel independeny = variabel independen
x = variabel independenx = variabel independen
•• Pers.1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3)Pers.1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3) ... Pers. 2... Pers. 2
jika y = jika y = -- 44 ................> x = (1/3)(> x = (1/3)(-- 4) +(7/3) = 14) +(7/3) = 1jika y = 2jika y = 2 ................> x = (1/3)(2) + (7/3) = 3> x = (1/3)(2) + (7/3) = 3
Jadi, nilai x tergantung pada nilai y Jadi, nilai x tergantung pada nilai y ................> x = variabel dependen> x = variabel dependeny = variabel independeny = variabel independen
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
UMUM :UMUM :1.1. variabel di sisi kiri persamaan variabel di sisi kiri persamaan : variabel dependen: variabel dependen
variabel di sisi kanan persamaan variabel di sisi kanan persamaan : variabel independen: variabel independen2.2. Waktu (t) hampir selalu dianggap Waktu (t) hampir selalu dianggap
sebagai variabel independensebagai variabel independen
UMUM :UMUM :1.1. variabel di sisi kiri persamaan variabel di sisi kiri persamaan : variabel dependen: variabel dependen
variabel di sisi kanan persamaan variabel di sisi kanan persamaan : variabel independen: variabel independen2.2. Waktu (t) hampir selalu dianggap Waktu (t) hampir selalu dianggap
sebagai variabel independensebagai variabel independen
•• nilai tidak berubahnilai tidak berubah
•• beberapa konstanta :beberapa konstanta :
Konstanta ?!Konstanta ?!Konstanta ?!Konstanta ?!
g g : percepatan gravitasi (9.8 ms: percepatan gravitasi (9.8 ms--22))NNAA : bilangan Avogadro (6.02205 x 10: bilangan Avogadro (6.02205 x 102323 atom/mol)atom/mol)ΠΠ : pi (3.14159): pi (3.14159)R R : konstanta gas (8.314 Nm.mol: konstanta gas (8.314 Nm.mol--11.K.K--11))kk : Konstanta Boltzmann (1 38066x10: Konstanta Boltzmann (1 38066x10--2323J KJ K--11))
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
kk : Konstanta Boltzmann (1,38066x10: Konstanta Boltzmann (1,38066x10 J.KJ.K ))ccoo : kecepatan cahaya di vacum (299792,5x10: kecepatan cahaya di vacum (299792,5x1033m.sm.s--11))h h : konstanta Planck (6,6256x10: konstanta Planck (6,6256x10--3434 J.s)J.s)
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 4
•• Persamaan Aljabar yang menjelaskan Persamaan Aljabar yang menjelaskan hubungan antara variabel independen dan satu hubungan antara variabel independen dan satu atau lebih konstanta disebut Fungsiatau lebih konstanta disebut Fungsi
FungsiFungsiFungsiFungsi
•• y = f(x) y = f(x) ....................> dibaca : > dibaca : y merupakan fungsi (independen variabel) xy merupakan fungsi (independen variabel) x
•• y=f(x) dimana f(x) = 2ax + 3by=f(x) dimana f(x) = 2ax + 3b ....... Pers. 3....... Pers. 3
•• y = 2ax + 3by = 2ax + 3b Pers 4Pers 4
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
•• y = 2ax + 3by = 2ax + 3b ....... Pers. 4....... Pers. 4
•• Pers. 3 dan pers. 4 adalah identik.Pers. 3 dan pers. 4 adalah identik.
V(t) = (g/2)t + VV(t) = (g/2)t + Voo
Persamaan ini menyatakan suatu fungsi hubungan antara Persamaan ini menyatakan suatu fungsi hubungan antara kecepatan pada waktu tertemtu (Vkecepatan pada waktu tertemtu (V ) kecapatan awal (V) kecapatan awal (V ))
Contoh.Contoh.Contoh.Contoh.
kecepatan pada waktu tertemtu (Vkecepatan pada waktu tertemtu (Vtt), kecapatan awal (V), kecapatan awal (Voo), ), percepatan gravitasi (g), dan waktu (t).percepatan gravitasi (g), dan waktu (t).
.......... g, Vo.......... g, Vo.......... t, V(t).......... t, V(t).................. t.................. t
V(t)V(t)
Konstanta?Konstanta?Variabel?Variabel?Mana variable independen?Mana variable independen?
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
............. V(t)............. V(t)
.......... ya, t.......... ya, t
Mana variabel dependen?Mana variabel dependen?Apakah kecepatan (V) merupakan Apakah kecepatan (V) merupakan
fungsi suatu variabel?fungsi suatu variabel?
