1
Taburan Normal
2
Objektif Pembelajaran
Untuk memperkenalkan taburan kebarangkalian yang lazimnya digunakan dalam membuat keputusan.
Untuk menggunakan konsep nilai jangkaan dalam membuat keputusan.
Untuk menunjukkan kegunaan taburan kebarangkalian yang manakah patut digunakan dan bagaimana mencari nilainya.
Untuk memahami penghadan setiap taburan kebarangkalian yang digunakan
3
Ciri-ciri Taburan Normal
Ia adalah taburan selanjar Ia adalah taburan simetri Ia adalah asimtot kepada
paksi Ia adalah uni-modal Ia adalah keluarga kepada
keluk Keluasan di bawah keluk
ialah 1. Keluasan disebelah kanan
min ialah 1/2. Keluasan disebelah kiri min
ialah 1/2.
4
Fungsi Ketumpatan Kebarangkalian Taburan Normal
. . . 2.71828 e
. . . 3.14159 =X piawaiSisihan
Xmin :Dimana
x
2
1)x(f e
2
2
1
5
Keluk Normal dengan Min dan Sisihan Piawai yang Berbeza
6
Taburan Normal Piawai
Taburan normal dengan– Min sifar, dan – Sisihan piawai 1
ZX
Formula Z
– mempiawaikan sebarang taburan normal
Skor Z
– dikira dengan formula Z
– nombor sisihan piawai dimana nilainya adalah menyisih dari min
7
Jadual Z
Second Decimal Place in Z Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.49903.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49983.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998
8
Jadual Kebarangkalian Normal Piawai
P Z( ) .0 1 0 3413
Z 0.00 0.01 0.02
0.00 0.0000 0.0040 0.00800.10 0.0398 0.0438 0.04780.20 0.0793 0.0832 0.0871
1.00 0.3413 0.3438 0.3461
1.10 0.3643 0.3665 0.36861.20 0.3849 0.3869 0.3888
9
Contoh 1
Graduate Management Aptitude Test (GMAT) banyak digunakan untuk keperluan memasuki sekolah siswazah pengurusan di USA. Andaikan skor GMAT adalah bertaburan normal, kebarangkalian mencapai skor melebehi berbagai jeda GMAT boleh ditentukan. Di dalam beberapa tahun kebelakangan, min skor GMAT ialah 494 dan sisihan piawai lebih kurang 100. Apakah kebarangkalian skor yang dipilih secara rawak daripada ujian GMAT ini di antara 600 dan nilai min? Iaitu,
10
Contoh
X=600 = 494 = 100
P(485 X 600)| = 494 dan = 100) = ?
1.06 100
106
100
494 - 600
- X Z
11
1.06 100
106
100
494 - 600
- X Z
Z 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.4 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.18080.5 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.21570.6 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.24860.7 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.27940.8 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.30780.9 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.33401.0 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.35771.1 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.37901.2 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.39801.3 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147
P(485 X 600) = P(0 Z 1.06) = 0.3554
Z=0 Z=1.06
0.3554
12
Contoh 2Apakah kebarangkalian memperolehi skor lebih besar daripada 700 pada ujian GMAT jika min ialah 494 dan sisihan piawai 100?
P(X > 600)| = 494 dan = 100) = ?
X = 700 = 494 = 100
X > 700
2.06 100
206
100
494 - 700
- X Z
Z=2.06Z=0
Dari jadual Z:
Z=2.06 -> 0.4803
0.500
0.4803
P(Z>2.06) = 0.5000 - 0.4803 = 0.0197
0.0197
13
Contoh 3Bagi ujian GMAT yang sama, apakah kebarangkalian skor kurang daripada 550?
P(X <550)| = 494 dan = 100) = ? = 494 = 100
X=550
0.56 100
56
100
494 - 550
- X Z
Z=0.56Z=0
Keluasan di bawah keluk bagi Z = 0.56 ialah 0.2123
0.500 0.2123 P(X <550) = P(Z < 0.2313) = 0.5000 + 0.2313 = 0.7313
14
Contoh 4Apakah kebarangkalian memperolehi skor kurang daripada 400 di dalam ujian GMAT?
P(X <400)| = 494 dan = 100) = ?