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 5
•• Kedua sisi persamaan = ekivalen!Kedua sisi persamaan = ekivalen!•• Prinsip Manipulasi : Lakukan operasi aritmatika di kedua Prinsip Manipulasi : Lakukan operasi aritmatika di kedua
sisi persamaan!sisi persamaan!
Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi
•• penambahan atau pengurangan suatu angka atau penambahan atau pengurangan suatu angka atau variable variable ..................> lakukan pada kedua sisi persamaan :> lakukan pada kedua sisi persamaan :
y = ax + b; y = ax + b; y + b = ax + b + b y + b = ax + b + b y = ax + b; y = ax + b; y y -- y = ax + b y = ax + b -- yy
•• Pengkalian Pengkalian ..................> lakukan pada kedua sisi persamaan :> lakukan pada kedua sisi persamaan :
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
gg p pp pk y = k a x + k bk y = k a x + k b
•• Pembagian Pembagian ..................> lakukan pd kedua sisi pers :> lakukan pd kedua sisi pers :y/a = x + b/ay/a = x + b/a
nnmmaa --nn
mm
aaaa
==nnaa11nnaa -- ==
Exponents : Exponents : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiExponents : Exponents : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiPrinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi
nnmmaa ++==nnmm aaaa xxmnmnaa(( ))nnmmaa ==
aaaa
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
nn11
aann aa == nn
mm
aann mmaa ==
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 6
•• LogLogbbx =cx =c ..........................................................................................................> maka b> maka bcc = X= X
•• 101022 = 100 = 100 ................................................................................> jadi : log> jadi : log1010 (100) = 2(100) = 2
Jika logJika log (10) = 1(10) = 1 > maka 10> maka 1011 =10=10
Logaritma :Logaritma :Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/FungsiLogaritma :Logaritma :Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi
•• Jika logJika log1010 (10) = 1, (10) = 1, ..............................................> maka 10> maka 1011 =10=10•• Jika logJika log1010 (3.162) = 0.5, (3.162) = 0.5, ..............> maka 10> maka 100.50.5 = 3.162= 3.162
•• Log Log XX ..........................................................................................................> > berarti logberarti log1010 XX
•• Ln Ln XX ....................................................................>> berarti logberarti logee XXee = 2.718= 2.718
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
log Ylog Ylog Xlog XYYXXloglog --==
......... tentang logarithma lagi :......... tentang logarithma lagi :
log XY = log X + log Ylog XY = log X + log Y
log Xlog Xnn = n log X= n log X
ContohContohContohContohPV = nRTPV = nRT
P = tekanan (Pa)[=](N.mP = tekanan (Pa)[=](N.m--22))V = volume (mV = volume (m33))n = jumlah mol gas (mol)n = jumlah mol gas (mol)R = konstanta gas (8.314 Nm.molR = konstanta gas (8.314 Nm.mol--11.K.K--11))T = suhu mutlak (K)T = suhu mutlak (K)
Variabel?Variabel?P, V. n dan TP, V. n dan T
Isolasi variabel T dari lainnya (gunakan prinsip manipulasi) :Isolasi variabel T dari lainnya (gunakan prinsip manipulasi) :
PV (1/n) = nRT (1/n)PV (1/n) = nRT (1/n)
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
PV/nPV/n = RT= RTlalu :lalu :
PV/n (1/R) = RT (1/R)PV/n (1/R) = RT (1/R)jadi :jadi :
PV/nR = TPV/nR = T
Jika diketahui nilaiJika diketahui nilai--nilai nilai P, V dan n, maka P, V dan n, maka dapat dihitung nilai Tdapat dihitung nilai T
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 7
Hitung suhu gas ideal jika diketahui :Hitung suhu gas ideal jika diketahui :
P = 200 Pa; n = 2 mol, V = 30 mP = 200 Pa; n = 2 mol, V = 30 m33
dari persamaan terdahulu PV/nR = T, maka :dari persamaan terdahulu PV/nR = T, maka :
ContohContohContohContoh
[(200 Pa)(30 m[(200 Pa)(30 m33)]/[(2 mol)(8.314 Nm.mol)]/[(2 mol)(8.314 Nm.mol--11KK--11)] = 360.83 K)] = 360.83 K
jadi T = 360.83 Kjadi T = 360.83 K________________________________________________________________________Contoh Lagi :Contoh Lagi :
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
y = xy = x22 -- 55x =?x =?
Jawab : Jawab : y + 5 = xy + 5 = x22
x = (y + 5)x = (y + 5)1/21/2
Persamaan Linier : UmumPersamaan Linier : UmumPersamaan Linier : UmumPersamaan Linier : Umum
aa1111xx11 + a+ a1212xx22 + ... + a+ ... + a1n1nxxnn = b= b11aa2121xx11 + a+ a2222xx22 + + a+ + a22 xx = b= b22aa2121xx11 + a+ a2222xx22 + ... + a+ ... + a2n2nxxnn b b22......aan1n1xx11 + a+ an2n2xx22 + ... + a+ ... + annnnxxnn = b= bnn
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 8
contoh :contoh :contoh :contoh :3x3x11 + 4x+ 4x22 -- 5x5x33 = = --229x9x11 -- 2x2x22 + 3x+ 3x33 = 1= 1--6x6x11 + 3x+ 3x22 -- xx33 = 3= 3
cari nilai xcari nilai x11, x, x22, x, x33
6x6x11 + 8x+ 8x22 -- 10x10x33 = = --44..... x 2..... x 2
--6x6x11 + 3x+ 3x22 -- xx33 = 3= 3++
11x11x22 -- 11x11x33 = = --1 ........ (1)1 ........ (1)lakukan dengan cara lakukan dengan cara eliminasi variabel,eliminasi variabel,dengan prinsipdengan prinsip22
manipulasi pers manipulasi pers aljabar!aljabar!
22 33 ( )( )
9x9x11 + 12x+ 12x22 -- 15x15x33 = = --66
9x9x11 -- 2x2x22 + 3x+ 3x33 = 1= 1 --1414 1818 7 (2)7 (2)
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
14x14x22 -- 18 x18 x33 = = --7 ........ (2)7 ........ (2)pers (1) dan (2) dapat diselesaikan sbb:pers (1) dan (2) dapat diselesaikan sbb:
11x11x22 -- 11x11x33 = = --1114x14x22 -- 18 x18 x33 = = --77
.......... x 14/11.......... x 14/11 14x14x22 -- 14x14x33 = = --14/1114/1114x14x22 -- 18 x18 x33 = = --77
--4 x4 x33 = 63/11 ......... x= 63/11 ......... x33 = 63/44= 63/44....dengan cara yang sama. x....dengan cara yang sama. x11 dan xdan x22
dapat dipecahkan!.... Lanjutkan!dapat dipecahkan!.... Lanjutkan!
Persamaan kuadratPersamaan kuadratPersamaan kuadratPersamaan kuadrat
Salah satu variablenya dalam bentuk :Salah satu variablenya dalam bentuk :axax22 + bx + c = 0, a + bx + c = 0, a ‡ ‡ 00
............ Pers ini memberikan 2 nilai x (x............ Pers ini memberikan 2 nilai x (x11 dan xdan x22) = ) =
Jika Jika bb22--4ac >0 4ac >0 ..........................>> xx11 ‡ ‡ xx22, bil riil, bil riil
aaacacbbbb
xx22
4422
22,,11----
==++
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
11 ‡‡ 22,,bb22--4ac = 0 4ac = 0 ..........................>> xx11 = = xx22, bil riil , bil riil bb22--4ac <0 4ac <0 ..........................>> xx11 ‡ ‡ xx22, bil kompleks, bil kompleks
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 9
Contoh :Contoh :Contoh :Contoh :
Pecahkan pers. berikut :Pecahkan pers. berikut :
xx22 + 5xy + 5xy -- yy22 -- 15 = 015 = 0x + 2y = 10x + 2y = 10........................> kerjakan.> kerjakan.
1551552255
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
..................................................kunci :..................................................kunci :77
1551552255±±==yy
Persamaan/Fungsi Linier dan nonPersamaan/Fungsi Linier dan non--linierlinierPersamaan/Fungsi Linier dan nonPersamaan/Fungsi Linier dan non--linierlinierBentuk umum persamaan linier/garis lurus adalah :Bentuk umum persamaan linier/garis lurus adalah :
y = ax + by = ax + b
y = variable dependeny = variable dependenx = variable independenx = variable independena = konstanta (slope/tangen garis lurus)a = konstanta (slope/tangen garis lurus)b = konstanta (nilai y jika x=0)b = konstanta (nilai y jika x=0)
Catatan :Catatan :•• Sering pers linier tdk eksplisit dalam bentuk umum : Sering pers linier tdk eksplisit dalam bentuk umum :
..............> perlu diatur supaya dalam bentuk tsb> perlu diatur supaya dalam bentuk tsb
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
p p yp p y•• Bentuk linier adalah bentuk pers paling sederhanaBentuk linier adalah bentuk pers paling sederhana
..............> mudah interpretasinya!> mudah interpretasinya!•• Pers yang tidak dalam bentuk tsb Pers yang tidak dalam bentuk tsb ..............> pers non> pers non--linierlinier
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 10
Bentuk pers linier : y = ax +b Bentuk pers linier : y = ax +b ..............................> formula titik> formula titik--kemiringan (kemiringan (pointpoint--slope formulaslope formula))
Jika data linier, prinsip ini dapat digunakan sbb :Jika data linier, prinsip ini dapat digunakan sbb :
1 Pilih d titik (P1 d P2) d i l1 Pilih d titik (P1 d P2) d i l