X=400 = 494 = 100
0.94- 100
94-
100
494 - 400
- X Z
Z=-0.94 Z=-0.94
P(Z<-0.94)=P(Z>0.94)
= 0.5000 – 0.3264
= 0.1735
0.5000 0.5000
0.3264 0.32640.1735 0.1735
15
Contoh 5
Apakah kebarangkalian memperolehi skor di antara 300 dan 600 untuk ujian GMAT yang sama?
P(300 X < 600| = 494 dan 100) = ?
X = 300 = 494 X = 600 = 100
1.06 100
106
100
494 - 600
- X Z
94.1 100
194-
100
494 - 300
- X Z
Z=-1.94 Z=0 Z=1.06
P(-1.94 < Z < 1.06) = 0.3554 + 0.4738 = 0.8289
0.35540.4738
16
Contoh 6Apakah kebarangkalian untuk mem-perolehi skor di antara 350 dan 430 bagi ujian GMAT yang sama?
X = 350 X=430 = 494 = 100
1.44- 100
144-
100
494 - 350
- X Z
0.44- 100
44-
100
494 - 450
- X Z
P(-1.44 < Z < -0.44) = 0.4251 - 0.1700 = 0.2551
Z=-1.44 Z= -0.44
0.1700
0.4251
0.2551
P(X 350 < X < 430| = 494 dan = 100) = ?
17
Contoh 7
Kementerian Kebudayaan dan Pelancongan menerbitkan kos perjalanan untuk beberapa bandar di Malaysia. Khususnya, mereka menerbitkan kos perbelanjaan hotel. Jika 86.65% daripada kos hotel di Johor Baharu adalah kurang daripada RM449 dan jika sisihan piawan kos hotel ialah RM36, apakah purata kos hotel di Johor Baharu? Andaikan kos hotel adalah bertaburan normal.
= ? X = RM449 = RM36
86.65%
0.3665
P(Z < z) = 0.3665
z = ???????
18RM36
- RM449 1.11
- X Z
Z 0.00 0.01 0.02 0.030.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.01200.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.05170.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.09100.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.12930.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.16640.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.20190.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.23570.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.26730.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.29670.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.32381.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.34851.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.37081.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907
P(Z < z) = 0.3665
z = 1.11 = RM449 – (RM36)(1.11) = RM449 – RM39.96 = RM409.04
19
Penghampiran Normal kepada taburan Binomial
Taburan normal boleh digunakan untuk penghampiran bagi taburan binomial
Tatacara:
– Tukarkan parameter binomial kepada parameter normal– Adakah selang ± 3 terletak diantara 0 dan n? Jika YA, teruskan; jika TIDAK, jangan gunakan penghampiran normal.– Selaraskan untuk keselanjaran
– Selesaikan masalah taburan normal
20
Persamaan Penukaran
Penghampiran Normal bagi Binomial: Penukaran Parameter
= n.p
n.p.q σ
21
Contoh Penukaran
Katakan x merupakan taburan normal, carikan P(X|n=60 dan p=0.30)
= n.p = (60)(0.30) = 18
3.55
(0.30)(60)(0.30) n.p.q σ
22
Memeriksa Selang
0 10 20 30 40 50 60n
70
± 3 = 18 ± 3(3.55) = 18 ± 10.65
- 3 = 7.35 + 3 = 7.35
23
Pelarasan Keselanjaran
Nilai yang hendak
ditentukanPelarasan
X> +0.50
X -0.50
X< -0.50
X +0.50
X -0.50 dan +0.50
<X< +0.50 dan – 0.50
Kebarangkalian binomial,
P(X 25|n=60 dan p=0.30)
Adalah hampir dengan kebarangkalian normal
P(X 24.5| = 18 dan = 3.55)
24
P(X 24.5| = 18 dan = 3.55) = 18 X = 24.5 = 3.55
1.83 3.55
18 - 24.5
- X Z
z=0 z=1.83
0.4664
0.5000
Kebarangkalian bagi nilai Z ialah 0.4664, oleh itu:
P(Z 1.83) = 0.50 – 0.4664 = 0.0336
25
Geraf Penghampiran Normal bagi Binomial
26