Persamaan/Fungsi Linier dan nonPersamaan/Fungsi Linier dan non--linierlinierPersamaan/Fungsi Linier dan nonPersamaan/Fungsi Linier dan non--linierlinier
1. Pilih dua titik (P1 dan P2) pada garis lurus1. Pilih dua titik (P1 dan P2) pada garis lurus
2. Kemiringan a dapat ditentukan :2. Kemiringan a dapat ditentukan :a = [ya = [y11 -- yy22] / [x] / [x11 -- xx22]]dimanadimanaP1 = (xP1 = (x11,y,y11) dan P2 =(x) dan P2 =(x22,y,y22))
3 Titik potong (3 Titik potong (interceptintercept) pada sumbu) pada sumbu--y; yaitu b adalah :y; yaitu b adalah :
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
3. Titik potong (3. Titik potong (interceptintercept) pada sumbu) pada sumbu--y; yaitu b adalah :y; yaitu b adalah :y y -- yy11 = a (x= a (x--xx11))atau atau y = ax + (yy = ax + (y11--axax11))jadijadib = (yb = (y11--axax11))
•• Koordinat Umum (Koordinat Umum (cartesiancartesian))–– Sumbu tegak (vertical) dan horizontalSumbu tegak (vertical) dan horizontal–– kedua sumbu bisa merupakan cerminan variabelkedua sumbu bisa merupakan cerminan variabel--
variabelvariabel
Grafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem Koordinat
variabelvariabel
Contoh persamaan garis lurus : Contoh persamaan garis lurus :
yy = a= axx + b; + b;
konstantakonstanta
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
variabelvariabelyy
xx
a = a = slopeslope
bb
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 11
•• Koordinat Umum (Koordinat Umum (cartesiancartesian))–– kedua sumbu bisa mempunyai skala yang samakedua sumbu bisa mempunyai skala yang sama–– kedua sumbu bisa mempunyai skala yang berbedakedua sumbu bisa mempunyai skala yang berbeda–– contohcontoh22 ::
Grafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem KoordinatGrafik & Sistem Koordinat
1
10
100
0 5 10 15
BB
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15
AA
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
B : Semi log (x B : Semi log (x ..> linier, y > linier, y ..> log)> log)A : linier (skala x dan y A : linier (skala x dan y ..> linier)> linier)
1
10
100
1 10 100
CC
C : LogC : Log--log (skala x dan y log (skala x dan y ....> log)> log)
Contoh.Contoh.Contoh.Contoh.Suatu indek pertumbuhan mikroorganisme, dinyatakan Suatu indek pertumbuhan mikroorganisme, dinyatakan sebagai waktu generasi (g). sebagai waktu generasi (g). Pada phase log, m.o. tumbuh mengikuti model berikut :Pada phase log, m.o. tumbuh mengikuti model berikut :
N = NN = N [2][2]t/gt/g (pers 1)(pers 1)N = NN = Noo[2][2]t/gt/g ....................................................... ....................................................... (pers. 1)(pers. 1)
Perhatikan data berikut :Perhatikan data berikut :
Jumlah (N)Jumlah (N) waktu pertumbuhan (menit)waktu pertumbuhan (menit)980980 0017001700 1010
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
17001700 101040004000 303062006200 4040
Tentukan waktu generasi (g) m.o. tsb!Tentukan waktu generasi (g) m.o. tsb!
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 12
Jawab :...1Jawab :...1Jawab :...1Jawab :...1
Petumbuhan Mirkoorganisme
Jika data tsb diplot pada grafik linierJika data tsb diplot pada grafik linier--linier, akan linier, akan diperoleh grafik sbb: diperoleh grafik sbb:
210031004100510061007100
umla
h M
.O.
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
10011002100
0 10 20 30 40 50Waktu (menit)
J
Diketahui :Diketahui : N = NN = Noo[2][2]t/gt/g ............................................................................ ............................................................................ (pers. 1)(pers. 1)Bentuk log dari pers (1) adalah :Bentuk log dari pers (1) adalah :
log N =log No + (t/g) log 2log N =log No + (t/g) log 2log N = log No + (log2)/g tlog N = log No + (log2)/g t
artinya : plot antara log N dan t (atau plot N dan t pada kertas semilog)artinya : plot antara log N dan t (atau plot N dan t pada kertas semilog)akan menghasilkan garis lurus dgn slope = (log 2)/g = 0.301/gakan menghasilkan garis lurus dgn slope = (log 2)/g = 0.301/g
Jawab :...2Jawab :...2Jawab :...2Jawab :...2
akan menghasilkan garis lurus dgn slope (log 2)/g 0.301/gakan menghasilkan garis lurus dgn slope (log 2)/g 0.301/g
Kemiringan :Kemiringan :log 10000 log 10000 -- log1000log1000
48.7 48.7 -- 00
44--3 3 48.748.7
==
Petumbuhan Mirkoorganisme
1000
10000
mla
h M
.O.
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
1 1 48.748.7
==
Berdasarkan model :Berdasarkan model :kemiringan = 0.301/g = 1/48.7kemiringan = 0.301/g = 1/48.7g = 14.66 menit!g = 14.66 menit!
1000 10 20 30 40 50
Waktu (menit)
Ju
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 13
Waktu (menit)Waktu (menit) Jumlah m.oJumlah m.o00 980980
Contoh Soal ....... Lagi!Contoh Soal ....... Lagi!Contoh Soal ....... Lagi!Contoh Soal ....... Lagi!
22 2261226144 6017601766 184741847488 65428654281010 2673052673051212 125976512597651414 684879268487921616 4295171642951716
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
1616 42951716429517161818 310734257310734257
Jika pertumbuhan m.o. tsb mengikuti model Jika pertumbuhan m.o. tsb mengikuti model N = NN = Noo[2][2]t/gt/g
tentukan waktu generasinya!tentukan waktu generasinya!
Bandingkan !Bandingkan !
Pertumbuhan Mikroorganisme
1000000000
Pertumbuhan Mikroorganisme
350000000
1001000
10000100000
100000010000000
100000000
Jum
lah
M.O
.
050000000
100000000150000000200000000250000000300000000
Jum
lah
M.O
.
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
Skala x linier, skala y logSkala x linier, skala y log
0 5 10 15 20
Waktu (menit)
Skala x dan y linier Skala x dan y linier
0 5 10 15 20
Waktu (menit)
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 14
Catatan ttg pembuatan grafikCatatan ttg pembuatan grafikCatatan ttg pembuatan grafikCatatan ttg pembuatan grafik
•• Grafik harus secara jelas menyajikan informasiGrafik harus secara jelas menyajikan informasiGrafik harus secara jelas menyajikan informasi Grafik harus secara jelas menyajikan informasi yang dimaksudkanyang dimaksudkan
•• Nilai Nilai XX dan dan YY yang tepat harus diperlihatkan pada yang tepat harus diperlihatkan pada kedua sumbukedua sumbu
•• GarisGaris--garis pada grafik harus jelas diidentifikasigaris pada grafik harus jelas diidentifikasi•• SimbolSimbol--simbol (simbol (legendlegend) yang berbeda dapat ) yang berbeda dapat
di k t k j kk d tdi k t k j kk d t d td t
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
digunakan untuk menunjukkan datadigunakan untuk menunjukkan data--data yang data yang berbedaberbeda
•• Judul grafik : jelas dan akuratJudul grafik : jelas dan akurat
Linierisasi.....?!Linierisasi.....?!Linierisasi.....?!Linierisasi.....?!•• Sering persamaan nonSering persamaan non--linier dapat dibuat linier linier dapat dibuat linier
..............> menjadi pseudo> menjadi pseudo--linierlinier
Contoh : Contoh : •• Apakah persamaan y = xApakah persamaan y = x22 -- 3 merupakan pers linier?3 merupakan pers linier?•• Jika tidak, dapatkan dibuat dalam bentuk linier?Jika tidak, dapatkan dibuat dalam bentuk linier?Jawab :Jawab :•• Pers y = xPers y = x22 -- 3 adalah non3 adalah non--linier (dalam variable x)linier (dalam variable x)
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
•• Tetapi dapat dibuat linier jika digunakan variabel baru; Tetapi dapat dibuat linier jika digunakan variabel baru; yaitu u=xyaitu u=x22, , maka persamaan tsb menjadi :maka persamaan tsb menjadi :..............> y = u > y = u -- 33
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 15
ContohContohContohContohPersamaan berikut sering digunakan untuk menjelaskan Persamaan berikut sering digunakan untuk menjelaskan tingkah laku viskositas fluida Herscheltingkah laku viskositas fluida Herschel--Bulkley :Bulkley :
ττ = = ττo o + K+ Kγγnn .............. Pers. 5.............. Pers. 5
dimanadimanadimanadimanaττ : gaya geser (: gaya geser (shear stressshear stress), (Pa), (Nm), (Pa), (Nm--22))ττoo : gaya geser awal (: gaya geser awal (yield stressyield stress), (Pa)), (Pa)n : indeks tingkah laku aliran, tak bersatuann : indeks tingkah laku aliran, tak bersatuanK : indeks konsistensi (sK : indeks konsistensi (snn))γγ : laju geser (: laju geser (shear rateshear rate), (s), (s--11))
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
Apakah pers.5 tsb linier thd sumbu Apakah pers.5 tsb linier thd sumbu ττ??Jika tidak, dapatkah dibuat supaya linier??Jika tidak, dapatkah dibuat supaya linier??
................. Tidak................. Tidak............. ya................ ya...
Yaitu dengan cara substitusi variable; variable u = Yaitu dengan cara substitusi variable; variable u = γγnn
maka akan diperoleh persamaan linier : maka akan diperoleh persamaan linier : ττ = = ττoo + Ku+ Ku
Pekerjaan Rumah ...... Kerjakan!Pekerjaan Rumah ...... Kerjakan!Pekerjaan Rumah ...... Kerjakan!Pekerjaan Rumah ...... Kerjakan!
Berikut adalah data hasil pengukuran yang menjelaskan Berikut adalah data hasil pengukuran yang menjelaskan hubungan antara gaya geser dan laju geser fluida suatu hubungan antara gaya geser dan laju geser fluida suatu
((ττ = = ττo o + K+ Kγγ ):):gaya geser (gaya geser ( )[=] Pa)[=] Pa laju geser (laju geser ( )[ ])[ ]ss−−11gaya geser (gaya geser (ττ )[=] Pa)[=] Pa laju geser (laju geser (γ)[=]γ)[=]ss−−11
1515 002525 223333 444444 665656 88
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
5656 886565 1010
Tentukan model matematika (Tentukan model matematika (ττ = = ττo o + K+ Kγγ ) yang cocok ) yang cocok menggambarkan fulida tsb!menggambarkan fulida tsb!
........jawab : ........jawab : ττ = 14 Pa + = 14 Pa + ((5 Pas)5 Pas)γ γ
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 16
Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......1 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......1 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......1 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......1
y = axy = axb b ............... ............... >> log y = log a + b log xlog y = log a + b log x
y = aey = aebxbx ............... ............... >> log y = log a + b log e xlog y = log a + b log e x
Log yLog y
Log xLog x
Kemiringan = bKemiringan = b
log alog a
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
Log yLog y
xx
Kemiringan = b log eKemiringan = b log e
log alog a
Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......2 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......2 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......2 Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......2
y = y = ............... ............... >> 1/y = b + a/x1/y = b + a/xxxa + bxa + bx
y = a + bx + cxy = a + bx + cx22 ............... ............... >> = b + cx= b + cx11 + cx+ cxy y -- yy11x x -- xx11
1/y1/y
1/x1/x
Kemiringan = aKemiringan = a
bbesktrapolasiesktrapolasi
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
y y -- yy11x x -- xx11
xx
Kemiringan = cKemiringan = c
b + cxb + cx11
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 17
Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......3Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......3Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......3Metoda liniarisasi yang umum ditemukan ......3
xxa + bxa + bxy = + cy = + c
(kerjakan............ PR)(kerjakan............ PR)
a + bxa + bxyy
y = aey = aebx+cxbx+cx22
y = 1 y = 1 -- ee--bxbx
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
y = a + y = a + bbxx
xxbbaayy ++==
Berbagai kondisi pers garis lurus : Berbagai kondisi pers garis lurus : Berbagai kondisi pers garis lurus : Berbagai kondisi pers garis lurus :
KondisiKondisi persamaan garis lurus :persamaan garis lurus :
1. Sejajar sumbu1. Sejajar sumbu--xx ..................................> > y = konstany = konstan2 Sejajar sumbu2 Sejajar sumbu--yy ..................................>> x = konstanx = konstan2. Sejajar sumbu2. Sejajar sumbu yy > > x konstanx konstan
4. Titik potong sb4. Titik potong sb--y (0,b) y (0,b) kemiringan mkemiringan m
..................................> > y = mx + by = mx + b
5. Titik potong sb5. Titik potong sb--x (a,0)x (a,0)kemiringan mkemiringan m
..................................> > y = m (xy = m (x--a)a)
3. Melalui titik (x3. Melalui titik (x11,y,y11))kemiringan mkemiringan m
..................................> y> y--yy11 = m(x= m(x--xx11))
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
e gae ga6. Melalui 2 titik6. Melalui 2 titik
(x(x11,y,y11) dan (x) dan (x22,y,y22))))xx(x(x
xxxx
yyyyyyyy
111122
112211 --
--
--==--..................................
>>
7. Melalui 2 titik (sb7. Melalui 2 titik (sb--x dan sbx dan sb--y)y)(a,0) dan (0,b)(a,0) dan (0,b)
11bb
yy
aa
xx==++..................>>
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 18
Kalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKemiringan : Kemiringan :
Δ Δ xxf(x)f(x)ΔΔx)x)f(xf(x
Δ Δ xxΔΔf(x)f(x) --++
==
Jika, Jika, ΔΔx adalah kecilx adalah kecild k ti l kd k ti l kf(x)f(x)
f(x+f(x+ΔΔx)x)
f(x)f(x)ΔΔ f(x)f(x)
mendekati nol, makamendekati nol, maka
Δ Δ xxΔ Δ f(x)f(x)
= adalah turunan f(x) = adalah turunan f(x) terhadap xterhadap x
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
xxxx11 xx22
ΔΔxx
Δ Δ xxΔ Δ f(x)f(x)
= adalah turunan f(x) terhadap x= adalah turunan f(x) terhadap x
LimitLimit = = ΔΔx x ......>0>0 Δ Δ xx
Δ Δ f(x)f(x)= =
dxdxdf(x)df(x)
= limit= limitΔ Δ x x ....>0>0 Δ Δ xx
f(x + f(x + ΔΔx) x) -- f(x)f(x)
Kalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensialKalkulus : DIferensial
Jika f(x)=x2Jika f(x)=x2maka maka df(x)/dx =df(x)/dx = limlim
ΔΔxx......>0 >0 Δ Δ xxf(x + f(x + ΔΔx) x) -- f(x)f(x)
Δ Δ xx(x + (x + ΔΔx)x)22 -- (x)(x)22
== limlimΔΔxx......>0>0
= = Δ Δ xx
[x[x22 + 2x+ 2xΔΔx + (x + (ΔΔx)x)22] ] -- (x)(x)22limlim
ΔΔxx......>0>0
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
ΔΔxx......>0>0
= = [2x + [2x + ΔΔx]x]limlimΔΔxx......>0>0
= 2x, jika = 2x, jika Δ Δ x = 0x = 0
Jadi, turunan f(x) = xJadi, turunan f(x) = x22 ........................> df(x)/dx = 2x> df(x)/dx = 2xatau df(x) = 2x dxatau df(x) = 2x dx
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 19
Rumus DiferensiasiRumus DiferensiasiRumus DiferensiasiRumus Diferensiasi
KonstantaKonstanta d(a) = 0d(a) = 0
11nnnn
nxnxdxdx
))d(xd(x--==UmumUmum
PenjumlahanPenjumlahan d[f(x) + g(x)] = df(x) + dg(x)d[f(x) + g(x)] = df(x) + dg(x)
PengkalianPengkalian d[f(x)g(x)] = f(x) dg(x) = g(x) df(x)d[f(x)g(x)] = f(x) dg(x) = g(x) df(x)
PembagianPembagian d[f(x)/g(x)] = {g(x) df(x) d[f(x)/g(x)] = {g(x) df(x) -- f(x) dg(x)} / [g(x)]f(x) dg(x)} / [g(x)]22
Fungsi pangkatFungsi pangkat d[f(x)]d[f(x)]nn = n[f(x)= n[f(x)nn--11df(x)df(x)
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
Fungsi exponensialFungsi exponensial d(a) d(a) f(x)f(x) = (a)= (a)f(x) f(x) [df(x)] ln a[df(x)] ln a
Fungsi logaritmaFungsi logaritma d ln [f(x)] = df(x)/f(x)d ln [f(x)] = df(x)/f(x)
d log [f(x)] = df(x)/{f(x)(ln 10)}d log [f(x)] = df(x)/{f(x)(ln 10)}
Maksimum dan Minimum Fungsi..........1Maksimum dan Minimum Fungsi..........1Maksimum dan Minimum Fungsi..........1Maksimum dan Minimum Fungsi..........1
Diketahui fungsi sbb :Diketahui fungsi sbb :6x6x
22xx
332x2x
yy2233
--++==
dy/dx = 2xdy/dx = 2x22 + x + x --66
Minimum/maksimum terdapat pada kondisi dy/dx = 0Minimum/maksimum terdapat pada kondisi dy/dx = 0jadi,jadi,
2x2x22 + x + x -- 6 = 06 = 0
6)6)4(2)(4(2)(1111±±
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
446)6)4(2)(4(2)(1111
xx1,21,2
----±±--== ............> x> x11 = = -- 2 ; x2 ; x22 = 1.5= 1.5
Mana maksimum?Mana maksimum?Mana minimum? Mana minimum? ....................................> perlu dicari turunan kedua> perlu dicari turunan kedua
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 20
6x6x22
xx33
2x2xyy
2233
--++==
dy/dxdy/dx = 2x= 2x22 + x + x --66dd22 /d/d 22 4 14 1
Maksimum dan Minimum Fungsi ..........2Maksimum dan Minimum Fungsi ..........2Maksimum dan Minimum Fungsi ..........2Maksimum dan Minimum Fungsi ..........2
dd22y/dxy/dx22 = 4x + 1= 4x + 1
untuk xuntuk x11 = = -- 2, maka d2, maka d22y/dxy/dx22 = 4(= 4(-- 2) + 1 = 2) + 1 = --77........................> titik dimana x> titik dimana x11==--2 merupakan titik maksimum;2 merupakan titik maksimum;
yaitu pada :yaitu pada :6(6(--2) = 8.667 2) = 8.667
22((--2)2)
332(2(--2)2)
yy2233
--++==
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
2233untuk xuntuk x22 = 1.5, maka d= 1.5, maka d22y/dxy/dx22 = 4(1.5) + 1 = 7= 4(1.5) + 1 = 7........................> titik dimana x> titik dimana x22= 1.5 merupakan titik minimum;= 1.5 merupakan titik minimum;
yaitu pada :yaitu pada :6(1.5) = 6(1.5) = --5.625 5.625
22(1.5)(1.5)
332(1.5)2(1.5)
yy2233
--++==
INTEGRAL : anti derivativeINTEGRAL : anti derivativeINTEGRAL : anti derivativeINTEGRAL : anti derivative
dy/dx = 5dy/dx = 5dy/dx = 4xdy/dx = 4xdy/dx = 2x dy/dx = 2x -- 11
....................> > y = 5x + Cy = 5x + C
....................> > y = 2xy = 2x22 + C+ C
....................> > y = xy = x22 -- x + Cx + C∫∫ d men nj kkan integral f ngsi ( ) terhadapd men nj kkan integral f ngsi ( ) terhadap∫∫ udx : menunjukkan integral fungsi u(x) terhadap xudx : menunjukkan integral fungsi u(x) terhadap x
∫∫ ∫∫ ∫∫++==++ dvdvdududv)dv)(du(du
∫∫ ∫∫== f(x)dxf(x)dxcccf(x)dxcf(x)dx
∫∫ ++++
== ++ CCxx11nn
11dxdxxx 11nnnn
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
∫∫ ++== CClnulnuuu
dudu
∫∫ ++== CCeeaa11duduee auauauau
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 21
Contoh :Contoh :Pecahkan persamaan berikut : dy/dx = 3xPecahkan persamaan berikut : dy/dx = 3x22 -- 4x + 54x + 5
jawab :jawab :kalikan kedua sisi dgn dxkalikan kedua sisi dgn dxdy = (3xdy = (3x22 -- 4x + 5)dx4x + 5)dxdy (3xdy (3x 4x + 5)dx4x + 5)dxIntegralkan kedua sisi persamaan tsb :Integralkan kedua sisi persamaan tsb :
dxdx55xdxxdx44dxdxxx33yy
5)dx5)dx4x4x(3x(3xdydy22
22
++−−==
++−−==
∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
CC5x5x2x2xxxyy
CC5x5xxx2244
xx3333
yy
dxdx55xdxxdx44dxdxxx33yy
2233
11111122
++++++==
++++++==
++==
++++
∫∫ ∫∫ ∫∫
Integral tertutupIntegral tertutup
3333
22
22== ∫∫ dxdxxxyy
112233
3333
221122
33
22
22
++==== ++∫∫ xxdxdxxxyy
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
19198827272233 333333
22
33 ==−−==−−==== xx
Prinsip Teknik Pangan
Purwiyatno Hariyadi/Dept ITP/Fateta/IPB - Review Matematika –ITP330 22
INTEGRAL TERTUTUP : INTEGRAL TERTUTUP : mengukur luas daerah di bawah kurva, diantara xmengukur luas daerah di bawah kurva, diantara x11 dan xdan x22
INTEGRAL TERTUTUP : INTEGRAL TERTUTUP : mengukur luas daerah di bawah kurva, diantara xmengukur luas daerah di bawah kurva, diantara x11 dan xdan x22
f(x)f(x)
f(x)f(x)
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
xxdxdx
xx11 xx22
Beberapa Rumus Geometri Beberapa Rumus Geometri pentingpentingBeberapa Rumus Geometri Beberapa Rumus Geometri pentingpenting
LingkaranLingkaran
22 22A = (A = (ππDD22)/4 = )/4 = ππrr22
C = C = ππD = 2D = 2ππrr
BolaBolaA = A = ππDD22
V = (4/3)V = (4/3)ππrr33 = (= (ππDD33)/6)/6
Purwiyatno Hariyadi/[email protected]
SilinderSilinderA = 2A = 2ππrh = rh = ππDhDhV = V = ππrr22hh
Top Related